精品解析：辽宁省鞍山市台安县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

2023-2024学年鞍山市台安县八年级（下）数学期中检测 （本试卷满分100分，考试时间共90分钟．） 注意：请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效 一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列二次根式为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 A. x≥3 B. x≤3 C. x＞3 D. x＜3 3. 若，，则的值为（　　） A. 4 B. C. 16 D. 4或 4. 如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则余下部分的面积为（ ） A. B. C. D. 5. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，据《周髀算经》记载，勾股定理的证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的赵爽对周髀算经内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明，古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ） A. B. C. D. 6. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（ ） A. B. C. D. 7. 一个三角形三边长之比为，三边中点连线组成的三角形的周长为30cm，则原三角形最大边长为（　 ） A. 44厘米 B. 40厘米 C. 36厘米 D. 24厘米 8. 李叔叔不慎将一块平行四边形的玻璃打碎成如图所示的四块，他带了两块碎玻璃到商店就成功找到了一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带的碎玻璃编号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ③④ 9. 如图，在▱ABCD中，AB＝BC＝5．对角线BD＝8，则▱ABCD的面积为（　　） A. 20 B. 24 C. 40 D. 48 10. 小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使▱ABCD为正方形（如图），现有下列四种选法，你认为其中错误的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ②④ 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知是整数，则正整数n的最小值为____． 12. 当______时，最简二次根式与能够合并. 13. 如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、C、D的面积依次为4、6、18，则正方形B的面积为__________． 14. 如图，菱形的边在轴上，点的坐标为．分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点．连接，交于点．则点的坐标为 ____________________． 15. 如图，在中，，P为边上一动点，于E，于F，M为中点，则的最小值为_____． 三、计算题（共4小题，共16分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 已知，，求下列各式的值： （1）； （2） 四、解答题（本题共6小题，共49分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 18. 在一棵树的高的D处有两只猴子，其中一只猴子爬下树跑到离树处的池塘A 处，另一只爬到树顶C后直接跃到A 处，如果两只猴子所经过的路程相等，且路程以直线计算，试求这棵树的高度． 19. 如图，BN，CM分别是△ABC的两条高，点D，E分别是BC，MN的中点.求证：DE⊥MN. 20. 如图，在平行四边形中，，E、F分别为边的中点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的面积． 21. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1． （1）求的周长； （2）若点为直线上任意一点，则线段的最小值为________． 22. 在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题： 已知，求的值．他是这样解答的： ， ， ． ． ． 请你根据小明的解题过程，解决如下问题： （1）______________； （2）化简； （3）若，求的值． 23. 四边形为正方形，点E为线段上一点，连接，过点E作，交射线于点F，以为邻边作矩形，连接．（提示：过E作于点P，于点Q） （1）如图，求证：矩形是正方形； （2）若，，求的长度； （3）当线段与正方形的某条边的夹角是时，直接写出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年鞍山市台安县八年级（下）数学期中检测 （本试卷满分100分，考试时间共90分钟．） 注意：请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效 一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列二次根式为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，故A不符合题意； B、是最简二次根式，故B选项符合题意； C、 ，不是最简二次根式，故C不符合题意； D、，不是最简二次根式，故D不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 2. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 A. x≥3 B. x≤3 C. x＞3 D. x＜3 【答案】A 【解析】 【详解】解：由题意得． 解得x≥3， 故选：A． 3. 若，，则的值为（　　） A. 4 B. C. 16 D. 4或 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次根式化简求值，先判断的符号，再变形整体代入计算即可，解题的关键是根据已知判断的符号． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：A． 4. 如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则余下部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据开方运算，可得阴影的边长，根据乘方，可得大正方形的面积，根据面积的和差，可得答案． 【详解】解：∵两个空白小正方形的面积是、 ∴两个空白小正方形的边长是、 ∴大正方形的边长是 ∴大正方形的面积是 ∴阴影部分的面积是． 故选：A 【点睛】本题考查了开方运算在几何图形中的应用，根据已知条件求得大正方形的边长是解决问题的关键． 5. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，据《周髀算经》记载，勾股定理的证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的赵爽对周髀算经内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明，古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的证明方法，掌握利用两种不同的方法计算同一个图形的面积来验证勾股定理是解题的关键．分别利用两种不同的方法计算各选项中的大正方形或梯形的面积，即可解答． 【详解】解：A、大正方形的面积为，也可以看作4个直角三角形和一个小正方形的面积之和， 则其面积为， ∴，故选项A能证明勾股定理； B、大正方形的面积为，也可以看作2个小长方形和2个小正方形的面积之和， 则其面积为， ∴，故选项B不能证明勾股定理； C、大正方形的面积为，也可以看作4个直角三角形和一个小正方形的面积之和， 则其面积为， ∴，即，故选项C能证明勾股定理； D、梯形的面积为，也可以看作3个直角三角形的面积之和， 则其面积为， ∴，即，故选项D能证明勾股定理． 故选：B． 6. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据“勾股数”的定义，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、，不是“勾股数”，故本选项不符合题意； B、，不是“勾股数”，故本选项不符合题意； C、，不是“勾股数”，故本选项不符合题意； D、，是“勾股数”，故本选项符合题意； 故选：D 【点睛】此题主要考查了勾股数，关键是掌握勾股数的定义：若满足的三个正整数，称为勾股数． 7. 一个三角形三边长之比为，三边中点连线组成的三角形的周长为30cm，则原三角形最大边长为（　 ） A. 44厘米 B. 40厘米 C. 36厘米 D. 24厘米 【答案】D 【解析】 【分析】先设原三角形的三边长，再根据中位线的性质列出方程，然后求出解即可得出答案． 【详解】设原三角形的三边长为cm，cm，cm，可知连接三边中点后得出三角形的三边长为cm，cm，cm，得 解得， 所以（cm）． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线的性质，根据等量关系列出方程是解题的关键． 8. 李叔叔不慎将一块平行四边形的玻璃打碎成如图所示的四块，他带了两块碎玻璃到商店就成功找到了一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带的碎玻璃编号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，确定有关平行四边形，关键是确定平行四边形的四个顶点，由此即可解决问题． 【详解】解：∵只有③④两块角的两边互相平行，且中间部分相联，角的两边的延长线的交点就是平行四边形的顶点， ∴带③④两块碎玻璃，就可以确定平行四边形的大小． 故选：D． 9. 如图，在▱ABCD中，AB＝BC＝5．对角线BD＝8，则▱ABCD的面积为（　　） A. 20 B. 24 C. 40 D. 48 【答案】B 【解析】 【分析】连接交于，判定四边形是菱形，即可得出，再根据勾股定理即可得到的长，最后利用菱形的面积为进行计算即可． 【详解】解：如图所示，连接交于， 在中，， 四边形是菱形， ， 又对角线， ， 在中，， ， 菱形的面积为． 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，解题的关键要注意：有一组邻边相等的平行四边形是菱形． 10. 小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使▱ABCD为正方形（如图），现有下列四种选法，你认为其中错误的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ②④ 【答案】B 【解析】 【详解】A、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴当①AB=BC时，平行四边形ABCD是菱形， 当②∠ABC=90°时，菱形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意； B、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴当②∠ABC=90°时，平行四边形ABCD是矩形， 当③AC=BD时，这是矩形的性质，无法得出四边形ABCD是正方形，故此选项错误，符合题意； C、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴当①AB=BC时，平行四边形ABCD是菱形， 当③AC=BD时，菱形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意； D、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴当②∠ABC=90°时，平行四边形ABCD是矩形， 当④AC⊥BD时，矩形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意． 故选B． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知是整数，则正整数n的最小值为____． 【答案】2 【解析】 【分析】将化为，然后根据题目意思进行计算即可． 【详解】解：∵，要使它是整数，则正整数n的最小值为2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了最简二次根式，解决本题的关键是理解二次根式的性质． 12. 当______时，最简二次根式与能够合并. 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，根据，解答即可. 【详解】根据题意，得， 解得， 故答案为：8. 13. 如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、C、D的面积依次为4、6、18，则正方形B的面积为__________． 【答案】8 【解析】 【分析】根据勾股定理的几何意义：S正方形A+S正方形B=S正方形E，S正方形D-S正方形C=S正方形E解得即可． 【详解】解：由题意：S正方形A+S正方形B=S正方形E，S正方形D-S正方形C=S正方形E， ∴S正方形A+S正方形B=S正方形D-S正方形C， ∵正方形A、C、D的面积依次为4、6、18， ∴S正方形B+4=18-6， ∴S正方形B=8． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了勾股定理，要熟悉勾股定理的几何意义，知道直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 14. 如图，菱形的边在轴上，点的坐标为．分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点．连接，交于点．则点的坐标为 ____________________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作轴于点，设．利用勾股定理求出，再通过，相似三角形中对边成比例，即可得结论． 【详解】解：如图，过点作轴于点，设交轴于，． ∵， ∴， 在中，则有， ∴， ∴， ∴， ∵垂直平分线段， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质，勾股定理，线段的垂直平分线的性质，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题． 15. 如图，在中，，P为边上一动点，于E，于F，M为中点，则的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知得当时，最短，同样也最短，从而不难根据三角形的面积求得其值． 【详解】解：连接，如图： 在中，， ， ∴是直角三角形，且， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴． ∵M是的中点， ∴， 根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，即时，最短，同样也最短， ，即， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，矩形的判定及性质、直角三角形的性质，解题的关键是能够把要求的线段的最小值转换为便于分析其最小值的线段． 三、计算题（共4小题，共16分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）9 （2） 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键． （1）直接利用平方差公式进行计算即可； （2）先化简，再计算乘除法即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 已知，，求下列各式的值： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据整式运算，乘法公式的变形，再代入计算，即可求解； （2）根据整式的运算，先通分，再进行加减，最后代入计算，即可求解． 【小问1详解】 解： 当，， ∴原始． 【小问2详解】 解： 当，， ∴原始． 【点睛】本题主要考查整式的混合运算，掌握完全平方公式，平方差公式的变形是解题的关键． 四、解答题（本题共6小题，共49分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 18. 在一棵树的高的D处有两只猴子，其中一只猴子爬下树跑到离树处的池塘A 处，另一只爬到树顶C后直接跃到A 处，如果两只猴子所经过的路程相等，且路程以直线计算，试求这棵树的高度． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了线段的和与差，勾股定理，解一元一次方程，代数式求值等知识点，利用勾股定理建立方程是解题的关键． 设，则，，利用勾股定理可得，即，解方程即可求出这棵树的高度． 【详解】解：如图， 由题意可得：，， ， 设，则， ， 在中，由勾股定理得： ， 即：， 解得：， ， 这棵树的高度是． 19. 如图，BN，CM分别是△ABC的两条高，点D，E分别是BC，MN的中点.求证：DE⊥MN. 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】连接DM，DN，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出DM＝DN，再根据等腰三角形的性质即可得出答案． 【详解】证明：如图，连接DM，DN， ∵BN、CM分别是△ABC的两条高， ∴BN⊥AC，CM⊥AB， ∴∠BMC＝∠CNB＝90°， ∵D是BC的中点， ∴DM＝BC，DN＝BC， ∴DM＝DN， ∵E为MN的中点， ∴DE⊥MN． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质以及直角三角形斜边上中线的性质，熟练掌握相关性质定理，证得DM=DN是解题的关键． 20. 如图，在平行四边形中，，E、F分别为边的中点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定，平行四边形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质： （1）先由平行四边形的性质得到，，进而证明，则可证明四边形是平行四边形，再由直角三角形斜边中线的性质证明，即可证明：四边形是菱形； （2）过点D作，求出得到，由勾股定理得，；求出得到，则，即可得到． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵E，F分别为边的中点， ∴，， ∴， ∵ ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， 在中， ∵E边的中点， ∴， ∴四边形为菱形； 【小问2详解】 解：如图所示，过点D作， ∵，， ∴ ∵， ∴ 在中，，由勾股定理得， ∵，， ∴ ∴， ∵E边的中点， ∴， ∴． 21. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1． （1）求的周长； （2）若点为直线上任意一点，则线段的最小值为________． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理与网格、勾股定理逆定理等知识，准确掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求出各边的长，求和即可得到的周长； （2）过作，证明是直角三角形，为斜边，利用等积法即可求出答案． 【小问1详解】 解：，，， 的周长； 【小问2详解】 过作， ∵， ∴是直角三角形，为斜边， 的面积， 即， 解得， 即线段的最小值为． 22. 在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题： 已知，求的值．他是这样解答的： ， ， ． ． ． 请你根据小明的解题过程，解决如下问题： （1）______________； （2）化简； （3）若，求的值． 【答案】（1） （2）12 （3）4 【解析】 【分析】（1）利用分母有理化计算； （2）先分母有理化，然后合并即可； （3）先利用a＝＋2得到a−2＝，两边平方得到a2−4a＝1，然后利用整体代入的方法计算． 【小问1详解】 故答案为： 【小问2详解】 解：原式＝ ； 【小问3详解】 ， a−2＝， ∴（a−2）2＝5，即a2−4a＋4＝5． ∴a2−4a＝1． ∴a4−4a3−4a＋3＝a2（a2−4a）−4a＋3 ＝a2×1−4a＋3 ＝a2−4a＋3 ＝1＋3 ＝4． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰． 23. 四边形为正方形，点E为线段上一点，连接，过点E作，交射线于点F，以为邻边作矩形，连接．（提示：过E作于点P，于点Q） （1）如图，求证：矩形是正方形； （2）若，，求的长度； （3）当线段与正方形的某条边的夹角是时，直接写出的度数． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的性质、角平分线的性质、多边形的内角和等知识，熟练掌握正方形的判定与性质是解答的关键． （1）作于P，于Q 证明得到，然后根据正方形的判定可得结论； （2）先利用勾股定理求得，进而得到，则点F与C重合，根据（1）中正方形的性质可求解； （3）分①当与的夹角为时，点F在边上和②当与的夹角为时，点F在的延长线上两种情况分别求解即可． 【小问1详解】 证明：作于P，于Q，则 ∵四边形为正方形， ∴，， ∴，，， ∵四边形是矩形， ∴，则， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴矩形是正方形； 【小问2详解】 解：如图2， 在中．， ∵， ∴， ∴点F与C重合， ∵四边形是正方形， ∴； 【小问3详解】 解：①当与的夹角为时，点F在边上，，如题干图： 则， 在四边形中，由四边形内角和定理得：； ②当与的夹角为时，点F在的延长线上，，如图3所示： ∵，， ∴， 综上所述，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $