精品解析：2024年甘肃省天水市秦安县秦安县兴丰中学联片教研三模数学试题

2023-2024学年第二学期甘肃省秦安县兴丰中学联片教研九年级数学 第三次模拟考试试卷 一、选择题(共10题，共30分) 1. ﹣2020的倒数的绝对值是（　　） A. ﹣2020 B. 2020 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据倒数和绝对值的定义解答即可． 【详解】解：﹣2020的倒数为﹣， 所以﹣2020的倒数的绝对值是． 故选：D． 【点睛】本题考查了倒数与绝对值，属于应知应会题型，熟练掌握基本知识是解题的关键． 2. 在△ABC中，若角A，B满足，则∠C的大小是（ ） A. 45° B. 60° C. 75° D. 105° 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：由题意得，cosA=，tanB=1，则∠A=30°，∠B=45°，则∠C=180°﹣30°﹣45°=105°．故选D． 考点：1．特殊角的三角函数值；2．非负数的性质：绝对值；3．非负数的性质：偶次方． 3. 某商场销售的一件衣服标价为元，商场在开展促销活动中，该件衣服按折销售仍可获利元．设这件衣服的进价为元，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：设上衣的成本价为x元，由已知得上衣的实际售价为600×0.8元，然后根据利润=售价﹣成本价，可列方程：600×0.8﹣x=20．故选B． 4. 直线：与直线：在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据两函数图象的交点，找出的图象低于的图象时，自变量的取值范围即可． 【详解】解：由图可知，当时，， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一次函数和一元一次不等式，解题的关键是根据函数图象，找出符合条件是自变量的取值范围． 5. 已知如图，反比例函数，的图象分别经过正方形、正方形的顶点D、A，连接，则的面积等于（ ） A. 2 B. 3 C. 1 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义，解题的关键是连接，和都是正方形，，可得，即可求出． 【详解】解：连接， ∵和都是正方形， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 6. 如图，是等边的边上的高，以点为圆心，长为半径作弧交的延长线于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由等边三角形的性质求解，再利用等腰三角形的性质可得，从而可得答案． 【详解】解：∵是等边的边上的高， ∴， ∵， ∴， 故选C 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟记等边三角形与等腰三角形的性质是解本题的关键． 7. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行四边形的顶点B在反比例函数的图象上，顶点A在反比例函数的图象上，顶点D在x轴的负半轴上．若平行四边形的面积是5，则k的值是（　　） A. 3 B. 4 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查反比例图像上点的性质，涉及两点之间距离、平行四边形的性质和平行四边形面积公式．设点A即可得到点B的坐标，利用平行四边形的性质可列出方程，求解即可． 【详解】解：设， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵平行四边形的面积是5， ∴， 解得． 故选：A． 8. 如图，是直角三角形，，以为直径作，交于点D，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查求不规则图形的面积，掌握分割法求面积，是解题的关键．连接，圆周角定理得到，，含30度角的直角三角形的性质，求出的长，进而求出半径，以及的长，利用三角形的面积减去三角形的面积再减去扇性的面积，即可得出结果． 【详解】解：连接，则：， ∵为直径，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的中线 ∴， ∵，， ∴阴影部分的面积为； 故选B． 9. 如图，在平面直角坐标系中，以为位似中心，在y轴右侧作放大2倍后的位似图形，若点B的坐标为，则点B的对应点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点作轴的垂线，交轴于点，可得，根据相似三角形的性质可得，根据位似比等于相似比可得，继而得的长，即可求得点的坐标． 【详解】解：如图，过点作轴的垂线，交轴于点， ， ， ， 以为位似中心，在y轴右侧作放大2倍后的位似图形， ， ， ， 由即， ， ， ． 故选A． 【点睛】本题考查了位似的性质，相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 10. 如图，是半圆的直径，点在半圆上，，连接，过点作，交的延长线于点．设的面积为的面积为，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图，过作于，证明，由，即，可得，证明，可得，设，则，可得，，再利用正切的定义可得答案． 【详解】解：如图，过作于， ∵， ∴， ∵，即， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选A 【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线构建直角三角形是解本题的关键． 二、填空题(共24分) 11. 若，则的值为______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了非负数的性质，代数式求值，正确求出、的值是解题关键．根据算术平方根和偶次方的非负性，求出，，再代入计算即可． 【详解】解：， ，， ，， ， 故答案为：12． 12. 若多项式是一个完全平方式，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据两平方项确定出这两个数是和4，再根据完全平方公式求解即可． 【详解】∵， ∴， 解得：． 故答案为：±16． 【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．此题解题的关键是利用平方项来确定这两个数． 13. 方程的解是：__________． 【答案】 【解析】 【分析】首先方程两边乘以最简公分母去分母，然后去括号，移项，合并同类项，把的系数化为1，最后一定要检验． 【详解】解：去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 检验：把代入最简公分母中：， ∴原分式方程的解为： ， 故答案为： 【点睛】此题主要考查了分式方程的解法，做题过程中关键是不要忘记检验，很多同学忘记检验，导致错误． 14. 如图，，，，、的延长线交于点，，则______． 【答案】##50 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质和三角形外角性质是解题的关键． 延长交于点M，延长交于点N，设，则，设，则，得到，，利用平行线性质和三角形外角性质推理计算即可． 【详解】解：延长交于点M，延长交于点N， ∵，， 设，则，设，则， ∴，， ∵， ∴，， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即的度数为， 故答案为：． 15. 将正方形 …按如图所示的方式放置，点和点 分别在直线和 x轴上，已知点，，则 的坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据点A的系列坐标判断出相应正方形的边长，然后得到点B的系列坐标的变化规律是解题的关键．根据正方形的性质求出点的坐标，然后利用待定系数法求出k、b的值，从而得到一次函数解析式，再根据一次函数图象上点的坐标特征求出的坐标，然后求出的坐标． 【详解】解：∵，， ∴， ∵点在直线上， ∴， 解得：， ∴， ∴点的坐标为， ∴第三个正方形边长为， ∴点的横坐标为， ∴点的坐标为，， ∴第四个正方形边长为， ∴点的横坐标为， ∴的坐标是， 故答案为： 16. 如图，在正方形ABCD中，，E为边AB上一点，F为边BC上一点．连接DE和AF交于点G，连接BG．若，则BG的最小值为__________________． 【答案】． 【解析】 【分析】根据SAS证明△DEA≌△AFB，得∠ADE=∠BAF，再证明∠DGA=90°，进一步可得点G在以AD为直径的半圆上，且O，G，B三点共线时BG取得最小值． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC-∠DAE，AD=AB， ∵AE=BF ∴△DEA≌△AFB， ∴∠DAF+∠BAF=∠DAB=90°， ∠ADE+∠DAF=90° ∴∠DGA=90° ∴点G在以AD为直径的圆上移动，连接OB，OG，如图： ∴ 在Rt△AOB中，∠OAB=90° ∴OB= ∵ ∴当且公当O，G，B三点共线时BG取得最小值． ∴BG的最小值为：． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，三角形三边关系，圆周角定理等相关知识，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 17. 如图，四边形中，对角线交于点O，，，，，如果，那么的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可以证得△AOD∽△BOC，再根据相似三角形的性质得到AO∶OD=BO∶OC，从而得到△AOB∽△DOC，最后再根据相似三角形的性质得到解答． 【详解】解：在△AOD和△BOC中，，∠AOD=∠BOC， ∴△AOD∽△BOC， ∴AO∶OB=DO∶OC=AD∶BC=1∶2， ∴OB=4，DO=3， ∴在△AOB和△DOC中，∠AOB=∠DOC，AO∶OD=BO∶OC=2∶3， ∴△AOB∽△DOC， ∴= AO∶OD=2∶3， 故答案为． 【点睛】本题考查相似三角形的应用，熟练掌握三角形相似的判定和性质是解题关键． 18. 如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠CAB＝60°，弦AD平分∠CAB，若AD＝6，则AC＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】连接BD．在Rt△ADB中，求出AB，再在Rt△ACB中求出AC即可解决问题． 【详解】解：连接BD． ∵AB是直径， ∴∠C＝∠D＝90°， ∵∠CAB＝60°，AD平分∠CAB， ∴∠DAB＝30°， ∴AB＝AD÷cos30°＝4， ∴AC＝AB•cos60°＝2， 故答案为2． 【点睛】本题考查三角形的外接圆与外心，圆周角定理，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 三、计算题(共8分) 19. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）2；（2） 【解析】 【分析】本题考查的是实数的运算、分式的化简求值． （1）根据二次根式的性质、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、零指数幂计算计算； （2）根据分式的加法法则、除法法则把原式化简，把x的值代入计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ， 当时，原式． 四、作图题(共6分) 20. 图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．线段AB的端点均在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图，不要求写画法，保留作图痕迹． （1）在图①中画出线段AB的中点C； （2）在图②中画出线段AB上的一点D，使AD：BD＝4：5． 【答案】 （1）如图，点C即为所求作． （2）如图，点D即为所求作． 【解析】 【分析】（1）由题意取格点M，N，连接MN交AB于点C，点C即为所求； （2）根据题意取格点J，K，连接JK交AB于点D，点D即为所求． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查作图-应用与设计和线段的垂直平分线的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意并灵活运用所学知识解决问题． 五、解答题(共52分) 21. 已知关于的方程有两个不相等的实数根，． （1）求的取值范围； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，得出，列出不等式求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得出，，然后代入，列出方程求解即可． 本题主要考查了一元二次方程根的判别式，以及一元二次方程根于系数的关系，解题的关键是掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根；以及一元二次方程根与系数关系：． 【小问1详解】 关于的方程有两个不相等实数根，， ， ； 【小问2详解】 ，，， ， ， ， 解得：或或， ， ． 22. 如图，在四边形ABCD中，，点E在DB的延长线上，连接CE，∠A＝∠E，∠CBD＝∠DCB，求证：AD＝EC． 【答案】证明： ， 如图，连接 ∠CBD＝∠DCB， 在与中， ， 【解析】 【分析】先证明如图，连接 证明再证明，再利用全等三角形的性质可得结论． 【详解】略 23. 如图，点，在的边，上，，，连接，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC， ∵，， ∴BE=FD， ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得到AD∥BC，AD=BC，进而得到BE=FD即可证明． 【详解】略 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，解题的关键是灵活运用平行四边形的性质，并熟悉平行四边形的判定定理． 24. 如图，是的内接三角形，D是圆外一点，连接，连接交于点E． （1）求证：是的切线； （2）若，E是的中点，求的长度． 【答案】（1） 证明：作圆的直径，连接， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴直径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）作圆的直径，连接，由圆周角定理得到，，由条件推出，即可证明是的切线． （2）由圆内接四边形的性质推出，得到，代入有关数据，即可求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，如图， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴． ∵， ∴， ∴（负值舍去）． 【点睛】本题考查切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，关键是由圆周角定理证明，由圆内接四边形的性质推出． 25. 如图，在中，，垂足为点，平分交于点，，，． （1）求的值； （2）求线段的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据 可以得到的长，然后根据勾股定理可以得到的长，再根据的长，从而可以得到的长，再利用勾股定理可以得到的长，然后即可求得的值； （2）根据题意和等腰三角形的性质，可以得到然后即可计算出的长． 【小问1详解】 ， ， 解得 在中,， ， ， 在 中, ， ； 【小问2详解】 ，平分， ， 又 ， ， 即 解得 【点睛】本题考查解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 26. 如图，已知在中，，点、分别在边、的延长线上，且，的延长线交于点． （1）求证：； （2）如果，求证：． 【答案】（1） 证明：， ． 、分别是和的外角， ，， ， ． 又， ． （2） 证明：，， ． ， ， ， 即． 在和中， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）先根据三角形外角的定义得到，即可证明； （2）先证明得到，再根据证明，即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 27. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标系的原点，抛物线与x轴相交于点A和点B，与y轴相交于点C，直线经过点B和点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点P为第一象限内抛物线上一点，过点P作y轴的平行线交线段BC于点D，设，点P的横坐标为t，求d与t之间的函数关系式； （3）在（2）的条件下，点P为抛物线的顶点，连接PC并延长交x轴于点E，点F为线段OB上的点，连接CF，过点E作于点G，射线EG交线段BC于点H，交抛物线于点N，连接FN交线段BC于点R，若，求点N的坐标． 【答案】（1）；（2）；（3）N(，) 【解析】 【分析】（1）先求出点B、C的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）先表示出点P、D的坐标，再用点P的纵坐标减去点D的纵坐标即可得到函数关系式； （3）由解析式求出点P的坐标，顶点直线PC的解析式，利用勾股定理求出CE，过点F作∠CFN的角平分线，交直线BC于M，过点R作RQ⊥x轴于Q，证明MF∥OC，求得∠CFE=∠RFB，证明△CFE∽△RFB，得到，设OF=a，QF=b，则RQ=BQ=3-a-b，求出BR及RF的长，证明△CFO∽△RFQ，得到，求出，根据RQ=BQ求出，得到R的坐标，由此得到直线RF的解析式，设直线EN交y轴于D，证明△ODE≌△OFC，得到D（0，a），求出直线DE的解析式，解方程组，求出N的坐标，将点N代入中， 求出a的值即可得到答案． 【详解】解：（1）令中y=0，得x=3；令x=0，得y=3， ∴B（3,0），C（0,3）， 将点B、C代入中，得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）∵PD∥y轴，点P的横坐标为t， ∴， ∴PD的长度； （3）∵， ∴顶点P的坐标为（1,4）， ∵C（0,3）， ∴直线PC的解析式为y=x+3， 当y=0时，得x=-3， ∴E（-3,0）， ∵C（0,3），B（3,0）， ∴OC=OE=OB，， ∴∠CEB=∠CBE=45°， 如图，过点F作∠CFN的角平分线，交直线BC于M，过点R作RQ⊥x轴于Q， 则∠CFM=∠RFM=∠NEA， ∵， ∴∠EGF=∠COF=90°， ∴∠GEF+∠GFE=∠OCF+∠GFE， ∴∠GEF=∠OCF， ∴∠OCF=∠CFM， ∴MF∥OC， ∴∠MFO=∠MFB=90°， ∴∠CFE=∠RFB， ∵∠CEB=∠CBE， ∴△CFE∽△RFB， ∴， 设OF=a，QF=b，则RQ=BQ=3-a-b， ∴，EF=3+a，BF=3-a， ∴， 解得，， ∵∠COF=∠RQF=90°，∠CFE=∠RFB， ∴△CFO∽△RFQ， ∴， ∴， 解得， ∵RQ=BQ， ∴， 解得， ∴，， ∴， ∵F（a，0）， ∴直线RF的解析式为， 设直线EN交y轴于D， ∵∠EOD=∠COF，∠DEO=∠OCF，OC=OE， ∴△ODE≌△OFC， ∴OD=OF=a， ∴D（0，a）， ∵E（-3,0）， ∴直线DE的解析式为， 解方程组， 解得， ∴N（，）， 将点N代入中，得（不合题意，舍去）， ∴， ∴N(，)． 【点睛】此题考查二次函数知识的综合运用，正确掌握待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，其中（3）是解题中的难点，正确利用引出辅助线解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年第二学期甘肃省秦安县兴丰中学联片教研九年级数学 第三次模拟考试试卷 一、选择题(共10题，共30分) 1. ﹣2020的倒数的绝对值是（　　） A. ﹣2020 B. 2020 C. D. 2. 在△ABC中，若角A，B满足，则∠C的大小是（ ） A. 45° B. 60° C. 75° D. 105° 3. 某商场销售的一件衣服标价为元，商场在开展促销活动中，该件衣服按折销售仍可获利元．设这件衣服的进价为元，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 直线：与直线：在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 无法确定 5. 已知如图，反比例函数，的图象分别经过正方形、正方形的顶点D、A，连接，则的面积等于（ ） A. 2 B. 3 C. 1 D. 5 6. 如图，是等边的边上的高，以点为圆心，长为半径作弧交的延长线于点，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行四边形的顶点B在反比例函数的图象上，顶点A在反比例函数的图象上，顶点D在x轴的负半轴上．若平行四边形的面积是5，则k的值是（　　） A. 3 B. 4 C. 2 D. 1 8. 如图，是直角三角形，，以为直径作，交于点D，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，以为位似中心，在y轴右侧作放大2倍后的位似图形，若点B的坐标为，则点B的对应点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，是半圆的直径，点在半圆上，，连接，过点作，交的延长线于点．设的面积为的面积为，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题(共24分) 11. 若，则的值为______． 12. 若多项式是一个完全平方式，则______． 13. 方程的解是：__________． 14. 如图，，，，、的延长线交于点，，则______． 15. 将正方形 …按如图所示的方式放置，点和点 分别在直线和 x轴上，已知点，，则 的坐标是___________． 16. 如图，在正方形ABCD中，，E为边AB上一点，F为边BC上一点．连接DE和AF交于点G，连接BG．若，则BG的最小值为__________________． 17. 如图，四边形中，对角线交于点O，，，，，如果，那么的值是___________． 18. 如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠CAB＝60°，弦AD平分∠CAB，若AD＝6，则AC＝_____． 三、计算题(共8分) 19. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 四、作图题(共6分) 20. 图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．线段AB的端点均在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图，不要求写画法，保留作图痕迹． （1）在图①中画出线段AB的中点C； （2）在图②中画出线段AB上的一点D，使AD：BD＝4：5． 五、解答题(共52分) 21. 已知关于的方程有两个不相等的实数根，． （1）求的取值范围； （2）若，求的值． 22. 如图，在四边形ABCD中，，点E在DB的延长线上，连接CE，∠A＝∠E，∠CBD＝∠DCB，求证：AD＝EC． 23. 如图，点，在的边，上，，，连接，．求证：四边形是平行四边形． 24. 如图，是的内接三角形，D是圆外一点，连接，连接交于点E． （1）求证：是的切线； （2）若，E是的中点，求的长度． 25. 如图，在中，，垂足为点，平分交于点，，，． （1）求的值； （2）求线段的长． 26. 如图，已知在中，，点、分别在边、的延长线上，且，的延长线交于点． （1）求证：； （2）如果，求证：． 27. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标系的原点，抛物线与x轴相交于点A和点B，与y轴相交于点C，直线经过点B和点C． （1）求抛物线的解析式； （2）点P为第一象限内抛物线上一点，过点P作y轴的平行线交线段BC于点D，设，点P的横坐标为t，求d与t之间的函数关系式； （3）在（2）的条件下，点P为抛物线的顶点，连接PC并延长交x轴于点E，点F为线段OB上的点，连接CF，过点E作于点G，射线EG交线段BC于点H，交抛物线于点N，连接FN交线段BC于点R，若，求点N的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $