专题08 一元函数的导数及其应用（利用导函数研究不等式有解（能成立）问题）（全题型压轴题）-【挑战压轴题】备战2025年高考数学压轴题通法训练·高分必刷系列（新高考版）

专题08 一元函数的导数及其应用 （利用导函数研究不等式有解（能成立）问题） 目录 一、已知函数在区间上存在单调区间 1 二、变量分离法 2 三、双变量型 3 四、双变量型 4 五、最值法 5 一、已知函数在区间上存在单调区间 1．（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围为（  ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·宁夏·阶段练习）已知函数在区间上存在单调递减区间，则可能的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．e 3．（23-24高三上·陕西汉中·期末）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是 ． 4．（23-24高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是 . 二、变量分离法 1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围 ． 2．（2024·浙江·模拟预测）已知函数，，若关于的不等式有解，则的最小值是 . 3．（23-24高二下·北京顺义·阶段练习）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)判断函数在区间上的单调性； (3)是否存在，使得成立，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 4．（2022高三上·河南·专题练习）已知函数． (1)若函数仅有1个零点，求实数a的取值范围； (2)已知，，求实数a的取值范围． 三、双变量型 1．（23-24高一上·湖北·期末）已知函数 (1)当时，解不等式； (2)已知，当时，若对任意的，总存在，使成立，求正实数m的取值范围． 2．（23-24高二上·浙江·期中）函数，. (1)当时，总有成立，求实数的取值范围； (2)若，对，，使得，求实数的取值范围. 3．（23-24高一上·辽宁·期末）已知函数，. (1)若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围； (2)若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 4．（23-24高一下·陕西汉中·期中）已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数. (1)已知，，利用上述性质，求函数的值域； (2)对于（1）中的函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数的值. 四、双变量型 1．（23-24高二下·河南安阳·阶段练习）已知函数，，m，. (1)求的单调区间； (2)当时，若，使成立，求实数a的取值范围. 2．（23-24高二下·四川资阳·期中）已知，. (1)当时，求极值； (2)讨论单调性； (3)当时，若对于任意，总存在，使得，求的取值范围. 3．（23-24高二下·重庆长寿·阶段练习）已知函数 (1)讨论的单调区间； (2)设，若对任意的，存在，使成立，求实数的取值范围. 4．（2024高三·全国·专题练习）已知两函数，，若对，，，，恒有成立，求的取值范围. 五、最值法 1．（2024·四川泸州·二模）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若，，求实数a的取值范围． 2．（23-24高二下·天津和平·阶段练习）已知函数 (1)当时，求函数的单调区间； (2)若都有求实数a的取值范围； (3)设若使得成立，求实数a的取值范围. 3．（21-22高二下·陕西咸阳·阶段练习）已知函数． (1)若恒成立，求的取值范围； (2)当时，设函数，若对任意，存在，使得成立，求的取值范围． 4．（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）已知函数，是的导函数. (1)若，求的单调区间； (2)若存在实数使成立，求的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 一元函数的导数及其应用 （利用导函数研究不等式有解（能成立）问题） 目录 一、已知函数在区间上存在单调区间 1 二、变量分离法 3 三、双变量型 6 四、双变量型 10 五、最值法 14 一、已知函数在区间上存在单调区间 1．（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数与函数单调性的关系将问题转化为在上有解问题，再构造函数，利用导数求得其最小值，从而得解. 【详解】因为存在单调递减区间， 所以在上有解，即在上有解， 令，则，令，解得(负值舍去)， 当时，单调递减； 当时，单调递增； 所以，故， 故选：A. 2．（23-24高二下·宁夏·阶段练习）已知函数在区间上存在单调递减区间，则可能的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．e 【答案】CD 【分析】求得，根据题意，转化为即在有解，设，利用导数求得函数的最小值，结合选项，即可求解. 【详解】由函数，可得， 因为函数在区间上存在单调递减区间， 即在有解，即在有解， 设，可得， 所以函数单调递增，所以，即， 结合选项，可得选项C、D符合题意. 故选：CD. 3．（23-24高三上·陕西汉中·期末）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用导数转化为恒成立问题，分离参数法求解即可. 【详解】定义域为，而，由已知得函数在区间内存在单调递增区间，则在上有解，化简得，令，由幂函数性质得在上单调递增，，则. 故答案为： 4．（23-24高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用函数单调性与导数的关系，列出不等式即可求解. 【详解】函数的定义域为，求导得， 依题意，不等式在上有解，等价于在上有解， 而，当且仅当时取等号，则， 所以实数a的取值范围是. 故答案为：． 二、变量分离法 1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围 ． 【答案】 【分析】分离参数得，设，利用导数求出其最小值即可. 【详解】因为，由，即， 即，设， 根据题意知存在，使得成立，即成立， 由，可得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以当时，函数取得最小值，最小值为，所以， 即实数的取值范围是. 故答案为：. 2．（2024·浙江·模拟预测）已知函数，，若关于的不等式有解，则的最小值是 . 【答案】/ 【分析】参变分离可得有解，令，，利用导数求出，即可求出参数的取值范围，从而得解. 【详解】由得，显然， 所以有解， 令，则， 令，则，所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即， 所以，则，即的最小值是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的关键是参变分离得到有解，再构造函数，利用导数求出. 3．（23-24高二下·北京顺义·阶段练习）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)判断函数在区间上的单调性； (3)是否存在，使得成立，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)递增； (3)存在，. 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程. （2）由导数值恒正判断函数单调递增. （3）假定存在，分离参数构造函数，利用导数探讨最大值即可得解. 【详解】（1）函数，求导得， 则，而，所以曲线在点处的切线方程为. （2）当时，，，因此， 所以函数在区间上的单调递增. （3）假定存在，使得成立，即存在，不等式成立， 令，求导得， 令，求导得，即函数在上递增， 则，即，于是，而， 因此，函数在上单调递增，，，则， 所以的取值范围是. 4．（2022高三上·河南·专题练习）已知函数． (1)若函数仅有1个零点，求实数a的取值范围； (2)已知，，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先得到不是方程的根，参变分离得到，构造，求导得到函数单调性，画出函数图象，数形结合得到答案； （2）转化为在上有解，构造，，求导得到函数单调性，得到，求出答案． 【详解】（1）令，得， 显然不是方程的根， 故，， 令，则， 所以当或时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 作出函数的大致图象如下所示，观察可知，， 故实数a的取值范围为． . （2）由题意，不等式在上有解，显然不是该不等式的解， 所以不等式在上有解， 设，，则． 设，，则． 所以在单调递减，， 所以，所以在上单调递增， 所以， 所以实数的取值范围为． 三、双变量型 1．（23-24高一上·湖北·期末）已知函数 (1)当时，解不等式； (2)已知，当时，若对任意的，总存在，使成立，求正实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求得正确答案. （2）先求和在区间上的值域，然后列不等式组来求得的取值范围. 【详解】（1）当时，， 由， 解得或， 所以不等式的解集为. （2）当时，， 对称轴为，且，， 所以对任意的，. 时，是增函数，， 由得， 若对任意的，总存在，使成立， 所以，解得， 所以正实数的取值范围是. 2．（23-24高二上·浙江·期中）函数，. (1)当时，总有成立，求实数的取值范围； (2)若，对，，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意恒成立，采用变量分离法得，求解出的最大值，从而得解； （2）根据题意可得出，在上的值域为在上的值域的子集，根据子集运算规则解得参数的取值范围. 【详解】（1）解：由得， 当时，此时； 当时，， 因为，故， 所以， 当且仅当时等号成立，即时等号成立， 故； 综合得：； （2）记，， 因为对，，使得， 所以， 因为，当且仅当时，等号成立， 所以， 当时，在上单调递增， 所以， 故， 因为， 所以，即， 又， 故. 3．（23-24高一上·辽宁·期末）已知函数，. (1)若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围； (2)若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数在上单调递减，由函数在区间上存在零点，得即可解决； （2）记函数，的值域为集合，，的值域为集合，则对任意的，总存在，使得成立，又，的值域分，，求解，即可解决. 【详解】（1）由题知，， 因为的图象开口向上，对称轴为， 所以函数在上单调递减 因为函数在区间上存在零点， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. （2）记函数，的值域为集合， ，的值域为集合， 则对任意的，总存在，使得成立， 因为的图象开口向上，对称轴为， 所以当， ，， 得， 当时，的值域为，显然不满足题意； 当时，的值域为， 因为， 所以，解得； 当时，的值域为， 因为，所以，解得， 综上，实数的取值范围为. 4．（23-24高一下·陕西汉中·期中）已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数. (1)已知，，利用上述性质，求函数的值域； (2)对于（1）中的函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，则有，，再根据给定的性质即可求解； （2）求出的值域，根据题意易得的值域是的值域的子集，由此列出不等式组，求解即可得出的范围. 【详解】（1）依题意， ， 设，，则. 令，. 由已知性质得，当时，单调递减； 当时，单调递增. 又∵，，， ∴. ∴的值域为. （2）为减函数， 故，. 由题意得，当时，的值域是的值域的子集， ∴解得. 【点睛】本题考查了函数的单调区间和值域的求法，函数的任意和存在性问题的解法以及化简运算能力，属于中档题. 四、双变量型 1．（23-24高二下·河南安阳·阶段练习）已知函数，，m，. (1)求的单调区间； (2)当时，若，使成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1)的单调递增区间为，单调递减区间为 (2) 【分析】（1）取出，分别解不等式即可得出函数的单调区间； （2）当时，先求出，将问题转化为使成立，设，利用导数求出其最小值即可得出答案. 【详解】（1）由，则 由，解得，，解得 所以当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增. 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为 （2）当时，函数在上单调递增，在上单调递减 所以函数在上单调递增. 在上单调递减， 又，，所以 ，使成立，即 即使成立 即在上有解 设，则 所以当时，，单调递减. 当时，，单调递增. 所以 要使得在上有解，则 2．（23-24高二下·四川资阳·期中）已知，. (1)当时，求极值； (2)讨论单调性； (3)当时，若对于任意，总存在，使得，求的取值范围. 【答案】(1)极大值为，无极小值 (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）先求导数，再结合导数判断单调性，求出极值； （2）先求导数，对分类讨论，确定导数符号，得出单调性； （3）利用导数分别求解的最大值，然后可得答案. 【详解】（1）由题可知，函数定义域为，由 当，解得，当，解得，所以函数在处取得极大值，无极小值. （2）， ①所以当时，有恒成立，在单调递增， ②当时，由解得：，在上单调递增； 由解得：，在上单调递减； 综上，时，在单调递增；时，在上单调递增，在上单调递减. （3）当时，， 根据题意，不等式等价于，， 对于，，， 所以在上单增，所以，则有， 设，，则， 在定义域内为减函数，又，所以，即的取值范围是. 3．（23-24高二下·重庆长寿·阶段练习）已知函数 (1)讨论的单调区间； (2)设，若对任意的，存在，使成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）由，按，进行分类讨论求解； （2）由已知，转化为，由已知得，由此能求出实数a的取值范围． 【详解】（1）， ①当时，由于，故，， 所以的单调递增区间为； ②当时，由，得， 在区间上，在区间上， 所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为； （2）由题目知，只需要即可 又因为，所以只需要即可 即等价于恒成立， 由变量分离可知，， 令，下面求的最小值， 令，所以得， 所以在为减函数，为增函数， 所以，所以. 4．（2024高三·全国·专题练习）已知两函数，，若对，，，，恒有成立，求的取值范围. 【答案】 【分析】转化对，，，，恒有成立为，利用二次函数的性质和导数分别求解两个函数的最小值，代入解不等式即可 【详解】若对，，，，恒有成立， 只需在，上，即可. ， ，， 在，，，， 故与，是单调递增区间. 在，， 故，是单调递减区间. 因此的极小值为又， 所以 所以， 解得的范围为. 五、最值法 1．（2024·四川泸州·二模）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若，，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）对求导，利用导数的几何意义即可得解； （2）先利用导数分析的单调性，再构造，将问题转化为，利用的单调性，分析得，从而得解. 【详解】（1）因为，则， 所以，， 所以曲线在点处的切线方程； （2）因为，且， 所以当时，，单调递减， 当或时，，单调递增； 不妨令， 当，即时，在单调递增，在单调递减， 且， 所以，此时符合题意； 当，即时，在和单调递增，在单调递减， 显然在处取得极小值，此时极小值为， 而， 所以， 要使，则必有，解得，故， 综上:的取值范围是. 【点睛】结论点睛： （1）有解；有解． （2）有解；有解． （3）有解；有解． （4），，． 2．（23-24高二下·天津和平·阶段练习）已知函数 (1)当时，求函数的单调区间； (2)若都有求实数a的取值范围； (3)设若使得成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增. (2) (3) 【分析】（1）代入，求导即可得出函数的单调区间； （2），都有等价于时，恒成立，然后分类讨论求即可. （3）令，即存在，使得，然后分类讨论求即可求解. 【详解】（1）当时，， 令，解得 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. （2），都有， 即时，恒成立, ,令, ①当，即时, ，，所以在单增， 所以，满足题意. ②当，即时， 此时，， i）当时，即时， ，，所以在单增， 所以，满足题意. ii）当时，即时， 此时，所以，不满足题意. 综上所述：当时，满足时，恒成立. . （3）令， 即存在，使得， 即存在，使得， ， i）当时，此时在上，，单减， ，即，满足题意. ii）当时，此时在上，，单增， 在上，，单增. ，，即， ，不满足题意. iii）当时， 此时在上，，单增， ，解得，满足题意. 综上所述： 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 3．（21-22高二下·陕西咸阳·阶段练习）已知函数． (1)若恒成立，求的取值范围； (2)当时，设函数，若对任意，存在，使得成立，求的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，分离参数构造函数，利用导数求出函数的最小值即得. （2）求出函数，利用导数探讨单调性确定在上的最大值，再讨论求解即得. 【详解】（1）函数的定义域为，， 令，依题意，在上恒成立， 求导得，当时，，当时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增，， 因此，所以的取值范围为. （2）当时，，求导得， 若对任意，存在，使得成立，即成立， 由，得在上恒成立，即在上为增函数， 于是，因此或在时恒成立， 而在时不恒成立，则在时恒成立， 即或在时恒成立，又在时不恒成立， 从而在时恒成立，即在时恒成立，于是，解得， 所以的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键. 4．（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）已知函数，是的导函数. (1)若，求的单调区间； (2)若存在实数使成立，求的取值范围. 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为 (2) 【分析】（1）求导函数，利用导数研究函数的单调性即可； （2）分类讨论求解函数的最大值，然后利用有解问题转化求解即可. 【详解】（1）， 所以， 令，得，令，得， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）， 则， 当时，恒成立，所以在上单调递减； 所以，所以在上单调递减， 所以，不符合题意； 当时，令得，令得， 所以在单调递减，在单调递增. 当时，，所以在上单调递增，， 所以在上单调递增，所以，符合题意； 当时，，所以在单调递减，在单调递增，，所以， 若，即，则在[0，1]上单调递减， 所以，不符合题意； 若，即，则存在，使， 所以在单调递减，在单调递增， 若存在使成立，则， 解得，所以. 综上：的取值范围为. 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别. 学科网（北京）股份有限公司 $$