专题06 一元函数的导数及其应用（利用导函数研究单调性（含参）问题）（解答题）-【挑战压轴题】备战2025年高考数学压轴题通法训练·高分必刷系列（新高考版）

专题06 一元函数的导数及其应用 （利用导函数研究单调性（含参）问题）（解答题） 目录 一、导函数有效部分为一次型 1 二、导函数有效部分为类一次型 2 三、导函数有效部分为可因式分解的二次型 3 角度1：最高项系数含参 3 角度2：最高项系数不含参 4 四、导函数有效部分为可因式分解的类二次型 5 五、导函数有效部分为不可因式分解的二次型 6 一、导函数有效部分为一次型 1．（23-24高三下·江西鹰潭·阶段练习）已知函数，. (1)讨论的单调性； 2．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数． (1)讨论函数的单调性； 3．（2024·重庆·模拟预测）已知函数 (1)讨论函数的单调性； 4．（23-24高二下·河北邢台·阶段练习）已知为函数的导函数． (1)讨论的单调性； 二、导函数有效部分为类一次型 1．（2023高二·全国·专题练习）已知函数.讨论的单调性. 2．（22-23高二下·全国·课时练习）已知函数，讨论函数的单调性. 3．（2021·宁夏银川·一模）已知函数． （1）求函数的单调区间； 4．（23-24高二下·湖南长沙·阶段练习）已知函数． (1)讨论的单调性； 5．（23-24高二下·山东菏泽·阶段练习）已知函数，（）． (1)讨论的单调性； 三、导函数有效部分为可因式分解的二次型 角度1：最高项系数含参 1．（23-24高二下·安徽合肥·阶段练习）设函数． (1)当时，讨论函数的单调性； 2．（23-24高二下·天津静海·阶段练习）已知函数，. (1)若，求的最大值； (2)若函数，当时，讨论的单调性. 3．（2024·河南郑州·二模）已知函数. (1)若是函数的极值点，求a的值； (2)求函数的单调区间. 4．（23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）讨论函数的单调性 角度2：最高项系数不含参 1．（23-24高二下·四川成都·阶段练习）已知函数． (1)当时，求的在上的最大值和最小值； (2)讨论的单调性． 2．（2024·河南·模拟预测）已知函数. (1)讨论函数的单调性； 3．（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）已知函数. (1)求函数的单调区间； 4．（23-24高二下·北京·阶段练习）已知函数，. (1)当时，试判断函数是否存在零点，并说明理由； (2)求函数的单调区间. 四、导函数有效部分为可因式分解的类二次型 1．（2024·陕西西安·二模）设函数. (1)当时，讨论的单调性； 2．（2024高三·全国·专题练习）已知，讨论函数的单调性. 3．（2022·全国·模拟预测）已知函数，. (1)若（其中为的导函数），讨论的单调性； 4．（23-24高三下·云南昆明·阶段练习）已知，其中为自然对数底数． (1)讨论的单调性； 五、导函数有效部分为不可因式分解的二次型 1．（2024·山东青岛·一模）已知函数． (1)若，曲线在点处的切线斜率为1，求该切线的方程； (2)讨论的单调性． 2．（23-24高二下·安徽淮北·阶段练习）已知函数. (1)若，求函数的极值； (2)讨论函数的单调性. 3．（2024高三·全国·专题练习）已知，讨论的单调性. 4．（2024高三·全国·专题练习）设函数（），讨论的单调性. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 一元函数的导数及其应用 （利用导函数研究单调性（含参）问题）（解答题） 目录 一、导函数有效部分为一次型 1 二、导函数有效部分为类一次型 3 三、导函数有效部分为可因式分解的二次型 5 角度1：最高项系数含参 5 角度2：最高项系数不含参 8 四、导函数有效部分为可因式分解的类二次型 12 五、导函数有效部分为不可因式分解的二次型 15 一、导函数有效部分为一次型 1．（23-24高三下·江西鹰潭·阶段练习）已知函数，. (1)讨论的单调性； 【答案】(1)答案见解析 【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，再分和两种情况讨论，分别得出函数的单调性； 【详解】（1）函数的定义域为， 又， 当时，，则在上单调递减 当时，令，解得， 当时，，则在上单调递增 当时，，则在上单调递减 综上：当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减； 2．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数． (1)讨论函数的单调性； 【答案】(1)答案见详解 【分析】（1）求出导函数，分类讨论的正负确定和的解，得单调性； 【详解】（1）由，， 当时，，即函数在上单调递减， 当时，有，，，，即在上单调递减，在上单调递增， 综上，当时，函数在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 3．（2024·重庆·模拟预测）已知函数 (1)讨论函数的单调性； 【答案】(1)答案见解析 【分析】（1）根据题意，求导可得，然后分与讨论，即可得到结果； 【详解】（1）依题意，， 当时，， 当时，由得，由得， 即当时函数在是减函数； 当时在是减函数，在是增函数； 4．（23-24高二下·河北邢台·阶段练习）已知为函数的导函数． (1)讨论的单调性； 【答案】(1)答案见解析 【分析】（1）对求导后，令，对求导，结合找到临界点对分类讨论即可求解； 【详解】（1）， 令，则， 若，则，从而，所以即在定义域内单调递增， 若，则当时，，即单调递减， 当时，，即单调递增， 综上所述，若，在定义域内是增函数，若，在上是减函数，在上是增函数. 二、导函数有效部分为类一次型 1．（2023高二·全国·专题练习）已知函数.讨论的单调性. 【答案】答案见解析 【分析】求导，分和两种情况，利用导数判断原函数单调性. 【详解】由题意可得：函数的定义域为，， （i）当时，恒成立，在上单调递增； （ⅱ）当时，令，解得， 故当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 2．（22-23高二下·全国·课时练习）已知函数，讨论函数的单调性. 【答案】答案见解析 【分析】由题意可得，按和的取值分类讨论的正负即可得到的单调性； 【详解】由题意，令，得， 当时， 若，则，所以， 若，则，，所以； 当时， 若，则，所以， 若，则，，所以； 综上，在单调递减，在单调递增. 3．（2021·宁夏银川·一模）已知函数． （1）求函数的单调区间； 【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析． 【分析】（1）求导后，对分类讨论，根据导数的符号可得结果； 【详解】（1）， 当时，在R上单调递减； 当时，令，可得，令，可得， 所以在上单调递减，在上单调递增． 综上所述：当时，的增区间为； 当时，的增区间为，减区间为. 4．（23-24高二下·湖南长沙·阶段练习）已知函数． (1)讨论的单调性； 【答案】(1)答案见解析； 【详解】（1）函数， 当时，则在上单调递增； 当时，令，得． 当时，，单调递减， 当时，，单调递增； 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在内单调递减，在单调递增． 5．（23-24高二下·山东菏泽·阶段练习）已知函数，（）． (1)讨论的单调性； 【答案】(1)答案见解析； 【详解】（1）， 分当时，恒成立，在上单调递减． 当时，令，得；令，得 在上单调递增，在上单调递减． 综上所述：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减． 三、导函数有效部分为可因式分解的二次型 角度1：最高项系数含参 1．（23-24高二下·安徽合肥·阶段练习）设函数． (1)当时，讨论函数的单调性； 【答案】(1)答案见解析； 【分析】（1）求导，分类讨论函数的单调性； （2）由（1）可知函数的单调性，可求函数的最小值，从而得证. 【详解】（1）由题知，函数的定义域为， 所以求导得， 若， 由得或，由得， 所以函数在，和上单调递增，在上单调递减， 若，恒有，当且仅当时取等号，因此函数在上单调递增， 若， 由得或，由得， 所以函数在，上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数在，上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在，上单调递增，在上单调递减． 2．（23-24高二下·天津静海·阶段练习）已知函数，. (1)若，求的最大值； (2)若函数，当时，讨论的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）先求出的导函数，分析导函数正负从而得出函数的单调性，由函数单调性可得出函数的最大值. （2）讨论带参函数的单调性，分类讨论导数正负情况即可. 【详解】（1）当时，，， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以的最大值为； （2）由已知得，， . ， 当时，，所以当时，单调递增； 当时， ， 所以当与时，，单调递增， 当时，，单调递减； 当时， ， 因而当与时，，单调递增， 当时，，单调递减. 所以，当时，在与上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在与上单调递增，在上单调递减. 3．（2024·河南郑州·二模）已知函数. (1)若是函数的极值点，求a的值； (2)求函数的单调区间. 【答案】(1)1 (2)见解析 【分析】（1）由是函数的极值点，，求解验证即可； （2）利用导函数求解函数的单调区间即可. 【详解】（1）函数定义域为，， 因为是函数的极值点， 所以，解得或， 因为，所以.此时， 令得，令得， ∴在单调递减，在单调递增，所以是函数的极小值点. 所以. （2）. 因为，所以，令得；令得； ∴所以时，函数的增区间为, 时函数的单调减区间为，单调增区间为. 4．（23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）讨论函数的单调性 【答案】见解析. 【分析】 对求导后按照两根的大小及函数定义域分类讨论，由此即可得解. 【详解】 ， 令得， 当即时，当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减； 当，即时， 当时，；当或时，， 所以在上单调递增，在上单调递减； 当即时，在上恒成立， 所以在上单调递减； 当，即时， 当时，；当或时，， 所以在上单调递增，在上单调递减； 综上，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 角度2：最高项系数不含参 1．（23-24高二下·四川成都·阶段练习）已知函数． (1)当时，求的在上的最大值和最小值； (2)讨论的单调性． 【答案】(1)最大值为9，最小值为 (2)答案见解析 【分析】（1）求导可得，令即可得出单调区间，进而求出最大、小值； （2）求导可得，分类讨论当、、时函数对应的单调性，即可求解. 【详解】（1）当时，，则， 令或， 所以在上单调递减，在上单调递增， 且， 所以在上的最大值为9，最小值为. （2），则， 令，解得或， 当即时， ， 所以在上单调递减，在上单调递增； 当即时，，在R上单调递增； 当即时， ， 所以在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在R上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 2．（2024·河南·模拟预测）已知函数. (1)讨论函数的单调性； 【答案】(1)答案见解析 【分析】（1）求出导函数，然后根据和分类讨论，解导函数不等式即可求得单调区间； （2）根据（1）的结论知，令得，结合对数运算累加法即可证明. 【详解】（1）的定义域为. ， ①当时，在上单调递增； ②当时，时，在上是增函数． 时，在上是减函数， 时，是增函数. 3．（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）已知函数. (1)求函数的单调区间； 【答案】(1)答案见解析 【分析】（1）根据题意，求得，分类讨论，即可求解函数的单调区间； 【详解】（1）由函数， 可得， ①若，当时，，单调递增； 当时，，单调递减； ②若时，可得，所以在上递增，无递减区间； ③若，当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； ④若，当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以，①当时，增区间为，减区间为； ②当时，增区间为，无减区间； ③当时，增区间为，减区间为； ④当时，增区间为，减区间为. 4．（23-24高二下·北京·阶段练习）已知函数，. (1)当时，试判断函数是否存在零点，并说明理由； (2)求函数的单调区间. 【答案】(1)不存在零点，理由见解析 (2)答案见解析 【分析】 （1）利用导数说明函数的单调性，求出函数的最小值，即可得到恒成立，即可判断； （2）求出函数的导函数，再分、、、四种情况讨论，分别求出函数的单调性. 【详解】（1）当时，， 则， 所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以 ， 所以恒成立，则不存在零点. （2）函数，， 则， ①当时可知当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增； ②当，即时， 可知当时，当或时， 所以在上单调递减，在，上单调递增； ③当，即时，恒成立， 所以在上单调递增； ④当，即时， 可知当时，当或时， 所以在上单调递减，在，上单调递增； 综上可得：当时的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时的单调递减区间为，单调递增区间为，； 当时的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时的单调递减区间为，单调递增区间为，. 四、导函数有效部分为可因式分解的类二次型 1．（2024·陕西西安·二模）设函数. (1)当时，讨论的单调性； 【答案】(1)答案见解析 【分析】（1）借助导数对、及分类讨论即可得； 【详解】（1）的定义域为， ， ①当时，，由，得， 由，得， 当时，的在区间上单调递增，在区间上单调递减， ②当时，，， 当时，，的区间上单调递减， ③当时，由，得或，且. 当变化时，的变化情况如下表： 递减 递增 递减 综上所述，当时，的在区间上单调递增，在区间上单调递减； 当时，在区间上的单调递减； 当时，在区间上的单调递增， 在区间和上单调递减区间； 2．（2024高三·全国·专题练习）已知，讨论函数的单调性. 【答案】答案见解析 【分析】 求出函数的导数，对分类讨论，由导数的正负求出函数的单调区间. 【详解】由题意知，函数的定义域为，且 ①当时，因为，所以，所以. 所以当时，，单调递减；当时，，单调递增. ②当时，由，解得；由，解得或. 所以在上单调递减，在，上单调递增. ③当时，（当且仅当时，取等号）恒成立，所以在上单调递增. ④当时，由，解得；由，解得或. 所以在上单调递减，在，上单调递增. 综上，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在，上单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在，上单调递增. 3．（2022·全国·模拟预测）已知函数，. (1)若（其中为的导函数），讨论的单调性； 【答案】(1)答案见解析 【分析】（1）求出的导数，通过讨论的范围，求出的单调区间； 【详解】（1）， 则， 当时，由得，得， ∴在上单调递减，在上单调递增. 当时，，∴在上单调递增， 当时，令，得或； 令，得， ∴在上单调递减，在和上单调递增， 当时，令，得或； 令，得， ∴在上单调递减，在和上单调递增. 4．（23-24高三下·云南昆明·阶段练习）已知，其中为自然对数底数． (1)讨论的单调性； 【答案】(1)答案见解析 【分析】（1）求出函数的导函数得到，再分、、三种情况讨论，分别求出函数的单调区间； 【详解】（1）函数的定义域为， 又， 令，解得或． ①当时，，则当或时，当时， 所以在和上单调递增，在上单调递减； ②当时，，则恒成立，所以在上单调递增； ③当时，， 则当或时，当时， 所以在和上单调递增，在上单调递减． 综上可得：当时在和上单调递增，在上单调递减； 当时在上单调递增； 当时在和上单调递增，在上单调递减． 五、导函数有效部分为不可因式分解的二次型 1．（2024·山东青岛·一模）已知函数． (1)若，曲线在点处的切线斜率为1，求该切线的方程； (2)讨论的单调性． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）求导，根据可得，即可利用点斜式求解， （2）求导，结合分类讨论求解导函数的正负，结合二次方程根的情况，即可求解. 【详解】（1）当时，，解得 又因为，所以切线方程为：，即 （2）的定义域为， 当时，得恒成立，在单调递增 当时，令， （i）当即时， 恒成立，在单调递增 （ii）当即时， 由得，或， 由得， 所以在，单调递增， 在单调递减 综上：当时，在单调递增； 当时，在，单调递增； 在单调递减 2．（23-24高二下·安徽淮北·阶段练习）已知函数. (1)若，求函数的极值； (2)讨论函数的单调性. 【答案】(1)极大值0 (2)答案见解析 【分析】（1）利用导数分析单调性，求出极值即可； （2）含参数的单调性讨论，求导后分与零的大小求出导函数为零的根，再求单调区间，讨论单调性即可. 【详解】（1）当时，， 则， 令，解得（舍），， 所以当时，，为单调递增函数； 当时，，为单调递减函数； 所以当时为极大值，. （2）， ①当时，，恒大于零， 所以在上为单调递增函数； ②当时，导数分子恒大于零， 所以在上为单调递增函数； ③当时，导数分子为零时的两个根， 因为， 所以单增区间为，单减区间为 . 综上，当时，在上为单调递增函数； 当时，在为单调递增函数；在为单调递减函数. 3．（2024高三·全国·专题练习）已知，讨论的单调性. 【答案】当时，在R上单调递增；当或时，在，上单调递增，在上单调递减． 【分析】 通过求出函数的导数，对其导数进行正负判断，进而求出单调区间. 【详解】 由题得，令得， ①若，即当时，恒成立，在R上单调递增； ②若，即当或时，可得的两根分别为，， 当时，，当时，， 所以在，上单调递增，在上单调递减． 综上，当时，在R上单增； 当或时，在，上单调递增，在上单调递减． 4．（2024高三·全国·专题练习）设函数（），讨论的单调性. 【答案】答案见解析 【分析】 分类讨论的不同取值，利用导函数的符号判断单调性即可. 【详解】 由题意可得的定义域为，， 设，令，， ①当时，，此时恒成立，在上单调递增； ②当时，，设的两根为， 由，可知的两根都小于0， 所以在上大于0，所以在上单调递增； ③当时，，由，解得，， 由，可知的两根都大于0， 所以当时，，，在，上单调递增， 当时，，，在上单调递减. 综述所述：当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减. 学科网（北京）股份有限公司 $$