专题04 一元函数的导数及其应用（利用导函数研究切线，单调性问题）（选填压轴题）-【挑战压轴题】备战2025年高考数学压轴题通法训练·高分必刷系列（新高考版）

专题04 一元函数的导数及其应用 （利用导函数研究切线，单调性问题）（选填压轴题） 目录 一、切线问题 1 角度1：已知切线几条求参数 1 角度2：公切线问题 6 角度3：和切线有关的其它综合问题 12 二、单调性问题 17 角度1：已知单调区间求参数 17 角度2：由函数存在单调区间求参数 21 角度3：已知函数在某区间上不单调求参数 24 角度4：利用函数的单调性比大小 27 一、切线问题 角度1：已知切线几条求参数 1．（23-24高三上·广东汕头·阶段练习）若过点可作曲线三条切线，则（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】设出切点，求导，得到切线方程，将代入切线方程，得到，故有三个实数根，令，求导，得到其单调性和极值点情况，从而得到不等式，求出答案. 【详解】设切点为，则， ，故，且切线方程为， 因为在切线上，故， 整理得， 因为过点可作曲线三条切线， 故有三个实数根， 设，则， 由得，或， 因为，由得或，此时单调递增， 由得，此时单调递减， 所以的极大值点为，极小值点为， 故要有三个实数根的充要条件为， 即，解得. 故选：D 【点睛】应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面： (1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数； (2) 已知斜率求切点即解方程； (3) 已知切线过某点(不是切点) 求切点, 设出切点利用求解. 2．（23-24高二下·山西晋中·阶段练习）已知过点作曲线的切线有且仅有两条，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设切点为，利用导数求出切线的斜率，结合斜率公式可得出，可知关于的方程有两个不等的实根，令，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】设切点为，对函数求导得， 所以，切线斜率为，整理得， 关于的方程有两个不等的实根. 令函数，由题意可得，解得且， 所以，函数的定义域为，且， 当时，，；当时，，； 当时，，， 所以在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增. . 作出函数与函数的图象如下图所示：    由图可知，当时，直线与函数的图象有两个交点， 因此，实数的取值范围是. 故选：B. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 3．（23-24高三上·浙江·期中）若函数的图象上存在两条相互垂直的切线，则实数的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求导，由导数的几何意义和直线垂直的性质，以及余弦函数进行求解. 【详解】因为，所以， 因为函数的图象上存在两条相互垂直的切线， 不妨设函数在和的切线互相垂直， 则，即①， 因为a一定存在，即方程①一定有解，所以， 即，解得或， 又，所以或，， 所以方程①变为，所以，故A，B，D错误. 故选：C. 4．（23-24·河南·模拟预测）若过点可以作曲线的三条切线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数求出切线方程，转化为有三个不同的解，再构造，利用导数分析其图像即可得到结论. 【详解】，设切点为，则，整理得， 由题意知关于的方程有三个不同的解. 设，， 由得或， 又，所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减. 又易知在上单调递减，在上单调递增，开口向上， 所以当x趋向于负无穷或正无穷时，都趋向于正无穷. 而当x趋向于负无穷时，趋向于正无穷,故也就趋向于正无穷； 当x趋向于正无穷时，趋向于正无穷且增长速率远远超过，故且趋向于零， 又，，函数的大致图像如图所示. 因为的图像与直线有三个交点， 所以，即. 故选：D. 5．（23-24高三上·广东佛山·阶段练习）已知函数，若经过点且与曲线相切的直线有三条，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】设切点为，再根据导数的几何意义结合两点间的斜率公式可得有3个解，构造函数，求导分析单调性与极值可得的取值范围. 【详解】，设经过点且与曲线相切的切点为，则.又切线经过，故由题意有3个解. 化简有，即有3个解. 设，则，令有或，故当时，，单调递减；当时，，单调递增；当时，，单调递减. 又，，且，，故要有3个解，则. 故选：A 【点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解 角度2：公切线问题 1．（23-24高二下·江苏·阶段练习）若曲线与曲线存在公切线，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出两个函数的导函数，由导函数相等列方程，再由方程有根转化为求最值，求得的范围. 【详解】由，得；由，得， 因为曲线与曲线存在公切线， 设公切线与曲线切于点，与曲线切于点， 则，又，则， 将代入，得，则， 所以，令，则， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以，则的范围是. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，利用公切线的性质得到，从而得到关于的表达式，从而得解. 2．（23-24高三上·湖北荆州·阶段练习）若曲线与曲线有公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设公切线与函数切于点，设公切线与函数切于点，然后利用导数的几何意义表示出切线方程，则可得，消去，得，再构造函数，然后利用导数可求得结果. 【详解】设公切线与函数切于点， 由，得，所以公切线的斜率为， 所以公切线方程为，化简得， 设公切线与函数切于点， 由，得，则公切线的斜率为， 所以公切线方程为，化简得， 所以，消去，得， 由，得， 令，则， 所以在上递减， 所以， 所以由题意得， 即实数的取值范围是， 故选：A 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的几何意义，考查导数的计算，考查利用导数求函数的最值，解题的关键是利用导数的几何意义表示出公切线方程，考查计算能力，属于较难题. 3．（多选）（23-24高二下·山东烟台·期末）关于曲线和的公切线，下列说法正确的有（    ） A．无论a取何值，两曲线都有公切线 B．若两曲线恰有两条公切线，则 C．若，则两曲线只有一条公切线 D．若，则两曲线有三条公切线 【答案】BCD 【分析】设曲线和的公切线分别与两曲线相切于，，根据导数的几何意义得到，化简可得，结合对数的定义可判断A选项；构造函数和，利用导数分析其单调性，进而分析方程解的情况，进而求解. 【详解】设曲线和的公切线分别与两曲线相切于，， 因为，， 所以，， 所以公切线的方程为，即， 也可以为，即， 所以，即化简得， 即， 若，，则上述式子无意义，此时两曲线没有公切线，故A错误； ①令， 则， 所以， 令，则；令，则， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以. 当，即时，有两解， 即方程在时有两解. 当，即时，只有一解， 即方程在时只有一解. 当，即时，无解， 即方程在时无解. ②令， 则， 所以， 所以函数在上单调递减， 而当时，，，则， 当时，，，则， 所以函数在上一定存在使得， 即方程在时只有一解. 综上所述， 当时，有两条公切线，故B正确； 当时，有一条公切线， 而，所以时，只有一条公切线，故C正确； 当时，有三条公切线， 而，所以时，有三条公切线，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：求两曲线的公切线及其相关问题时，常常结合导数的几何意义表示出公切线方程，列出方程组分析求解. 4．（23-24高二上·重庆·期末）若函数与函数的图象存在公切线，则实数t的取值范围为 . 【答案】 【分析】 求出函数的导数，设出曲线与公切线的坐标，利用导数的几何意义求得两切点坐标之间的关系式，进而求出t的表达式，构造函数，利用导数求其最值，即可求得答案. 【详解】由题意得，， 设公切线与曲线切于点，与曲线切于点， 则，则，， 当时，，函数与的图象存在公切线，符合题意； 当时，，即， 故， 令，则， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 故，故， 综合得实数t的取值范围为， 故答案为： 【点睛】关键点睛：解答时要设出曲线与公切线的切点，利用导数的几何意义，求得切点坐标之间关系，关键在于由此结合该关系求得参数t的表达式，进而构造函数，利用导数解决问题. 5．（23-24高三上·四川遂宁·阶段练习）若函数与函数的图象存在公切线，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】设切点为，求导计算得到切线方程，与二次函数联立，计算得到，构造，求导得到函数的单调区间，计算最值得到，解不等式得到范围. 【详解】，可得， 设切点为，则， 则公切线方程为，即， ，则， 所以，整理可得， 又由，可得，解得， 令，其中，可得， 令，可得，函数在上单调递增， 且， 当时，，即，此时函数单调递减， 当时，，即，此时函数单调递增， 所以，且当趋近于时，趋近正无穷， 所以函数的值域为， 所以且，解得，即实数的取值范围为． 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数解决公切线问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中将公切线问题根据转化为函数的最值问题是解题的关键，构造新函数是常用的方法，需要熟练掌握. 角度3：和切线有关的其它综合问题 1．（2024高三·全国·专题练习）已知实数，，，满足，则的最小值为（    ） A． B．8 C．4 D．16 【答案】B 【分析】利用绝对值的性质及两点间的距离公式，结合导数的几何意义及点到直线的距离公式即可求解. 【详解】由得，，，即，， 的几何意义为曲线上的点到直线上的点连线的距离的平方， 不妨设曲线，直线，设与直线平行且与曲线相切的直线方程为， 显然直线与直线的距离的平方即为所求， 由，得，设切点为，， 则，解得， 直线与直线的距离为， 的最小值为8． 故选：B. 【点睛】关键点睛：解决此题的关键是将问题转化为求曲线上的点到直线上的点连线的距离的平方，进而再转化为求曲线上的点到直线上点的距离的平方，利用导数的几何意义及点到直线的距离公式即可. 2．（23-24高二下·贵州遵义·阶段练习）若x、a、b为任意实数，若，则最小值为(    ) A． B．9 C． D． 【答案】C 【分析】由题可知，问题可转化为圆上动点到函数y＝lnx图像上动点距离的最小值，即求函数y＝lnx上动点到圆心距离的最小值，数形结合可知当y＝lnx在处的切线与和连线垂直时为最小值，据此求出m的值，即可得到答案． 【详解】由可得在以为圆心，1为半径的圆上， 表示点与点的距离的平方， 即表示圆上动点到函数y＝lnx图像上动点距离的平方． 设为y＝lnx上一点，且在处的y＝lnx的切线与和连线垂直，可得， 即有， 由在时递增，且，可得m＝1，即切点为， 圆心与切点的距离为， 由此可得的最小值为． 故选：C．    3．（23-24高二下·江苏南京·开学考试）若＝＝1，则(x1－x2)2＋(y1－y2)2的最小值为（    ） A． B． C． D．e4＋5e2＋5 【答案】C 【分析】问题转化为曲线（）上的点与直线上的点之间的距离的平方，由曲线的单调性及同一平面直角坐标系中画出两解析式图象，得到曲线的切线与直线平行时，此时切点到直线的距离的平方即为所求，求出切点坐标，利用点到直线距离公式求得答案. 【详解】由得：（），，则表示曲线（）上的点与直线上的点之间的距离的平方，（），当时，，此时单调递减，当时，，此时单调递增，且，在同一平面直角坐标系中画出两解析式，如图所示： 当曲线的切线与直线平行时，此时切点到直线的距离即为曲线（）上的点与直线上的点之间的距离的最小值，令，解得：，其中，所以切点为，其中，则即为答案. 故选：C 4．（23-24高二下·河南·阶段练习）已知，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】将最小值问题转化为点与点距离最小值的平方，进一步转化为直线与函数的点间距离最小值的平方，求出函数的导函数，利用导数说明函数的单调性，求出函数的零点，即可求出点坐标，从而求出，从而得解. 【详解】设点是函数图象上的点，点是直线上的点， 则可以转化为，两点之间的距离， 即，所以， 因为，设函数在点的切线与直线平行， 则直线的斜率为1，可得，整理得， 令，则，当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 且当无限趋向于负无穷大时无限趋近于，，， 当无限趋向于正无穷大时无限趋向于正无穷大，所以有且仅有一个零点， 所以方程有且仅有一个解，则， 故的最小值为点到直线的距离， 即的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查了由导数求解函数最值，解决本题的关键是观察出点是函数图象上的点，点是直线上的点，即可借助导数的几何意义转化为切点到直线距离的平方. 5．（23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）若点，则两点间距离的最小值为 . 【答案】/ 【分析】由题意可得点在直线上，点在曲线上，在曲线上找到与直线平行的切线，则该切线与直线的距离即为的最小值. 【详解】点在直线上，点在曲线上， 即求的最小值等价于求直线上的点到曲线上的点的距离的最小值， 过上的点作的切线，可得， 令，可得，故该切线为， 则直线与的距离即为的最小值， 此时，即. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于观察出点在直线上，点在曲线上，则可借助求直线上的点到曲线上的点的距离的最小值得到的最小值. 二、单调性问题 角度1：已知单调区间求参数 1．（23-24高三上·辽宁营口·期末）若函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由二倍角公式化简函数的解析式，求出函数的导数，通过函数的单调性，转化为不等式恒成立，构造函数，由二次函数的性质列出关于a的不等式组求解即可. 【详解】函数 ，对恒成立. ，当时，. 令，欲使恒成立， 只需满足，当时，恒成立，即， 设，， ，当时，等号成立， 即. 故选：D 2．（23-24高三下·辽宁抚顺·阶段练习）若对任意的，，，恒成立，则a的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】将不等式转化为，构造函数，只需使在上递减，则在恒成立，只需恒成立，然后求解的取值范围. 【详解】因为，所以，则可化为， 整理得，因为，所以， 令，则函数在上递减， 则在上恒成立， 所以在上恒成立， 令，则在上恒成立， 则在上递减，所以， 故只需满足：. 故选：A. 【点睛】本题考查导数与不等式问题，考查构造函数，根据函数的单调性求参数的取值范围，难度较大. 解答时，针对原式进行等价变形是关键. 3．（23-24高三下·山东威海·期末）若函数在上单调递减，则实数的取值范围为 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】化简函数f（x），根据f（x）在区间上单调递减，f′（x）≤0恒成立，由此解不等式求出a的取值范围． 【详解】由函数， 且f(x)在区间上单调递减， ∴在区间上,f′(x)=−sin2x+3a(cosx−sinx)+2a−1≤0恒成立， ∵设， ∴当x∈时,,t∈[−1,1]，即−1≤cosx−sinx≤1， 令t∈[−1,1],sin2x=1−t2∈[0,1]， 原式等价于t2+3at+2a−2≤0，当t∈[−1,1]时恒成立， 令g(t)=t2+3at+2a−2， 只需满足或或， 解得或或， 综上，可得实数a的取值范围是， 故选：A. 【点睛】本题考查三角函数的公式及导数的应用，解题的关键是利用换元将不等式恒成立问题转化为一元二次不等式恒成立问题，属于较难题. 4．（22-23高三上·河南郑州·期末）已知，函数在其定义域上单调递减，则实数 . 【答案】2 【分析】由导数与函数的单调性关系结合条件可得对任意的恒成立，再利用导数求函数的最大值和取最大值的条件，由此可得的值. 【详解】因为，所以， 由已知函数在其定义域上单调递减， 所以对任意的恒成立. 设，则， 由知， 所以当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 所以在时取得最大值，又 所以对任意的恒成立， 即的最大值为，所以，解得. 故答案为：2 5．（22-23高三上·湖北·阶段练习）已知函数，若函数与函数的单调区间相同，并且既有单调递增区间，也有单调递减区间，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】求出的导数，根据导数首先确定的粗略范围，并求出的单调区间；再求出的导数，根据题意两函数单调性一致可以确定，展开计算得出的取值范围. 【详解】 法一：因为，所以， 若，则，在上单调递增，只有单调增区间，不合题意；若，令，得，，当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减， 设，因为函数与函数的单调区间相同，所以函数在上单调递减，在上单调递增，又，所以对任意恒成立，即恒成立，由，所以，将，代入上式，整理得，即，从而，此时，所以的取值范围为. 法二：.当时，恒成立，在上单调递增.没有单调递减区间，不符合题意.当时，.当时，，单调递减；当时，，单调递增.令，则. 由题意，，恒成立，即恒成立.令，则恒成立.因为，所以与有相同的单调性，所以.又，所以，即，即.综上，的取值范围是. 故答案为： 【点睛】 思路点睛：本题中存在两个难点 ①两个函数单调性相同与数学表达式的转换：两个函数单调性相同说明导数在同一区间的符号相同，若函数解析式简单，可分别写出两个导数的符号区间；若如本题一样导数解析式复杂，则先找导数的共性，然后讨论非共性处，以本题为例：导数与的共性是同乘，因此符号情况决定了两个函数是否增减区间相同，继而将复杂式子简化只讨论的情况即可. ②题中需要用到恒成立问题结论： 恒成立；恒成立 角度2：由函数存在单调区间求参数 1．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）在区间上，函数存在单调递增区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据给定条件，利用导数结合函数单调性建立不等式，再构造函数求出函数最大值即得. 【详解】函数，求导得， 依题意，不等式在上有解，即在上有解， 令，，求导得， 当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减， 当时，，因此， 所以实数的取值范围是. 故选：C 2．（23-24高二下·陕西西安·期末）已知函数在区间上存在单调减区间，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出，由题意在上有解，再转化为求新函数的最小值． 【详解】由已知在上有解， 即在上有解， 设，则在上恒成立，因此在上是增函数， ， 所以， 故选：D． 3．（23-24高二下·重庆万州·阶段练习）已知函数存在三个单调区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数的导函数，利用导数有两个不等的实数根，结合二次函数的性质，列出不等式，即可求解. 【详解】由题意，函数，可得， 因为函数存在三个单调区间，可得有两个不相等的实数根， 则满足，解得或， 即实数的取值范围是. 故选：C. 4．（23-24高二下·天津·阶段练习）若函数在上存在单调递减区间，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【分析】求出给定函数的导数，根据已知由小于0在有解，求出a的范围. 【详解】函数，求导得， 函数在上存在单调递减区间，得，即在有解， 当时，，，因此， 所以实数a的取值范围为. 故答案为： 5．（23-24高二下·浙江·阶段练习）若函数在上存在单调递增区间，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意得在区间上有解，参变分离得到，换元后利用对勾函数性质求出，得到答案. 【详解】，则． 函数在区间上存在单调递增区间，只需在区间上有解， 即在区间上有解， 所以在区间上有解，所以． 令，则． 令，所以在上单调递增，所以， 即，所以，所以实数的取值范围是． 故答案为： 角度3：已知函数在某区间上不单调求参数 1．（23-24高二下·重庆·期末）已知函数在上不单调，则m的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求导，函数不单调，解得答案. 【详解】. 因为在上不单调，所以，故. 故答案为A 【点睛】本题考查了函数的单调性，意在考查学生的计算能力. 2．（23-24高二下·河北张家口·阶段练习）已知函数，其中，若函数在区间上不单调，则实数的取值范围为 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求得函数的导数，根据函数在区间不单调，所以函数在上有实数根，且无重根，即，求得函数的值域，即可求解． 【详解】由题意，函数，则， 因为函数在区间不单调，所以函数在上有实数根，且无重根， 由，即，可得， 即 令，则，记， 则在上单调递减，在上单调递增， 又由，所以，即， 可得， 又因为当时，在上有两个相等的实数根（舍去）， 所以实数的取值范围是，故选B． 【点睛】本题主要考查了函数的单调性与导数的关系的应用，其中解答中函数在区间不单调，即函数在上有实数根，且无重根，转化为是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题． 3．（23-24高三上·山西忻州·阶段练习）已知函数在上不单调，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先利用导数求函数在区间上单调时的的取值范围，再根据补集思想求不单调时的的取值范围. 【详解】由题意可知，， 若函数在上单调，则或， 当时，恒成立， 当，转化为，或， 设，则或恒成立， 即或， ， 所以， 所以函数在上不单调，则. 故选：B 4．（23-24高三上·江苏苏州·阶段练习）已知在上不单调，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对求导，得到，从而得到函数的单调性，又因为在上不单调，从而得到关于的不等式. 【详解】由于，可得， 可得函数的极值点为：，， 由在上不单调， 可得或， 解得． 故选：D． 5．（23-24高二下·重庆·阶段练习）函数在区间上不单调，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】合理翻译条件，转化为导函数的变号零点的存在性问题，用导数判断单调性，进而确定导函数的变号零点，得到不等式，求解参数范围即可. 【详解】易知，令，，故在上单调递减， 令，，故在上单调递增， 若函数在区间上不单调， 则在存在变号零点，而，， 故均为的变号零点， 下面分情况讨论，当时，解得， 当时，解得， 综上实数的取值范围是. 故答案为： 角度4：利用函数的单调性比大小 1．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先构造，利用导数判断其在上的单调性，再通过得到. 然后通过不等式放缩得到，从而得到，由此得解. 【详解】设，则，从而当时有，所以在上单调递减. 这表明，即，从而，即. 注意到，从而，即， 所以， 综上，有. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题中较为关键的是比较和的大小，而这可以转化为比较和的大小，观察结构不难想到去研究的单调性. 2．（2024·河南郑州·模拟预测）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件及构造函数（），利用导数的正负与函数的单调性的关系，结合函数的单调性，再利用作差法、对数的运算及基本不等式即可求解. 【详解】设（），则， 所以在上单调递减， 所以，即 ， 所以，， ，所以， 故选：A． 【点睛】关键点睛：利用构造法和作差法，再利用导数法求函数的单调性，结合函数单调性及基本不等式即可. 3．（23-24高二下·河南·阶段练习）已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，，利用导数与函数单调性间的关系，得出，，再通过取的值，即可求出结果. 【详解】构造函数，则，当时，，当时，， 即在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以， 即，当且仅当时取等号， 则，又当时，由，得到，所以，得到， 令，则恒成立， 即在区间上单调递增，所以，得到， 取，有，所以，综上，， 故选：C. 【点睛】方法点晴：比较函数值大小常用方法：（1）直接利用函数单调性进行比较；（2）通过函数值的结构特征，构造新的函数，再利用函数的单调性来处理. 4．（2024·辽宁·二模）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，得到在区间上单调递增，从而得出，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，得到在区间上单调递增，从而得出，即可得出结果. 【详解】令，则， 令，则在区间上恒成立， 即在区间上单调递减，又， 而，所以， 即在区间上单调递增，所以， 得到，即，所以， 令，则，当时，， 即在区间上单调递增， 所以，得到，即，所以， 综上所述，， 故选：B. 【点睛】关键点点晴：通过构造函数和，将问题转化成比较函数值的大小，再利用导数与函数单调性间的关系，即可解决问题. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 一元函数的导数及其应用 （利用导函数研究切线，单调性问题）（选填压轴题） 目录 一、切线问题 1 角度1：已知切线几条求参数 1 角度2：公切线问题 2 角度3：和切线有关的其它综合问题 3 二、单调性问题 4 角度1：已知单调区间求参数 4 角度2：由函数存在单调区间求参数 5 角度3：已知函数在某区间上不单调求参数 5 角度4：利用函数的单调性比大小 6 一、切线问题 角度1：已知切线几条求参数 1．（23-24高三上·广东汕头·阶段练习）若过点可作曲线三条切线，则（    ） A． B． C．或 D． 2．（23-24高二下·山西晋中·阶段练习）已知过点作曲线的切线有且仅有两条，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三上·浙江·期中）若函数的图象上存在两条相互垂直的切线，则实数的值是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24·河南·模拟预测）若过点可以作曲线的三条切线，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高三上·广东佛山·阶段练习）已知函数，若经过点且与曲线相切的直线有三条，则（    ） A． B． C． D．或 角度2：公切线问题 1．（23-24高二下·江苏·阶段练习）若曲线与曲线存在公切线，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·湖北荆州·阶段练习）若曲线与曲线有公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（23-24高二下·山东烟台·期末）关于曲线和的公切线，下列说法正确的有（    ） A．无论a取何值，两曲线都有公切线 B．若两曲线恰有两条公切线，则 C．若，则两曲线只有一条公切线 D．若，则两曲线有三条公切线 4．（23-24高二上·重庆·期末）若函数与函数的图象存在公切线，则实数t的取值范围为 . 5．（23-24高三上·四川遂宁·阶段练习）若函数与函数的图象存在公切线，则实数的取值范围为 ． 角度3：和切线有关的其它综合问题 1．（2024高三·全国·专题练习）已知实数，，，满足，则的最小值为（    ） A． B．8 C．4 D．16 2．（23-24高二下·贵州遵义·阶段练习）若x、a、b为任意实数，若，则最小值为(    ) A． B．9 C． D． 3．（23-24高二下·江苏南京·开学考试）若＝＝1，则(x1－x2)2＋(y1－y2)2的最小值为（    ） A． B． C． D．e4＋5e2＋5 4．（23-24高二下·河南·阶段练习）已知，则的最小值为 . 5．（23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）若点，则两点间距离的最小值为 . 二、单调性问题 角度1：已知单调区间求参数 1．（23-24高三上·辽宁营口·期末）若函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三下·辽宁抚顺·阶段练习）若对任意的，，，恒成立，则a的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三下·山东威海·期末）若函数在上单调递减，则实数的取值范围为 A． B． C． D． 4．（22-23高三上·河南郑州·期末）已知，函数在其定义域上单调递减，则实数 . 5．（22-23高三上·湖北·阶段练习）已知函数，若函数与函数的单调区间相同，并且既有单调递增区间，也有单调递减区间，则的取值范围是 . 角度2：由函数存在单调区间求参数 1．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）在区间上，函数存在单调递增区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·陕西西安·期末）已知函数在区间上存在单调减区间，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·重庆万州·阶段练习）已知函数存在三个单调区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·天津·阶段练习）若函数在上存在单调递减区间，则实数a的取值范围为 . 5．（23-24高二下·浙江·阶段练习）若函数在上存在单调递增区间，则的取值范围是 ． 角度3：已知函数在某区间上不单调求参数 1．（23-24高二下·重庆·期末）已知函数在上不单调，则m的取值范围是 A． B． C． D． 2．（23-24高二下·河北张家口·阶段练习）已知函数，其中，若函数在区间上不单调，则实数的取值范围为 A． B． C． D． 3．（23-24高三上·山西忻州·阶段练习）已知函数在上不单调，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高三上·江苏苏州·阶段练习）已知在上不单调，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·重庆·阶段练习）函数在区间上不单调，则实数的取值范围是 ． 角度4：利用函数的单调性比大小 1．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）设，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·河南郑州·模拟预测）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·河南·阶段练习）已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·辽宁·二模）若，则（    ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $$