专题05 一元函数的导数及其应用（利用导函数研究不等式问题）（选填压轴题）-【挑战压轴题】备战2025年高考数学压轴题通法训练·高分必刷系列（新高考版）

专题05一元函数的导数及其应用 （利用导函数研究不等式问题）（选填压轴题） 目录 一、构造或(，且)型 1 二、构造或(，且)型 2 三、构造或型 3 四、构造或型 4 五、根据不等式（求解目标）构造具体函数 5 一、构造或(，且)型 1．（23-24高二下·四川广安·阶段练习）已知函数是定义在的奇函数，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·湖南长沙·阶段练习）已知函数为定义在上的偶函数，当时，，则下列四个判断正确的为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知函数的定义域为，，其导函数满足，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．（2024高二下·全国·专题练习）已知是定义在非零实数集上的函数，为其导函数，且当时，．记，，，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·广东肇庆·阶段练习）已知偶函数的定义域是，其导函数为，对任意，都有成立，则不等式的解集为 . 6．（23-24高二下·山东济宁·阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，当时，，且，则不等式的解集是 ． 7．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知是定义域为的偶函数，且，当时，，则使得成立的的取值范围是 . 二、构造或(，且)型 1．（23-24高二下·四川宜宾·阶段练习）已知函数的定义域为，对任意，有，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知函数的定义域为，对任意，有，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·江苏宿迁·期末）函数是定义在上的奇函数，对任意实数恒有，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·江苏扬州·期末）已知定义在上的可导函数，其导函数为，若，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·陕西咸阳·阶段练习）对上可导的函数，若满足，且，则的解集是 ． 6．（23-24高三上·山东菏泽·阶段练习）若定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为 三、构造或型 1．（23-24高二下·重庆·阶段练习）函数是定义在上的奇函数，其导函数为，且，当时，，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知函数的定义域为，其导函数是.若对任意的有，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三上·广东·阶段练习）已知函数及其导函数的定义域均为，且为偶函数，，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24·山东潍坊·模拟预测）设奇函数定义在上，其导函数为，且，当时，，则关于的不等式的解集为 ． 5．（23-24高二下·云南保山·期中）已知是定义在上的奇函数，其导函数为，，且当时，，则不等式的解集为 ． 6．（23-24·山东·模拟预测）定义在上的可导函数的值域为，满足，若，则的最小值为 . 四、构造或型 1．（23-24高三上·浙江杭州·期末）已知定义在上的函数满足，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·宁夏石嘴山·期末）定义在上的函数，是它的导函数，且恒有成立．则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24·全国·模拟预测）已知定义在上的函数满足，当时，不等式恒成立（为的导函数），若，，，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·江苏·阶段练习）已知函数的定义域为，其导函数是．有，则关于的不等式的解集为 ． 5．（23-24高二下·重庆·期末）偶函数定义域为，其导函数为，若对，有成立，则关于的不等式的解集为 ． 6．（2024·四川成都·模拟预测）已知函数的定义域为，其导函数是.有，则关于的不等式的解集为 . 五、根据不等式（求解目标）构造具体函数 1．（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）设，，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·广东惠州·阶段练习）已知是自然对数的底数，设，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·辽宁·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，也是定义在上的奇函数，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·贵州毕节·模拟预测）定义在上的可导函数满足，若，则的取值范围为 ． 5．（2024·陕西西安·模拟预测）定义在上的函数的导函数为，且有，且对任意都有，则使得成立的的取值范围是 . 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05一元函数的导数及其应用 （利用导函数研究不等式问题）（选填压轴题） 目录 一、构造或(，且)型 1 二、构造或(，且)型 5 三、构造或型 8 四、构造或型 14 五、根据不等式（求解目标）构造具体函数 19 一、构造或(，且)型 1．（23-24高二下·四川广安·阶段练习）已知函数是定义在的奇函数，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令 ，由题意可得 为定义域上的偶函数，且在 上单调递增，在 上单调递减；分 与 两类讨论，将不等式 等价转化为 与 ，分别解之即可． 【详解】令 ， 当 时， ， 当 时， ， 在 上单调递减； 又 为 的奇函数， ，即 为偶函数， 在 上单调递增； 又由不等式 得 ， 当 ，即 时，不等式可化为 ，即 ， 由 在 上单调递减得 ，解得 ，故 ； 当，即 时，不等式可化为 ，即 ， 由 在 上单调递增得 ，解得 ，故 ； 综上所述，不等式 的解集为： ． 故选：D． 2．（23-24高二下·湖南长沙·阶段练习）已知函数为定义在上的偶函数，当时，，则下列四个判断正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由结构特征可知是函数的导数简单变形得到的，故构造函数并得到函数的单调性，再结合函数奇偶性即可判断选项中各函数值大小. 【详解】令，则在恒成立，所以在单调递增，所以，即， 又因为函数为定义在上的偶函数，所以，即， 故选：D. 3．（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知函数的定义域为，，其导函数满足，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 构造函数，判定其单调性计算即可. 【详解】根据题意可令， 所以在上单调递减， 则原不等式等价于， 由， 解之得. 故选：B 4．（2024高二下·全国·专题练习）已知是定义在非零实数集上的函数，为其导函数，且当时，．记，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，得，结合条件推出的正负，得到的单调性，然后判断、 、大小关系，即可得出答案. 【详解】令，得． ∵当时，， ∴当时，，故在上单调递减． 又，，， ∴， ∴，故． 故选：C． 5．（23-24高二下·广东肇庆·阶段练习）已知偶函数的定义域是，其导函数为，对任意，都有成立，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】根据不等式构造函数，利用导数判断函数为增函数，将不等式化为（2），利用单调性即可求解. 【详解】当时，由， 得，即. 令，则在上也为偶函数， 且当时，总成立，在上是增函数. 不等式可化为， 则，又，解得. 故答案为： 6．（23-24高二下·山东济宁·阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，当时，，且，则不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】构造函数，通过所给的性质，计算出的相应性质，即可将问题转化为与有关问题，结合函数的单调性与奇偶性计算即可得. 【详解】令，则， 由当时，，即， 故当时，，即在上单调递增， ，故为奇函数， 故在上也单调递增， 由，则，， 不等式可化为， 即当时，，当时，， 即当时，，当时，， 结合单调性，即有或. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于构造出函数，通过所给的性质，计算出的相应性质，再结合函数单调性于奇偶性计算即可得解. 7．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知是定义域为的偶函数，且，当时，，则使得成立的的取值范围是 . 【答案】 【分析】构造，由已知条件结合导数研究其单调性，利用奇偶性定义判断的奇偶性，再将不等式化为求解集. 【详解】令且，则， 又当时，，所以当时，，所以在上递增， 由为偶函数，则，故为奇函数， 所以在上递增，且，作出函数g(x)的示意图： 又等价于，等价于或，等价于或， 所以或，故. 故答案为：. 二、构造或(，且)型 1．（23-24高二下·四川宜宾·阶段练习）已知函数的定义域为，对任意，有，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意令，利用导数说明函数的单调性，则不等式可化为，即，根据单调性转化为自变量的不等式，解得即可. 【详解】令，则， 所以在上单调递增， 不等式，即，即， 所以，解得，所以不等式的解集是. 故选：C 2．（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知函数的定义域为，对任意，有，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依据题意，合理构造函数，利用导数解不等式即可. 【详解】令，故，故在上单调递增， 若，则， 故解即可，由题意得解即可，解得， 故不等式的解集是，即A正确. 故选：A 3．（23-24高二上·江苏宿迁·期末）函数是定义在上的奇函数，对任意实数恒有，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先构造函数， 根据导数判断函数的单调性，再结合选项，依次判断. 【详解】设，则， 由条件可知，，所以，则函数在上单调递增， 因为函数是定义在上的奇函数，则，即，故A错误； 由函数的单调性可知，，得，故B正确； 由，得，故C错误； 由，得，故D错误. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键是构造函数，从而可以根据函数的单调性，判断选项. 4．（23-24高二上·江苏扬州·期末）已知定义在上的可导函数，其导函数为，若，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，利用导数分析函数的单调性，将所求不等式变形为，结合函数的单调性可得出原不等式的解集. 【详解】构造函数，该函数的定义域为， 则， 所以，函数在上为增函数，且， 由可得，即，解得. 所以，不等式的解集为. 故选：A. 5．（23-24高二下·陕西咸阳·阶段练习）对上可导的函数，若满足，且，则的解集是 ． 【答案】 【分析】依据题意构造函数，用导数判断函数的单调性，再解不等式即可. 【详解】令，，而， 易知，故，则在上单调递增， 而，若，则，则. 故答案为： 6．（23-24高三上·山东菏泽·阶段练习）若定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为 【答案】 【分析】构造，利用导数得在上单调递增，把转化为，利用单调性解不等式即可. 【详解】构造， 所以， 所以在上单调递增，且， 不等式可化为，即，所以， 所以原不等式的解集为. 故答案为： 三、构造或型 1．（23-24高二下·重庆·阶段练习）函数是定义在上的奇函数，其导函数为，且，当时，，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，判断函数的奇偶性，再利用导数求出函数的单调区间，进而可得出函数的符号分布情况，即可得解. 【详解】令， 则， 所以函数在上单调递减， 因为函数是定义在上的奇函数，所以， 则， 所以函数为偶函数， 又，所以， 则当或时，， 当或时，， 由， 得或， 解得或， 所以关于的不等式的解集为. 故选：A. 2．（23-24高三上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知函数的定义域为，其导函数是.若对任意的有，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数探讨函数的单调性，再利用单调性求解不等式即得. 【详解】令函数，，求导得， 因此函数在上单调递减，不等式， 即，解得， 所以原不等式的解集为. 故选：B 3．（23-24高三上·广东·阶段练习）已知函数及其导函数的定义域均为，且为偶函数，，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构建，求导，利用导数判断原函数单调性，结合单调性解不等式. 【详解】令，则， 因为，则，且， 可知，且仅当时，则在上单调递增， 又因为为偶函数，， 可得 令，可得， 注意到， 不等式，等价于， 可得，解得， 所以不等式的解集为. 故选：D. 【点睛】关键点睛：构建函数，利用单调性解不等式，利用诱导公式可得，等价于，即可得结果. 4．（23-24·山东潍坊·模拟预测）设奇函数定义在上，其导函数为，且，当时，，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据题意构造函数，求导，由是奇函数，判断奇偶性，判断单调性，进而解不等式. 【详解】根据题意构造函数，则 由是奇函数，则, 所以是偶函数， 由时，， 所以当，，当时，， 故在单调递增，在单调递减， 又，所以, 所以当时，转化为,所以， 当时，转化为，所以， 故答案为： 5．（23-24高二下·云南保山·期中）已知是定义在上的奇函数，其导函数为，，且当时，，则不等式的解集为 ． 【答案】． 【分析】 由时，，可构造函数，判断其单调性，即可求得时，即的解集，再利用函数单调性和奇偶性，结合时，，即，可解得此时解集，综合可得答案. 【详解】由题意知当时，，， 故令，则， 即在上单调递增，且， 故由可解得， 即当时，，则即； 此时的解集为； 当时，，则即， 因为是定义在上的奇函数， 故为上的偶函数， 则在上单调递减，且， 故由可解得， 当时，无意义， 综合可得不等式的解集为， 故答案为： 【点睛】 方法点睛：本题是关于函数的奇偶性以及单调性综合型题目，解答时要根据已知时，，根据其结构特征构造函数，并由此判断其单调性，再根据函数奇偶性，结合不等式变形，即可求解. 6．（23-24·山东·模拟预测）定义在上的可导函数的值域为，满足，若，则的最小值为 . 【答案】 【分析】化简条件式得，构造函数及，判断其单调性即可. 【详解】∵，∴，则化简得：， 令，则， 即， 令，则，故在上单调递增， 则， 故答案为： 四、构造或型 1．（23-24高三上·浙江杭州·期末）已知定义在上的函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，，求导得到其单调性，从而得到，化简后得到答案. 【详解】令，， 故恒成立， 故在上单调递增， 故，即. 故选：B 2．（23-24高二上·宁夏石嘴山·期末）定义在上的函数，是它的导函数，且恒有成立．则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据条件构造函数，求函数的导数，利用函数的单调性，一一判断各选项，即得到结论． 【详解】 当， 则不等式等价为， 即， 设，， 则， 即函数在上单调递增， 则，，，， 即，， ，， 则，故A正确； ，得不出，故B错误． ，故C错误． ，故D错误． 故选：A． 3．（23-24·全国·模拟预测）已知定义在上的函数满足，当时，不等式恒成立（为的导函数），若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，分析函数的奇偶性及其在上的单调性，可得出，，，结合函数在上的单调性可得出、、的大小关系. 【详解】由题意得函数为偶函数，构造函数， 所以， 易知当时，，所以函数在上单调递减． 因为，则， 由，则， 且， 因为函数在上单调递减，且， 所以，即， 故选：C． 4．（23-24高二下·江苏·阶段练习）已知函数的定义域为，其导函数是．有，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】令，根据题设条件，求得，得到函数在内的单调递减函数，再把不等式化为，结合单调性和定义域，即可求解. 【详解】由题意，函数满足， 令，则 函数是定义域内的单调递减函数， 由于，关于的不等式可化为， 即，所以且，解得， 不等式的解集为. 故答案为： 【点睛】方法点睛：构造法求解与共存问题的求解策略： 对于不给出具体函数的解析式，只给出函数和满足的条件，需要根据题设条件构造抽象函数，再根据条件得出构造函数的单调性，应用单调性解决问题，常见类型：（1）型；（2）型；（3）为常数型. 5．（23-24高二下·重庆·期末）偶函数定义域为，其导函数为，若对，有成立，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】令，，依题意可得为偶函数且在上单调递减，根据函数的奇偶性与单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可. 【详解】令，，因为定义域为上的偶函数， 所以，则，即为偶函数， 又， 因为对，有成立，所以当时， 即在上单调递减，则在上单调递增， 又，所以，则不等式等价于， 即，即，所以，解得或， 所以不等式的解集为. 故答案为： 6．（2024·四川成都·模拟预测）已知函数的定义域为，其导函数是.有，则关于的不等式的解集为 . 【答案】 【分析】构造函数，利用导数说明函数的单调性，将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可. 【详解】依题意令，， 则， 因为当时，， 所以当时，， ∴在上单调递减， 则等价于，即， ∴，解得，所以所求不等式的解集为. 故答案为： 五、根据不等式（求解目标）构造具体函数 1．（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）设，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，由的单调性可知，所以，再由可得，所以，即可得出答案. 【详解】构造函数，的定义域为， ，令可得：，令可得：， 所以在上单调递增，在上单调递减． 故，即， 变形可得，即，所以； 又，所以，又因为， 所以，综上，， 故选：B． 2．（23-24高二下·广东惠州·阶段练习）已知是自然对数的底数，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，利用求导判断该函数的单调性，比较的大小，再设，利用求导判断函数的单调性，得到，可比较的大小，即得. 【详解】设，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减. 因，则，即得； 再设，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增. 故时，，则，即，故得. 综上，可得. 故选：A. 3．（2024·辽宁·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，也是定义在上的奇函数，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据为奇函数及为偶函数可求，利用导数可判断为上的减函数，从而可求不等式的解. 【详解】因为，故， 故， 因为是定义在上的奇函数，故， 故，故，故， 此时，故为上的减函数， 而等价于， 即即，故或 故选：A . 4．（2024·贵州毕节·模拟预测）定义在上的可导函数满足，若，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】构造函数，利用导数判断出函数的单调性，再将所求不等式变形为函数的形式，再根据函数的单调性解不等式即可. 【详解】令，则， 所以函数在上是减函数， 由，得， 即， 所以，解得， 所以的取值范围为. 故答案为：. 5．（2024·陕西西安·模拟预测）定义在上的函数的导函数为，且有，且对任意都有，则使得成立的的取值范围是 . 【答案】 【分析】构造函数，根据导数确定函数的单调性，即可结合奇偶性求解. 【详解】由知是奇函数，， 设，则， 在上单调递增，由得， 即，，得的取值范围是. 故答案为： 学科网（北京）股份有限公司 $$