专题09 一元函数的导数及其应用（利用导数研究函数零点（方程的根）问题）（全题型压轴题）-【挑战压轴题】备战2025年高考数学压轴题通法训练·高分必刷系列（新高考版）

专题09 一元函数的导数及其应用 （利用导数研究函数零点（方程的根）问题） 目录 一、判断零点（根）的个数 1 二、已知零点（根）的个数求参数 9 三、已知零点（根）的个数求代数式的值 18 一、判断零点（根）的个数 1．（2024·北京房山·一模）若函数，则函数零点的个数为（    ） A．1 B．2 C．1或2 D．1或3 【答案】A 【分析】令，则，则函数零点的个数即为函数图象交点的个数，构造函数，利用导数求出函数的单调区间，作出其大致图象，结合图象即可得解. 【详解】， 令，则， 则函数零点的个数即为函数图象交点的个数， 令， 当时，，则， 所以函数在上单调递增，且， 当时，， 当时，，则， 所以函数在上单调递增，且， 又当时，当时，， 作出函数的大致图象如图所示， 由图可知函数的图象有且仅有一个交点， 所以函数零点的个数为个. 故选：A. 2．（23-24高二下·湖南·阶段练习）函数，则方程解的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】求定义域，求导，得到函数单调性和极值情况，且当时，，画出函数图象，得到与的图像有2个交点，从而求出答案. 【详解】 ，函数定义域为， ， 令，解得或；令，可得或， 因此函数在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递减，在上单调递增， 且当时，；当时，取得极大值；当时，取得极小值； 因此，函数的大致图像如图所示， 因为，所以与的图像有2个交点， 可知方程有2个解. 故选：C 3．（2023·河南信阳·模拟预测）设函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若，讨论函数的零点的个数. 【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析. 【分析】（1）求出函数的导数，按的取值分类讨论求出函数的单调区间. （2）按分类讨论，并结合函数单调性及零点存在性定理求解即得. 【详解】（1）函数定义域为，求导得， 若，当时，，当时，， 因此函数在上单调递减，在上单调递增； 若，由，得或， ①当时，，则函数在上单调递增； ②当时，，当或时，，当时，， 因此函数在上单调递增，在上单调递减； ③当时，，当或时，，当时，， 因此函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递减，在单调递增. （2）当时，函数只有一个零点， 当时，由（1）知函数在上递减，在上递增，且，， 取且，则， 因此函数有两个零点； 当时，由（1）知函数在上递增，且，， 而时，恒有，因此函数只有一个零点， 当时，由（1）知函数在上递减，在上递增， 且， 而时，恒有，因此函数只有一个零点， 所以，函数有一个零点，当时，函数有两个零点. 4．（2024·全国·模拟预测）已知函数． (1)求函数的最小值； (2)若，求函数的零点个数． 【答案】(1)2 (2)有且只有一个零点 【分析】（1）对函数求导，令，研究的正负，得到函数的单调性，从而求得函数的最小值； （2）根据题意可得，求出，令，根据零点存在定理可知存在唯一的，使得，从而得到的单调性及极大值，数形结合可得函数的零点个数. 【详解】（1）解法一：由题，， 所以． 记，则， ①当时，，可得，故函数在区间上单调递减． ②当时，，可知函数单调递增， 又，所以当时，；当时，， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增． 由①②知函数的单调递减区间为，单调递增区间为， 故． 解法二：由题，， 所以． 令，则， 令，则， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 故， 所以，故在定义域上单调递增． 易知，故当时，单调递减， 当时，单调递增， 故． （2）由题意知，定义域为， 所以， 设， 所以，所以在区间上是增函数， 因为， 所以存在唯一的，使得，即， 当时，； 当时，； 当时，， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以当时，取得极大值，且极大值为． 设，则， 所以在区间上单调递减． 所以， 所以在内无零点． 因为， 所以在内有且只有一个零点． 综上所述，有且只有一个零点． 5．（23-24高三下·内蒙古赤峰·开学考试）已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)若直线与曲线相切，试判断函数与的图象的交点个数，并说明理由． 【答案】(1)答案见解析 (2)无交点，理由见解析 【分析】（1）求出导函数，再分、两种情况讨论，分别求出函数的单调区间； （2）设切点为，利用导数的几何意义求出，即可得到解析式，再令，即，令，利用导数说明函数的零点，即可判断. 【详解】（1）函数的定义域为，且， 当时恒成立，所以在上单调递减， 当时，令，解得， 所以当时，当时， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为， 综上可得：当时在上单调递减； 当时的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）由，设切点为，则， 易知，所以，又，即，即， 设，则，所以当时，则单调递增， 当时，则单调递减， 所以，所以，则， 令，即， 令，则， 令，则， 所以当时，则单调递减， 当时，则单调递增， 又，，当时， 所以当时，则单调递减， 当时，则单调递增， 所以，所以方程无实根， 所以函数与的图象无交点. 6．（23-24高三上·江西·阶段练习）已知函数． (1)证明：； (2)若，判断方程的实根个数． 【答案】(1)证明见解析 (2)有唯一实根 【分析】（1）不等式变形为，引入函数，求导确定单调性后得出即证； （2）引入函数，由导数确定的单调性，再结合零点存在定理确定零点个数． 【详解】（1）证明：因为，所以，即， 即， 设， 则， 所以在上单调递增， 所以，即， 所以时． （2）方程，即， 即， 设， 则， 设， 因为，所以，， 所以在上有唯一实根，且， 当时，，，单调递增， 当时，，，单调递减， 又，所以，在上没有零点， 因为，，， 所以在上有唯一零点，也即在上有唯一零点． 所以方程在上有唯一实根． 【点睛】方法点睛：用导数研究方程的根，通常转化为确定函数的零点，为此利用导数确定函数的单调性，然后由零点存在定理确定零点的存在性及零点个数． 二、已知零点（根）的个数求参数 1．（2024·贵州贵阳·一模）已知函数，若方程存在三个不相等的实根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】考查利用导数研究函数零点问题，先根据导数情况得出函数单调性和最值情况，再数形结合分析，分段函数分段讨论即可. 【详解】因为方程存在三个不相等的实根，所以函数有三个零点， 当时，，所以， 所以当时，；当时，， 所以在上单调递减，在单调递增，， 又当时，；当时，，所以图象如图； 当时，， 所以，所以当时，；当时，， 所以在上单调递减，在单调递增，， 又当时，；当时，，所以图象如图， 所以当即时函数有三个零点， 即方程存在三个不相等的实根， 故选：C. 2．（2024·甘肃武威·模拟预测）已知函数有3个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将的图象向左平移2个单位长度，可得函数图像，即把问题转化为直线与函数图象交点的个数问题；再证明为奇函数，然后求导后得到在区间上为减函数；再求出曲线在点处的切线方程为，求出，，时的范围；最后作出的图象和的图像，数形结合得到结果. 【详解】将的图象向左平移2个单位长度，可得函数的图象， 所以原题转化为“函数有3个零点”， 即研究直线与函数图象交点的个数问题． 因为的定义域为，且， 所以为奇函数． 因为， 所以在区间上为减函数， 且曲线在点处的切线方程为． 当时，； 当时，； 当的，， 作出的图象．如图： 由图知：当时，直线与函数的图象有3个交点． 故实数的取值范围是． 故选：C. 3．（23-24高二下·河南周口·阶段练习）已知函数有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得方程有两个正实数根，分析得知在区间上单调递增，从而方程有两个正实数解，由一元二次方程根的分布即可列出不等式组求解. 【详解】令，可得，则，即． 令，则． 因为，所以， 则函数在区间上单调递增， 所以，即． 所以当时有两个不同的零点等价于方程有两个正实数解， 即满足. 故选：D． 4．（23-24高三上·宁夏石嘴山·期末）已知关于x的不等式恰有2个不同的整数解，则k的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意，转化为，令且，利用导数求得函数的单调性和最大值，画出的图象，结合图象和斜率公式，即可求解. 【详解】由不等式，可得化为， 令且，则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以当时，取得极大值，也为最大值， 且当时，， 画出函数的图象，如图所示， 又由直线恒过定点， 当直线位于如图所示的两条直线和之间， 其中包含，不包含时，满足恰有两个整数解， 则，所以实数的取值范围为. 故答案为：. 5．（2024·陕西渭南·一模）已知函数，方程有7个不同的实数解，则实数的取值范围是 . 【答案】或 【分析】利用导数研究函数的性质，得单调性和极值，并作出函数的大致图象，由，令，得或，然后分类和讨论，它们一个有3个根，一个有4个根，由此可得参数范围． 【详解】因为，令，得到，解得或， 又当时，，则， 当时，，当时，， 即在区间上单调递减，在区间上单调递增， 又时，，时，，时，， 其图像如图，所以，当时，有2上解，有2个解， 又因为方程有7个不同的实数解，所以当时，有3个实数解， 又时，，则， 所以时，，时，， 即当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减， 又当时，，当时，， 又当时，有3个实数解， 所以或， 解得或， 故答案为：或. 【点睛】方法点睛：解决函数零点问题经常用到的方法就是数形结合，用导数研究函数的性质. 6．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若在上有两个不同的零点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得； （2）由题可得是的零点，再分及，结合导数讨论函数的单调性，借助零点存在性定理判断零点个数即可得. 【详解】（1）当时，，， ，， 故其切线方程为，即； （2），故是的零点， ， 当时，恒成立，故在上单调递增， 则，即此时只有唯一零点，不符合要求， 当时，令，可得， 即在上单调递增， 令，即，即在上单调递减， 故， 由在上有两个不同的零点，故，即， 令，， 故在上单调递减， 故， 即恒成立， 又放时，， 故在上必有一零点， 故当时，在上有两个不同的零点. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于对及的情况分类讨论，当可得函数在上单调递增，不可能有两个不同的零点，当时借助导数求得最值后，构造新函数得到其小于零恒成立. 7．（2024高三·全国·专题练习）已知函数． (1)讨论的最值； (2)若函数有2个零点，求实数a的取值范围． 【答案】(1)最大值，无最小值 (2) 【分析】（1）由题意，利用导数求解函数的最值即可； （2）根据转化的思想将问题转化为函数的图象与直线恰有2个交点，利用导数讨论函数的性质，作出图形，结合图形即可求解. 【详解】（1）由题知的定义域为，， ∴当时，，当时，， ∴在区间上单调递增，在区间上单调递减， 当x趋近于0时，趋近于，当x趋近于时，趋近于0， ∴当时，取得最大值，无最小值． （2）解法一 由题知有2个零点， ∴方程，即有2个解． 设，， 则函数与的图象恰有2个交点． ∵，∴当时，，当时，， ∴在上单调递减，在上单调递增，∴， 当x趋近于0时，趋近于，当x趋近于时，趋近于， ∵，∴当时，，当时，， ∴在上单调递增，在上单调递减，∴， 当x趋近于0时，趋近于a，当x趋近于时，趋近于． 作出函数与的大致图象，如图所示．    结合函数图象知，要使函数与的图象恰有2个交点， 则，∴， 即实数a的取值范围为． 解法二 由题知有2个零点， ∴方程，即恰有2个解． 设，则函数的图象与直线恰有2个交点． ，设， 则， ∴函数即单调递增，∵，∴当时，，单调递减， 当时，，单调递增，∴， 当x趋近于0时，趋近于，当x趋近于时，趋近于． 如图，作出直线与的大致图象，    结合函数图象知，要使直线与的图象恰有2个交点，则， 故实数a的取值范围为． 8．（2024高三·全国·专题练习）已知函数． (1)求函数的最小值； (2)若方程有两个不同的解，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导，令，得到函数的单调性，即可求出函数的最小值； （2）将原问题转化为有两个不同的解，构造函数，分和两种情况讨论，利用函数的单调性及零点存在定理求解实数a的取值范围． 【详解】（1）由题意可得，令，得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以的最小值为； （2）有两个不同的解可化为有两个不同的解， 令， 则， （ⅰ）若，则，由得． 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为． ①当时，，即，故没有零点，不满足题意． ②当时，，只有一个零点，不满足题意． ③当时，，即， 当时，，， 又，故，所以，又， 故在上有一个零点． 又，因此在上有一个零点， 所以当时，有两个不同的零点，满足题意． （ⅱ）若，由得，． ①当时，， 当时，；当时，；当时，． 所以在和上单调递减，在上单调递增． 又，所以至多有一个零点，不满足题意． ②当时，，则， 所以单调递减，至多有一个零点，不满足题意． ③当时，， 当时，；当时，；当时，． 所以在和上单调递减，在上单调递增，又，所以至多有一个零点，不满足题意． 综上，实数a的取值范围为． 三、已知零点（根）的个数求代数式的值 1．（2023·四川成都·三模）已知函数有三个零点，其中，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据解析式得，由，得，设，则，从而可得，求解导函数，分类讨论与两种情况下函数的单调性，从而可得答案. 【详解】定义域为，显然， 若是零点，则， ， 所以也是零点，函数有三个零点， 不妨设，则， 所以，， 当时，结合定义域和判别式易知恒成立， 即函数在上单调递增，不符合题意； 当时，设的两根分别为， 易知，所以函数在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增， 当时，，， ，当，， 所以由零点存在定理易知有三个零点，满足题意. 综上，的取值范围是. 【点睛】求解本题的关键是根据函数解析式得若是零点，也是零点，从而得，所以求的取值范围即求的取值范围，然后求解导函数，利用导数分类讨论函数的单调性即可. 2．（23-24高三下·四川雅安·开学考试）已知，分别是函数和的零点，且，，则 ． 【答案】1 【分析】求，判断函数在上的单调性，根据函数零点及单调性可得，化简可得的值. 【详解】由题意可得，， 又，当时，，所以在上单调递减， 因为，，且， 又，所以，所以． 故答案为：1. 3．（22-23高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数有三个不同的零点，，，且，则的值为 ． 【答案】4 【分析】先将题给条件转化为有三个不同的零点，，，且，再转化为有二根，且，进而利用根与系数关系求得的值 【详解】，又， 则有三个不同的零点，，，且， 令，则， 当时，单调递减；当时，单调递增 则在时取得最大值，时， 令，则 则必有二根，且 则 则有一解，有二解且 故 故答案为：4 4．（22-23高三上·安徽六安·阶段练习）若正实数是函数的一个零点，是函数的一个大于e的零点，则 ． 【答案】1 【分析】由题意，根据零点的定义，构造新函数，利用函数的单调性，可得等量关系，等量代换后，可得答案. 【详解】由题意，，且，， 由②得，所以， 令，所以与是函数的零点，， 当时，单调递增，所以在上，，单调递增， 故函数在上存在唯一零点，由，，则，， 所以，则， 故答案为：. 5．（2024·全国·模拟预测）已知函数． (1)讨论的零点个数； (2)若有两个零点，证明：两个零点之和大于4． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由得，则与的交点情况即为函数零点情况，故只需利用导数求出的性质，数形结合即可判断. （2）结合导数及函数的单调性即可证明. 【详解】（1）由题可得，函数的定义域为． 由得． 令，则． 令，解得，令，解得， 在上单调递减，在上单调递增． 当时，取得极小值，也是最小值，最小值为． 设， 所以， 所以当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以， 所以， 所以， 当时，，， 当时，，所以， 所以作出的大致图象，如图． 由图可知，当时，直线与函数的图象无交点， 函数的零点个数为0； 当时，直线与函数的图象有1个交点， 函数的零点个数为1； 当时，直线与函数的图象有2个交点， 函数的零点个数为2． （2）设的两个零点分别为， 由（1）知， 不妨令，则，且． 要证明两个零点之和大于4，即，只需证， 又，且在上单调递增， 故只需证，即． 令， 则 ，， ， 在上恒成立， 在上单调递减， 当时，， 即成立， ，得证. 【点睛】方法点睛：已知函数零点个数求参数的常用方法： （1）分离参数法：首先分离出参数，然后利用求导的方法求出构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围． （2）分类讨论法：结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数范围． （3）将函数的化为的形式，将函数的零点个数转化为与图象交点的个数问题. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 一元函数的导数及其应用 （利用导数研究函数零点（方程的根）问题） 目录 一、判断零点（根）的个数 1 二、已知零点（根）的个数求参数 3 三、已知零点（根）的个数求代数式的值 4 一、判断零点（根）的个数 1．（2024·北京房山·一模）若函数，则函数零点的个数为（    ） A．1 B．2 C．1或2 D．1或3 2．（23-24高二下·湖南·阶段练习）函数，则方程解的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（2023·河南信阳·模拟预测）设函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若，讨论函数的零点的个数. 4．（2024·全国·模拟预测）已知函数． (1)求函数的最小值； (2)若，求函数的零点个数． 5．（23-24高三下·内蒙古赤峰·开学考试）已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)若直线与曲线相切，试判断函数与的图象的交点个数，并说明理由． 6．（23-24高三上·江西·阶段练习）已知函数． (1)证明：； (2)若，判断方程的实根个数． 二、已知零点（根）的个数求参数 1．（2024·贵州贵阳·一模）已知函数，若方程存在三个不相等的实根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·甘肃武威·模拟预测）已知函数有3个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·河南周口·阶段练习）已知函数有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高三上·宁夏石嘴山·期末）已知关于x的不等式恰有2个不同的整数解，则k的取值范围是 . 5．（2024·陕西渭南·一模）已知函数，方程有7个不同的实数解，则实数的取值范围是 . 6．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若在上有两个不同的零点，求的取值范围. 7．（2024高三·全国·专题练习）已知函数． (1)讨论的最值； (2)若函数有2个零点，求实数a的取值范围． 8．（2024高三·全国·专题练习）已知函数． (1)求函数的最小值； (2)若方程有两个不同的解，求实数a的取值范围． 三、已知零点（根）的个数求代数式的值 1．（2023·四川成都·三模）已知函数有三个零点，其中，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．（23-24高三下·四川雅安·开学考试）已知，分别是函数和的零点，且，，则 ． 3．（22-23高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数有三个不同的零点，，，且，则的值为 ． 4．（22-23高三上·安徽六安·阶段练习）若正实数是函数的一个零点，是函数的一个大于e的零点，则 ． 5．（2024·全国·模拟预测）已知函数． (1)讨论的零点个数； (2)若有两个零点，证明：两个零点之和大于4． 学科网（北京）股份有限公司 $$