专题07 一元函数的导数及其应用（利用导函数研究不等式恒成立问题）（全题型压轴题）-【挑战压轴题】备战2025年高考数学压轴题通法训练·高分必刷系列（新高考版）

专题07 一元函数的导数及其应用 （利用导函数研究不等式恒成立问题） 目录 一、已知函数在区间上单调 1 二、变量分离法 4 三、最值法 9 四、变更主元法 13 五、双变量问题型 15 一、已知函数在区间上单调 1．（23-24高二下·福建宁德·阶段练习）函数 (1)当时，求的单调区间； (2)若在上为单调函数，求的取值范围 【答案】(1)增区间为和，减区间为 (2) 【分析】 （1）先求出函数的导数，解不等式求出单调区间即可；（2）将问题转化为在恒成立，利用二次函数的图象与性质即可求解. 【详解】（1）当时，, 令，得或，所以的增区间为，， 令，得，所以的减区间为 故当时，的增区间为和，减区间为. （2）由题可得，要使在上为单调函数， 则在恒成立， 则，即，解得：, 所以的取值范围为 2．（23-24高二下·四川自贡·期末）已知函数． (1)若的单调递减区间为，求实数的值； (2)若函数在单调递减，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）求出函数的导数，根据的单调递减区间为，可得是的两根，即可求得答案； （2）由函数在单调递减，可得在上恒成立，即可推出在上恒成立，从而求得答案. 【详解】（1）由题意得， 因为的单调递减区间为，即的解集为， 故是的两根，即， 当时，，由，解得， 等号仅在时取得，即的单调递减区间为，符合题意， 故. （2）函数在单调递减，即在上恒成立， 即在上恒成立，此时， 即在上恒成立，而，故, 经验证当时, 即， 等号仅在时取得，此时函数在单调递减，符合题意， 故. 3．（23-24高二·全国·课后作业）已知函数，，． (1)若函数在上单调递减，求实数a的取值范围； (2)若函数存在单调递减区间，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由在上单调递减，得到恒成立，用分离参数法求出实数a的取值范围； （2）由在上存在单调递减区间，得到有解，用分离参数法求出实数a的取值范围． 【详解】（1）因为在上单调递减，所以当时，恒成立， 即恒成立，令， 则，而． 因为，所以．所以（此时），所以． 当时，． 因为，所以，即在上为减函数， 又，所以实数a的取值范围是． （2）因为，，所以． 因为在上存在单调递减区间， 所以当时，有解，即有解． 设，所以只要即可，而，， 所以，此时，所以． 又，所以或． 所以实数a的取值范围为． 4．（23-24高二·全国·单元测试）已知函数（为自然数对数的底数）. （1）当时，求函数的单调区间； （2）若函数在上单调递增，求的取值范围. 【答案】(1)递减区间是和，递增区间是；(2). 【分析】(1)当时，求出函数的导数，再求出导数值大于0及小于0的x取值区间即可得解； (2)求出函数的导数，由给定条件转化成恒成立的不等式即可求解作答. 【详解】(1)当时，，求导得， 解得或，解得， 所以函数的单调递减区间是和，单调递增区间是； (2)依题意，， 因函数在上单调递增，则， 令，，显然在上单调递增，于是得时，，则， 所以的取值范围是. 二、变量分离法 1．（23-24高二下·天津静海·阶段练习）已知， (1)若对于任意的，都有成立，求的取值范围； (2)若存在，使得成立，求的取值范围； (3)若函数，若存在，使得成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）恒成立求参问题，先分参后转换成求具体函数的最值问题即可求出结果. （2）有解问题，解法同恒成立求参问题. （3）恒成立和有解问题统一转化成最值问题解决. 【详解】（1）对于任意的，都有成立， 则恒成立，即恒成立， 又，所以当时，恒成立， 所以在上单调递减，所以， 所以，所以的取值范围为. （2）存在，使得成立， 即，使得成立， 所以有解， 又，所以当时，恒成立， 所以在上单调递减，所以， 所以，所以的取值范围为. （3）存在，使得成立，即，使得，成立， 令， 则， 所以当时，恒成立， 所以在上单调递减，所以， 所以，所以的取值范围为. 【点睛】方法点睛：有解和恒成立求参问题常转化为最值问题处理： （1）恒成立；有解； （2）恒成立；有解. 2．（2024·安徽池州·模拟预测）设函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接根据导数的几何意义即得切线方程； （2）先将不等式变形，将条件转化为对恒成立，再通过导数研究的单调性即知的取值范围. 【详解】（1）当时，， 可得， 所以，， 所以曲线在点处的切线方程为，即． （2）由条件知，即，即，即， 当时，不等式恒成立； 当时，我们有． 所以命题等价于对恒成立， 令，则： ， 而当时，，故， 当时，，故在区间上单调递增； 当时，，故在区间上单调递减， 所以． 综上所述，实数的取值范围为． 3．（23-24高二下·四川内江·阶段练习）已知函数． (1)求的最小值； (2)若对所有都有，求实数的取值范围； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用导数分析函数的单调性，求解最小值即可； （2）对于不等式恒成立求参数的取值范围问题，分离参数转化为利用导数求函数的最小问题即可求解. 【详解】（1）的定义域是，， 令，解得，令，解得， 故在上单调递减，在上单调递增， 故f(x)min＝＝． （2）∵，当时，恒成立， 等价于在时恒成立， 等价于在时恒成立， 令，，则即可；    ∵，∴当时，恒成立， ∴在上单调递增，∴， ∴，即实数的取值范围为． 4．（23-24高二下·广东东莞·阶段练习）已知函数． (1)若，求的单调区间； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数在处取得极值，且对，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析； (3). 【分析】（1）先求出函数的导函数，进而分析导函数的正负区间与单调区间； （2）先求出函数的导函数；再分和两种情况，再每一种情况中借助导数即可解答； （3）先根据函数在处取得极值得出；再将问题“对，恒成立”转化为“对，恒成立”；最后构造函数，并利用导数求出即可解答. 【详解】（1）当时，，， 令可得，故当时，单调递减； 当时，单调递增； 故递减区间为，递增区间为. （2）由可得：函数定义域为，. 当时，，此时函数在定义域上单调递减； 当时，令，解得；令，解得， 此时函数在区间上单调递减，在区间上单调递增. 综上可得：当时，函数在定义域上单调递减； 当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增. （3）因为函数在处取得极值， 所以，即，解得. 此时， 令，解得；令，解得， 所以函数在处取得极值，故. 所以. 因为对，恒成立， 所以对，恒成立. 令，则. 令，解得；令，解得， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，则，解得：. 所以实数b的取值范围为 三、最值法 1．（23-24高二下·广东茂名·期中）设函数. (1)当时，求函数的单调区间. (2)求函数的极值. (3)若时，，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）由或解出，即可得到函数的单调区间； （2）由或判断的单调性，再由极值的概念即可求出函数的极值.； （3）由函数的单调性，等价于，即可解出的取值范围. 【详解】（1）当=1时，，则，令，解得， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）， 当时，在上单调递增，无极值， 当时，由，得，由0得 则在上单调递减，在上单调递增， 则当时，取得极小值，无极大值， 所以当时，函数无极值， 当时，函数有极小值，无极大值； （3）由（2）知当时，在上单调递增，符合题意， 当时，在上单调递增，符合题意， 当时，在上单调递减，在上单调递增， 等价于，得. 综上的取值范围是. 2．（2024·江苏南通·二模）已知函数，，. (1)求函数的单调区间； (2)若且恒成立，求的最小值. 【答案】(1)答案见解析 (2). 【分析】（1）求导后，利用导数与函数单调性的关系，对与分类讨论即可得； （2）结合函数的单调性求出函数的最值，即可得解. 【详解】（1）（）， 当时，由于，所以恒成立，从而在上递增； 当时，，；，， 从而在上递增，在递减； 综上，当时，的单调递增区间为，没有单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）令，要使恒成立， 只要使恒成立，也只要使. ， 由于，，所以恒成立， 当时，，当时，， 所以，解得：， 所以的最小值为. 3．（23-24高二下·北京丰台·阶段练习）已知函数. (1)当时，求函数的零点个数； (2)当时，若对任意都有，求实数的取值范围. 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）求出函数的导数，判断函数单调性，求出函数极值，结合零点存在定理，即可得答案； （2）求出函数的导数，判断函数单调性，分类讨论a的取值范围，结合解不等式，即可求得答案 【详解】（1）当时，，， 当或时，，在上均单调递增， 当时，，在上单调递减， 而，又，即， 故在有一个零点，即在有一个零点， 而在上最小值为，此时无零点， 故函数的零点个数为1； （2）当时，， 当或时，，在上均单调递增， 当时，，在上单调递减， 当时，在上单调递增， 则此时，由题意得 解得，与矛盾，不合题意； 当时，，此时在上单调递增，在上单调递减， 则此时，由题意得， 解得，故， 综合可得实数的取值范围为. 4．（2024·全国·模拟预测）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)若函数的最小值为，不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）求导，即可对进行分类讨论求解导函数的正负求解， （2）将原不等式进行转化，分离参数，从而可构造函数，将问题转化为函数的最值问题进行求解. 【详解】（1）由题知的定义域为，． ①当时，，则，故单调递增． ②当时，， 故在上单调递减，在上单调递增． 综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增． （2）由（1）知，，且，即． 令，则，令，解得， 故在上单调递增，在上单调递减，所以，所以． 由题可得在上恒成立． 令， 则， 令，则，可得在上单调递减， 又， 故存在，使得，即， 因此在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减． 易知， 由于，故， 因此，故，即的取值范围为． 四、变更主元法 1．（2024高三·全国·专题练习）已知二次函数（，为实数） (1)若函数图象过点，对，恒成立，求实数的取值范围； (2)若函数图象过点，对，恒成立，求实数的取值范围； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知可得，由，恒成立列出不等式求解即得. （2）由对恒成立，结合一次函数的性质求出答案即可. 【详解】（1）依题意，，即， 由，恒成立，得， 即，整理得， 解得. 所以实数的取值范围是. （2）由（1）知，， 由，得，即， 依题意，对恒成立， 令， 则对，恒成立，于是， 解得， 所以实数的取值范围是． 2．（23-24高一上·辽宁沈阳·期中）已知 (1)在上恒成立，求x的范围． 【答案】(1)或； 【分析】（1）根据在上恒成立，令，由则求解； 【详解】（1）解：在上恒成立， 令， 则，即，即， 因为， 所以不等式的解为或， 所以x的范围是或； 3．（23-24高一上·四川绵阳·阶段练习）已知函数. (1)，不等式恒成立，求实数的范围； 【答案】(1) 【分析】（1）变换为关于的一次函数，结合一次函数在恒成立，求解即可. 【详解】（1） 因为，不等式恒成立 所以，则有：，得 4．（2023高一·上海·专题练习）已知 (1)在上恒成立，求的范围． 【答案】(1)或． 【分析】（1）利用更换主元法及一元一次不等式恒成立的解决办法即可求解； 【详解】（1）在上恒成立， 令, 所以，即，解得或． 故的范围为或． 五、双变量问题型 1．（23-24高三上·云南曲靖·阶段练习）已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)（），若对任意，均存在，使得，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出导函数，由得到切线斜率，再根据切点坐标即可得到切线方程； （2）转化问题为，结合二次函数性质可求得的最大值，构造，由的导函数判断的单调性，利用端点值和极值判断的正负，进而判断的单调性，求得，即可求解. 【详解】（1）由题意， 则，即切线的斜率， 且，即切点坐标为， 所以曲线在处的切线方程为，即. （2）由题意可知：， 因为的图象开口向上，对称轴为直线， 则在上单调递减，可得， 由（1）可设，则， 所以， 当时，；当时，， 则在区间上单调递减，在区间上单调递增. 且， 可知在区间上只有一个零点，设为， 当时，；当时，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 且，可得当时，， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 2．（23-24高三上·福建莆田·期中）已知函数． (1)当时，求函数的最小值； (2)若，且对，都，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用导数研究单调性，注意构造中间函数判断的符号； （2）构造研究其单调性证在上恒成立，再应用导数研究在上的最大值，结合已知恒能成立有即可求范围. 【详解】（1）因为函数，所以． 设，则，故在上递减． ，即， 在上单调递减，最小值为． （2）令，则在上恒成立， 即函数在上单调递减，所以， 所以，即在上恒成立； 又，当时， 在区间上单调递增； 在区间上单调递减． 函数在区间上的最大值为． 综上，只需，解得，即实数的取值范围是． 3．（2023高三·全国·专题练习）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)设．当时，若对，，使，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）求导根据极值点的大小关系可得导函数正负区间，进而可得函数单调性； （2）由（1）在上的最小值为，再将题意转化为在上的最小值不大于在上的最小值，进而结合二次函数的最值讨论即可. 【详解】（1）∵，∴， 令，可得两根分别为1，， ∵，∴ 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减． （2），，由（1）知， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， ∴在上的最小值为． 对，，使，即 在上的最小值不大于在上的最小值，（*） 又， ∴①当时，，此时与（*）矛盾； ②当时，，同样与（*）矛盾； ③当时，，且当时，， 解不等式，可得， ∴实数b的取值范围为． 4．（23-24高二下·重庆綦江·期中）已知函数（），（）． (1)若函数在处的切线方程为，求实数与的值； (2)当时，若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】 （1）求导，由导函数几何意义得到方程，求出，从而得到，代入切线中，求出答案； （2）转化为时，，求导得到的单调性，求出，再分三种情况求出，得到不等式，求出的取值范围. 【详解】（1），由得， ∴，， 即切点为，代入方程得， 所以，； （2）由题意可得时，． ∵时，在恒成立， 故在为增函数， ∴， ． ①当时， 在区间上递增，所以， 由解得，舍去； ②当时，在上单调递减，在上单调递增， 故， 故，解得或， ∴； ③当时，在区间上递减，所以， 由解得，∴. 综上，. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 一元函数的导数及其应用 （利用导函数研究不等式恒成立问题） 目录 一、已知函数在区间上单调 1 二、变量分离法 2 三、最值法 4 四、变更主元法 5 五、双变量问题型 6 一、已知函数在区间上单调 1．（23-24高二下·福建宁德·阶段练习）函数 (1)当时，求的单调区间； (2)若在上为单调函数，求的取值范围 2．（23-24高二下·四川自贡·期末）已知函数． (1)若的单调递减区间为，求实数的值； (2)若函数在单调递减，求实数的取值范围． 3．（23-24高二·全国·课后作业）已知函数，，． (1)若函数在上单调递减，求实数a的取值范围； (2)若函数存在单调递减区间，求实数a的取值范围． 4．（23-24高二·全国·单元测试）已知函数（为自然数对数的底数）. （1）当时，求函数的单调区间； （2）若函数在上单调递增，求的取值范围. 二、变量分离法 1．（23-24高二下·天津静海·阶段练习）已知， (1)若对于任意的，都有成立，求的取值范围； (2)若存在，使得成立，求的取值范围； (3)若函数，若存在，使得成立，求的取值范围. 2．（2024·安徽池州·模拟预测）设函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，若恒成立，求实数的取值范围． 3．（23-24高二下·四川内江·阶段练习）已知函数． (1)求的最小值； (2)若对所有都有，求实数的取值范围； 4．（23-24高二下·广东东莞·阶段练习）已知函数． (1)若，求的单调区间； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数在处取得极值，且对，恒成立，求实数的取值范围． 三、最值法 1．（23-24高二下·广东茂名·期中）设函数. (1)当时，求函数的单调区间. (2)求函数的极值. (3)若时，，求的取值范围. 2．（2024·江苏南通·二模）已知函数，，. (1)求函数的单调区间； (2)若且恒成立，求的最小值. 3．（23-24高二下·北京丰台·阶段练习）已知函数. (1)当时，求函数的零点个数； (2)当时，若对任意都有，求实数的取值范围. 4．（2024·全国·模拟预测）已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)若函数的最小值为，不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 四、变更主元法 1．（2024高三·全国·专题练习）已知二次函数（，为实数） (1)若函数图象过点，对，恒成立，求实数的取值范围； (2)若函数图象过点，对，恒成立，求实数的取值范围； 2．（23-24高一上·辽宁沈阳·期中）已知 (1)在上恒成立，求x的范围． 3．（23-24高一上·四川绵阳·阶段练习）已知函数. (1)，不等式恒成立，求实数的范围； 4．（2023高一·上海·专题练习）已知 (1)在上恒成立，求的范围． 五、双变量问题型 1．（23-24高三上·云南曲靖·阶段练习）已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)（），若对任意，均存在，使得，求实数a的取值范围． 2．（23-24高三上·福建莆田·期中）已知函数． (1)当时，求函数的最小值； (2)若，且对，都，使得成立，求实数的取值范围． 3．（2023高三·全国·专题练习）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)设．当时，若对，，使，求实数的取值范围． 4．（23-24高二下·重庆綦江·期中）已知函数（），（）． (1)若函数在处的切线方程为，求实数与的值； (2)当时，若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$