专题07 预备知识七：基本不等式-2024年初升高数学无忧衔接（通用版）

专题07 预备知识七：基本不等式 1、学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等 2、基本不等式的推导与证明过程，提升逻辑推理的思维能力 3、基本不等式的简单应用，理解积定与和定问题 知识点一：基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱） 基本不等式:,,（当且仅当时，取“”号）其中叫做正数，的几何平均数；叫做正数，的算数平均数． 如果，有（当且仅当时，取“”号） 特别的，如果,用分别代替,代入，可得：，当且仅当时，“”号成立. 知识点二：利用基本不等式求最值 ①已知，是正数，如果积等于定值，那么当且仅当时，和有最小值； ②已知，是正数，如果和等于定值，那么当且仅当时，积有最大值； 知识点三：基本不等式链 （其中，当且仅当时，取“”号） 知识点四：三个正数的基本不等式 如果，，，那么（当且仅当时，取“”号） 对点特训一：对基本不等式的理解 典型例题 例题1．（23-24高一上·全国·课后作业）判断正误（正确的填“正确”，错误的填“错误”） （1）两个不等式与成立的条件是相同的.( ) （2）当时，.( ) （3）当时，.( ) （4）函数的最小值是2.( ) 【答案】 错误 正确 正确 错误 【分析】根据基本不等式的概念和定义一一判定即可. 【详解】对于（1），不等式成立的条件是；不等式成立的条件是，错误； 对于（2），是基本不等式的变形公式，正确； 对于（3），是基本不等式的变形公式，正确； 对于（4），当时，是负数，错误； 故答案为：（1）错误  （2）正确  （3）正确  （4）错误. 例题2．（23-24高一上·全国·课后作业）下列不等式的推导过程正确的是 ． ①若，则； ②若，则； ③若，则. 【答案】② 【分析】根据基本不等式成立的条件进行判断即可. 【详解】①中忽视了基本不等式等号成立的条件， 当，即时，等号成立， 因为，所以，故①错误； ②因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，故②正确； ③中忽视了利用基本不等式时每一项必须为正数这一条件， 当时，，故③错误． 故答案为： ②. 精练 1．（多选）（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）下列说法中正确的有（    ） A．不等式恒成立 B．存在实数,使得不等式成立 C．若,,则 D．若,且,则 【答案】BCD 【分析】根据基本不等式“一正二定三相等”判断ABC的正误,用 “1”的代换判断D的正误. 【详解】解:不等式只有在a,b都为非负数的时候才恒成立, 故A错误; 当时,, 故B正确; 若, 则由基本不等式得, 当且仅当即时,等号成立, 故C正确; 因为,,且, 所以, 所以 当且仅当且时取等号,即时取等号; 故D正确. 故选:BCD. 2．（23-24高一上·上海松江·期末）“”是“”的 条件.（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”） 【答案】充分不必要 【分析】利用充分不必要判断即可 【详解】当时，， 当且仅当时，取等号，所以充分性成立， 由， 所以，故必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故答案为：充分不必要 对点特训二：利用基本不等式求最值 角度1：和为定值求积的最值 典型例题 例题1．（23-24高一上·湖南娄底·期末）若，，且，则的最大值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】 直接由基本不等式即可求解. 【详解】由题意，解得，等号成立当且仅当. 故选：B. 例题2．（2024高二下·湖南株洲·学业考试）已知，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D．3 【答案】D 【分析】利用基本不等式直接求出最大值. 【详解】当时，，当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为3. 故选：D 例题3．（23-24高三上·四川雅安·期中）已知，，则“”是“”的（    ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由均值不等式判断充分条件，再举出反例得到不是必要条件即可. 【详解】因为，解得，所以是充分条件； 当时满足，此时，所以不是必要条件， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：B 精练 1．（23-24高三上·湖北武汉·期末）已知正数，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据基本不等式直接计算即可. 【详解】由题意得，，则， ，即， 当且仅当，即时等号成立. 故选：C 2．（23-24高一上·北京·期中）已知，，，则xy的最大值是（ ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据基本不等式即可求解. 【详解】由于，，，所以，故， 当且仅当，即时等号成立， 故选：B 3．（23-24高一上·贵州六盘水·期末）已知，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】由基本不等式求积的最大值. 【详解】， 由基本不等式可知， 当且仅当时等号成立，即的最大值为. 故答案为： 角度2：积为定值求和的最值 典型例题 例题1．（23-24高二下·福建三明·阶段练习）若，则的最小值是（    ） A． B． C．4 D．2 【答案】C 【分析】利用基本不等式计算可得. 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是. 故选：C 例题2．（2024·甘肃定西·一模）的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用基本不等式即可得解. 【详解】由题意知，所以， 所以. 当且仅当，即时，等号成立. 故选：B. 例题3．（23-24高一上·上海·期末）函数（）的最小值是 . 【答案】 【分析】借助基本不等式即可得. 【详解】由，故， 当且仅当时，等号成立. 故答案为：. 精练 1．（23-24高一上·重庆·期末）函数的最小值是（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】利用基本不等式即可得解. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 则的最小值是. 故选：D. 2．（23-24高一上·广东·期中）已知，则的最小值为（    ） A．50 B．40 C．20 D．10 【答案】C 【分析】利用基本不等式计算即可. 【详解】由，则，当且仅当，即时， 等号成立，故的最小值为20． 故选：C 3．（23-24高一上·新疆·期末）的最小值为 . 【答案】 【分析】根据基本不等式进行求解即可. 【详解】由已知， 所以，当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：. 角度3：常数代换法 典型例题 例题1．（2024高三上·全国·专题练习）若，，且，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【详解】将展开利用基本不等式求得最小值可得答案. 【分析】因为且，所以， ， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为2. 故选：A. 例题2．（23-24高一上·贵州黔南·阶段练习）已知且，则的最小值为（　　） A． B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为9. 故选：C 例题3．（23-24高二上·陕西西安·期中）已知且，则的最小值为（    ） A． B．10 C．9 D． 【答案】C 【分析】利用基本不等式“1”的妙用求解. 【详解】由可得，， 所以， 当且仅当，即时取得等号， 所以的最小值为9， 故选:C. 精练 1．（23-24高一上·河南南阳·阶段练习）若，，则的最小值是（   ） A．2 B．4 C．3 D．8 【答案】B 【分析】利用常数代换的思想和基本不等式即可求得. 【详解】因，，故由， 当且仅当时，等号成立.由解得： 即当且仅当时，取最小值为4. 故选：B. 2．（2024·四川南充·二模）已知x，y是实数，，且，则的最小值为 【答案】1 【分析】利用基本不等式"1"的妙用求最值可求答案. 【详解】因为，且，所以， 因为，当且仅当时，取到等号， 所以，即的最小值为1. 故答案为：1 3．（2024·全国·模拟预测）已知，若，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】将所求的式子乘以“1”,然后利用基本不等式求解即可. 【详解】， 当且仅当，即时等号成立. 故答案为： 角度4：凑配法 典型例题 例题1．（23-24高三上·陕西西安·阶段练习）函数的最小值为（    ） A．2 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】由基本不等式即可求解. 【详解】由可得，所以， 当且仅当，即时等号成立， 故选:D 例题2．（23-24高一上·吉林·阶段练习）已知，则的最小值是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】利用基本不等式求和的最小值，注意取值条件. 【详解】由，则， 当且仅当时等号成立，故最小值为. 故选：C 例题3．（23-24高一上·陕西西安·期末）已知，则的最小值是 . 【答案】6 【分析】直接利用基本不等式求解即可. 【详解】因为， 当且仅当，即时，等号成立. 所以的最小值是6. 故答案为：6. 精练 1．（23-24高一上·湖南衡阳·阶段练习）若，则的最小值为（    ） A．-2 B．0 C．1 D． 【答案】B 【分析】变形后由基本不等式求出最值. 【详解】因为，所以， 当且仅当,即时，等号成立. 故选：B 2．（23-24高一下·湖南株洲·阶段练习）已知，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】利用基本不等式即可求值. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 故答案为：4 3．（23-24高一上·北京·期中）已知，则当 时，取最小值为 ． 【答案】 5 14 【分析】利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取最小值为. 故答案为：；. 角度5：二次与二次（或一次）商式 典型例题 例题1．（23-24高一上·云南楚雄·阶段练习）函数 的最小值是（    ） A． B．3 C．6 D．12 【答案】A 【分析】由基本不等式求解， 【详解】 因为 所以 ， (当且仅当 即 时，等号成立 故最小值为， 故选：A 例题2．（23-24高二上·云南昆明·期末）函数的值域是 . 【答案】 【解析】将化简可得，然后讨论和时，利用基本不等式求最值即可求解. 【详解】， 当时， 当时， 所以， 所以函数的值域是， 故答案为： 【点睛】方法点睛：形如二次比一次的形式的函数，先对其化简整理，使之具备使用基本不等式的条件，再利用基本不等式求最值，可得值域. 例题3．（23-24高三上·福建泉州·期中）函数在上的最大值为 ． 【答案】 【分析】令，则，则，利用基本不等式计算可得. 【详解】解：因为，，令，则， 则， 当且仅当，即时，等号成立． 故的最大值为． 故答案为： 精练 1．（23-24高一·全国·课后作业）已知，则的最小值为 ． 【答案】1 【解析】将函数解析式化简后，利用基本不等式求得函数的最小值. 【详解】．当且仅当，即时等号成立． 故答案为：1 【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题. 2．（2024高三·全国·专题练习）函数 的最大值为 . 【答案】/ 【分析】首先化简可得，由则可以利用基本不等式求最值即可. 【详解】因为，则， 所以 ≤， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为. 故答案为：. 3．（2024高三·全国·专题练习）函数的最小值为 ． 【答案】 【分析】将函数化为，利用基本不等式求其最小值，注意取值条件即可. 【详解】由，又， 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以原函数的最小值为. 故答案为： 对点特训三：基本不等式在实际中的应用 典型例题 例题1．（23-24高一上·浙江杭州·期中）2023年8月29日，华为在官方网站发布了Mate60系列手机，全系搭载麒麟芯片强势回归，5G技术更是遥遥领先，正所谓“轻舟已过万重山”.发布后的第一周销量约达80万台，第二周的增长率为a，第三周的增长率为b，这两周的平均增长率为x（a，b，x均大于零），则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，列出等式，再利用基本不等式求解判断即可. 【详解】依题意，，而， 因此，当且仅当时取等号， 所以. 故选：B 例题2．（22-23高一上·广东广州·期中）港珠澳大桥通车后，经常往来于珠港澳三地的刘先生采用自驾出行．由于燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案：每次均加升的燃油；第二种方案，每次加元的燃油． (1)分别用表示刘先生先后两次加油时燃油的价格，请你计算出每种加油方案的均价； (2)选择哪种加油方案比较经济划算？请你给出证明． 【答案】(1)第一种方案的均价为；第二种方案的均价为； (2)第二种加油方案比较经济划算，详见解析. 【分析】（1）根据题意即得； （2）利用基本不等式即得. 【详解】（1）由题可得第一种方案的均价为， 第二种方案的均价为； （2）因为，， 所以，， 所以， 即第二种加油方案比较经济划算. 例题3．（21-22高一上·吉林白山·期末）某工厂分批生产某产品，生产每批产品的费用包括前期的准备费用､生产过程中的成本费用以及生产完成后产品的仓储费用.已知生产每批产品前期的准备费用为800元，成本费用与产品数量成正比，仓储费用与产品数量的平方成正比.记生产件产品的总费用为y元.当时，成本费用为3000元，仓储费用为450元. (1)求y关于x的函数解析式； (2)试问当每批产品生产多少件时平均费用最少？平均费用最少是多少？ 【答案】(1) (2)当每批产品生产80件时，平均费用最少，且平均费用最少为70元 【分析】（1）根据已知设成本费用为，仓储费用为元，则，，当时，，，代入即可求得解析式. （2）平均费用为，利用基本不等式计算即可. 【详解】（1）设成本费用为，仓储费用为元，则，， 当时，，，可得，， 故. （2）平均费用， 当且仅当，即时，等号成立. 故当每批产品生产80件时，平均费用最少，且平均费用最少为70元. 精练 1．（23-24高一上·河北·阶段练习）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店里购买10g黄金，售货员先将5g的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.你认为顾客购得的黄金 10g.（填“大于”“小于”“等于”“不确定”） 附：依据力矩平衡原理，天平平衡时有，其中，分别为左右盘中物体质量，，分别为左右横梁臂长. 【答案】大于 【分析】根据力矩平衡原理，列出等量关系，即可由基本不等式求解. 【详解】由于天平两臂不等长，可设天平左臂长为，右臂长为，则， 再设先称得黄金为，后称得黄金为，则，， ，， ， 当且仅当，即时等号成立， 但，等号不成立，即． 因此，顾客购得的黄金大于． 故答案为：大于 2．（22-23高二上·广西南宁·开学考试）一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：万元）与仓库到车站的距离x（单位：）成反比，每月库存货物费（单位：万元）与x成正比；若在距离车站处建仓库，则和分别为2万元和8万元，这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？并求出该值． 【答案】5km；最小费用为8万元 【分析】先设出，代入自变量及对应的函数值，求出，从而得到两项费用之和，利用基本不等式求出最小值. 【详解】设， 当时，， ∴， ∴， ∴两项费用之和为． 当且仅当时，即当时等号成立． 即应将这家仓库建在距离车站处，才能使两项费用之和最小， 且最小费用为8万元． 3．（23-24高一·全国·课后作业）某公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，其周长为4米，这种薄板须沿其对角线折叠后使用．如图所示，为长方形薄板，沿折叠后，交于点.当的面积最大时最节能． （1）设米，用表示图中的长度，并写出的取值范围； （2）若要求最节能，应怎样设计薄板的长和宽？ 【答案】（1）；（2）长为米，宽为米. 【分析】（1）根据可得，由勾股定理可得的关系，再根据可得的取值范围； （2）设的面积为，计算可得，利用基本不等式可得何时取最大值. 【详解】解：（1）由题意，. 因，故. 设，则. 因，故. 由，得， 化简得. （2）设的面积为，， 当且仅当)时，取得最大值． 答：当薄板长为米，宽为米时，节能效果最好． 【点睛】本题考查基本不等式在实际问题中的应用，本题中注意折叠前后各几何量之间的关系，利用基本不等式求最值时注意“一正、二定、三相等”. 对点特训四：与基本不等式有关的恒成立问题 典型例题 例题1．（23-24高一上·福建厦门·阶段练习）“对所有，不等式恒成立”的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用不等式恒成立和构造基本不等式可确定，即可求解. 【详解】由不等式恒成立，得恒成立， 因为， 当且仅当，即时取得等号， 所以不等式恒成立，则， 因为是的充分不必要条件， 故选:D. 例题2．（多选）（23-24高一下·湖南株洲·开学考试）若对于任意，恒成立，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用基本不等式求出的最大值，结合选项可得 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时等号成立， 由任意，恒成立，  所以， 符合条件有，，，故A、C、D对；，故B错； 故选：ACD 例题3．（23-24高一上·四川成都·阶段练习）设，，若，且不等式恒成立，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】首先根据已知条件得到，然后结合基本不等式即可求得最小值，再解关于的一元二次不等式即可求得的取值范围. 【详解】因为，，，所以， 则， 当且仅当时，即时取等号， 所以， 解得. 故答案为： 精练 1．（2024高一·全国·专题练习）若关于x的不等式对任意实数x＞0恒成立，则实数a的取值范围为（　　） A．{a|﹣1≤a≤4} B．{a|a≤﹣2或a≥5} C．{a|a≤﹣1或a≥4} D．{a|﹣2≤a≤5} 【答案】A 【分析】利用基本不等式求出不等式x的最小值为4，转化为4≥a2﹣3a，由此解得实数a的取值范围． 【详解】解：∵x＞0，∴不等式x24，当且仅当x＝2时，表达式取得最小值为4， 由关于x的不等式xa2﹣3a对任意实数x＞0恒成立， 可得 4≥a2﹣3a，解得﹣1≤a≤4， 故选：A． 2．（2024高三·全国·专题练习）当时，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先分离变量可得在时恒成立，然后利用均值不等式求最值即可. 【详解】解：当时，不等式恒成立，等价于在时恒成立， 即等价于； 而因为，故,当且仅当，即时取得最大值. 故. 故选：D. 【点睛】本题考查了分离变量最值法，重点考查了不等式恒成立问题，属基础题. 3．（23-24高二上·福建厦门·期中）若对有恒成立，则的取值范围是 【答案】 【详解】试题分析：因为，而恒成立，则，当且仅当x=2y时取得等号那么可知只要小于等于表达式的最小值8即可，故答案为 考点：本试题主要考查了运用均值不等式求解最值． 点评：解决该试题的关键是对于不等式的恒成立问题，我们一般转换为函数的最值来研究，从而得到参数a的范围． 一、单选题 1．（22-23高一上·江苏宿迁·阶段练习）若，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是. 故选：C. 2．（23-24高一上·山东青岛·期末）已知x，y为正实数，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据题意利用基本不等式运算求解. 【详解】因为x，y为正实数，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：D. 3．（20-21高一下·内蒙古赤峰·期末）若，且，则的最小值是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】利用基本不等式可得答案. 【详解】因为，且， 所以， 当且仅当时等号成立， 故选：A. 4．（23-24高一下·福建南平·期中）已知，，，则的最小值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，根据“1”的灵活应用结合基本不等式运算求解. 【详解】因为，可得， 且，，可知， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为1. 故选：B. 5．（23-24高一上·陕西延安·阶段练习）当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基本不等式求解最值即可求解. 【详解】当时，，故，当且仅当，即时等号成立， 所以不等式恒成立，故，故， 故选：D 6．（23-24高一下·四川眉山·开学考试）阿基米德有这样一句流传很久的名言：“给我一个支点，我就能撬起整个地球！”这句话说的便是杠杆原理，即“动力×动力臂=阻力×阻力臂”．现有一商店使用两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，取黄金放在天平左盘中使天平平衡，最后将称得的黄金交给顾客，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．以上选项都有可能 【答案】A 【分析】设天平的左臂长为，右臂长为，再分别求出，，结合基本不等式判断即可. 【详解】由于天平的两臂不等长，故可设天平的左臂长为，右臂长为，. 由杠杆原理得，，解得，， 则，当且仅当取等号. 又，故. 故选：A 7．（23-24高三下·浙江·阶段练习）已知实数x，y满足，且，则的最小值为（     ） A． B．8 C． D． 【答案】A 【分析】由题意得，进一步表示出，结合基本不等式即可求解. 【详解】因为，且，所以， 从而，等号成立当且仅当， 所以的最小值为. 故选：A. 8．（2023·河南信阳·模拟预测）若，则函数有（    ） A．最小值1 B．最大值1 C．最小值 D．最大值 【答案】D 【分析】由题意，，，利用基本不等式求解. 【详解】因为，所以， . 当且仅当，即时等号成立， 所以函数有最大值. 故选：D. 二、多选题 9．（2024高三·全国·专题练习）【多选题】下列命题中，为真命题的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用基本不等式对选项AC进行判断即可得A正确，C错误；当时，可将不等式化为，再由基本不等式判断可得B错误，取代入可得D正确. 【详解】对于A：利用基本不等式可得， 当且仅当时，等号成立，故A正确； 对于B：对于，， 当且仅当时，等号成立；即命题不成立，故B错误； 对于C：易知对于，， 当且仅当时，等号成立，故C错误； 对于D：易知当时，，即，所以D正确. 故选：AD. 三、填空题 10．（2024·云南·模拟预测）已知正数满足，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据题意，化简得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由正数满足，可得， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 故答案为：. 四、解答题 11．（23-24高一上·四川遂宁·期末）（1）已知，求的最大值； （2）已知，求的最小值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用基本不等式即可得解； （2）利用基本不等式，结合换元法即可得解. 【详解】（1）因为，所以， 则，当且仅当，即时，取到等号， 所以的最大值为； （2）因为，所以， 令，则， 所以， 当且仅当，即，即时，取到等号， 所以的最小值为. 12．（23-24高一上·河南开封·期末）如图，一份印刷品的排版（阴影部分）为矩形，面积为 32，它的左、右两边都留有宽为2的空白，上、下两边都留有宽为 1的空白.记纸张的面积为 S，排版矩形的长和宽分别为x，y. (1)用x，y 表示 S; (2)如何选择纸张的尺寸，才能使纸张的面积最小? 并求最小面积. 【答案】(1) (2)纸张的长和宽分别为12，6时，纸张的面积最小，最小面积为72. 【分析】（1）由题意知，再代入化简即可； （2）利用基本不等式即可求出最值. 【详解】（1）由题意，， . （2）， 当且仅当，即时等号成立， 所以纸张的长和宽分别为12，6时，纸张的面积最小，最小面积为72. ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 预备知识七：基本不等式 1、学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等 2、基本不等式的推导与证明过程，提升逻辑推理的思维能力 3、基本不等式的简单应用，理解积定与和定问题 知识点一：基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱） 基本不等式:,,（当且仅当时，取“”号）其中叫做正数，的几何平均数；叫做正数，的算数平均数． 如果，有（当且仅当时，取“”号） 特别的，如果,用分别代替,代入，可得：，当且仅当时，“”号成立. 知识点二：利用基本不等式求最值 ①已知，是正数，如果积等于定值，那么当且仅当时，和有最小值； ②已知，是正数，如果和等于定值，那么当且仅当时，积有最大值； 知识点三：基本不等式链 （其中，当且仅当时，取“”号） 知识点四：三个正数的基本不等式 如果，，，那么（当且仅当时，取“”号） 对点特训一：对基本不等式的理解 典型例题 例题1．（23-24高一上·全国·课后作业）判断正误（正确的填“正确”，错误的填“错误”） （1）两个不等式与成立的条件是相同的.( ) （2）当时，.( ) （3）当时，.( ) （4）函数的最小值是2.( ) 例题2．（23-24高一上·全国·课后作业）下列不等式的推导过程正确的是 ． ①若，则； ②若，则； ③若，则. 精练 1．（多选）（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）下列说法中正确的有（    ） A．不等式恒成立 B．存在实数,使得不等式成立 C．若,,则 D．若,且,则 2．（23-24高一上·上海松江·期末）“”是“”的 条件.（填“充分非必要”、“必要非充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”） 对点特训二：利用基本不等式求最值 角度1：和为定值求积的最值 典型例题 例题1．（23-24高一上·湖南娄底·期末）若，，且，则的最大值是（    ） A． B． C． D．1 例题2．（2024高二下·湖南株洲·学业考试）已知，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D．3 例题3．（23-24高三上·四川雅安·期中）已知，，则“”是“”的（    ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 精练 1．（23-24高三上·湖北武汉·期末）已知正数，满足，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·北京·期中）已知，，，则xy的最大值是（ ） A． B． C． D．1 3．（23-24高一上·贵州六盘水·期末）已知，则的最大值为 ． 角度2：积为定值求和的最值 典型例题 例题1．（23-24高二下·福建三明·阶段练习）若，则的最小值是（    ） A． B． C．4 D．2 例题2．（2024·甘肃定西·一模）的最小值为（    ） A． B． C． D． 例题3．（23-24高一上·上海·期末）函数（）的最小值是 . 精练 1．（23-24高一上·重庆·期末）函数的最小值是（    ） A．4 B．5 C． D． 2．（23-24高一上·广东·期中）已知，则的最小值为（    ） A．50 B．40 C．20 D．10 3．（23-24高一上·新疆·期末）的最小值为 . 角度3：常数代换法 典型例题 例题1．（2024高三上·全国·专题练习）若，，且，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 例题2．（23-24高一上·贵州黔南·阶段练习）已知且，则的最小值为（　　） A． B．8 C．9 D．10 例题3．（23-24高二上·陕西西安·期中）已知且，则的最小值为（    ） A． B．10 C．9 D． 精练 1．（23-24高一上·河南南阳·阶段练习）若，，则的最小值是（   ） A．2 B．4 C．3 D．8 2．（2024·四川南充·二模）已知x，y是实数，，且，则的最小值为 3．（2024·全国·模拟预测）已知，若，则的最小值为 . 角度4：凑配法 典型例题 例题1．（23-24高三上·陕西西安·阶段练习）函数的最小值为（    ） A．2 B．5 C．6 D．7 例题2．（23-24高一上·吉林·阶段练习）已知，则的最小值是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 例题3．（23-24高一上·陕西西安·期末）已知，则的最小值是 . 精练 1．（23-24高一上·湖南衡阳·阶段练习）若，则的最小值为（    ） A．-2 B．0 C．1 D． 2．（23-24高一下·湖南株洲·阶段练习）已知，则的最小值为 ． 3．（23-24高一上·北京·期中）已知，则当 时，取最小值为 ． 角度5：二次与二次（或一次）商式 典型例题 例题1．（23-24高一上·云南楚雄·阶段练习）函数 的最小值是（    ） A． B．3 C．6 D．12 例题2．（23-24高二上·云南昆明·期末）函数的值域是 . 例题3．（23-24高三上·福建泉州·期中）函数在上的最大值为 ． 精练 1．（23-24高一·全国·课后作业）已知，则的最小值为 ． 2．（2024高三·全国·专题练习）函数 的最大值为 . 3．（2024高三·全国·专题练习）函数的最小值为 ． 对点特训三：基本不等式在实际中的应用 典型例题 例题1．（23-24高一上·浙江杭州·期中）2023年8月29日，华为在官方网站发布了Mate60系列手机，全系搭载麒麟芯片强势回归，5G技术更是遥遥领先，正所谓“轻舟已过万重山”.发布后的第一周销量约达80万台，第二周的增长率为a，第三周的增长率为b，这两周的平均增长率为x（a，b，x均大于零），则（    ） A． B． C． D． 例题2．（22-23高一上·广东广州·期中）港珠澳大桥通车后，经常往来于珠港澳三地的刘先生采用自驾出行．由于燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案：每次均加升的燃油；第二种方案，每次加元的燃油． (1)分别用表示刘先生先后两次加油时燃油的价格，请你计算出每种加油方案的均价； (2)选择哪种加油方案比较经济划算？请你给出证明． 例题3．（21-22高一上·吉林白山·期末）某工厂分批生产某产品，生产每批产品的费用包括前期的准备费用､生产过程中的成本费用以及生产完成后产品的仓储费用.已知生产每批产品前期的准备费用为800元，成本费用与产品数量成正比，仓储费用与产品数量的平方成正比.记生产件产品的总费用为y元.当时，成本费用为3000元，仓储费用为450元. (1)求y关于x的函数解析式； (2)试问当每批产品生产多少件时平均费用最少？平均费用最少是多少？ 精练 1．（23-24高一上·河北·阶段练习）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店里购买10g黄金，售货员先将5g的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.你认为顾客购得的黄金 10g.（填“大于”“小于”“等于”“不确定”） 附：依据力矩平衡原理，天平平衡时有，其中，分别为左右盘中物体质量，，分别为左右横梁臂长. 2．（22-23高二上·广西南宁·开学考试）一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：万元）与仓库到车站的距离x（单位：）成反比，每月库存货物费（单位：万元）与x成正比；若在距离车站处建仓库，则和分别为2万元和8万元，这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？并求出该值． 3．（23-24高一·全国·课后作业）某公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，其周长为4米，这种薄板须沿其对角线折叠后使用．如图所示，为长方形薄板，沿折叠后，交于点.当的面积最大时最节能． （1）设米，用表示图中的长度，并写出的取值范围； （2）若要求最节能，应怎样设计薄板的长和宽？ 对点特训四：与基本不等式有关的恒成立问题 典型例题 例题1．（23-24高一上·福建厦门·阶段练习）“对所有，不等式恒成立”的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 例题2．（多选）（23-24高一下·湖南株洲·开学考试）若对于任意，恒成立，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D． 例题3．（23-24高一上·四川成都·阶段练习）设，，若，且不等式恒成立，则的取值范围是 . 精练 1．（2024高一·全国·专题练习）若关于x的不等式对任意实数x＞0恒成立，则实数a的取值范围为（　　） A．{a|﹣1≤a≤4} B．{a|a≤﹣2或a≥5} C．{a|a≤﹣1或a≥4} D．{a|﹣2≤a≤5} 2．（2024高三·全国·专题练习）当时，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·福建厦门·期中）若对有恒成立，则的取值范围是 一、单选题 1．（22-23高一上·江苏宿迁·阶段练习）若，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·山东青岛·期末）已知x，y为正实数，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 3．（20-21高一下·内蒙古赤峰·期末）若，且，则的最小值是（    ） A． B． C．2 D． 4．（23-24高一下·福建南平·期中）已知，，，则的最小值为（    ） A．2 B．1 C． D． 5．（23-24高一上·陕西延安·阶段练习）当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·四川眉山·开学考试）阿基米德有这样一句流传很久的名言：“给我一个支点，我就能撬起整个地球！”这句话说的便是杠杆原理，即“动力×动力臂=阻力×阻力臂”．现有一商店使用两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，取黄金放在天平左盘中使天平平衡，最后将称得的黄金交给顾客，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．以上选项都有可能 7．（23-24高三下·浙江·阶段练习）已知实数x，y满足，且，则的最小值为（     ） A． B．8 C． D． 8．（2023·河南信阳·模拟预测）若，则函数有（    ） A．最小值1 B．最大值1 C．最小值 D．最大值 二、多选题 9．（2024高三·全国·专题练习）【多选题】下列命题中，为真命题的有（    ） A． B． C． D． 三、填空题 10．（2024·云南·模拟预测）已知正数满足，则的最小值为 . 四、解答题 11．（23-24高一上·四川遂宁·期末）（1）已知，求的最大值； （2）已知，求的最小值． 12．（23-24高一上·河南开封·期末）如图，一份印刷品的排版（阴影部分）为矩形，面积为 32，它的左、右两边都留有宽为2的空白，上、下两边都留有宽为 1的空白.记纸张的面积为 S，排版矩形的长和宽分别为x，y. (1)用x，y 表示 S; (2)如何选择纸张的尺寸，才能使纸张的面积最小? 并求最小面积. ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$