精品解析：2024年甘肃省天水市 清水县太坪中学联片教研中考三模数学试题

2023-2024学年第二学期甘肃省清水县太坪中学联片教研九年级数学 第三次模拟考试试卷 一、选择题(共30分) 1. ﹣6的相反数是（　　） A. ﹣6 B. ﹣ C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相反数的意义，即可解答． 【详解】解：的相反数是6， 故选：C． 【点睛】本题考查了相反数，熟练掌握相反数的意义是解题的关键． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的加减乘除运算法则进行计算即可求解． 【详解】解：A．，故该选项不正确，不符合题意； B．，故该选项不正确，不符合题意； C．，故该选项不正确，不符合题意； D．，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 3. 如图，已知的面积为48，，点D为边上一点，过点D分别作于E，于F，若，则长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】如图所示，连接，根据三角形面积公式得到，结合题意求出即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了三角形的面积计算，将的面积看作是两个小三角形的面积之和是解答本题的关键． 4. 如图，一次函数与正比例函数的图象相交于点，下列判断错误的是 （ ） A. 关于x的方程的解是 B. 关于x的不等式的解集是 C. 当时，函数的值比函数的值大 D. 关于x，y的方程组的解是 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数与一元一次方程，一元一次不等式和二元一次方程组，图象法确定方程的解，不等式的解集和二元一次方程组的解，逐一进行判断即可． 【详解】解：由题意和图象可知： 关于x的方程的解是；故A正确； 关于x的不等式的解集是；故B错误； 当时，函数的值比函数的值大；故C正确； 关于x，y的方程组的解是，故D正确； 故选B． 5. 如图，在中，，平分，，，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】过D点作，垂足为E，由已知，，可求，再利用角平分线性质证明即可，熟练掌握角平分线的性质是解题关键． 【详解】解：过D点作，垂足为E， ∵ ∴， ∵， 解得， ∵平分，，， ∴． 故选D． 6. 如图，在菱形中，，，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先作，垂足为H．由四边形是菱形，可得，，求得，，，证得是等腰直角三角形，继而求得答案． 【详解】解：如图，作，垂足为H． ∵四边形是菱形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】此题考查了菱形的性质、直角三角形的性质、勾股定理以及等腰直角三角形的性质．难度适中，注意掌握辅助线的作法和数形结合思想的应用． 7. 如图，，，，均在上，，若，则的长最大为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，连接、，根据圆内接四边形的性质求出，根据圆周角定理求出，再根据等边三角形的判定和性质解答即可．熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 【详解】解：如图，连接、， ∵点，，，均在上， ∴四边形为的圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ∴， 当为的直径时，最大，最大值为． 故选：C． 8. 如图，是半圆的直径，点在半圆上，，连接，过点作，交的延长线于点．设的面积为的面积为，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图，过作于，证明，由，即，可得，证明，可得，设，则，可得，，再利用正切的定义可得答案． 【详解】解：如图，过作于， ∵， ∴， ∵，即， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选A 【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线构建直角三角形是解本题的关键． 9. 如图，在中，，，．将绕点C顺时针旋转得到，其中点与点A是对应点，点与点B是对应点．若点恰好落在边上，则点A到直线的距离等于（　　） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图，过作于，求解，，结合旋转的性质证明，，，可得为等边三角形，求解，再利用含角的直角三角形的性质及勾股定理即可得答案． 【详解】解：如图，过作于， 由，， ， ∵将绕点C顺时针旋转得到， ，， 为等边三角形， ， ∴， ∴， ∴， ∴A到的距离为1． 故选：A． 【点睛】本题考查的是旋转的性质，含的直角三角形的性质，勾股定理的应用，等边三角形的判定与性质，作出适当的辅助线构建直角三角形是解本题的关键． 10. 已知点，，都在反比例函数（）的图像上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意易得反比例函数在每个象限内，y随x的增大而减小，由此问题可求解． 【详解】解：由反比例函数（）可知该函数在第一、三象限，则有在每个象限内，y随x的增大而减小， ∵点，，都在反比例函数的图像上， ∴， 故选D． 【点睛】本题主要考查反比例函数的图像与性质，熟练掌握反比例函数的图像与性质是解题的关键． 二、填空题(共24分) 11. 计算：_________ 【答案】 【解析】 【分析】按照先乘方后乘除的顺序计算即可 【详解】解：， 故答案为： 【点睛】此题考查了幂的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 12. 若关于x的不等式组有解，关于y的分式方程有非负数解，则符合条件的所有整数a的和为______． 【答案】1 【解析】 【分析】利用给出的不等式组，可得x的范围，进而得出a的范围，再利用分式方程的解的特征，得到a的取值范围，综合考虑即可得到a的个数，然后相加即可得出答案． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∵不等式组有解， ∴， ∴， 得， ∵， ∴， ∵分式方程有非负数解， ∴，且 解得且， ∴且， ∴符合条件的整数a有， ∴符合条件的所有整数a的和为． 故答案为：1． 【点睛】此题考查了不等式组的解和分式方程的解，关键是掌握解不等式组的步骤，把分式方程化为整式方程． 13. 如图，，，平分，则______°． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质；根据角平分线的定义得出，再由平行线的性质得出即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 14. 如图，在中，，且，，点是斜边上的一个动点，过点分别作于点，于点，连接，则线段的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质、勾股定理、三角形面积、垂线段最短等知识．由勾股定理求出的长，再证明四边形是矩形，可得，根据垂线段最短和三角形面积即可解决问题． 【详解】解：连接，，且，， ， ，， ， 四边形是矩形， ， 当时，的值最小，即的值最小， 此时，的面积， ， 的最小值为； 故答案为：． 15. 如图，在△ABC 中，AB＝BC＝2，AO＝BO，P 是射线 CO 上的一个动点，∠AOC＝60°，则当△PAB为直角三角形时，AP 的长为____． 【答案】或或1 【解析】 【分析】利用分类讨论，当∠ABP=90°时，如图2，由对顶角的性质可得∠AOC=∠BOP=60°，易得∠BPO=30°，易得BP的长，利用勾股定理可得AP的长；当∠APB=90°时，分两种情况讨论，情况一：如图1，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出PO=BO，易得△BOP为等边三角形，利用勾股定理可得AP的长；情况二：如图3，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得结论． 【详解】当∠ABP=90°时（如图2）， ∵∠AOC=∠BOP=60°， ∴∠BPO=30°， ∴OP=2OB=2， ∴BP=， 在直角三角形ABP中， AP=； 当∠APB=90°时，分两种情况， 情况一，（如图1）， ∵AO=BO， ∴PO=BO， ∵∠AOC=60°， ∴∠BOP=60°， ∴△BOP为等边三角形， ∴BP=OB=1， ∵AB=BC=2， ∴AP=； 情况二，如图3， ∵AO=BO，∠APB=90°， ∴PO=AO， ∵∠AOC=60°， ∴△AOP为等边三角形， ∴AP=AO=1， 故答案为：或或1． ． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，等边三角形的判定及性质，含30°直角三角形的性质和直角三角形斜边的中线，分类讨论，数形结合是解答此题的关键． 16. 如图，⊙O的半径为2，点A为⊙O上一点，如果∠BAC=60°，OD⊥弦BC于点D，那么OD的长是__________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据圆周角定理得出∠BAC=∠BOC，根据等腰三角形的性质得出∠BOD=∠COD=∠BOC，求出∠BOD=∠BAC=60°，再求出答案即可． 【详解】∵OB=OC，OD⊥BC， ∴∠BDO=90°，∠BOD=∠CODBOC， ∵由圆周角定理得：∠BACBOC， ∴∠BOD=∠BAC， ∵∠BAC=60°， ∴∠BOD=60°， ∵∠BDO=90°， ∴∠OBD=30°， ∴ODOB， ∵OB=2， ∴OD=1． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，含30°角的直角三角形的性质等知识点，求出∠BOD的度数是解此题的关键． 17. 如图在平面直角坐标系中，周长为12的正六边形ABCDEF的对称中心与原点O重合，点A在x轴上．点B，在反比例函数y＝位于第一象限的图象上．则k的值为___． 【答案】. 【解析】 【分析】分析题意，要求k的值，结合图形只需求出点B的坐标即可；设y轴与BC的交点为M，连接OB，根据周长为12的正六边形ABCDEF的对称中心与原点O重合可知OB=2，BM=1，OM⊥BC； 接着，利用直角三角形勾股定理求出OM的值，结合点B在反比例函数位于第一象限的图象上，可以得到点B的坐标；代入函数解析式即可. 【详解】 如图，连接OB ∵周长为12的正六边形ABCDEF的对称中心与原点O重合， ∴正六边形ABCDEF的边长为2， ∴OB＝2，BM＝1， ∵OM⊥BC， ∴OM＝ 点B在反比例函数y＝位于第一象限的图象上， 点B的坐标为（1，）． 将点（1，）代入y＝中，得k＝． 故故答案为k＝ 【点睛】本题考查了正多边形性质，锐角三角函数，反比例函数的性质，等边三角形的性质和判定的应用，关键是求出B的坐标． 18. 如图，是边长为6的等边三角形，点在边上，若，，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】过点A作于H，根据等边三角形的性质可得，再由，可得，再根据，可得，从而可得，利用锐角三角函数求得，再由，求得，即可求得结果． 【详解】解：过点A作于H， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∵ ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查等边三角形的性质、锐角三角函数，熟练掌握等边三角形的性质证明是解题的关键． 三、计算题(共8分) 19. 计算及解方程 （1）计算 （2）解方程 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据负整数指数幂法则，零指数幂，绝对值的意义以及特殊角的三角函数值计算即可； （2）分别求解各不等式后即可得解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， 解不等式得， 解不等式得， ∴原不等式组的解集为．． 【点睛】本题考查了负整数指数幂法则，零指数幂，绝对值的意义以及特殊角的三角函数值，一元一次方不等式组的解法，熟练掌握知识点是解题的关键． 四、作图题(共6分) 20. 如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点均落在格点上． （1）的周长等于　　； （2）点M在线段上（点M与不重合），点N在线段上（点N与不重合），若直线恰好将的周长和面积都平分，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺画出直线． 【答案】（1）16 （2） 【解析】 【分析】本题考查了应用与设计作图，首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图． （1）依据，即可得到的周长； （2）取格点，使，连接与交于点M，在上取格点N，使，作直线即可． 【小问1详解】 由图可得，根据勾股定理求得， ∵， 的周长； 故答案为：16； 【小问2详解】 如图，取格点，使，连接与交于点M，在上取格点N，使，作直线即为所求． 五、解答题(共52分) 21. 如图，，，，．求证：． 【答案】 证明：∵，， ∴和都是直角三角形， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定与性质、平行线的判定，熟练掌握直角三角形全等的判定与性质是解题关键．先证出，再利用定理证出，根据全等三角形的性质可得，最后根据平行线的判定即可得证． 【详解】略 22. 如图所示，C城市在A城市正东方向，现计划在A，C两城市间修建一条高速铁路（即线段AC），经测量，森林保护区的中心P在城市A的北偏东60°方向上，在线段AC上距A城市120km的B处测得P在北偏东30°方向上，已知森林保护区是以点P为圆心，100km为半径的圆形区域，请问计划修建的这条高速铁路是否穿越保护区，为什么． （参考数据：） 【答案】 解：结论；不会．理由如下： 作PH⊥AC于H． 由题意可知：∠EAP=60°，∠FBP=30°， ∴∠PAB=30°，∠PBH=60°， ∵∠PBH=∠PAB+∠APB， ∴∠BAP=∠BPA=30°， ∴BA=BP=120， 在Rt△PBH中，sin∠PBH=， ∴PH=PBsin60°=120×≈103.92， ∵103.80＞100， ∴这条高速公路不会穿越保护区． 【解析】 【分析】作PH⊥AC于H．求出PH与100比较即可解决问题． 【详解】略 【点睛】本题考查解直角三角形的应用． 23. 某校购进《西游记》和《三国演义》若干套，其中每套《西游记》的价格比每套《三国演义》的价格多40元，用3200元购买《三国演义》的套数是用2400元购买《西游记》套数的2倍，求每套《三国演义》的价格． 【答案】每套《三国演义》的价格为80元． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设每套《三国演义》的价格为x元，则每套《西游记》的价格为元，根据数量=总价÷单价，即可得出关于x的分式方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设每套《三国演义》的价格为元，则每套《西游记》的价格为元，由题意，得： ， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 所以，原分式方程的解为， 答：每套《三国演义》的价格为80元． 24. 第31届世界大学生夏季运动会（简称“大运会”）将于2023年7月28日至8月8日在成都举行．某高校为了了解学生对“大运会”的关注度，设置了A（非常关注）、B（比较关注）、C（很少关注）、D（没有关注）四个选项，随机抽取了部分学生进行了问卷调查，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中所提供的信息，解答下列问题： （1）本次调查共抽取了　　　　　　名学生，并补全条形统计图； （2）求A所在扇形的圆心角度数； （3）学校将在A选项中的甲、乙、丙、丁四人里随机选取两人参加志愿者服务，用画树状图或列表法，列举出所有可能的结果，并求出甲、乙同时被选中的概率． 【答案】（1）500， 补全条形统计图如图所示． （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法，条形统计图，扇形统计图，能够理解条形统计图和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法是解题的关键． （1）用的人数除以其人数占比即可求出参与调查的总人数，用调查总人数减去A（非常关注）、C（很少关注）、D（没有关注）三个选项的人数即可得到B（比较关注）选项的人数，即可补全条形图； （2）用乘以的人数所占比例即可解答； （3）先列表得到所有等可能性的结果数，再找到甲、乙同时被选中的结果数，最后依据概率计算公式求解即可； 【小问1详解】 解：本次调查共抽取了（名）． 选项B的人数为（人）． 图略； 【小问2详解】 解：A所在扇形的圆心角度数为； 【小问3详解】 解：列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁） 乙 （乙，甲） （乙，丙） （乙，丁） 丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，丁） 丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙） 由表格可知，共有12种等可能的结果， 其中甲、乙同时被选中的结果有2种， ∴甲、乙同时被选中的概率为． 25. 如图，已知的圆心O在的边上，与相交于A、E两点，且与边相切于点D，连结． （1）若，求证：是的切线； （2）若，求的半径． 【答案】（1） 证明：连接，则， ∴， ∵的圆心O在上，且与边相切于点D， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径，且， ∴是的切线． （2）的半径长为3 【解析】 【分析】（1）连接，则，所以，由切线的性质得，则，而，所以，即可推导出，进而证明是的切线； （2）由，得，由是的直径，得，由，，得，而，即可证明，得，则，于是得，求得，则的半径长为3． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴的半径长为3． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定与性质、切线的判定与性质、直径所对的圆周角是直角、相似三角形的判定与性质等知识．综合运用以上知识是解题的关键． 26. 如图，为的直径，如果圆上的点恰使，求证：直线与相切． 【答案】 证明：如图，连接， ， ， 为的直径， ， ， ， ， 即， ， 是的半径， 直线与相切． 【解析】 【分析】由等腰三角形的性质和圆周角定理得出，则，再由切线的判定即可得出结论． 【详解】略 【点睛】本题考查了切线的判定、圆周角定理、直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握圆周角定理和切线的判定是解题的关键． 27. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=-x2+2mx+3m，点A（3，0）． （1）当抛物线过点A时，求抛物线的解析式； （2）证明：无论m为何值，抛物线必过定点D，并求出点D的坐标； （3）在（1）的条件下，抛物线与y轴交于点B，点P是抛物线上位于第一象限的点，连接AB，PD交于点M，PD与y轴交于点N．设S=S△PAM－S△BMN，问是否存在这样的点P，使得S有最大值？若存在，请求出点P的坐标，并求出S的最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y=-x2+2x+3； （2） 证明：∵y=-x2+m（2x+3）， ∴当2x+3=0时，即时，， ∴无论m为何值，抛物线必过定点D，点D的坐标是； （3）存在，点的坐标是（1，4），． 【解析】 【分析】（1）把x=3，y=0代入y=-x2+2mx+3m，从而求得m，进而求得抛物线的解析式； （2）将抛物线的解析式变形为：y=－x2+m（2x+3），进而根据2x+3=0，求得x的值，进而求得结果； （3）将S变形为：S=（S△PAM+S四边形AONM）－（S四边形AONM+S△BMN）=S四边形AONP－S△AOB，设P（m，-m2+2m+3），设PD的解析式为：y=kx+b，将点P和点D坐标代入，从而求得PD的解析式，进而求得点N的坐标，进而求得S关于m的解析式，进一步求得结果． 【小问1详解】 解：把x=3，y=0代入y=-x2+2mx+3m得， -9+6m+3m=0， ∴m=1， ∴y=-x2+2x+3； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图， 连接OP， 设点P（m，-m2+2m+3）， 设PD的解析式为：y=kx+b， ∴， ∴， ∴PD的解析式为：y＝， 当x＝0时，y＝， ∴点N的坐标是（0，）， ∴， ∵S=S△PAM-S△BMN， ∴S=（S△PAM+S四边形AONM）－（S四边形AONM+S△BMN）=S四边形AONP-S△AOB， ∵ ， 当x＝0时，y=-x2+2x+3＝3， ∴点B的坐标是（0，3），OB＝3， ， ∴＝＝， ∴当时，， 当时，， ∴点的坐标是（1，4）． 【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质、二次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式、二次函数求最值、三角形的面积等知识，解决问题的关键是数形结合和变形S，转化为常见的面积计算． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年第二学期甘肃省清水县太坪中学联片教研九年级数学 第三次模拟考试试卷 一、选择题(共30分) 1. ﹣6的相反数是（　　） A. ﹣6 B. ﹣ C. 6 D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知的面积为48，，点D为边上一点，过点D分别作于E，于F，若，则长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 4. 如图，一次函数与正比例函数的图象相交于点，下列判断错误的是 （ ） A. 关于x的方程的解是 B. 关于x的不等式的解集是 C. 当时，函数的值比函数的值大 D. 关于x，y的方程组的解是 5. 如图，在中，，平分，，，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 6. 如图，在菱形中，，，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，，，，均在上，，若，则的长最大为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是半圆的直径，点在半圆上，，连接，过点作，交的延长线于点．设的面积为的面积为，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，．将绕点C顺时针旋转得到，其中点与点A是对应点，点与点B是对应点．若点恰好落在边上，则点A到直线的距离等于（　　） A. 1 B. C. 2 D. 10. 已知点，，都在反比例函数（）的图像上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 二、填空题(共24分) 11. 计算：_________ 12. 若关于x的不等式组有解，关于y的分式方程有非负数解，则符合条件的所有整数a的和为______． 13. 如图，，，平分，则______°． 14. 如图，在中，，且，，点是斜边上的一个动点，过点分别作于点，于点，连接，则线段的最小值为______． 15. 如图，在△ABC 中，AB＝BC＝2，AO＝BO，P 是射线 CO 上的一个动点，∠AOC＝60°，则当△PAB为直角三角形时，AP 的长为____． 16. 如图，⊙O的半径为2，点A为⊙O上一点，如果∠BAC=60°，OD⊥弦BC于点D，那么OD的长是__________． 17. 如图在平面直角坐标系中，周长为12的正六边形ABCDEF的对称中心与原点O重合，点A在x轴上．点B，在反比例函数y＝位于第一象限的图象上．则k的值为___． 18. 如图，是边长为6的等边三角形，点在边上，若，，则_________． 三、计算题(共8分) 19. 计算及解方程 （1）计算 （2）解方程 四、作图题(共6分) 20. 如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点均落在格点上． （1）的周长等于　　； （2）点M在线段上（点M与不重合），点N在线段上（点N与不重合），若直线恰好将的周长和面积都平分，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺画出直线． 五、解答题(共52分) 21. 如图，，，，．求证：． 22. 如图所示，C城市在A城市正东方向，现计划在A，C两城市间修建一条高速铁路（即线段AC），经测量，森林保护区的中心P在城市A的北偏东60°方向上，在线段AC上距A城市120km的B处测得P在北偏东30°方向上，已知森林保护区是以点P为圆心，100km为半径的圆形区域，请问计划修建的这条高速铁路是否穿越保护区，为什么． （参考数据：） 23. 某校购进《西游记》和《三国演义》若干套，其中每套《西游记》的价格比每套《三国演义》的价格多40元，用3200元购买《三国演义》的套数是用2400元购买《西游记》套数的2倍，求每套《三国演义》的价格． 24. 第31届世界大学生夏季运动会（简称“大运会”）将于2023年7月28日至8月8日在成都举行．某高校为了了解学生对“大运会”的关注度，设置了A（非常关注）、B（比较关注）、C（很少关注）、D（没有关注）四个选项，随机抽取了部分学生进行了问卷调查，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中所提供的信息，解答下列问题： （1）本次调查共抽取了　　　　　　名学生，并补全条形统计图； （2）求A所在扇形的圆心角度数； （3）学校将在A选项中的甲、乙、丙、丁四人里随机选取两人参加志愿者服务，用画树状图或列表法，列举出所有可能的结果，并求出甲、乙同时被选中的概率． 25. 如图，已知的圆心O在的边上，与相交于A、E两点，且与边相切于点D，连结． （1）若，求证：是的切线； （2）若，求的半径． 26. 如图，为的直径，如果圆上的点恰使，求证：直线与相切． 27. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=-x2+2mx+3m，点A（3，0）． （1）当抛物线过点A时，求抛物线的解析式； （2）证明：无论m为何值，抛物线必过定点D，并求出点D的坐标； （3）在（1）的条件下，抛物线与y轴交于点B，点P是抛物线上位于第一象限的点，连接AB，PD交于点M，PD与y轴交于点N．设S=S△PAM－S△BMN，问是否存在这样的点P，使得S有最大值？若存在，请求出点P的坐标，并求出S的最大值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $