精品解析：2024年江苏省泰州市兴化市中考三模数学试题

2024年春学期初中学生第三次阶段性评价 九年级数学试卷 （考试时间：120分钟总分：150分） 请注意：1.本试卷分选择题和非选择题两个部分． 2.所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效． 3.作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗． 第一部分 选择题（共18分） 一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 作为中国非物质文化遗产之一的紫砂壶，成型工艺特别，造型式样丰富，陶器色泽古朴典雅，从一个方面鲜明地反映了中华民族造型审美意识．如图是一把做工精湛的紫砂壶“景舟石瓢”，下面四幅图是从左面看到的图形的是（　　） A. B. C. D. 4. 空气的成分（除去水汽、杂质等）是：氮气约占78%，氧气约占21%，其他微量气体约占1%．要反映上述信息，宜采用的统计图是( ) A. 条形统计图 B. 折线统计图 C. 扇形统计图 D. 频数分布直方图 5. 我国古代数学家祖冲之推算出的近似值为，它与的误差小于0.0000003．将0.0000003用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 6. 四张正方形纸片如图放置，知道下列哪两个点之间的距离，可求最大正方形与最小正方形的面积之和（ ） A. 点K，F B. 点K，E C. 点C，F D. 点C，E 第二部分 非选择题部分（共132分） 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．） 7. 因式分解：___________． 8. 要使分式有意义，则x应满足条件____． 9. 若两个相似三角形的周长比为2：3，则它们的面积比是_________. 10. 如图，是的半径，弦于点D，连接．若的半径为，的长为，则的长是______． 11. 眼睛是心灵的窗户为保护学生视力，启航中学每学期给学生检查视力，下表是该校某班39名学生右眼视力的检查结果，这组视力数据中，中位数是_____________． 视力 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 50 人数 1 2 6 3 3 4 1 2 5 7 5 12. 已知，是一元二次方程的两根，则______． 13. 若一次函数的图象不经过第四象限，那么的取值范围是_____． 14. 如图，将正五边形纸片折叠，使点 与点 重合，折痕为，展开后，再将纸片折叠，使边落在线段上，点 的对应点为点，折痕为，则的大小为__________度． 15. 如图，点在抛物线C：上，且在 的对称轴右侧．坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为，．平移该胶片，使所在抛物线对应的函数恰为．则点移动的最短路程是______． 16. 如图，在中，，，，点 在线段上（不与点B、C重合）将线段绕点E顺时针旋转得到线段，当点落在的中位线上时，则 的值为__________． 三、解答题（本大题共10小题，满分102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）解二元一次方程组：． 18. 如图，B是AC的中点，点D，E在 同侧，，． （1）求证： ≌． （2）连接，求证：四边形是平行四边形． 19. 学校举办演讲比赛，总评成绩由“内容、表达、风度、印象”四部分组成．九（1）班组织选拔赛，制定的各部分所占比例如图，三位同学的成绩如表．请解答下列问题： 演讲总评成绩各部分所占比例的统计图： 三位同学的成绩统计表： 内容 表达 风度 印象 总评成绩 小明 8 7 8 8 m 小亮 7 8 8 9 7.85 小田 7 9 7 7 7.8 （1）求图中表示“内容”的扇形的圆心角度数． （2）求表中m的值，并根据总评成绩确定三人的排名顺序． （3）学校要求“内容”比“表达”重要，该统计图中各部分所占比例是否合理？如果不合理，如何调整？ 20. 为了丰富校园文化生活，某校举办“数学素养”趣味赛．比赛题目分为“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“ 综合与实践”四组（依次记为A，B，C，D）．小西和小安两名同学参加比赛，其中一名同学从四组题目中随机抽取一组，然后放回，另一名同学再从四组题目中随机抽取一组． （1）小安抽到C组题目的概率是 ； （2）请用列表或画树状图的方法求小西和小安两名同学抽到的题目不是同一组的概率． 21. 已知反比例函数，点都在该反比例函数图象上． （1）求的值； （2）若点都在该反比例函数图象上； ①当，点和点 关于原点中心对称时，求点 坐标； ②当时，求的取值范围． 22. 运动创造美好生活！一天小美和小丽相约一起去沿河步道跑步．若两人同时从A地出发，匀速跑向距离9000米处的B地，小美的跑步速度是小丽跑步速度的1.2倍，那么小美比小丽早5分钟到达B地． （1）求小美每分钟跑多少米？ （2）若从A地到达B地后，小美以跑步形式继续前进到C地．从小美跑步开始，前20分钟内，平均每分钟消耗热量15卡，超过20分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡，在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量，小美从A地到C地锻炼共用多少分钟． 23. AB是的切线，切点为B，交于点 ，若． （1）如图1，用圆规和无刻度的直尺在上求作一点，使得为的切线．（圆规只限使用一次，并保留作图痕迹） （2）如图2，在（1）的条件下，连接与相交于点 ，求线段、与弧围成的图形的面积．（结果保留根号和） 24. 问题：如何将物品搬过直角过道? 情境：图1是一直角过道示意图，为直角顶点，过道宽度都是．矩形是某物品经过该过道时的俯视图，宽为． 步骤 动作 目标 1 靠边 将如图1中矩形的一边靠在上 2 推移 矩形沿方向推移一定距离，使点О在边上 3 旋转 如图2，将矩形绕点О旋转 4 推移 将矩形沿方向继续推移 探究： （1）如图2，已知，小明求得后，说：“，该物品能顺利通过直角过道”．你赞同小明的结论吗?请通过计算说明； （2）如图3，物品转弯时被卡住（C、B分别在墙面与上），若．求的长； （3）求该过道可以通过的物品最大长度，即求的最大值（精确到0.01米，)． 25. 已知，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D是二次函数图象上的一个动点． （1）如图1，当时，点D在第一象限内； ①求点C的坐标，并直接写出直线的函数表达式； ②连接、，若面积是面积的4倍，求点D的坐标； （2）如图2，过点D作交抛物线于点E（与不重合），连接， ，直线与 交于点F，点F的横坐标为t，试探究的值是否为定值？如果为定值，求出该定值；如果不为定值，请说明理由． 26. 综合与实践 问题情境：已知，在矩形中，，，点E在边上（点E不与A，B重合），G为的中点，将矩形沿直线折叠，点恰好落在边上的点处． 猜想证明： （1）如图1，当点与点重合时，试判断与是否相似，并说明理由； 问题解决： （2）如图2，若，求的值； （3）如图3， 为中点，连结分别与交于M，N两点，若为等腰三角形，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年春学期初中学生第三次阶段性评价 九年级数学试卷 （考试时间：120分钟总分：150分） 请注意：1.本试卷分选择题和非选择题两个部分． 2.所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效． 3.作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗． 第一部分 选择题（共18分） 一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同类二次根式的定义，逐个进行判断即可． 【详解】解：A、，与不是同类二次根式，不符合题意； B、与不是同类二次根式，不符合题意； C、，与是同类二次根式，符合题意； D、，与不是同类二次根式，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了同类二次根式，解题的关键是掌握同类二次根式的定义：将二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式是同类二次根式；最简二次根式的特征：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 2. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据合并同类项、积的乘方、单项式乘以单项式和同底数幂除法法则进行判断即可． 【详解】A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，符合题意； D、，不符合题意， 故选：C． 【点睛】此题考查了合并同类项、积的乘方、单项式乘以单项式和同底数幂除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 3. 作为中国非物质文化遗产之一的紫砂壶，成型工艺特别，造型式样丰富，陶器色泽古朴典雅，从一个方面鲜明地反映了中华民族造型审美意识．如图是一把做工精湛的紫砂壶“景舟石瓢”，下面四幅图是从左面看到的图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了从三个方面看物体，准确把握从正面、左面和上面三个方向看立体图形得到的平面图形是解决问题的关键．从正面、左面和上面三个方向看立体图形得到的平面图形，注意所有的看到的或看不到的棱都应表现在视图中，看得见的用实线，看不见的用虚线，虚实重合用实线． 【详解】解：从左面看，得到的平面图形是， 故选：B． 4. 空气的成分（除去水汽、杂质等）是：氮气约占78%，氧气约占21%，其他微量气体约占1%．要反映上述信息，宜采用的统计图是( ) A. 条形统计图 B. 折线统计图 C. 扇形统计图 D. 频数分布直方图 【答案】C 【解析】 【分析】在扇形统计图中将总体看做一个圆，用各个扇形表示各部分，能清楚的表示出各部分所占总体的百分比． 【详解】根据题意，将空气（除去水汽、杂质等）看做总体，用各个扇形表示空气的成分（除去水汽、杂质等）中每一种成分所占空气的百分比，由此可以选择扇形统计图． 故选C． 【点睛】本题考查了统计图的选取，扇形统计图的特点及优点，熟练掌握各种统计图的特点及优点是解题的关键． 5. 我国古代数学家祖冲之推算出的近似值为，它与的误差小于0.0000003．将0.0000003用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】绝对值较小的数的科学记数法的一般形式为：a×10-n，在本题中a应为3，10的指数为-7． 【详解】解：0.0000003 故选A 【点睛】本题考查的是用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数决定． 6. 四张正方形纸片如图放置，知道下列哪两个点之间的距离，可求最大正方形与最小正方形的面积之和（ ） A. 点K，F B. 点K，E C. 点C，F D. 点C，E 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，设，则，进而可得，由勾股定理得，据此可得答案． 【详解】解：设， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴知道点C，F的距离即可求出最大正方形与最小正方形的面积之和， 故选：C． 第二部分 非选择题部分（共132分） 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．） 7. 因式分解：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查提公因式法分解因式．直接提公因式进行因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 8. 要使分式有意义，则x应满足条件____． 【答案】x≠1． 【解析】 【分析】当分式的分母不为零时，分式有意义，即x−1≠0． 【详解】当x﹣1≠0时，分式有意义，∴x≠1． 故答案为：x≠1． 【点睛】本题考查分式有意义的条件；熟练掌握分式分母不为零时，分式有意义是解题的关键． 9. 若两个相似三角形的周长比为2：3，则它们的面积比是_________. 【答案】4∶9 【解析】 【详解】解：∵两个相似三角形的周长比为2：3， ∴这两个相似三角形的相似比为2：3， ∴它们的面积比是4：9． 故答案为：4：9． 考点：相似三角形的性质． 10. 如图，是的半径，弦于点D，连接．若的半径为，的长为，则的长是______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据垂径定理可得的长，根据勾股定理可得结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了垂径定理和勾股定理．垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧． 11. 眼睛是心灵的窗户为保护学生视力，启航中学每学期给学生检查视力，下表是该校某班39名学生右眼视力的检查结果，这组视力数据中，中位数是_____________． 视力 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 50 人数 1 2 6 3 3 4 1 2 5 7 5 【答案】4.6 【解析】 【分析】数据按从小到大排列，若数据是偶数个，中位数是最中间两数的平均数，若数据是奇数个，中位数是正中间的数． 【详解】解：该样本中共有个数据，按照右眼视力从小到大的顺序排列，第个数据是，所以学生右眼视力的中位数为． 【点睛】本题主要考查了学生对中位数的理解，解题关键是如何找中位数，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数． 12. 已知，是一元二次方程的两根，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】直接利用根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两根， ∴，， ∴． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，若是方程()的两根，则，． 13. 若一次函数的图象不经过第四象限，那么的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与、的关系，先判断出一次函数图象经过第一、二、三象限或一、三象限，即可确定的取值范围，解题的关键是熟练掌握一次函数的图象及性质． 【详解】解：∵一次函数的图象不经过第四象限， ∴一次函数图象经过第一、二、三象限或一、三象限， ∴， 故答案为：． 14. 如图，将正五边形纸片折叠，使点 与点重合，折痕为，展开后，再将纸片折叠，使边落在线段上，点 的对应点为点，折痕为，则的大小为__________度． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意求得正五边形的每一个内角为，根据折叠的性质求得在中，根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵正五边形的每一个内角为， 将正五边形纸片折叠，使点 与点重合，折痕为， 则， ∵将纸片折叠，使边落在线段上，点 的对应点为点，折痕为， ∴，， 在中，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，正多边形的内角和的应用，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 15. 如图，点在抛物线C：上，且在的对称轴右侧．坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为，．平移该胶片，使所在抛物线对应的函数恰为．则点移动的最短路程是______． 【答案】5 【解析】 【分析】先求出平移后的顶点，结合平移前的顶点，求出这两点间的距离即为所求． 【详解】解： 平移后的抛物线的解析式为， 平移后的顶点， 平移前抛物线的顶点， 点移动的最短路程． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了抛物线的平移，正确理解题意、明确求解的方法是解题关键． 16. 如图，在中，，，，点在线段 上（不与点B、C重合）将线段绕点E顺时针旋转得到线段 ，当点落在的中位线上时，则 的值为__________． 【答案】3或 【解析】 【分析】由旋转的性质可得，，由可证，可得，，分三种情况讨论，即可求解． 【详解】解：如图， 过点F作于H， ， ， 若点F落在以中点和中点所在的中位线上， ， ∵将线段绕点E顺时针旋转得到线段 ， ， ， ， ， ， 此时点F不在以中点和中点所在的中位线上，故舍去； 如图，若点落在中点和 中点所在的中位线上， ，， ， ． 由旋转的性质得， ， ， ， ， ； 如图，当点F落在中点和 中点所在的中位线上， 同理可求： 故答案为：3或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线的性质，矩形的判定与性质，分类讨论是解答本题的关键． 三、解答题（本大题共10小题，满分102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）解二元一次方程组：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）先根据零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值的运算法则，以及绝对值化简计算出各数，再计算加减即可； （2）先用加减消元法求出x的值，再把x的值代入①求出y的值即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：， 得：③， ②③得：， 解得：， 把代入①中得：， 解得：， 原方程组的解为：． 【点睛】本题考查的是实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，以及解二元一次方程组，熟知特殊角的三角函数值，以及解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法是解题的关键． 18. 如图，B是AC的中点，点D，E在同侧，，． （1）求证：≌． （2）连接，求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1） 解：∵B是的中点， ∴． 在和中， ∴≌（）． （2） 解：如图所示， ∵≌， ∴， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】（1）由B是的中点得，结合，，根据全等三角形的判定定理“”即可证明≌； （2）由（1）中≌得，进一步得，再结合，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法与性质是解题的关键． 19. 学校举办演讲比赛，总评成绩由“内容、表达、风度、印象”四部分组成．九（1）班组织选拔赛，制定的各部分所占比例如图，三位同学的成绩如表．请解答下列问题： 演讲总评成绩各部分所占比例的统计图： 三位同学的成绩统计表： 内容 表达 风度 印象 总评成绩 小明 8 7 8 8 m 小亮 7 8 8 9 7.85 小田 7 9 7 7 7.8 （1）求图中表示“内容”的扇形的圆心角度数． （2）求表中m的值，并根据总评成绩确定三人的排名顺序． （3）学校要求“内容”比“表达”重要，该统计图中各部分所占比例是否合理？如果不合理，如何调整？ 【答案】（1）； （2），三人成绩从高到低的排名顺序为：小亮，小田，小明； （3）班级制定的各部分所占比例不合理，理由如下： “内容”比“表达”重要，那么“内容”所占比例应大于“表达”所占比例， ∴“内容”所占百分比应为40%，“表达”所占百分比为30%，其它不变； 【解析】 【分析】（1）由“内容”所占比例×360°计算求值即可； （2）根据各部分成绩所占的比例计算加权平均数即可； （3）根据 “内容”所占比例要高于“表达”比例，将“内容”所占比例设为40%即可； 【小问1详解】 解：∵“内容”所占比例为， ∴“内容”的扇形的圆心角； 【小问2详解】 解：， ∵， ∴三人成绩从高到低的排名顺序为：小亮，小田，小明； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了扇形圆心角的计算，加权平均数的计算，掌握相关概念的计算方法是解题关键． 20. 为了丰富校园文化生活，某校举办“数学素养”趣味赛．比赛题目分为“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“ 综合与实践”四组（依次记为A，B，C，D）．小西和小安两名同学参加比赛，其中一名同学从四组题目中随机抽取一组，然后放回，另一名同学再从四组题目中随机抽取一组． （1）小安抽到C组题目的概率是 ； （2）请用列表或画树状图的方法求小西和小安两名同学抽到的题目不是同一组的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查列表法或画树状图求随机事件的概率． （1）抽取项目有四组，小安抽取一组，根据概率计算公式即可求解； （2）用树状图把所有可能的结果表示出来，再找出小西和小安不同题目的结果，根据概率计算公式即可求解． 【小问1详解】 解：小安抽到C组题目的概率是： 【小问2详解】 解：画树状图如下： 由图知，共有16 种等可能的结果，小西和小安两名同学抽到的题目不是同一组的有12 种， ∴小西和小安两名同学抽到的题目不是同一组的概率是 21. 已知反比例函数，点都在该反比例函数图象上． （1）求的值； （2）若点都在该反比例函数图象上； ①当，点和点 关于原点中心对称时，求点 坐标； ②当时，求的取值范围． 【答案】（1）3 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据反比例函数图象与性质，利用待定系数法列方程求解即可得到答案； （2）①利用反比例函数图象与性质，结合题意求出，利用待定系数法列方程求解即可得到答案；②利用反比例函数图象与性质，利用待定系数法求出，列不等式求解即可得到答案． 【小问1详解】 解： 反比例函数，点都在该反比例函数图象上， ，解得， ； 【小问2详解】 解：点都在该反比例函数图象上，且点和点 关于原点中心对称， ， ，则，解得， ， 将代入得，解得， ； ②，则， ， ， ， ． 【点睛】本题考查反比例函数图象与性质，涉及待定系数法确定、点的对称性质、解不等式等知识，熟练掌握反比例函数图象与性质是解决问题的关键． 22. 运动创造美好生活！一天小美和小丽相约一起去沿河步道跑步．若两人同时从A地出发，匀速跑向距离9000米处的B地，小美的跑步速度是小丽跑步速度的1.2倍，那么小美比小丽早5分钟到达B地． （1）求小美每分钟跑多少米？ （2）若从A地到达B地后，小美以跑步形式继续前进到C地．从小美跑步开始，前20分钟内，平均每分钟消耗热量15卡，超过20分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡，在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量，小美从A地到C地锻炼共用多少分钟． 【答案】（1）小美每分钟跑360米 （2）小美从A地到C地锻炼共用50分钟 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用和一元二次方程的应用，找出等量关系列方程是解题的关键． （1）设小丽每分钟跑x米，则小美每分钟跑米，根据“小红的跑步时间-小明的跑步时间=5”列分式方程求解即可； （2）设小美从A地到C地锻炼共用y分钟，根据“在整个锻炼过程中，小美共消耗1650卡的热量”列出关于y的一元二次方程，求解取其符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：设小丽每分钟跑x米，则小美每分钟跑米， 根据题意，得， 解得：， 经检验，既是所列分式方程的解，也符合题意， 则， 答：小美每分钟跑360米． 【小问2详解】 设小美从A地到C地锻炼共用y分钟， 根据题意，得， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：小美从A地到C地锻炼共用50分钟． 23. AB是的切线，切点为B，交于点，若． （1）如图1，用圆规和无刻度的直尺在上求作一点，使得 为的切线．（圆规只限使用一次，并保留作图痕迹） （2）如图2，在（1）的条件下，连接与相交于点，求线段、与弧围成的图形的面积．（结果保留根号和） 【答案】（1） 如图所示： （2） 【解析】 【分析】本题考查作图-复杂作图，切线的判定和性质，扇形的面积等知识: (1）以点为圆心，长为半径画圆交于点，作直线交于点，连接，交于点，作直线 ，则直线 为的切线； （2）证明，求出 ，根据阴影部分的面积的面积-扇形的面积计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， 是的切线， ， ， ， ， ， ， ． 由（1）知， 是的切线， ， 在和中，， ， ， 在中，， ， ，． 阴影部分的面积为． 24. 问题：如何将物品搬过直角过道? 情境：图1是一直角过道示意图，为直角顶点，过道宽度都是．矩形 是某物品经过该过道时的俯视图，宽为． 步骤 动作 目标 1 靠边 将如图1中矩形 的一边 靠在上 2 推移 矩形 沿方向推移一定距离，使点О在边 上 3 旋转 如图2，将矩形 绕点О旋转 4 推移 将矩形 沿方向继续推移 探究： （1）如图2，已知，小明求得后，说：“，该物品能顺利通过直角过道”．你赞同小明的结论吗?请通过计算说明； （2）如图3，物品转弯时被卡住（C、B分别在墙面与上），若．求的长； （3）求该过道可以通过的物品最大长度，即求 的最大值（精确到0.01米，)． 【答案】（1）不赞同， 连接， 由题知，， 则， 该物品不能顺利通过直角过道； （2） （3）物品的最大长度为米 【解析】 【分析】（1）连接，根据勾股定理，求出的长，与比较大小，即可求解， （2）过点作的平行线，根据锐角三角函数，求出、的长，即可求解， （3）根据勾股定理，根据锐角三角函数，求出、的长，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点作的平行线，交过道两侧分别于点，由题可知， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：当时，物品能通过直角过道． 当，则， 同理，， 此时，， 答：物品的最大长度为米． 25. 已知，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D是二次函数图象上的一个动点． （1）如图1，当时，点D在第一象限内； ①求点C的坐标，并直接写出直线 的函数表达式； ②连接、，若面积是面积的4倍，求点D的坐标； （2）如图2，过点D作交抛物线于点E（与 不重合），连接 ， ，直线 与 交于点F，点F的横坐标为t，试探究的值是否为定值？如果为定值，求出该定值；如果不为定值，请说明理由． 【答案】（1）①，；②或 （2）为定值 【解析】 【分析】（1）当时，二次函数为．令，则可求出点，令，则可求出点，，采用待定系数法即可求出直线 的函数解析式； ②过点作平行于轴的直线，交线段 于点，根据点A，B，C的坐标即可求得，从而，设，则点，根据即可求得a的值，从而解答； （2）设点D的坐标为，点的坐标为， 由直线与 不重合，得到且，且，，过点D作y轴的平行线，过点E作x轴的平行线，两平行线相交于点G，证得，得到，从而，因此，化简即可得到，从而点的坐标为，根据待定系数法求出直线 的表达式为：，直线 的表达式为：，令，得到，由点的横坐标为t，得到，从而，为定值． 【小问1详解】 解：当时，二次函数为． ①令， ， ∴点C的坐标为， 令，则， 解得，， ∴， 设直线 的函数解析式为， ∵直线 过点，， ∴，解得 直线 的函数表达式：． ②过点作平行于轴的直线，交线段 于点， ∵，，， ∴，， ∴， 由面积是面积的4倍，得． 设，则点 解得或， ∴或． 【小问2详解】 解：∵二次函数， 令，则， ∴， 令，则，解得，， ∴， 设点D的坐标为，点的坐标为， ∵直线与 不重合， 且，且，， ∵，点， ∴， 过点D作y轴的平行线，过点E作x轴的平行线，两平行线相交于点G， ∴， 设交y轴于点H， ∵，轴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵ ． 点的坐标为， 设直线 的表达式为， ，解得， 直线 的表达式为：， 同理直线 的表达式为：， ，解得， 点的横坐标为t， ， ，为定值． 【点睛】本题考查待定系数法，二次函数的图象及性质，抛物线与坐标轴的交点，相似三角形的判定及性质，综合运用相关知识是解题的关键． 26. 综合与实践 问题情境：已知，在矩形 中，，，点E在边上（点E不与A，B重合），G为 的中点，将矩形 沿直线折叠，点恰好落在边 上的点处． 猜想证明： （1）如图1，当点与点重合时，试判断与是否相似，并说明理由； 问题解决： （2）如图2，若，求的值； （3）如图3，为 中点，连结分别与交于M，N两点，若为等腰三角形，求的值． 【答案】 （1）相似 证明： 四边形 为矩形， ∴，， 由折叠知，，，， 为 中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． （2）；（3）的值为或 【解析】 【分析】（1）由四边形 为矩形，可得，，由折叠知，，，，由，可得，则，进而结论得证； （2）由折叠的性质可知，，则，，，证明，则，即，可得，，即，求解作答即可； （3）由题意知，当为等腰三角形时，分，，三种情况求解；①当时，，可得，，由，可得，设，则，由，即，可得得，证明，则，即，整理得，，在中，由勾股定理得，，即，．求出满足要求的解，根据求解即可；②当时，可证为的中点，，，此时，此情况不成立，舍去；③当时，同理①求解作答即可． 【详解】（1）略 （2）解：由折叠的性质可知，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∴，整理得，， 解得，或（舍）， ∴的值为； （3）解：由题意知，当为等腰三角形时，分，，三种情况求解； ①当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 四边形 为矩形， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴，即， 解得， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即，整理得，， 在中，由勾股定理得，，即， ∴， ∴． 解得或（舍）． ∴． ②当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴为的中点， ∵，，， ∴， ∴， ∴，此情况不成立，舍去； ③当时， ∵， ∴， 同理①可得，， 设，则，， 在中，由勾股定理得，，即时， ∴， ∵， ∴，即， 解得，， 在中，由勾股定理得，，即， ∴， 解得或（舍）． ∴， 综上，的值为或． 【点睛】本题考查了矩形与折叠，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，余弦等知识．熟练掌握矩形与折叠，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，余弦是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $