专题11 导数中的极值偏移问题（全题型压轴题）-【挑战压轴题】备战2025年高考数学压轴题通法训练·高分必刷系列（新高考版）

专题11 导数中的极值偏移问题（全题型压轴题） 目录 一、对称化构造法 1 二、比值代换法 8 三、对数均值不等式法 17 一、对称化构造法 1．（2024·江西·模拟预测）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若，且，证明：，且． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）求定义域，求导，分和两种情况，得到函数的单调性； （2）变形为是方程的两个实数根，构造函数，得到其单调性和极值最值情况，结合图象得到，再构造差函数，证明出. 【详解】（1）的定义域为R， 由题意，得，， 当时，恒成立，在上单调递增； 当，且当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 综上，当时，在上单调递增； 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增． （2）证明：由，得，是方程的两个实数根， 即是方程的两个实数根． 令，则， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以． 因为当时，；当时，，，所以． 不妨设，因为，是方程的两个实数根，则． 要证，只需证． 因为，， 所以只需证． 因为， 所以只需证． 令，， 则 在恒成立． 所以在区间上单调递减， 所以， 即当时，． 所以， 即成立． 【点睛】极值点偏移问题，通常会构造差函数来进行求解，若等式中含有参数，则先消去参数. 2．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知函数． (1)若，讨论的单调性． (2)已知关于的方程恰有个不同的正实数根． （i）求的取值范围； （ii）求证：． 【答案】(1)在，上单调递增，在上单调递减 (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）求导后，根据的正负可确定的单调性； （2）（i）将问题转化为与有两个不同交点的问题，利用导数可求得的单调性和最值，从而得到的图象，采用数形结合的方式可确定的范围； （ii）设，根据：，，采用取对数、两式作差整理的方式可得，通过分析法可知只需证即可，令，构造函数，利用导数可求得单调性，从而得到，由此可证得结论. 【详解】（1）当时，，则； 令，解得：或， 当时，；当时，； 在，上单调递增，在上单调递减. （2）（i）由得：， 恰有个正实数根，恰有个正实数根， 令，则与有两个不同交点， ，当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增，又， 当从的右侧无限趋近于时，趋近于；当无限趋近于时，的增速远大于的增速，则趋近于； 则图象如下图所示， 当时，与有两个不同交点， 实数的取值范围为； （ii）由（i）知：，， ，， ， 不妨设，则， 要证，只需证， ，，，则只需证， 令，则只需证当时，恒成立， 令， ， 在上单调递增，， 当时，恒成立，原不等式得证. 【点睛】思路点睛：本题考查利用导数求解函数单调性、方程根的个数问题和极值点偏移问题的求解；本题求解极值点偏移的基本思路是通过引入第三变量，将问题转化为单变量问题，进而通过构造函数的方式证明关于的不等式恒成立. 3．（2024·贵州毕节·模拟预测）已知函数. (1)当时，，求的取值范围. (2)若函数有两个极值点，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）参变分离可得在恒成立，令，，利用导数求出函数的最大值，即可得解； （2）求出函数的导函数，依题意可得函数与函数，的图象有两个交点，利用导数说明的单调性，不妨设，要证，即证，令，，利用导数说明函数的单调性，即可得证. 【详解】（1）当时，在恒成立， 令，， 则， 函数在上单调递减， ， ， 的取值范围是． （2）函数，． 则， 函数有两个极值点，， 有两个正实数解方程有两个正实数解函数与函数，的图象有两个交点． ，令，解得， 当时，则单调递增，当时，则单调递减， 函数的极大值即最大值为． 又时，且当时，，又， ． 不妨设， 要证明，． 令，，． 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 函数在单调递增， ，，即， 因此成立． 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 4．（2024·全国·模拟预测）已知函数． (1)求函数的单调区间与极值． (2)若，求证：． 【答案】(1)单调递增区间为和，单调递减区间为；极大值为，极小值为 (2)证明见解析 【分析】（1）利用导数可求得的单调区间，并确定极值点，由此可进一步求得极值； （2）根据单调性和极值可确定的范围，利用极值点偏移的证明方法，构造函数，，可证得，，结合不等式的性质可证得结论. 【详解】（1）定义域为，， 令，解得：或， 当时，；当时，； 的单调递增区间为和，单调递减区间为； 的极大值为，极小值为. （2）由（1）知：，，． 令，， 则； 令，则； 令，则， 在上恒成立，在上单调递增， ， 在上恒成立，在上单调递增，， 在上恒成立，在上单调递增，， 对任意恒成立． ，，又，， 在上单调递增，，，即； 令，， 则； 在上单调递增，， 在上恒成立，在上单调递增， ，对任意恒成立． ，．又，， 在上单调递增，且，，； 由得：，，. 【点睛】思路点睛：本题第（1）问用到导数零点九字诀：有没有，在不在，比大小．第（2）问用到第（1）问的两个极值点和，然后两次利用极值点偏移法，得出两个不等式和，再利用这两个不等式巧妙得出所要证明的不等式． 二、比值代换法 1．（2023·湖南长沙·一模）已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】转化为比较比较的大小，构造函数，先证明，，中最大，设，先证明，再证明，即得解. 【详解】要比较，，等价于比较的大小, 等价于比较, 即比较, 构造函数,, 令得,令得, 所以在单调递增, 单调递减. 所以, 因为， 所以最大，即，，中最大， 设， 结合的单调性得，， 先证明，其中， 即证， 令，，其中， 则， 所以，函数在上为增函数，当时，， 所以，当时，， 则有， 由可知， 所以， 因为，所以即， 因为，在单调递增， 所以，即， 因为 所以所以， 即， 因为，在单调递减. 所以， 即，即， 综上，. 故选：D 【点睛】关键点睛：应用对数平均不等式（需证明）证明极值点偏移：①由题中等式中产生对数；②将所得含对数的等式进行变形得到；③利用对数平均不等式来证明相应的问题. 2．（2022·全国·模拟预测）设函数. (1)若，求函数的最值； (2)若函数有两个不同的极值点，记作，且，求证：. 【答案】(1)无最小值，最大值为 (2)证明见解析 【分析】（1）对函数求导后得，分别求出和的解集，从而可求解. （2）由有两个极值点，从而要证，令，构建函数，然后利用导数求解的最值，从而可求解证明. 【详解】（1）由题意得，则. 令，解得；令，解得， 在上单调递增，在上单调递减， ， 无最小值，最大值为. （2），则， 又有两个不同的极值点， 欲证，即证， 原式等价于证明①. 由，得，则②. 由①②可知原问题等价于求证， 即证. 令，则，上式等价于求证. 令，则， 恒成立，在上单调递增， 当时，，即， 原不等式成立，即. 【点睛】方法点睛：对于极值点偏移问题，首先找到两极值点的相应关系,然后构造商数或加数关系； 通过要证明的不等式，将两极值点变形后构造相应的函数， 利用导数求解出构造函数的最值，从而证明不等式或等式成立. 3．（2023·湖北武汉·三模）已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)若关于的方程有两个不相等的实数根、， （ⅰ）求实数a的取值范围； （ⅱ）求证：． 【答案】(1)答案见解析 (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【分析】 （1）求出，分、两种情况讨论，分析导出的符号变化，即可得出函数的增区间和减区间； （2）（i）将方程变形为，令，令，可知直线与函数的图象有两个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围； （ii）将所证不等式等价变形为，由变形可得出，推导出，即证．令，只需证，构造函数，其中，利用导数法即可证得结论成立. 【详解】（1）解：因为， 所以，其中. ①当时，，所以函数的减区间为，无增区间； ②当时，由得，由可得. 所以函数的增区间为，减区间为． 综上：当时，函数的减区间为，无增区间； 当时，函数的增区间为，减区间为． （2）解：（i）方程可化为，即． 令，因为函数在上单调递增， 易知函数的值域为， 结合题意，关于的方程（*）有两个不等的实根． 又因为不是方程（*）的实根，所以方程（*）可化为． 令，其中，则． 由可得或，由可得， 所以，函数在和上单调递减，在上单调递增． 所以，函数的极小值为， 且当时，；当时，则. 作出函数和的图象如下图所示： 由图可知，当时，函数与的图象有两个交点， 所以，实数的取值范围是. （ii）要证，只需证，即证． 因为，所以只需证． 由（ⅰ）知，不妨设． 因为，所以，即，作差可得． 所以只需证，即只需证． 令，只需证． 令，其中，则， 所以在上单调递增，故，即在上恒成立． 所以原不等式得证． 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 4．（2023·江西南昌·二模）已知函数，． (1)当时，恒成立，求a的取值范围． (2)若的两个相异零点为，，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）运用导数研究的最小值不小于0即可. （2）消去参数a及比值代换法后得，运用导数研究在上最小值大于0即可. 【详解】（1）当时，恒成立， 即当时，恒成立， 设， 所以，即， ， 设， 则， 所以，当时，，即在上单调递增， 所以， 所以当时，，即在上单调递增， 所以， 若恒成立，则． 所以时，恒成立，a的取值范围为. （2）由题意知，， 不妨设，由得， 则， 令， 则，即：． 要证， 只需证， 只需证， 即证， 即证（）， 令（）， 因为， 所以在上单调递增， 当时，， 所以成立， 故． 【点睛】方法点睛：极值点偏移问题的解法 (1)(对称化构造法)构造辅助函数：对结论型，构造函数；对结论型，构造函数，通过研究F(x)的单调性获得不等式． (2)(比值代换法)通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换化为单变量的函数不等式，利用函数单调性证明． 5．（2023·全国·模拟预测）已知函数． (1)讨论函数的极值点的个数； (2)若函数恰有三个极值点、、，且，求的最大值． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）求出函数的定义域与导数，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数的单调性，可得出函数在实数取不同知值时的极值点个数； （2）由已知可得出，两式相除得到，令，则，则，，得，，分析可得，则． 令，其中，利用导数求出函数的最大值，即为所求. 【详解】（1）解：函数的定义域为， 且． ①，，由，可得；由，可得. 所以在上单调递增，在上单调递减， 因此在处取得极大值，故当时，有一个极值点； ②，令，其中，则， 由可得，由可得， 因此在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以，故， 由可得，由可得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 因此在处取得极小值，故当时，有一个极值点； ③当时，， 令得或，令，由②知， 而，， 令，则， 所以在上单调递减，因此，故， 所以函数在和上各存在唯一的零点，分别为、， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 故函数在和处取得极小值，在处取得极大值， 所以当时，有三个极值点． 综上所述，当或时，有一个极值点；当时，有三个极值点． （2）解：因为函数恰有三个极值点、、， 所以由（1）知，，， 由，两式相除得到． 令，则，则，，得，， 因此，所以，则． 令，其中，则， 令，则， 所以在上单调递增，则当时，， 即，故在上单调递增， 所以当时，，故的最大值为． 【点睛】易错点点睛：本题考查利用导数求解函数的极值点个数，要注意“极值点”与“零点”的区别，在转化为导函数的零点问题时，还应注意函数在极值点附近的单调性的变化，紧扣“极值点”的定义来解题. 三、对数均值不等式法 1．（2023·北京通州·三模）已知函数 (1)已知f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为，求实数a的值； (2)已知f（x）在定义域上是增函数，求实数a的取值范围. (3)已知有两个零点，，求实数a的取值范围并证明. 【答案】(1) (2) (3)，证明见解析 【分析】（1）切线方程的斜率为1，所以有，解方程即得实数a的值； （2）依题意在（0，+∞）上恒成立.，分参求解即可； （3）求出函数的单调性，结合零点存在性定理即可求实数a的取值范围；通过分析法要证明，只需证，构造函数即可证得 【详解】（1）因为，所以. 所以，又f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为， 所以，解得.. （2）f（x）的定义域为（0，+∞），因为f（x）在定义域上为增函数， 所以在（0，+∞）上恒成立. 即恒成立.，即， 令，所以， 时，时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，即. （3） 定义域为 当时，，所以在（0，+∞）上单调递减，不合题意. 当时， 在（0，）上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为， 函数存在两个零点的必要条件是， 即，又， 所以在（1，）上存在一个零点（）. 当时，，所以在（，+∞）上存在一个零点， 综上函数有两个零点，实数a的取值范围是. 不妨设两个零点 由，所以， 所以，所以， 要证， 只需证， 只需证， 由， 只需证， 只需证， 只需证， 令，只需证， 令， ， ∴H（t）在（0，1）上单调递增，∴， 即成立， 所以成立. 【点睛】极值点偏移问题，应熟练掌握对称构造的基本方法，同时结合处理双变量问题的常用方法比值代换的技巧. 2．（23-24高二下·贵州六盘水·期末）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若有两个不相同的零点，设的导函数为.证明：. 【答案】(1)当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减，在上单调递增 (2)证明见解析 【分析】（1）求定义域，求导，分与两种情况，根据导函数的正负求出函数的单调性； （2）先确定，不等式变形，只需证明，且得到，接下来证明对数平均不等式，得到，从而得到，所以，. 【详解】（1）的定义域为， 且， 当时，恒成立，在上单调递增， 当时，令，解得，令，解得， 故在上单调递减，在上单调递增， 综上：当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减，在上单调递增； （2）由（1）知：当时，在上单调递增，故至多有一个零点，不合要求，故， 要想有两个不相同的零点，则， 解得：， ，故 要证，即证， 即证：， 因为在上单调递增， 所以只需证，不妨设， 两式相减得：， 变形为， 下面证明在上成立， 只需证，即， 令，即证， 构造，， 则恒成立， 故在上单调递增， 故，所以，， 故，即，所以，，证毕. 【点睛】对数平均不等式为，在处理函数极值点偏移问题上经常用到，可先证明，再利用对数平均不等式解决相关问题，证明的方法是结合，换元后将二元问题一元化，利用导函数进行证明. 3．（2023·天津·二模）设函数为的导函数. (1)求的单调区间； (2)讨论零点的个数； (3)若有两个极值点且，证明：. 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为． (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）求出的导函数，即可得到的解析式，再求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间； （2）由（1）得，，再对分三种情况讨论结合零点存在性定理，分别得到函数的零点个数； （3）由（2）可得且，依题意可得，利用导数证明，即可得到，从而得证； 【详解】（1）解：因为， 所以．      即，，则． 当时，，单调递增； 当时，，单调递减． 所以的单调递增区间为，的单调递减区间为． （2）解：由（1）得，． 当时，，则在上无零点． 当时，，则在上有一个零点． 当时，，因为，，， 所以，，， 故在上有两个零点． 综上，当时，在上无零点； 当时，在上有一个零点； 当时，在上有两个零点． （3）证明：由（2）及有两个极值点，且， 可得， 在上有两个零点，且． 所以，     两式相减得，即． 因为，所以． 下面证明，即证． 令，则即证． 令，，则， 所以在上单调递增，所以， 故． 又， 所以， 故． 【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 导数中的极值偏移问题（全题型压轴题） 目录 一、对称化构造法 1 二、比值代换法 2 三、对数均值不等式法 5 一、对称化构造法 1．（2024·江西·模拟预测）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若，且，证明：，且． 2．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知函数． (1)若，讨论的单调性． (2)已知关于的方程恰有个不同的正实数根． （i）求的取值范围； （ii）求证：． 3．（2024·贵州毕节·模拟预测）已知函数. (1)当时，，求的取值范围. (2)若函数有两个极值点，证明：. 4．（2024·全国·模拟预测）已知函数． (1)求函数的单调区间与极值． (2)若，求证：． 二、比值代换法 1．（2023·湖南长沙·一模）已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．（2022·全国·模拟预测）设函数. (1)若，求函数的最值； (2)若函数有两个不同的极值点，记作，且，求证：. 3．（2023·湖北武汉·三模）已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)若关于的方程有两个不相等的实数根、， （ⅰ）求实数a的取值范围； （ⅱ）求证：． 4．（2023·江西南昌·二模）已知函数，． (1)当时，恒成立，求a的取值范围． (2)若的两个相异零点为，，求证：． 5．（2023·全国·模拟预测）已知函数． (1)讨论函数的极值点的个数； (2)若函数恰有三个极值点、、，且，求的最大值． 三、对数均值不等式法 1．（2023·北京通州·三模）已知函数 (1)已知f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为，求实数a的值； (2)已知f（x）在定义域上是增函数，求实数a的取值范围. (3)已知有两个零点，，求实数a的取值范围并证明. 2．（23-24高二下·贵州六盘水·期末）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若有两个不相同的零点，设的导函数为.证明：. 3．（2023·天津·二模）设函数为的导函数. (1)求的单调区间； (2)讨论零点的个数； (3)若有两个极值点且，证明：. 学科网（北京）股份有限公司 $$