专题03 预备知识三：集合的基本运算-2024年初升高数学无忧衔接（通用版）

专题03 预备知识三：集合的基本运算 1、理解并、交集的含义，会求简单的并、交集 2、借助Venn图理解、掌握并、交集的运算性质 3、根据并、交集运算的性质求参数问题 1、交集：一般地，由属于集合且属于集合的所有元素组成的集合，称为与的交集， 记作，即． 2、并集：一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，称为与的并集， 记作，即． 3、补集：对于一个集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合 相对于全集的补集，简称为集合的补集，记作， 即． 4、集合的运算性质 （1），，． （2），，． （3），，． 5、高频结论 （1）． （2）,． 对点特训一：交集 角度1：交集的概念及运算 典型例题 例题1．（2024·山东聊城·二模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 例题2．（2024·全国·模拟预测）若集合，则集合的真子集的个数为 ． 精练 1．（2024·陕西西安·模拟预测）设集合，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 角度2：根据交集的结果求集合或参数 典型例题 例题1．（2024·辽宁·模拟预测）已知集合..若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高三下·上海·开学考试）已知集合，集合，若，则实数的取值范围为 . 精练 1．（23-24高三下·全国·阶段练习）已知集合，若的子集有4个，则的值为（    ） A． B． C．2 D．3 2．（2024·上海普陀·二模）已知，设集合，集合，若，则 . 角度3：根据交集的结果求元素个数 典型例题 例题1．（2024·全国·模拟预测）已知集合，，则满足的实数a的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 例题2．（23-24高一上·广东珠海·期中）设，，若，写出由实数所有可能值组成的集合 . 精练 1．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知，，则满足条件的集合的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．7 2．（23-24高三上·山西临汾·期中）设集合，，则满足且的集合的个数是（    ） A． B． C． D． 对点特训二：并集 角度1：并集的概念及运算 典型例题 例题1．（2024·四川南充·二模）设集合，，则等于（    ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高三下·北京顺义·阶段练习）若集合或，则（    ） A． B． C．或 D．或 精练 1．（2024高三下·北京·专题练习）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·全国·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 角度2：根据并集的结果求集合或参数 典型例题 例题1．（2024·全国·模拟预测）设集合．若，则（    ） A． B．2 C．3 D．4 例题2．（23-24高一上·浙江宁波·期中）已知集合，集合． (1)若集合B的真子集有且只有1个，求实数a的值； (2)若，求实数a的取值范围． 精练 1．（23-24高三上·河南南阳·期末）已知集合，，且，则实数n的值为（     ） A．0 B．1 C．0或 D． 2．（23-24高一上·浙江杭州·期中）设集合，，. (1)若，求实数的值； (2)若且，求实数的值. 角度3：根据并集的结果求元素个数 典型例题 例题1．（23-24高一上·湖南郴州·期末）已知集合，，若，则的可能取值个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 例题2．（23-24高三上·山东潍坊·期中）已知集合，则满足的实数的个数为（    ） A． B． C． D． 精练 1．（2024·辽宁沈阳·三模）设集合，则满足的集合B的个数是（    ） A．7 B．8 C．15 D．16 2．（23-24高一下·湖南岳阳·开学考试）已知集合，若，满足条件的集合B有 个． 对点特训三：补集 角度1：补集的概念及运算 典型例题 例题1．（2024·北京丰台·二模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 例题2．（2024·北京房山·一模）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 精练 1．（2024·全国·二模）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·安徽池州·模拟预测）设全集，集合，则韦恩图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 角度2：根据补集运算确定集合或参数 典型例题 例题1．（23-24高一·全国·课后作业）设集合，全集,若,则有（    ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高一上·云南迪庆·期末）已知集合 (1)若，求； (2)在①，②，③中任选一个作为已知条件，求实数a的取值范围． 精练 1．（23-24高三上·重庆沙坪坝·开学考试）设集合，集合，若，则的取值范围为 . 2．（23-24高一上·上海·期末）若全集，，且，求实数的值 对点特训四：集合的并交补 角度1：并交补混合运算 典型例题 例题1．（2024·天津·二模）设集合，则（    ）． A． B． C． D． 例题2．（2024高三·全国·专题练习）已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ）    A． B． C． D． 精练 1．（2024·吉林延边·一模）已知集合，，，则图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·全国·模拟预测）已知全集，则（    ） A． B． C． D． 角度2：根据并交补混合运算确定集合或参数 典型例题 例题1．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知集合， (1)求集合中的所有整数； (2)若，求实数的取值范围. 例题2．（23-24高一上·四川成都·期中）已知集合，集合． (1)求和； (2)设，若，求实数a的取值范围． 例题3．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）已知全集，集合． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 精练 1．（23-24高一上·辽宁阜新·阶段练习）设集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)设，若且，求实数的取值范围. 2．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）已知集合，. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 3．（23-24高一上·江西宜春·期中）已知集合，，若，求实数a的取值范围. 对点特训五：图 典型例题 例题1．（2024·广西南宁·一模）已知集合，集合，则如图中的阴影部分表示（    ）    A． B． C． D． 例题2．（23-24高一上·贵州贵阳·期末）全集，集合的关系如图所示，则图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 精练 1．（2024·北京东城·一模）如图所示，是全集，是的子集，则阴影部分所表示的集合是（    ）    A． B． C． D． 2．（2024·宁夏银川·一模）已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ）    A． B． C． D． 一、单选题 1．（23-24高三下·安徽芜湖·阶段练习）已知集合，则集合的元素个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2024·全国·模拟预测）已知集合，为除以3余1的整数的集合，则的元素个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2024·上海松江·二模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024·内蒙古呼伦贝尔·二模）已知集合，，若中恰有三个元素，则由a的取值组成的集合为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·北京顺义·二模）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 6．（2024·四川攀枝花·三模）已知全集，则=（    ） A． B． C． D． 7．（2024·河北沧州·模拟预测）已知集合，，，则集合的子集共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．8个 8．（2024·云南昆明·模拟预测）若集合，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高一下·辽宁朝阳·阶段练习）已知全集，集合，，则下列说法不正确的是（    ） A．集合的真子集有个 B． C． D．， 10．（23-24高一上·山东淄博·期末）如图，已知矩形表示全集，是的两个子集，则阴影部分可表示为（    ） A． B． C． D． 三、填空题 11．（2024·辽宁·二模）已知集合，，若．则m的取值范围是 ． 12．（2024·海南·模拟预测）已知集合，若，则 . 四、解答题 13．（23-24高一上·安徽亳州·期末）已知集合， (1)当时，求； (2)在①②中任选一个作为已知，求实数的取值范围． 14．（22-23高一下·北京密云·期末）已知集合（且），，且．若对任意，当时，存在，使得，则称是的元完美子集． (1)判断下列集合是否是的3元完美子集，并说明理由； ①；     ②． (2)若是的3元完美子集，求的最小值． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 预备知识三：集合的基本运算 1、理解并、交集的含义，会求简单的并、交集 2、借助Venn图理解、掌握并、交集的运算性质 3、根据并、交集运算的性质求参数问题 1、交集：一般地，由属于集合且属于集合的所有元素组成的集合，称为与的交集， 记作，即． 2、并集：一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，称为与的并集， 记作，即． 3、补集：对于一个集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合 相对于全集的补集，简称为集合的补集，记作， 即． 4、集合的运算性质 （1），，． （2），，． （3），，． 5、高频结论 （1）． （2）,． 对点特训一：交集 角度1：交集的概念及运算 典型例题 例题1．（2024·山东聊城·二模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由交集的定义求解. 【详解】集合，则. 故选：D 例题2．（2024·全国·模拟预测）若集合，则集合的真子集的个数为 ． 【答案】3 【分析】根据交集运算求出，然后由n元集合的真子集个数为可得. 【详解】因为， 所以，所以集合的真子集的个数为． 故答案为：3 精练 1．（2024·陕西西安·模拟预测）设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合交集运算可得. 【详解】因为， 所以. 故选：A 2．（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据交集的定义即可求解. 【详解】因为， 所以. 故选：A. 角度2：根据交集的结果求集合或参数 典型例题 例题1．（2024·辽宁·模拟预测）已知集合..若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用集合中交集的运算法则求解即可. 【详解】集合.. ， . 故选：C 例题2．（23-24高三下·上海·开学考试）已知集合，集合，若，则实数的取值范围为 . 【答案】或， 【分析】由题意分集合是否为空集进行讨论，结合，列出相应的不等式（组），从而即可得解. 【详解】集合，集合，且， 若，则，即，此时满足，即满足题意； 若，则，即，此时若要使得， 则还需或，解得或， 注意到此时，从而此时满足题意的的范围为或； 综上所述，实数的取值范围为. 故答案为： 或，. 精练 1．（23-24高三下·全国·阶段练习）已知集合，若的子集有4个，则的值为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据题意，得到中有2个元素，且这两个元素为和，即可求解. 【详解】由集合， 因为，且的子集有4个，可得中有2个元素， 则这两个元素为和，所以. 故选：C. 2．（2024·上海普陀·二模）已知，设集合，集合，若，则 . 【答案】2 【分析】根据已知条件，结合交集的定义，讨论或4即可求解． 【详解】集合，集合，，则是的子集， 当时，等式不成立，舍去， 当时，解得，此时，，满足题意， 故． 故答案为：2． 角度3：根据交集的结果求元素个数 典型例题 例题1．（2024·全国·模拟预测）已知集合，，则满足的实数a的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据集合运算得集合关系，结合集合元素的性质分类讨论求解即可. 【详解】依题意，，若，解得（时不满足集合的互异性，舍去）， 若，解得（时不满足集合的互异性，舍去）， 综上所述，或. 故选：B 例题2．（23-24高一上·广东珠海·期中）设，，若，写出由实数所有可能值组成的集合 . 【答案】 【分析】分和讨论即可. 【详解】由解得或，则， 因为，所以， 当时，，满足题意； 当时，，则有或，解得或. 综上，实数所有可能值组成的集合为. 故答案为： 精练 1．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知，，则满足条件的集合的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．7 【答案】C 【分析】根据给定条件，确定集合A中可能的元素即可得解. 【详解】由，，得集合A中必有1，可能有2或3， 因此集合A可视为与的子集的并集，而的子集有4个， 所以满足条件的集合的个数为4. 故选：C 2．（23-24高三上·山西临汾·期中）设集合，，则满足且的集合的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】列举出满足条件的集合，可得出结果. 【详解】已知集合，，则满足且的集合有：、、、，共个. 故选：B. 对点特训二：并集 角度1：并集的概念及运算 典型例题 例题1．（2024·四川南充·二模）设集合，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化简集合，根据并集的定义写出. 【详解】， . 故选：D. 例题2．（23-24高三下·北京顺义·阶段练习）若集合或，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】 运用集合的并集的定义，借助于数轴表示即得. 【详解】由或可知， . 故选：C. 精练 1．（2024高三下·北京·专题练习）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据并集的运算可得答案． 【详解】因为，， 所以. 故选：D 2．（2024·全国·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别求出两个集合，再根据并集的定义即可得解. 【详解】由题，，， 则. 故选：D. 角度2：根据并集的结果求集合或参数 典型例题 例题1．（2024·全国·模拟预测）设集合．若，则（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据，以及集合中元素的互异性即可求解. 【详解】因为，所以，所以． 由，得或； 由得，所以．此时符合题意， 故选：B． 例题2．（23-24高一上·浙江宁波·期中）已知集合，集合． (1)若集合B的真子集有且只有1个，求实数a的值； (2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由判别式为0可得； （2）由得，然后对分类讨论可得； 【详解】（1）集合B元素个数为1．， 即，解得：； （2）∵，∴ 对集合B讨论： 当时，即时，，满足条件； 当时，即，此时，满足条件； 当时，要满足条件，必有， 由根与系数的关系有：，此方程组无解，不满足条件舍去 综上所述，实数a的取值范围是 精练 1．（23-24高三上·河南南阳·期末）已知集合，，且，则实数n的值为（     ） A．0 B．1 C．0或 D． 【答案】C 【分析】由题意得，结合互异性以及集合与元素的关系即可得解. 【详解】由题意，所以，而，即， 所以或，解得或满足题意. 故选：C. 2．（23-24高一上·浙江杭州·期中）设集合，，. (1)若，求实数的值； (2)若且，求实数的值. 【答案】(1)5 (2) 【分析】（1）由题意得出，再利用韦达定理求得参数值； （2）由题意得出，求得值后，再代入检验． 【详解】（1）由题可得，由，得. 从而2，3是方程的两个根，即，解得. （2）因为，. 因为，又，所以， 即，，解得或. 当时，，则，不符合题意； 当时，，则且，故符合题意， 综上，实数的值为. 角度3：根据并集的结果求元素个数 典型例题 例题1．（23-24高一上·湖南郴州·期末）已知集合，，若，则的可能取值个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据集合的并运算,结合集合的元素满足互异性即可求解. 【详解】由于，，，所以或, 故选：B 例题2．（23-24高三上·山东潍坊·期中）已知集合，则满足的实数的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，得，则可得或，求出后，再根据集合中的元素具有互异性判断即可. 【详解】因为，所以， 因为， 所以或， 当时，，此时集合中有两个1，所以不合题意，舍去， 当时，得或， 当时，集合和集合中均有两个1，所以不合题意，舍去， 当时，，符合题意， 综上，， 所以满足的实数的个数为1， 故选：B 精练 1．（2024·辽宁沈阳·三模）设集合，则满足的集合B的个数是（    ） A．7 B．8 C．15 D．16 【答案】B 【分析】根据集合交运算的结果，结合集合的元素，直接求解即可. 【详解】，又，则的元素必有， 故可以为如下个集合中的任意一个： . 故选：B. 2．（23-24高一下·湖南岳阳·开学考试）已知集合，若，满足条件的集合B有 个． 【答案】4 【分析】利用并集的概念分类讨论即可. 【详解】根据题意可知：若集合B有一个元素，则， 若集合B有两个元素，则或， 若集合B有三个元素，则，综上满足条件的B有4个. 故答案为：4. 对点特训三：补集 角度1：补集的概念及运算 典型例题 例题1．（2024·北京丰台·二模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由补集和交集的定义求解. 【详解】集合， ，，. 故选：C 例题2．（2024·北京房山·一模）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据补集的定义即可得解. 【详解】因为全集，集合， 所以. 故选：B. 精练 1．（2024·全国·二模）已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用补集、交集的定义求解即得. 【详解】全集，，则，而， 所以. 故选：B 2．（2024·安徽池州·模拟预测）设全集，集合，则韦恩图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】易得阴影部分表示的集合为，再根据补集和交集的定义即可得解. 【详解】由题意得， 阴影部分表示的集合为． 故选：C. 角度2：根据补集运算确定集合或参数 典型例题 例题1．（23-24高一·全国·课后作业）设集合，全集,若,则有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先解不等式得到，再求出，利用数轴法即可得到. 【详解】由，解得，故 因为，，所以， 又因为，由数轴法得. 故选：C. 例题2．（23-24高一上·云南迪庆·期末）已知集合 (1)若，求； (2)在①，②，③中任选一个作为已知条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据并集的概念求出答案； （2）选①②③均可得到，从而得到不等式组，求出答案. 【详解】（1）时，， 故； （2）选①，，则， 由于，故， 故，解得， 故实数的取值范围是； 选②，，故， 由于，故， 故，解得， 故实数的取值范围是； 选③，，故， 由于，故， 故，解得， 故实数的取值范围是. 精练 1．（23-24高三上·重庆沙坪坝·开学考试）设集合，集合，若，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】先得到，从而由交集为空集得到的取值范围. 【详解】由题意得，故， 因为，所以，故的取值范围是. 故答案为： 2．（23-24高一上·上海·期末）若全集，，且，求实数的值 【答案】 【分析】根据补集运算求解即可. 【详解】由题意可知：， 则，解得， 所以实数的值为. 对点特训四：集合的并交补 角度1：并交补混合运算 典型例题 例题1．（2024·天津·二模）设集合，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用交集与并集的概念计算即可. 【详解】易知，所以. 故选：C 例题2．（2024高三·全国·专题练习）已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题图可知图中阴影部分表示的集合为，再根据补集和交集的定义即可得解. 【详解】由题图可知图中阴影部分表示的集合为， 因为，，， 所以，则. 故选：A． 精练 1．（2024·吉林延边·一模）已知集合，，，则图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由韦恩图可知，阴影部分表示，再根据补集和交集的定义即可得解. 【详解】由韦恩图可知，阴影部分表示， ，所以. 故选：C. 2．（2024·全国·模拟预测）已知全集，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据Venn图结合交、并、补集的定义可得. 【详解】如图，因为，且，所以． 故选:B．    角度2：根据并交补混合运算确定集合或参数 典型例题 例题1．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知集合， (1)求集合中的所有整数； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)，0，1，2，3； (2). 【分析】（1）对集合进行求解，得到，从而找到中的所有整数； （2）根据题干中的关系式，得到，从而根据子集关系进行讨论，为空集，或者不为空集即可得到实数的取值范围. 【详解】（1）不等式，解得，得 ∴集合中的所有整数为，0，1，2，3； （2）∵，∴， ①当时，，即，成立； ②当时，由，有，解得， 所以实数的取值范围为. 例题2．（23-24高一上·四川成都·期中）已知集合，集合． (1)求和； (2)设，若，求实数a的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据集合的交并补运算，可得答案； （2）根据并集的结果，建立不等式组，可得答案. 【详解】（1）由题意，可得， 所以，． （2）因为，若， 所以解得，所以a的取值范围是． 例题3．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）已知全集，集合． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据集合运算的定义计算； （2）由已知得，再由集合包含的关系得出不等式，从而得出结论． 【详解】（1）由已有，或， ∴； （2）∵，∴， 若，则，则，满足题意； 若，则，解得，∴， 综上，的取值范围是． 精练 1．（23-24高一上·辽宁阜新·阶段练习）设集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)设，若且，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意可得，再分和两种情况讨论，分别得到不等式（组），解得即可. （2）因为且，所以集合中至少存在一个整数，得，求解即得. 【详解】（1），且，所以. 若，此时，解得； 若，此时，且，解得， 则实数的取值范围是. （2）因为且，所以集合中至少存在一个整数. 或，，要使中至少存在一个整数， 则，解得，则实数的取值范围是. 2．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）已知集合，. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据并集的知识求得正确答案. （2）判断出是的子集，根据是否是空集进行分类讨论，由此列不等式来求得的取值范围. 【详解】（1）当时，，∴. （2），则是的子集，， 当，即时，，满足题意； 当时，或解得： 综上得的取值范围是：. 3．（23-24高一上·江西宜春·期中）已知集合，，若，求实数a的取值范围. 【答案】 【分析】先假设，求出对应实数a的取值范围，再对a的范围去补集即可. 【详解】∵. 假设，则 ①，有，解得； ②，有，a无实数解； ③，有，解得； ④，有，a无实数解. ∴时，， 即满足的实数a的取值范围是 对点特训五：图 典型例题 例题1．（2024·广西南宁·一模）已知集合，集合，则如图中的阴影部分表示（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图形所表示的含义再结合交集和补集的定义即可. 【详解】因为韦恩图中的阴影部分表示的是属于不属于的元素组成的集合， 又，所以韦恩图中的阴影部分表示的集合是. 故选：C. 例题2．（23-24高一上·贵州贵阳·期末）全集，集合的关系如图所示，则图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出，得到阴影部分表示的集合. 【详解】图中阴影部分表示的集合为中元素去掉的元素后的集合， ，故图中阴影部分表示的集合为. 故选：B 精练 1．（2024·北京东城·一模）如图所示，是全集，是的子集，则阴影部分所表示的集合是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由给定的韦恩图分析出阴影部分所表示的集合中元素满足的条件，再根据集合运算的定义即可得解. 【详解】由韦恩图可知阴影部分所表示的集合是. 故选：D. 2．（2024·宁夏银川·一模）已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意求集合A，结合集合间的运算分析求解. 【详解】由题意可得：， 可得， 所以图中阴影部分表示的集合为. 故选：A. 一、单选题 1．（23-24高三下·安徽芜湖·阶段练习）已知集合，则集合的元素个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】易知，结合交集的概念与运算即可求解. 【详解】由题意知，， 所以，共3个元素. 故选：A 2．（2024·全国·模拟预测）已知集合，为除以3余1的整数的集合，则的元素个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】求出集合B，由交集运算可得. 【详解】由于除以3余1的数可以写成，，故． 又，所以， 所以的元素个数是4． 故选：D． 3．（2024·上海松江·二模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接根据交集概念求解. 【详解】因为集合，， 所以. 故选：D. 4．（2024·内蒙古呼伦贝尔·二模）已知集合，，若中恰有三个元素，则由a的取值组成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】中恰有三个元素，则两集合中有一个相同元素，分类讨论列方程求解并检验即可. 【详解】因为中恰有三个元素，所以或或， 结合集合中元素的互异性，解得或或（舍去）或. 故选：D． 5．（2024·北京顺义·二模）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出全集，然后根据补集运算可得. 【详解】因为，， 所以. 故选：D 6．（2024·四川攀枝花·三模）已知全集，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由并集和补集的定义求解即可. 【详解】因为， 故，所以. 故选：D. 7．（2024·河北沧州·模拟预测）已知集合，，，则集合的子集共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．8个 【答案】C 【分析】首先用列举法表示出集合、，即可求出集合，再求出其子集个数. 【详解】因为，又， 所以，所以，则集合的子集共有个． 故选：C 8．（2024·云南昆明·模拟预测）若集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用并集及补集的定义即可求解. 【详解】因为， 所以或， 所以. 故选：C. 二、多选题 9．（23-24高一下·辽宁朝阳·阶段练习）已知全集，集合，，则下列说法不正确的是（    ） A．集合的真子集有个 B． C． D．， 【答案】BCD 【分析】根据含有个元素的集合的真子集有个判断A，依题意可得，即可判断B，根据，判断C，由判断D. 【详解】对于A：因为含有个元素，则集合的真子集有个，故A正确； 对于B：因为且，所以，则，故B错误； 对于C：因为， 显然，，所以不是的子集，故C错误； 对于D：依题意， 所以，显然，故D错误. 故选：BCD 10．（23-24高一上·山东淄博·期末）如图，已知矩形表示全集，是的两个子集，则阴影部分可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】在阴影部分区域内任取一个元素，分析元素与各集合的关系，即可得出合适的选项. 【详解】在阴影部分区域内任取一个元素，则且，即且， 所以阴影部分可表示为，A对； 且，阴影部分可表示为，而，故C错误； 且，阴影部分可表示为，D对； 显然，阴影部分区域所表示的集合为的真子集，B选项不合乎要求. 故选：AD. 三、填空题 11．（2024·辽宁·二模）已知集合，，若．则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意可得，再列出不等式组，解之即可得解. 【详解】因为，所以，故， 所以且， 所以，解得. 故答案为：. 12．（2024·海南·模拟预测）已知集合，若，则 . 【答案】2 【分析】根据交集结果可知，结合子集关系分析求解. 【详解】因为，可得， 可知，且，所以. 故答案为：2. 四、解答题 13．（23-24高一上·安徽亳州·期末）已知集合， (1)当时，求； (2)在①②中任选一个作为已知，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，写出集合，利用补集和交集的定义可求得集合； （2）选条件①或②，都有，分、两种情况讨论，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）解：因为，所以，或， 当时，， 因此，. （2）解：选条件①或②，都有，     当时，，解得，满足题意； 当时，则，解得， 综上：，因此，实数的取值范围为. 14．（22-23高一下·北京密云·期末）已知集合（且），，且．若对任意，当时，存在，使得，则称是的元完美子集． (1)判断下列集合是否是的3元完美子集，并说明理由； ①；     ②． (2)若是的3元完美子集，求的最小值． 【答案】(1)不是的3元完美子集，是的3元完美子集，理由见解析 (2) 【分析】（1）理解3元完美子集的定义，并判断两个集合是否满足完美子集的定义； （2）分别设，，以及时，判断是否存在3元完美子集，并比较最小值， 即可求解. 【详解】（1）①因为，且， 所以不是的3元完美子集； ②因为，且， 而， 是的3元完美子集． （2）不妨设． 若，则，且， 则集合的元素个数大于3个，这与3元完美子集矛盾； 若，则，而，符合题意， 此时，即, 此时． 若，则，于是，，若存在3元完美子集， 则或，即，所以． 综上，的最小值是12． 【点睛】关键点点睛：本题考查有关集合新定义的综合应用，本题的关键是理解3元完美子集的定义. 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