专题02 预备知识二：集合间的基本关系-2024年初升高数学无忧衔接（通用版）

专题02 预备知识二：集合间的基本关系 1、理解集合之间的包含与相等的含义； 2、能识别给定集合的子集，了解空集含义 3、能进行自然语言、图形语言(Venn图)、符号语言间的转换 1、子集、空集与Venn图 1.1子集的定义： 一般地，对于两个集合、，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的 子集，记作（或），读作“ 包含于 ”（或“包含”）。 1.2 Venn图： 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。则上述集合和集合的包含关系，可以用如下图表示： 要点说明： ①子集的定义可以理解为：若任意的，都有，则.这可以作为证明的方法； ②规定：空集是任何集合的子集； ③任何一个集合是它本身的子集，记作AA； ④包含关系具有传递性，即若AB，且BC，则AC； ⑤集合是集合的子集不能理解为集合是由集合中的“部分元素”组成的，因为集合可能是空集，也可能是集合． ⑥注意符号“”与“”的区别：“”只用于集合与 集合之间，如{0}N，而不能写成{0}N；“”只能用于元素与集合之间，如0N，而不能写成0N． 2、集合的相等 如果集合是集合的子集（），且集合是集合的子集（），此时，集合与集合中的元素是一样的，因此，集合与集合 相等，记作。 要点说明： ①若且，则；反之，如果，则且。这就给出了我们证明两个集合全等的方法，即预证，只需证且都成立即可； 　②两集合相等，则所含元素完全相同，与元素顺序无关； ③要判断两个集合是否相等，对于元素比较少的有限集，可用列举法将元素列举出来，看两个集合的元素是否完全相同；若是无限集，应依据“互为子集”从两个方向入手进行判断。 ④同一个集合，可以有不同的表示方法，这也是定义两个集合相等的意义所在； ⑤集合中的关系与实数中的结论类比 实数 集合 包含两层含义：，或 AB包含两层含义：，或 若，且，则 若AB，且AB，则A＝B 若，，则 若AB，BC，则AC 3、真子集 真子集（proper subset）：如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集，记作（或）.读作“真包含于 ”或“真包含 ”. 要点说明： 理解真子集的定义要注意一下几点： ①空集是任何非空集合的真子集； ②对于集合A，B，C，如果，，那么； ③若，则与有两种可能的关系：即或； 4、空集 我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作； 要点说明： 空集的性质： ①空集只有一个子集，即它本身；②空集是任何集合的子集，即； ③空集是任何非空集合的真子集，即若，则，反之也成立。 ④空集是不含任何元素的集合，它既不是有限集，也不是无限集； 对点特训一：判断集合子集（真子集）个数 典型例题 例题1．（23-24高一下·广东梅州·阶段练习）集合的子集的个数是（    ） A．16 B．8 C．7 D．4 例题2．（23-24高一上·山东·阶段练习）满足的集合M的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 精练 1．（2020·广东梅州·模拟预测）已知集合，，则的子集个数为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 2．（23-24高一上·广东中山·阶段练习）集合的子集个数为 ． 对点特训二：求集合子集（真子集） 典型例题 例题1．（23-24高一上·四川成都·期中）集合的一个子集是（    ） A． B． C． D． 例题2．（多选）（23-24高一上·江苏南京·期中）下列各个选项中，满足的集合有（    ） A． B． C． D． 精练 1．（23-24高三上·四川·期末）集合的一个真子集可以为（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（23-24高一上·山西太原·阶段练习）已知集合M满足⫋，则这样的集合M可能为（    ） A． B． C． D． 对点特训三：判断集合的包含关系 典型例题 例题1．（23-24高一上·江苏宿迁·阶段练习）已知集合，，则 （    ） A． B．⫋ C．⫋ D． 例题2．（23-24高一上·宁夏吴忠·阶段练习）已知集合，，则正确表示与的关系的示意图是（    ） A． B． C． D． 精练 1．（2024·广东·一模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一下·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知集合，则有（    ） A． B． C． D． 对点特训四：根据集合的包含关系求参数 典型例题 例题1．（2024·青海西宁·二模）设集合,若,则（    ） A． B． C．1 D．3 例题2．（23-24高一下·贵州遵义·阶段练习）已知集合，，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 精练 1．（23-24高三下·重庆·阶段练习）集合，，若，则实数（    ） A． B．0 C． D．1 2．（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知集合，．若，则实数的取值集合为 ． 对点特训五：判断两个集合是否相等 典型例题 例题1．（23-24高一上·河北·期中）下列集合中表示同一集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 例题2．（23-24高一上·上海·期中）是有理数集，集合，在下列集合中： ①；②； ③；④． 与集合相等的集合序号是 . 精练 1．（23-24高一上·宁夏石嘴山·阶段练习）下列集合中表示同一集合的是（   ） A．整数，整数集 B．， C．， D．， 2．（多选）（23-24高一上·新疆伊犁·阶段练习）给出以下几组集合，其中相等的集合有（    ） A． B． C． D． 对点特训六：根据两个集合相等求参数 典型例题 例题1．（2024·云南大理·模拟预测）已知，其中，则（    ） A．0 B．或 C． D． 例题2．（23-24高一上·山东临沂·期末）集合，，且，则实数 ． 精练 1．（23-24高一上·湖北孝感·期中）已知集合，其中，则实数（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 2．（2024高一上·全国·专题练习）已知集合，若，则c的值为 . 对点特训七：空集 典型例题 例题1．（23-24高一上·广东汕头·阶段练习）有下列关系式：①；②；③；④；⑤；⑥其中不正确的是（   ） A．①③ B．③④⑤ C．①②⑤⑥ D．③④ 例题2．（23-24高一上·新疆喀什·期中）已知a是实数，若集合是任何集合的子集，则a的取值范围值是 . 精练 1．（23-24高一上·新疆·期中）下列四个关系式中正确的个数是（    ） （1）；（2）；（3）；（4）． A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24高一上·四川广安·期中）若集合，则实数a的值的集合为 ． 一、单选题 1．（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）设集合，则下列表述正确的是（ ） A． B． C． D． 2．（2024·云南贵州·二模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·广东广州·一模）设集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·开学考试）下列能正确表示集合和关系的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）设集合，则下列选项中正确的是（    ） A．⫋ B．⫌ C． D． 6．（23-24高三上·浙江宁波·期末）设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 7．（2024·浙江·二模）已知集合，，若，则满足集合的个数为（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 8．（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）若集合有15个真子集，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高一上·重庆云阳·阶段练习）下列集合中，与集合相等的是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一上·河北保定·阶段练习）若集合恰有两个子集，则的值可能是（    ） A．0 B． C．1 D．0或1 三、填空题 11．（23-24高一下·上海·期中）已知集合，，且．则实数的取值范围为 ． 12．（2024高一上·全国·专题练习）已知集合，，若，则实数的值为 . 四、解答题 13．（23-24高一上·陕西延安·阶段练习）集合 (1)若是空集，求的取值范围 (2)若中只有一个元素，求的值并把这个元素写出来 14．（23-24高一上·上海青浦·阶段练习）设集合且满足①;②若，则. (1)能否为单元素集合，为什么? (2)求出只含有两个元素的集合； (3)满足题设条件的集合共有几个?能否列出来? ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 预备知识二：集合间的基本关系 1、理解集合之间的包含与相等的含义； 2、能识别给定集合的子集，了解空集含义 3、能进行自然语言、图形语言(Venn图)、符号语言间的转换 1、子集、空集与Venn图 1.1子集的定义： 一般地，对于两个集合、，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的 子集，记作（或），读作“ 包含于 ”（或“包含”）。 1.2 Venn图： 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。则上述集合和集合的包含关系，可以用如下图表示： 要点说明： ①子集的定义可以理解为：若任意的，都有，则.这可以作为证明的方法； ②规定：空集是任何集合的子集； ③任何一个集合是它本身的子集，记作AA； ④包含关系具有传递性，即若AB，且BC，则AC； ⑤集合是集合的子集不能理解为集合是由集合中的“部分元素”组成的，因为集合可能是空集，也可能是集合． ⑥注意符号“”与“”的区别：“”只用于集合与 集合之间，如{0}N，而不能写成{0}N；“”只能用于元素与集合之间，如0N，而不能写成0N． 2、集合的相等 如果集合是集合的子集（），且集合是集合的子集（），此时，集合与集合中的元素是一样的，因此，集合与集合 相等，记作。 要点说明： ①若且，则；反之，如果，则且。这就给出了我们证明两个集合全等的方法，即预证，只需证且都成立即可； 　②两集合相等，则所含元素完全相同，与元素顺序无关； ③要判断两个集合是否相等，对于元素比较少的有限集，可用列举法将元素列举出来，看两个集合的元素是否完全相同；若是无限集，应依据“互为子集”从两个方向入手进行判断。 ④同一个集合，可以有不同的表示方法，这也是定义两个集合相等的意义所在； ⑤集合中的关系与实数中的结论类比 实数 集合 包含两层含义：，或 AB包含两层含义：，或 若，且，则 若AB，且AB，则A＝B 若，，则 若AB，BC，则AC 3、真子集 真子集（proper subset）：如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集，记作（或）.读作“真包含于 ”或“真包含 ”. 要点说明： 理解真子集的定义要注意一下几点： ①空集是任何非空集合的真子集； ②对于集合A，B，C，如果，，那么； ③若，则与有两种可能的关系：即或； 4、空集 我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作； 要点说明： 空集的性质： ①空集只有一个子集，即它本身；②空集是任何集合的子集，即； ③空集是任何非空集合的真子集，即若，则，反之也成立。 ④空集是不含任何元素的集合，它既不是有限集，也不是无限集； 对点特训一：判断集合子集（真子集）个数 典型例题 例题1．（23-24高一下·广东梅州·阶段练习）集合的子集的个数是（    ） A．16 B．8 C．7 D．4 【答案】D 【分析】首先判断出集合有2个元素，再求子集个数即可. 【详解】易知集合有2个元素， 所以集合的子集个数是. 故选：D. 例题2．（23-24高一上·山东·阶段练习）满足的集合M的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】根据子集的概念可得集合的个数. 【详解】因为，所以集合可能为：，，，共4种情况. 故选：C 精练 1．（2020·广东梅州·模拟预测）已知集合，，则的子集个数为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】A 【分析】根据，求出集合中元素的个数，根据个元素的集合，其子集个数为个. 【详解】，， 当，时，， 当，或，时，， 当，时，， ， 中元素的个数是个， 的子集个数为个. 故选：A. 2．（23-24高一上·广东中山·阶段练习）集合的子集个数为 ． 【答案】8 【分析】首先计算出集合A，再根据子集个数的公式得出答案. 【详解】由题意可知，所以集合A的子集的个数为 故答案为：8 对点特训二：求集合子集（真子集） 典型例题 例题1．（23-24高一上·四川成都·期中）集合的一个子集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先化简集合，结合选项可得答案. 【详解】因为，所以的子集有，； 故选：D. 例题2．（多选）（23-24高一上·江苏南京·期中）下列各个选项中，满足的集合有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】先化简集合，利用子集的含义可得答案. 【详解】因为，即有， 所以中定有和3，故排除B，又因为是的真子集，故排除D． 故选：AC. 精练 1．（23-24高三上·四川·期末）集合的一个真子集可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由真子集的定义对选项一一判断即可得出答案. 【详解】，故A错误； ，故B错误； 因为是集合的子集，但不是真子集，故D错误； 是集合的真子集，故C正确. 故选：C. 2．（多选）（23-24高一上·山西太原·阶段练习）已知集合M满足⫋，则这样的集合M可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据子集和真子集的概念进行求解. 【详解】因为⫋，故或或， ABC正确，D错误. 故选：ABC 对点特训三：判断集合的包含关系 典型例题 例题1．（23-24高一上·江苏宿迁·阶段练习）已知集合，，则 （    ） A． B．⫋ C．⫋ D． 【答案】B 【分析】根据集合，元素的特征可判断它们的包含关系. 【详解】因为，， 故⫋ 故选：B 例题2．（23-24高一上·宁夏吴忠·阶段练习）已知集合，，则正确表示与的关系的示意图是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意求出，进而，结合韦恩图即可求解. 【详解】由，得，即， 所以，即. 故选：B 精练 1．（2024·广东·一模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由集合的元素特性，可得集合间的关系. 【详解】由集合，，得. 故选：D 2．（22-23高一下·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知集合，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 化简集合，由元素与集合，集合与集合之间的关系即可判断. 【详解】 由已知，，从而 ，不是的子集. 故选：C. 对点特训四：根据集合的包含关系求参数 典型例题 例题1．（2024·青海西宁·二模）设集合,若,则（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】C 【分析】根据A是B的子集，分类讨论的值，然后检验是否符合题意. 【详解】由已知得,若,解得， 此时，符合题意; 若,解得, 此时,不符合题意; 若,解得,此时,不符合题意, 综上所述,. 故选:C. 例题2．（23-24高一下·贵州遵义·阶段练习）已知集合，，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用集合的包含关系列式求解即得. 【详解】集合，，由，得， 所以的取值范围是. 故选：A 精练 1．（23-24高三下·重庆·阶段练习）集合，，若，则实数（    ） A． B．0 C． D．1 【答案】C 【分析】根据集合的包含关系，讨论或或，结合集合中元素的互异性，即可判断和选择. 【详解】因为，故． ①当时，，则，与元素的互异性矛盾，故不成立； ②当时，解得，与元素的互异性矛盾，故不成立； ③当时，即，则，，故成立，故. 故选：C． 2．（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知集合，．若，则实数的取值集合为 ． 【答案】 【分析】 根据，得到集合的元素都是集合的元素，即可求得的值. 【详解】由题意，所以或，则或， 所以实数的取值集合为. 故答案为：. 对点特训五：判断两个集合是否相等 典型例题 例题1．（23-24高一上·河北·期中）下列集合中表示同一集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据同一集合的概念可知，两个集合中的元素应一样. 【详解】A：根据集合元素具有无序性，则，故A正确； B：和是不同元素，故B错误； C：图为中的元素是有序实数对，而中的元素是实数，所以C错误； D：因为中有两个元素，即4，3，而中有一个元素，即，所以D错误. 故选：A 例题2．（23-24高一上·上海·期中）是有理数集，集合，在下列集合中： ①；②； ③；④． 与集合相等的集合序号是 . 【答案】④ 【分析】集合相等的条件为集合中的元素相同，根据此条件分别判断①②③④中四个集合中元素是否与集合一致即可. 【详解】对于①，因为，设， 则， 不妨取，可知，而，显然，所以①与集合不相等； 对于②，令，则， 显然，但，即②与集合不相等； 对于③，当时，此时，即， 而集合中不包含元素0，所以③与集合不相等； 对于④，令， 则，其中， 所以④与集合相等； 故答案为：④ 精练 1．（23-24高一上·宁夏石嘴山·阶段练习）下列集合中表示同一集合的是（   ） A．整数，整数集 B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】由集合的定义，依次对集合判断，从而确定集合是否相等即可. 【详解】A选项，整数中的元素是整数，整数集中的元素是整数集，故不是同一集合； B选项，中的元素是，中的元素是，故不是同一集合； C选项，与都表示直线上的所有点，故是同一集合； D选项，中的元素是数1，2，中的元素是有序数对，故不是同一集合； 故选：C. 2．（多选）（23-24高一上·新疆伊犁·阶段练习）给出以下几组集合，其中相等的集合有（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】相等集合即集合中的元素完全一致，通过此定义逐一判定各选项即可. 【详解】对于选项A，是点集,是数集，所以不是相等集合； 对于选项B, , 都表达的是奇数集，所以是相等集合； 对于选项C，,所以是相等集合； 对于选项D, 是空集没有元素，有元素为0，所以不是相等集合. 故选：BC. 对点特训六：根据两个集合相等求参数 典型例题 例题1．（2024·云南大理·模拟预测）已知，其中，则（    ） A．0 B．或 C． D． 【答案】B 【分析】 分二次项系数是否为0结合韦达定理求解. 【详解】 由题意知：为方程的根， 当时，； 当时，二次方程有两个相同的根，则有，此时. 故选:B. 例题2．（23-24高一上·山东临沂·期末）集合，，且，则实数 ． 【答案】 【分析】根据集合关系，可得，从而可求解. 【详解】由题意得， 则，解得. 故答案为：. 精练 1．（23-24高一上·湖北孝感·期中）已知集合，其中，则实数（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据集合相等的概念列式求解即可. 【详解】∵集合， 当且时，结合，解得， 经检验，不符合元素的互异性，舍去； 当且时，结合，解得，经检验，符合题意， 故. 故选：C. 2．（2024高一上·全国·专题练习）已知集合，若，则c的值为 . 【答案】 【分析】根据集合，利用元素的互异性分类讨论求解. 【详解】①若，消去b得， 当时，集合B中的三个元素相同，不满足集合中元素的互异性， 故，，即，此时集合B中的三个元素也相同， ∴舍去，即此时无解． ②若，消去得，同理， ∴，经检验满足题意 故答案为： 对点特训七：空集 典型例题 例题1．（23-24高一上·广东汕头·阶段练习）有下列关系式：①；②；③；④；⑤；⑥其中不正确的是（   ） A．①③ B．③④⑤ C．①②⑤⑥ D．③④ 【答案】D 【分析】根据集合、空集性质及元素与集合关系判断各项正误即可. 【详解】由集合的性质及关系知，、，①②对； 由空集的性质知，、、，③④错，⑤对； 由元素与集合关系知，，⑥对. 故选：D 例题2．（23-24高一上·新疆喀什·期中）已知a是实数，若集合是任何集合的子集，则a的取值范围值是 . 【答案】 【分析】根据题意分析可知方程无解，结合判别式分析求解. 【详解】由题意可知：集合是空集，即方程无解， 则，解得， 所以a的取值范围值是. 故答案为：. 精练 1．（23-24高一上·新疆·期中）下列四个关系式中正确的个数是（    ） （1）；（2）；（3）；（4）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据空集的定义，可得答案. 【详解】解：对于（1），由于空集是任何非空集合的真子集，故（1）正确； 对于（2），表示有一个元素0的单元素集合，所以（2）错误； 对于（3），，所以错误； 对于（4），由于空集是任何集合的子集，故正确． 所以正确的有：（1），（4）共2个． 故选：B． 2．（23-24高一上·四川广安·期中）若集合，则实数a的值的集合为 ． 【答案】 【分析】分与两种情况，结合根的判别式得到不等式，求出答案. 【详解】当时，满足题意； 当时，应满足，解得； 综上可知，a的值的集合为． 故答案为：． 一、单选题 1．（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）设集合，则下列表述正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据元素与集合以及集合子集的定义即可结合选项求解. 【详解】, 所以，，，故ABD错误,C正确, 故选：C 2．（2024·云南贵州·二模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先确定集合A中的元素，再确定两个集合的关系. 【详解】由题意可得，所以. 故选：A 3．（2024·广东广州·一模）设集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用集合元素的互异性及集合的包含关系列式计算即得. 【详解】由，得，即，此时， 由，得，而，所以. 故选：A 4．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·开学考试）下列能正确表示集合和关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解方程求集合N，结合韦恩图及集合间的关系判定选项即可. 【详解】易知，显然，且互不包含. 故选：A 5．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）设集合，则下列选项中正确的是（    ） A．⫋ B．⫌ C． D． 【答案】B 【分析】求出，即可得出两集合之间的关系. 【详解】由题意， 在中，，， ∴，∴⫌， 故选：B. 6．（23-24高三上·浙江宁波·期末）设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简集合，与集合对比，结合子集的定义即可得答案． 【详解】集合,，，,， ． 故选：B． 7．（2024·浙江·二模）已知集合，，若，则满足集合的个数为（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】根据包含关系，写出所有满足条件的集合A即可得解. 【详解】因为， 所以可以是，共8个， 故选：D 8．（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）若集合有15个真子集，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据真子集的定义可得集合A中有4个元素，得解. 【详解】因为集合A有15个真子集，所以集合A中有4个元素，所以. 故选：A． 二、多选题 9．（23-24高一上·重庆云阳·阶段练习）下列集合中，与集合相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据集合的性质得到AC错误，BD正确. 【详解】A选项，，A错误； B选项，，B正确； C选项，，C错误； D选项，只有当和时，，故，D正确. 故选：BD 10．（23-24高一上·河北保定·阶段练习）若集合恰有两个子集，则的值可能是（    ） A．0 B． C．1 D．0或1 【答案】AB 【分析】根据集合为单元素集，即可分类对讨论求解. 【详解】集合恰有两个子集，则集合中只有一个元素， 当时，，符合要求， 当时，，此时，符合要求， 故或， 故选：AB 三、填空题 11．（23-24高一下·上海·期中）已知集合，，且．则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用建立不等关系，求解即可. 【详解】因为，所以，解得. 故答案为： 12．（2024高一上·全国·专题练习）已知集合，，若，则实数的值为 . 【答案】 【分析】由于方程中项含参数，需要对其分两种情况和讨论即可. 【详解】由题意知，当时，，满足题意； 当时，方程的根是，由得：，即或， 解得或， 综上，的值为. 故答案是：. 四、解答题 13．（23-24高一上·陕西延安·阶段练习）集合 (1)若是空集，求的取值范围 (2)若中只有一个元素，求的值并把这个元素写出来 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）讨论当时和当时两种情况，当时，，从而可得答案. （2）讨论当时和当时两种情况，列出方程，即可得解； 【详解】（1）当时，原方程可化为，得，不符合题意； 当即时解集为空集， 所以的取值范围是. （2）当时，原方程可化为，得，符合题意； 当时，方程为一元二次方程，由题意得，，得. 所以当或时，集合A中只有一个元素． 14．（23-24高一上·上海青浦·阶段练习）设集合且满足①;②若，则. (1)能否为单元素集合，为什么? (2)求出只含有两个元素的集合； (3)满足题设条件的集合共有几个?能否列出来? 【答案】(1)不为单元素集合，理由见解析； (2)或或； (3)共7个，，，，，，，. 【分析】（1）假设为单元素集合，其元素为，则得到方程，求出，不为正整数，得到结论； （2）分析得到，则，故只需满足，从而由12的正整数公约数求出答案； （3）在（2）的基础上进行求解. 【详解】（1）假设为单元素集合，其元素为，则， 故，解得或，均不是正整数，不满足， 故假设不成立，不为单元素集合； （2）由题意得，则， 故只需满足， 其中能整除的正整数有， 令，即时，，此时集合， 令，即时，，此时集合， 令，即时，，此时集合， 令，即时，，此时集合， 令，即时，，此时集合， 令，即时，，此时集合， 综上：或或； （3）由（2）可知，中元素只能从选取，且同时出现，同时出现，同时出现， 故满足条件的集合为，，，，，，，共7个. ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$