专题02 集合与其他知识交汇的新定义解答题（新定义，高观点，压轴题）-【挑战压轴题】备战2025年高考数学压轴题通法训练·高分必刷系列（新高考版）

专题02 集合与其他知识交汇的新定义解答题 （新定义，高观点，压轴题） 1．（2024·重庆·模拟预测）在二维空间即平面上点的坐标可用两个有序数组表示，在三维空间中点的坐标可用三个有序数组表示，一般地在维空间中点A的坐标可用n个有序数组表示，并定义n维空间中两点，间的“距离”． (1)若，，求； (2)设集合．元素个数为2的集合M为的子集，且满足对于任意，都存在唯一的使得，则称M为“的优集”．证明：“的优集”M存在，且M中两不同点的“距离”是7． 2．（2024·北京·模拟预测）对给定的正整数，令，对任意的，，定义与的距离．设是的含有至少两个元素的子集，集合中的最小值称为的特征，记作． (1)当时，直接写出下述集合的特征：； (2)当时，设且，求中元素个数的最大值； (3)当时，设且，求证：中的元素个数小于． 3．（2024·云南昆明·一模）若非空集合A与B，存在对应关系f，使A中的每一个元素a，B中总有唯一的元素b与它对应，则称这种对应为从A到B的映射，记作f：A→B． 设集合，（，），且．设有序四元数集合且，．对于给定的集合B，定义映射f：P→Q，记为，按映射f，若（），则；若（），则．记． (1)若，，写出Y，并求； (2)若，，求所有的总和； (3)对于给定的，记，求所有的总和（用含m的式子表示）． 4．（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）对于数集，其中，，定义向量集，若对任意，存在，使得，则称X具有性质P． (1)设，请写出向量集Y并判断X是否具有性质P（不需要证明）． (2)若，且集合具有性质P，求x的值； (3)若X具有性质P，且，q为常数且，求证：． 5．（2024·北京石景山·一模）已知集合，对于，，定义与之间的距离为． (1)已知，写出所有的，使得； (2)已知，若，并且，求的最大值； (3)设集合，中有个元素，若中任意两个元素间的距离的最小值为，求证：． 6．（23-24高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）设集合、为正整数集的两个子集，、至少各有两个元素.对于给定的集合，若存在满足如下条件的集合： ①对于任意，若，都有；②对于任意，若，则.则称集合为集合的“集”. (1)若集合，求的“集”； (2)若三元集存在“集”，且中恰含有4个元素，求证：； (3)若存在“集”，且，求的最大值. 7．（2024·湖南邵阳·二模）给定整数，由元实数集合定义其随影数集.若，则称集合为一个元理想数集，并定义的理数为其中所有元素的绝对值之和. (1)分别判断集合是不是理想数集；（结论不要求说明理由） (2)任取一个5元理想数集，求证：； (3)当取遍所有2024元理想数集时，求理数的最小值. 注：由个实数组成的集合叫做元实数集合，分别表示数集中的最大数与最小数. 8．（2024·广东·模拟预测）设X，Y为任意集合，映射．定义：对任意，若，则，此时的为单射． (1)试在上给出一个非单射的映射； (2)证明：是单射的充分必要条件是：给定任意其他集合与映射，若对任意，有，则； (3)证明：是单射的充分必要条件是：存在映射，使对任意，有． 9．（2024·广东江门·一模）将2024表示成5个正整数，，，，之和，得到方程①，称五元有序数组为方程①的解，对于上述的五元有序数组，当时，若，则称是密集的一组解. (1)方程①是否存在一组解，使得等于同一常数?若存在，请求出该常数；若不存在，请说明理由； (2)方程①的解中共有多少组是密集的? (3)记，问是否存在最小值?若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由. 10．（2024·全国·模拟预测）拓扑学是一个研究图形（或集合）整体结构和性质的一门几何学，以抽象而严谨的语言将几何与集合联系起来，富有直观和逻辑．已知平面，定义对，，其度量（距离）并称为一度量平面．设，，称平面区域为以为心，为半径的球形邻域． (1)试用集合语言描述两个球形邻域的交集； (2)证明：中的任意两个球形邻域的交集是若干个球形邻域的并集； (3)一个集合称作“开集”当且仅当其是一个无边界的点集．证明：的一个子集是开集当且仅当其可被表示为若干个球形邻域的并集． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 集合与其他知识交汇的新定义解答题 （新定义，高观点，压轴题） 1．（2024·重庆·模拟预测）在二维空间即平面上点的坐标可用两个有序数组表示，在三维空间中点的坐标可用三个有序数组表示，一般地在维空间中点A的坐标可用n个有序数组表示，并定义n维空间中两点，间的“距离”． (1)若，，求； (2)设集合．元素个数为2的集合M为的子集，且满足对于任意，都存在唯一的使得，则称M为“的优集”．证明：“的优集”M存在，且M中两不同点的“距离”是7． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据题，得到，结合裂项法求和，即可求解； （2）根据新定义得到，，构造有2个元素，由为整数，得到存在为“的优集”，设，，推得，，显然矛盾，即可得证. 【详解】（1）解：因为，，，则， 所以. （2）证明：定义：对任意，规定， 对任意，， 由于，，，容易得， 所以，得结论：，， 构造有2个元素，由为整数， 当时，则满足M为“的优集”的定义， 当时，则，满足M为“的优集”的定义， 所以存在为“的优集”， 若M中的两个点，有一个位置相同，不妨设为第一个位置， 则设，， 则取，则有，，显然矛盾， 所以M中的两个点每一个位置均不同，即，显然， 即“的优集”M存在，且M中两不同点的“距离”是. 【点睛】方法点睛：对于以集合为背景的新定义问题的求解策略： 1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中； 2、用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素. 3、涉及有交叉集合的元素个数问题往往可采用维恩图法，基于课标要求的，对于集合问题，要熟练基本的概念，数学阅读技能、推理能力，以及数学抽象和逻辑推理能力. 2．（2024·北京·模拟预测）对给定的正整数，令，对任意的，，定义与的距离．设是的含有至少两个元素的子集，集合中的最小值称为的特征，记作． (1)当时，直接写出下述集合的特征：； (2)当时，设且，求中元素个数的最大值； (3)当时，设且，求证：中的元素个数小于． 【答案】(1)，， (2) (3)证明详见解析 【分析】（1）根据与的距离的定义，直接求出的最小值即可； （2）一方面先证明A中元素个数至多有个元素，另一方面证明存在集合中元素个数为个满足题意，进而得出A中元素个数的最大值； （3）设，定义的邻域，先证明对任意的， 中恰有2021个元素，再利用反证法证明，于是得到中共有个元素，但中共有个元素，所以，进而证明结论． 【详解】（1）依题意可得，，． （2）（a）一方面：对任意的， 令， 则，故， 令集合，则， 则且和的元素个数相同， 但中共有个元素，其中至多一半属于， 故中至多有个元素． (b)另一方面：设是偶数， 则对任意的，，， 都有中的元素个数为， 易得与奇偶性相同， 故为偶数， 又，则，所以， 注意到，且它们的距离为2， 故此时满足题意， 综上，中元素个数的最大值为． （3）当时，设且， 设， 则对任意的，定义的邻域， （a）一方面：对任意的，中恰有2021个元素， 事实上， ①若，则，恰有一种可能；， ②若，则与，恰有一个分量不同，共2020种可能； 综上， 中恰有2021个元素， （b）对任意的，， 事实上，若， 不妨设，， 则，这与矛盾， 由（a）和（b）可得中共有个元素， 但中共有个元素，所以，即， 注意到是正整数，但不是正整数，上述等号无法取到， 所以，集合中的元素个数小于． 【点睛】关键点睛：本题考查集合的新定义，集合的含义与表示、集合的运算以及集合之间的关系，反证法的应用，考查学生分析、解决问题的能力，正确理解新定义是关键，综合性较强，属于难题． 3．（2024·云南昆明·一模）若非空集合A与B，存在对应关系f，使A中的每一个元素a，B中总有唯一的元素b与它对应，则称这种对应为从A到B的映射，记作f：A→B． 设集合，（，），且．设有序四元数集合且，．对于给定的集合B，定义映射f：P→Q，记为，按映射f，若（），则；若（），则．记． (1)若，，写出Y，并求； (2)若，，求所有的总和； (3)对于给定的，记，求所有的总和（用含m的式子表示）． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据题意中的新定义，直接计算即可求解； （2）对1，，5是否属于B进行分类讨论，求出对应所有Y中的总个数，进而求解； （3）由题意，先求出在映射f下得到的所有的和，同理求出在映射f下得到的所有（）的和，即可求解. 【详解】（1）由题意知，， 所以． （2）对1，，5是否属于B进行讨论： ①含1的B的个数为，此时在映射f下，； 不含1的B的个数为，此时在映射f下，； 所以所有Y中2的总个数和1的总个数均为10； ②含5的B的个数为，此时在映射f下，； 不含5的B的个数为，此时在映射f下，； 所以所有Y中6的总个数和5的总个数均为10； ②含的B的个数为，此时在映射f下，，； 不含的B的个数为，此时在映射f下，，； 所以所有y中的总个数和的总个数均为20． 综上，所有的总和为． （3）对于给定的，考虑在映射f下的变化． 由于在A的所有非空子集中，含有的子集B共个， 所以在映射f下变为； 不含的子集B共个，在映射f下变为； 所以在映射f下得到的所有的和为． 同理，在映射f下得到的所有（）的和． 所以所有的总和为． 【点睛】方法点睛： 学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质，落脚点仍然是集合的有关知识点. 4．（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）对于数集，其中，，定义向量集，若对任意，存在，使得，则称X具有性质P． (1)设，请写出向量集Y并判断X是否具有性质P（不需要证明）． (2)若，且集合具有性质P，求x的值； (3)若X具有性质P，且，q为常数且，求证：． 【答案】(1)，具有性质； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据向量集Y的定义，结合的元素，直接写出，再判断是否满足性质即可； （2）根据性质的定义，任取，，讨论的取值，结合的范围，即可求得的取值； （3）根据性质的定义推出为定值，结合，即可推证. 【详解】（1）根据向量集的定义可得： ， 若，则存在，使得， 同理亦可证明对任意，也满足性质， 故具有性质P． （2）对任意a，，都存在c，，使得， 即对于，都存在，使得，其中a，b，c，， 因为集合具有性质P， 选取，，则有， 假设，则有，解得，这与矛盾， 假设，则有，解得，这与矛盾， 假设，则有，解得，这与矛盾， 假设，则有，解得，满足，故； 经检验，集合具有性质P． （3）证明：取，设且满足， 由得，从而s，t异号， ∵－1是x中唯一的负数， ∴s，t中一个为－1，另一个为1，故． 因为，所以， X具有性质P，取，， 设，因为，且c，d中的正数大于等于1， 所以只能， 所以，． 又X中只有个大于1的正数， 即， 且，这个大于1的正整数都属于集合X， 所以只能，，…， 即， 即． 【点睛】关键点点睛：处理本题第三问的关键是能够根据性质的定义，推出，以及为定值，进而根据X中只有个大于1的正数解决问题. 5．（2024·北京石景山·一模）已知集合，对于，，定义与之间的距离为． (1)已知，写出所有的，使得； (2)已知，若，并且，求的最大值； (3)设集合，中有个元素，若中任意两个元素间的距离的最小值为，求证：． 【答案】(1)、、、； (2)； (3)见解析 【分析】 （1）根据题中定义可得的所有情形； （2）分、两种情况，利用绝对值三角不等式可求得的最大值； （3）表示出，结合定义，可得，即中任意两元素不相等，可得中至多有个元素，即可得证． 【详解】（1）已知，，且， 所以，的所有情形有：、、、； （2）设，， 因为，则， 同理可得， 当时，； 当时，. 当，时，上式等号成立. 综上所述，； （3）记， 我们证明．一方面显然有．另一方面，且， 假设他们满足．则由定义有， 与中不同元素间距离至少为相矛盾． 从而． 这表明中任意两元素不相等．从而． 又中元素有个分量，至多有个元素． 从而． 【点睛】方法点睛：解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点： （1）紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是新定义型集合问题难点的关键所在； （2）用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之外用好集合的运算与性质. 6．（23-24高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）设集合、为正整数集的两个子集，、至少各有两个元素.对于给定的集合，若存在满足如下条件的集合： ①对于任意，若，都有；②对于任意，若，则.则称集合为集合的“集”. (1)若集合，求的“集”； (2)若三元集存在“集”，且中恰含有4个元素，求证：； (3)若存在“集”，且，求的最大值. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)4. 【分析】 （1）根据定义直接求解； （2）利用反证法推矛盾即可证明； （3）设，结合（2）的结论推出不成立，结合定义和得即可求解. 【详解】（1） 若，由题意可得，，，，即，此时，满足题意， 假设集合中还有第四个元素为，则由题意可知：若，即，则，∴不成立； 若，则，∴或9或27，矛盾.故集合中无四个元素，所以集合. （2） 设集合，不妨设， 假设，即，则且， 由②知，注意到，故有，即，所以， 故，即，因为集合中有4个元素，故设， 由②可得：若，则，∴，矛盾； 若，，则或或，所以或或，与集合元素的互异性矛盾， 假设错误，故. （3） ，，不妨设， 所以，，又，故，同理可得， 若，与（2）类似得，从而必有， 对任意的，有，即，所以，即. 若，即，，故，，，， 所以，即，从而必有， 对任意的，必有，即，所以，即. 综上，得，又时，有，符合题意， 所以的最大值为4 【点睛】关键点点睛：本题考查集合新定义，关键是充分利用定义并分类讨论和求解第三问,并充分利用反证法推理. 7．（2024·湖南邵阳·二模）给定整数，由元实数集合定义其随影数集.若，则称集合为一个元理想数集，并定义的理数为其中所有元素的绝对值之和. (1)分别判断集合是不是理想数集；（结论不要求说明理由） (2)任取一个5元理想数集，求证：； (3)当取遍所有2024元理想数集时，求理数的最小值. 注：由个实数组成的集合叫做元实数集合，分别表示数集中的最大数与最小数. 【答案】(1)集合是理想数集，集合不是理想数集 (2)证明见解析 (3)1024144 【分析】（1）由理想数集的定义即可判断； （2）为了方便说明，假定元素间一个有序关系为，从而分三种情况，，，讨论即可得证； （3）首先通过分类讨论证明，对元理想数集，有.从而有，即，通过放缩与等差数列求和即可得解. 【详解】（1）设的随影数集分别为， 则， 所以集合是理想数集，集合不是理想数集. （2）不妨设集合且，即. 为理想数集，，则，且，使得. 当时，. 当且仅当且时，等号成立； 当时，. 当且仅当且时，等号成立； 当时，. 当且仅当时，等号成立. 综上所述：. （3）设. 为理想数集. ，且，使得. 对于，同样有. 下先证对元理想数集，有. 不妨设集合中的元素满足.即. 为理想数集， ，且，使得. 当时，， 当且仅当且时，等号成立； 当时，，当且仅当且时，等号成立； 当时，. 当且仅当时，等号成立. . .当且仅当时，等号成立. . 理数. 当且仅当或时，等号成立. 理数的最小值为. 【点睛】关键点点睛：关键是通过分类讨论证明，对元理想数集，有，由此即可顺利得解. 8．（2024·广东·模拟预测）设X，Y为任意集合，映射．定义：对任意，若，则，此时的为单射． (1)试在上给出一个非单射的映射； (2)证明：是单射的充分必要条件是：给定任意其他集合与映射，若对任意，有，则； (3)证明：是单射的充分必要条件是：存在映射，使对任意，有． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)证明过程见解析 (3)证明过程见解析 【分析】 （1）结合单射的定义举出符合条件的例子即可； （2）结合单射的定义、反证法从两方面来说明即可； （3）结合单射的定义、反证法从两方面来说明即可. 【详解】（1）由题意不妨设，当（非0）互为相反数时，满足题意； （2）一方面若是单射，且，则，即（否则若，有，矛盾）， 另一方面，若对任意，由可以得到， 我们用反证法证明是单射， 假设不是单射，即存在，有， 又由可以得到，即，这就产生了矛盾， 所以是单射， 综上所述，命题得证； （3）一方面若是单射，则由可得， 同理存在单射，使得，，有， 另一方面，若存在映射，使对任意，有， 我们用反证法来证明是单射， 若不是单射，即存在，有， 又若，则由题意，这与产生矛盾， 所以此时是单射， 综上所述，命题得证. 【点睛】 关键点点睛：后面两问的关键是结合单射的定义、反证法从两方面来说明，由此即可顺利得证. 9．（2024·广东江门·一模）将2024表示成5个正整数，，，，之和，得到方程①，称五元有序数组为方程①的解，对于上述的五元有序数组，当时，若，则称是密集的一组解. (1)方程①是否存在一组解，使得等于同一常数?若存在，请求出该常数；若不存在，请说明理由； (2)方程①的解中共有多少组是密集的? (3)记，问是否存在最小值?若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)不存在，理由见解析 (2) (3)存在，最小值为. 【分析】（1）若等于同一常数，则构成等差数列，根据等差数列下标和性质得到，推出矛盾即可得解； （2）依题意时，即当时，，则，，即可求出，，，，中有个，个，从而得解； （3）由方差公式得到（为方差），从而得到当方差取最小值时取最小值，从而推出是密集，即可求出的最小值. 【详解】（1）若等于同一常数， 根据等差数列的定义可得构成等差数列，所以， 解得，与矛盾， 所以不存在一组解，使得等于同一常数； （2）因为， 依题意时，即当时，， 所以，， 设有个，则有个，由，解得， 所以，，，，中有个，个， 所以方程①的解共有组. （3）因为平均数， 又方差，即， 所以，因为为常数，所以当方差取最小值时取最小值， 又当时，即，方程无正整数解，故舍去； 当时，即是密集时，取得最小值， 且. 【点睛】关键点点睛：对于新定义问题关键是理解题意，第三问的关键是方差公式的应用. 10．（2024·全国·模拟预测）拓扑学是一个研究图形（或集合）整体结构和性质的一门几何学，以抽象而严谨的语言将几何与集合联系起来，富有直观和逻辑．已知平面，定义对，，其度量（距离）并称为一度量平面．设，，称平面区域为以为心，为半径的球形邻域． (1)试用集合语言描述两个球形邻域的交集； (2)证明：中的任意两个球形邻域的交集是若干个球形邻域的并集； (3)一个集合称作“开集”当且仅当其是一个无边界的点集．证明：的一个子集是开集当且仅当其可被表示为若干个球形邻域的并集． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由交集的定义可解； （2）结合题意，利用并集的定义证明； （3）利用题目定义分别证明充分性和必要性. 【详解】（1）设这两个球形邻域分别为，， 为和的交集． ①若与不相交，则； ②若与相交，则 且 故或且． （2）我们约定集合族是指以集合为元素的集合，其并运算为 表示集合族的所有集合的并集 回到原题，设这两个球形邻域分别为，，为和的交集． ①若与不相交，则，即可以看作零个球形邻域的并集； ②若与相交，则取， 令，构造球形邻域． 因为对于，有 故，这说明． 由于是中任取的一点，这说明， 继而 即可被表示为若干个球形邻域的并集． 命题得证． （3）①先证充分性：当的一个子集可以写为若干球形邻域的并时，其必为开集． 设，由（2）可知可看作若干个球形邻域的并集， 即 则，使得，故是开集．充分性证毕． ②再证必要性：若的一个子集是开集，则其可被表示为若干个球形邻域的并集． 设是一个开集，由情况①得，使得，所以 即 故可被表示为若干个球形邻域的并集．必要性证毕． 【点睛】思路点睛：利用集合的运算和题干中的定义完成问题. 学科网（北京）股份有限公司 $$