精品解析：河南省商丘市2023-2024学年高一下学期5月联考数学试题

2023—2024学年第二学期高一5月联考 高一数学 全卷满分150分，考试时间120分钟 一､单选题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知非零向量，，若，则（ ） A. 8 B. C. 6 D. 2. 如图，在中，为边的中点，，则（ ） A. B. C. D. 3. 设，则的虚部是（ ） A. 1 B. -1 C. D. 4. 北京天安门广场中心屹立着一座中国最大的纪念碑——人民英雄纪念碑，它专门为缅怀近现代英雄而建，它不仅仅是一个简单的建筑，更是民族精神的象征.某学生为测量该纪念碑的高度，选取与碑基在同一水平面内的两个测量点.现测得米，在点处测得碑顶的仰角为，则纪念碑高为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 5. 如图，在中，，，为边AB的中点，线段AC与DE交于点，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，矩形 是水平放置的一个平面图形的直观图，其中则原图形的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，下列说法正确的是（ ） A. 若上有两点到平面距离相等，则 B. 若，则与是异面直线 C. 若，则与没有公共点 D. 若，则与一定相交 8. 如图，在正方体中，点是棱上的一个动点，平面交棱于点，则下列命题中不正确的是（ ） A. 存在点，使得平面 B. 对于任意点，四边形均为平行四边形 C. 四边形的面积随点位置的变化而变化 D. 三棱锥的体积随点位置的变化而变化 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得3分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，且，则（ ） A. 与同向的单位向量为 B. 与的夹角为 C. D. 在上的投影向量是 10. 下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若，则的最小值为1 D. 若是关于的方程的根，则 11. 在中，内角所对的边分别为，则（ ） A. 若，则 B. 若，则是等腰三角形 C. 若，则满足条件的三角形有两个 D. 若，且，则为等边三角形 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则__________． 13. 已知边长为2的等边中，为的中点，以为折痕进行折叠，使折后的，则过四点的球的体积为__________. 14. 窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术．图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花．图2中正六边形的边长为4，圆的圆心为该正六边形的中心，圆的半径为2，圆的直径，点在正六边形的边上运动，则的最小值为____________ 四､解答题：共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知非零向量满足，且. （1）求； （2）当时，求向量与的夹角θ的值. 16. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知. （1）求角B的值； （2）若，且的面积为，求的周长. 17. 已知在正方体中，是中点. （1）求证：平面； （2）设正方体棱长为，求三棱锥的表面积和体积. 18. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，且. （1）求面积的最大值； （2）若为边BC的中点，求线段的长度． 19. 如图，四边形是圆柱底面的内接四边形，是圆柱的母线，，是上的动点. （1）求圆柱的侧面积； （2）求四棱锥的体积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024学年第二学期高一5月联考 高一数学 全卷满分150分，考试时间120分钟 一､单选题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知非零向量，，若，则（ ） A. 8 B. C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标表示求出，即可得到的坐标，从而求出其模. 【详解】因为非零向量，且， 所以，（舍去）或，，即． 故选：C 2. 如图，在中，为边的中点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】借助平面向量的线性运算及平面向量基本定理计算即可得. 【详解】为的中点，， ． 故选：D. 3. 设，则的虚部是（ ） A. 1 B. -1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用复数除法运算求出，再求出即可. 【详解】依题意，， 则，所以的虚部是. 故选：B 4. 北京天安门广场中心屹立着一座中国最大的纪念碑——人民英雄纪念碑，它专门为缅怀近现代英雄而建，它不仅仅是一个简单的建筑，更是民族精神的象征.某学生为测量该纪念碑的高度，选取与碑基在同一水平面内的两个测量点.现测得米，在点处测得碑顶的仰角为，则纪念碑高为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】中，利用正弦定理求出，在中，，代入求值即可. 【详解】在中，， 由正弦定理得，即，解得， 在中，． 故选：A 5. 如图，在中，，，为边AB的中点，线段AC与DE交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】借助几何性质可得，借助余弦定理可得，再借助余弦定理的推论即可得解. 【详解】因为，，所以是等边三角形，所以， 因为，所以，所以， 设，则， 在中，由余弦定理可得， 所以． 故选：C. 6. 如图，矩形 是水平放置的一个平面图形的直观图，其中则原图形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据斜二测画法原则,画出平面图,求出结果. 【详解】 做轴与交点为,由题意可知,, 根据勾股定理可知, 由斜二测画法可知,画出平面图形如图, 平面图为平行四边形,面积. 故选：A. 7. 已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，下列说法正确的是（ ） A. 若上有两点到平面距离相等，则 B. 若，则与是异面直线 C. 若，则与没有公共点 D. 若，则与一定相交 【答案】C 【解析】 【分析】利用线面平行意义判断A；利用面面平行的意义判断CD；由的位置关系判断D. 【详解】对于A，上有两点到平面距离相等，平面可以过这两点的中点，此时与相交，A错误； 对于BC，，则没有公共点，由，得与没有公共点， 与是平行直线或者是异面直线，C正确，B错误； 对于D，，则或与是相交直线，当时，，D错误. 故选：C 8. 如图，在正方体中，点是棱上的一个动点，平面交棱于点，则下列命题中不正确的是（ ） A. 存在点，使得平面 B. 对于任意点，四边形均为平行四边形 C. 四边形的面积随点位置的变化而变化 D. 三棱锥的体积随点位置的变化而变化 【答案】D 【解析】 【分析】根据线面平行的判定判断A；利用面面平行的性质判断B；设，求出四边形面积表达式判断C；根据棱锥的体积公式判断D. 【详解】对于B，显然四点共面，平面平面， 平面平面，平面平面， 则，同理可证，即四边形为平行四边形，B正确； 对于A，令正方体的棱长为2， 当F为的中点时，，即，解得，即E也为的中点， 连接，而，则四边形为平行四边形， 则，平面平面，因此平面，A正确； 对于C，令，设，则，而， ， 四边形面积 ，因此四边形的面积随点位置的变化而变化，C正确； 对于D，由，平面，平面， 得平面，即点F到平面的距离为定值，而的面积为定值， 因此三棱锥的体积为定值，即对于任意点F，三棱锥的体积均不变， D错误． 故选：D 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得3分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，且，则（ ） A. 与同向的单位向量为 B. 与的夹角为 C. D. 在上的投影向量是 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，根据列方程得到，然后根据与同向的单位向量为计算；B选项，根据夹角公式计算；C选项，根据平面向量坐标的加法运算公式和模的公式计算；D选项，根据在上的投影向量是计算. 【详解】，， ，即，解得或（舍去）． 对于A，，，与同向的单位向量为，故A正确； 对于B，， 而，则，故B错误； 对于C，，，故C正确； 对于D，在上的投影向量是 ，故D正确． 故选：ACD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若，则的最小值为1 D. 若是关于的方程的根，则 【答案】BD 【解析】 【分析】由的乘方的周期性及复数模的计算判断A；设计算判断B；求出复数在复平面内对应点的轨迹，再借助圆的性质判断C；由实系数一元二次方程的虚根成对出现，再由根与系数的关系求出值判断D. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，设，则， 而，因此，B正确； 对于C，是复平面内复数对应点到对应点的距离为1， 则点轨迹是以A为圆心，1为半径的圆，是圆A上的点到点的距离， ，C错误； 对于D，是关于x的方程的根， 则也是关于x的方程的根， 因此，解得，D正确. 故选：BD 11. 在中，内角所对的边分别为，则（ ） A. 若，则 B. 若，则是等腰三角形 C. 若，则满足条件的三角形有两个 D. 若，且，则为等边三角形 【答案】ACD 【解析】 【分析】A利用正弦定理判断；B由方程在三角形内有两个解判断；C由正弦定理及大边对大角即可判断；D根据向量线性关系及数量积的几何意义易知的平分线垂直于且，即可判断. 【详解】对于，因为，可得，由正弦定理，得， 所以，故正确； 对于，中，，又，， 所以或，即或， 可得的形状为等腰三角形或直角三角形，故B错误； 对于，若， 由正弦定理，有，又， 所以可以是锐角也可以是钝角，所以满足条件的三角形有两个，故C正确； 对于，表示角平分线的单位向量， 因为，所以的角平分线与直线垂直， 所以为等腰三角形， 而，所以， 又，所以，所以为等边三角形，故D正确. 故选：. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据正弦定理进行边角互换得到，然后利用余弦定理计算即可. 【详解】，由正弦定理变形得， ， 又由余弦定理得， ． 故答案为：. 13. 已知边长为2的等边中，为的中点，以为折痕进行折叠，使折后的，则过四点的球的体积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由给定条件，可得两两垂直，补形成长方体，利用长方体的外接球即为三棱锥的外接球，再求出球半径及体积. 【详解】正的边长为2，为的中点，则， 依题意，，又，则三棱锥的棱两两垂直， 则以为共点的3条棱的长方体的外接球即为三棱锥的外接球， 于是该球的直径，即， 所以过四点的球的体积为. 故答案为： 14. 窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术．图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花．图2中正六边形的边长为4，圆的圆心为该正六边形的中心，圆的半径为2，圆的直径，点在正六边形的边上运动，则的最小值为____________ 【答案】8 【解析】 【分析】由，，然后由数量积的运算公式，结合正六边形的性质，即可求解. 【详解】如图，连结，显然， ， ， 点在正六边形的边上运动，是其中心， 因此的最小值等于中心到正六边形的边的距离，距离为. 所以的最大值为. 故答案为：8 四､解答题：共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知非零向量满足，且. （1）求； （2）当时，求向量与的夹角θ的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用数量积的运算律求解即得. （2）利用数量积的运算律及夹角公式求解即得. 【小问1详解】 向量，由，得，即， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，，而， 则，， 因此，而， 所以所求夹角. 16. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知. （1）求角B的值； （2）若，且的面积为，求的周长. 【答案】（1）； （2）6. 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边化角得出，再利用两角和的正弦公式化简即可得出角的值. （2）由三角形面积公式化简得出，再由余弦定理得出，即可得出的周长. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理边化角， 得，即， 则， 即，又，则，， 而，所以． 【小问2详解】 由（1）知，，，解得， 由余弦定理得， 即，解得， 所以的周长为6． 17. 已知在正方体中，是中点. （1）求证：平面； （2）设正方体棱长为，求三棱锥的表面积和体积. 【答案】（1） 在正方体中，是中点， 连接BD交AC于O，连接OE，显然O是的中点，则， 又平面，平面，所以平面. （2）表面积为，体积为. 【解析】 【分析】（1）连接BD交AC于O，连接OE，即可得到，从而得证. （2）根据正方体的结构特征及计算可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 显然两两垂直，而，则， 又是的中点，则，， 所以三棱锥的表面积为； 体积为 18. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，且. （1）求面积的最大值； （2）若为边BC的中点，求线段的长度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理角化边化简已知等式，可得，再由余弦定理即可求得答案； （2）由向量的线性运算以及数量积的运算律可得的表达式，再结合（1）的结果推出，即可求得答案. 【小问1详解】 ， 由正弦定理可得， 即， 由余弦定理可得， 又，故， 又，，，当且仅当时取等号． ， 故面积的最大值为； 【小问2详解】 是边BC的中点，， ． ，，， 又由（1）知，， ，， 即线段AD的长度为. 19. 如图，四边形是圆柱底面的内接四边形，是圆柱的母线，，是上的动点. （1）求圆柱的侧面积； （2）求四棱锥的体积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求出，再利用正弦定理求出圆柱底面半径为r，进而求出结果； （2）利用余弦定理结合基本不等式求出，再利用体积公式求出结果. 【小问1详解】 如图： 连接BD，在中，，，， 由余弦定理，得， 所以，设圆柱底面半径为r，由正弦定理，得， 所以，故圆柱的侧面积； 【小问2详解】 由（1）知，中，，， 由余弦定理，得 ，即， 当且仅当时，等号成立， 所以， 因为，又， 所以四棱锥的体积， ， 故四棱锥的体积的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $