七年级下学期期末卷04-2023-2024学年七年级数学下册同步备考系列卷（北师大版）

2023-2024 七年下数学期末测试卷04 北师大版 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、单选题 1．奥密克戎是新型冠状病毒，其直径为140纳米（1纳米米）．“140纳米”用科学记数法表示为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．下列图形中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．下列事件中，是确定事件的为（    ） A．最近 3 天内会下雨 B．367人中没有人公历生日相同 C．打开电视，正在播放连续剧《清平乐》 D．重庆八中高2023级将招收1500人 4．如图，和是同位角的是（　　） A．   B．   C．   D．   5．我们知道等边三角形的每个内角都是．如图，将三个大小不同的等边三角形的一个顶点重合放置，若，．则的度数为（    ）    A．10° B．20° C．30° D．40° 6．如图1，在平行四边形ABCD中，点P从起点B出发，沿BC，CD逆时针方向向终点D匀速运动．设点P所走过的路程为x，则线段AP，AD与平行四边形的边所围成的图形面积为y，表示y与x的函数关系的图像大致如图2，则AB边上的高是(     )                   A．3 B．4 C．5 D．6 7．求1＋2＋22＋23＋…＋22019的值，可令S＝1＋2＋22＋23＋…＋22019，则2S＝2＋22＋23＋…＋22019＋22020因此2S－S＝22020－1.仿照以上推理，计算出1＋5＋52＋53＋…＋52019的值为（    ） A．52019－1 B．52020－1 C． D． 8．如图，把一张长方形纸片沿折叠，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 9．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°，BD⊥AC，垂足为D点，AE平分∠BAC，交BD于点F交BC于点E，点G为AB的中点，连接DG，交AE于点H，下列结论错误的是（　　） A．AH＝2DF B．HE＝BE C．AF＝2CE D．DH＝DF 10．如图，甲、乙两车分别从M、N两地沿同一公路相向匀速行驶，两车分别抵达N，M两地后即停止行驶．已知乙车比甲车提前出发，设甲、乙两车之间的路程S（），乙行驶的时间为t（h），S与t的对应关系如图所示．下列说法错误的是（    ） A．M、N两地之间路程是 B．乙比甲提前1.5小时出发，两车在相遇 C．乙车速度是，甲车速度是 D．， 二、填空题 11．不透明袋子中装有12个球，其中有5个红球、7个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是 ． 12．如果是一个完全平方式，那么的值是 ． 13．若x+y+z=2，x2﹣（y+z）2=8时，x﹣y﹣z= ． 14．如图，在中，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点和点，再分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，作射线交于点．若，，则的长度为 ． 15．如图，将长方形纸片沿折叠，折线交于E，交于F，点C、D的落点分别是、，交于G，再将四边形沿折叠，点、的落点分别是、，交于H，下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是 （填写序号）．    三、解答题 16．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 17．为庆祝中国共青团成立100周年，某校开展四项活动：A项参观学习，B项团史宣讲，C项经典诵读，D项文学创作，要求每名学生在规定时间内必须且只能参加其中一项活动，该校从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们参加活动的意向，将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图． (1)本次调查采用的调查方式是__________（填写“普查”或“抽样调查”）； (2)B项活动所在扇形的圆心角的大小是__________；条形统计图中C项活动的人数是__________； (3)已知选择A项的32名学生中有20名男生和12名女生．若从这32名学生中随机抽取1名学生座谈，且每名学生被抽到的可能性相同，则恰好抽到男生的概率是__________． (4)若该校约有2000名学生，请估计其中意向参加“参观学习”活动的人数为__________． 18．如图，在三角形ABC中， D，E，F三点分别在AB，AC，BC上，过点D的直线与线段EF的交点为点M，已知2∠1－∠2=150°，2∠ 2－∠1=30°. （1）求证：DM∥AC； （2）若DE∥BC，∠C =50°，求∠3的度数.    19．如图，在中，点D，E分别是边BC，AC上的点，，于点F，于点G，且，求证：//． 20．今年大年初一上午十点整，首届四川天府新区兴隆湖新春环湖跑正式开跑．男子竞速组、女子竞速组、新春欢乐行三大方队相继出发，十余位世界及全国冠军领跑，来自各地数千名跑友一起奔向新的一年． 新春欢乐行路线为天府新区大阳台南(起点)—环湖跑道—天府路演艺术中心(终点)，全长为5000 米． 小成和爸爸的行程S(单位：米) 随时间t(单位：分钟) 变化的图象如图所示． 根据图中信息回答以下问题： (1)第6分钟时，小成和爸爸相距多少米？ (2)由于体力不支，小成在中途降低速度，降速后小成速度是爸爸速度的，求小成和爸爸相遇时距天府路演艺术中心(终点) 还有多远？ (3)调整状态后，小成再次提高速度，当爸爸到达终点时，小成离终点还有880米，求整个跑步过程中爸爸和小成相距400米时的时间． 21．在中，，点D、E分别在、上，连接、和；并且有，． （1）求的度数； （2）求证：． 22．阅读下列材料： ①关于x的方程方程两边同时乘以得：，即，故，所以． ②；． 根据以上材料，解答下列问题： （1），则______ ；______ ；______ ； （2），求的值． 23．【问题初探】 如图，和是两个都含有角的大小不同的直角三角板，即，，． （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，、、在同一直线上，连接、，则线段与的数量关系是　　，位置关系是　　； 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 如图（3），在四边形中，，，，连接，，，点到直线的距离为7，请直接写出的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024 七年下数学期末测试卷04 北师大版 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、单选题 1．奥密克戎是新型冠状病毒，其直径为140纳米（1纳米米）．“140纳米”用科学记数法表示为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解：140纳米米米米， 故选：C． 【点睛】此题考查科学记数法，注意n的值的确定方法，当原数大于等于10时，n等于原数的整数数位个数减1，当原数小于1时， n等于原数的第一个不为0的数字前的0的个数的相反数． 2．下列图形中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形的知识如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：A、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故符合题意； B、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故不符合题意； C、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故不符合题意； D、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故不符合题意； 故选：A． 3．下列事件中，是确定事件的为（    ） A．最近 3 天内会下雨 B．367人中没有人公历生日相同 C．打开电视，正在播放连续剧《清平乐》 D．重庆八中高2023级将招收1500人 【答案】B 【分析】根据确定事件包括必然事件和不可能事件．必然事件指在一定条件下一定发生的事件不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件进行解答． 【详解】A、最近 3 天内会下雨，是随机事件，该选项不符合题意； B、因为367人中至少有2人的生日相同，所以367人中没有人公历生日相同，是不可能事件，是确定事件，该选项符合题意； C、打开电视，正在播放连续剧《清平乐》，是随机事件，该选项不符合题意； D、重庆八中高2023级将招收1500人，是不确定事件，该选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了确定事件的定义，用到的知识点为：确定事件包括必然事件和不可能事件．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件． 4．如图，和是同位角的是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．据此对各选项进行分析即可得出结果． 【详解】解：根据同位角的定义，观察上图可知， A．和是内错角，不是同位角，故此选项不符合题意； B．和不是同位角，故此选项不符合题意； C．和是同位角，故此选项符合题意； D．和不是同位角，故此选项不合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查同位角的概念，掌握同位角的概念是解题的关键． 5．我们知道等边三角形的每个内角都是．如图，将三个大小不同的等边三角形的一个顶点重合放置，若，．则的度数为（    ）    A．10° B．20° C．30° D．40° 【答案】C 【分析】本题考查了角的和差运算： 【详解】解：如图：    ∵等边三角形的每个内角都是60°， ∴， ∵，． ∴， 则 ∵ ∴ 故选：C 6．如图1，在平行四边形ABCD中，点P从起点B出发，沿BC，CD逆时针方向向终点D匀速运动．设点P所走过的路程为x，则线段AP，AD与平行四边形的边所围成的图形面积为y，表示y与x的函数关系的图像大致如图2，则AB边上的高是(     )                   A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】要找出准确反映y与x之间对应关系的图象，需分析在不同阶段中s随x变化的情况. 解：由图象可以看出BC=5，CD=6，S平行四边形ABCD=24， ∵S平行四边形ABCD=AB×h=6h=24. ∴h=4. 故选B. 7．求1＋2＋22＋23＋…＋22019的值，可令S＝1＋2＋22＋23＋…＋22019，则2S＝2＋22＋23＋…＋22019＋22020因此2S－S＝22020－1.仿照以上推理，计算出1＋5＋52＋53＋…＋52019的值为（    ） A．52019－1 B．52020－1 C． D． 【答案】C 【分析】根据题目信息，设S=1+5+52+53+…+52019，表示出5S=5+52+53+…+52020，然后相减求出S即可． 【详解】根据题意，设S=1+5+52+53+…52019， 则5S=5+52+53+…52020， 5S-S=（5+52+53+…52020）-（1+5+52+53+…52019）， 4S=52020-1， 所以，1＋5＋52＋53＋…＋52019 = 故选C． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，读懂题目信息，理解等比数列的求和方法是解题的关键． 8．如图，把一张长方形纸片沿折叠，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质，折叠问题．折叠得到，平行得到，即可得出结果． 【详解】解：∵长方形纸片的对边平行，， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴； 故选A． 9．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°，BD⊥AC，垂足为D点，AE平分∠BAC，交BD于点F交BC于点E，点G为AB的中点，连接DG，交AE于点H，下列结论错误的是（　　） A．AH＝2DF B．HE＝BE C．AF＝2CE D．DH＝DF 【答案】A 【分析】通过证明△ADF≌△BDC，可得AF＝BC＝2CE，由等腰直角三角形的性质可得AG＝BG，DG⊥AB，由余角的性质可得∠DFA＝∠AHG＝∠DHF，可得DH＝DF，由线段垂直平分线的性质可得AH＝BH，可求∠EHB＝∠EBH＝45°，可得HE＝BE，即可求解． 【详解】解：∵∠BAC＝45°，BD⊥AC， ∴∠CAB＝∠ABD＝45°， ∴AD＝BD， ∵AB＝AC，AE平分∠BAC， ∴CE＝BE＝BC，∠CAE＝∠BAE＝22.5°，AE⊥BC， ∴∠C+∠CAE＝90°，且∠C+∠DBC＝90°， ∴∠CAE＝∠DBC，且AD＝BD，∠ADF＝∠BDC＝90°， ∴△ADF≌△BDC（AAS） ∴AF＝BC＝2CE，故选项C不符合题意， ∵点G为AB的中点，AD＝BD，∠ADB＝90°，∠CAE＝∠BAE＝22.5°， ∴AG＝BG，DG⊥AB，∠AFD＝67.5° ∴∠AHG＝67.5°， ∴∠DFA＝∠AHG＝∠DHF， ∴DH＝DF，故选项D不符合题意， 连接BH， ∵AG＝BG，DG⊥AB， ∴AH＝BH， ∴∠HAB＝∠HBA＝22.5°， ∴∠EHB＝45°，且AE⊥BC， ∴∠EHB＝∠EBH＝45°， ∴HE＝BE， 故选项B不符合题意， 故选：A． 【点睛】本题考查三角形全等的性质与判定,等腰直角三角形的性质,关键在于熟练掌握基本知识点,灵活运用知识点. 10．如图，甲、乙两车分别从M、N两地沿同一公路相向匀速行驶，两车分别抵达N，M两地后即停止行驶．已知乙车比甲车提前出发，设甲、乙两车之间的路程S（），乙行驶的时间为t（h），S与t的对应关系如图所示．下列说法错误的是（    ） A．M、N两地之间路程是 B．乙比甲提前1.5小时出发，两车在相遇 C．乙车速度是，甲车速度是 D．， 【答案】D 【分析】首先由图象和题意可知：M、N两地之间的路程是300km，乙比甲提前1.5h出发，两车在相遇，再由可求得乙车的速度，据此即可求得甲车的速度，由乙车到达M地，可求得甲车行驶的路程b的值，再求得甲车到达N地所用时间a的值，即可一一判定． 【详解】解：由图象和题意可知M、N两地之间的路程是300km，故A正确； 由图象可知：乙比甲提前1.5小时出发，两车在相遇，故B正确； 乙车的速度为：， 甲车的速度为：， 故C正确； 乙车到达M地时，甲车行驶的路程为：， 甲车到达N地所用时间为：， 故D错误， 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是结合图象以及各数量关系进行解答． 二、填空题 11．不透明袋子中装有12个球，其中有5个红球、7个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查求简单事件的概率，理解题意是解答的关键．直接利用概率公式求解即可． 【详解】解：由题知从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是， 故答案为：． 12．如果是一个完全平方式，那么的值是 ． 【答案】或 【分析】这里首末两项是x和4这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和4的积的2倍，故，求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了完全平方公式的应用；两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解． 13．若x+y+z=2，x2﹣（y+z）2=8时，x﹣y﹣z= ． 【答案】4 【详解】分析：把x2﹣(y＋z)2用平方差公式因式分解后，再把x＋y＋z＝2整体代入求值. 详解：∵x2﹣(y＋z)2＝8， ∴(x＋y＋z)(x－y－z)＝8， ∵x＋y＋z＝2， ∴2(x－y－z)＝8， ∴x－y－z＝4. 故答案为4. 点睛：平方差公式的特点是：①等号左边是二项式，每一项都可以表示为平方的形式，两项的符号相反；②等号右边是两数的和与两数的差的积，被减数是左边平方项为正的那个数． 14．如图，在中，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点和点，再分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，作射线交于点．若，，则的长度为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质．由作图可知，是的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质结合等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：由作图可知，是的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴，， 故答案为：7． 15．如图，将长方形纸片沿折叠，折线交于E，交于F，点C、D的落点分别是、，交于G，再将四边形沿折叠，点、的落点分别是、，交于H，下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是 （填写序号）．    【答案】①②④ 【分析】本题考查了平行线的性质等知识和与折叠有关的角的计算等知识．根据平行线的性质得到，根据折叠性质得到，即可得到，故①正确；根据平行线的性质得到，根据折叠的性质得到，结合，即可求出，故②正确；先证明，根据折叠性质得，结合，得到当时，，故③错误；根据，即可得到，故④正确，符合题意； 【详解】解：∵， ． 根据折叠的性质得，， ． 故①正确，符合题意； ∵， ， 根据折叠的性质得，， ， ， 故②正确，符合题意； ，， ， 根据折叠的性质得，， ， 当时，， 故③错误，不符合题意； ， ． 故④正确，符合题意； 故答案为：①②④． 三、解答题 16．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了实数的混合运算，整式的混合运算，熟悉掌握运算的法则是解题的关键． （1）先运算乘方，再进行加减运算即可； （2）根据积的乘方和幂的乘方运算法则运算即可； （3）根据完全平方公式化简运算即可； （4）根据平方差的运算公式化简运算即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4） 解：原式 17．为庆祝中国共青团成立100周年，某校开展四项活动：A项参观学习，B项团史宣讲，C项经典诵读，D项文学创作，要求每名学生在规定时间内必须且只能参加其中一项活动，该校从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们参加活动的意向，将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图． (1)本次调查采用的调查方式是__________（填写“普查”或“抽样调查”）； (2)B项活动所在扇形的圆心角的大小是__________；条形统计图中C项活动的人数是__________； (3)已知选择A项的32名学生中有20名男生和12名女生．若从这32名学生中随机抽取1名学生座谈，且每名学生被抽到的可能性相同，则恰好抽到男生的概率是__________． (4)若该校约有2000名学生，请估计其中意向参加“参观学习”活动的人数为__________． 【答案】(1)抽样调查 (2)，20 (3) (4)800 【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，求概率，利用样本估计总体的思想进行求解： （1）根据调查的方法，进行判断即可； （2）用选项的人数除以所占的比例求出总人数，用总人数减去其他人数求出C项活动的人数，用360度乘以项所占的比例求出圆心角的度数； （3）直接利用概率公式进行计算即可； （4）利用样本估计总体的思想，进行求解即可． 【详解】（1）解：本次调查采用的调查方式是抽样调查； 故答案为：抽样调查； （2）， ，； 故答案为：，20； （3）抽到男生的概率是：； （4）． 18．如图，在三角形ABC中， D，E，F三点分别在AB，AC，BC上，过点D的直线与线段EF的交点为点M，已知2∠1－∠2=150°，2∠ 2－∠1=30°. （1）求证：DM∥AC； （2）若DE∥BC，∠C =50°，求∠3的度数.    【答案】（1）证明见解析（2）50° 【分析】(1) 已知 2∠1-∠2=150°，2∠2-∠1=30°，可得∠1+∠2=180°，再由∠1+∠DME=180°，可得∠2=∠DME，根据内错角相等，两直线平行即可得DM∥AC；（2） 由（1）得DM∥AC，根据两直线平行，内错角相等可得∠3＝∠AED ，再由DE∥BC ，可得∠AED=∠C ，所以∠3=∠C=50°. 【详解】（1）∵ 2∠1-∠2=150°，2∠2-∠1=30°， ∴ ∠1+∠2=180°. ∵ ∠1+∠DME=180°， ∴ ∠2=∠DME  . ∴ DM∥AC . （2）∵ DM∥AC， ∴ ∠3＝∠AED .   ∵ DE∥BC ， ∴ ∠AED=∠C . ∴ ∠3=∠C . ∵ ∠C=50°， ∴ ∠3=50°. 19．如图，在中，点D，E分别是边BC，AC上的点，，于点F，于点G，且，求证：//． 【答案】见解析 【分析】如图所示，连接AD，先证明Rt△ADF≌Rt△ADG得到∠DAF=∠DAG，由AE=DE，得到∠EAD=∠EDA，即可证明∠DAF=∠EDA，则． 【详解】解：如图所示，连接AD， ∵DG⊥AC，DF⊥AB， ∴∠DFA=∠DGA=90°， 又∵DF=DG，AD=AD， ∴Rt△ADF≌Rt△ADG（HL） ∴∠DAF=∠DAG， ∵AE=DE， ∴∠EAD=∠EDA， ∴∠DAF=∠EDA， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的判定，等腰三角形的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 20．今年大年初一上午十点整，首届四川天府新区兴隆湖新春环湖跑正式开跑．男子竞速组、女子竞速组、新春欢乐行三大方队相继出发，十余位世界及全国冠军领跑，来自各地数千名跑友一起奔向新的一年． 新春欢乐行路线为天府新区大阳台南(起点)—环湖跑道—天府路演艺术中心(终点)，全长为5000 米． 小成和爸爸的行程S(单位：米) 随时间t(单位：分钟) 变化的图象如图所示． 根据图中信息回答以下问题： (1)第6分钟时，小成和爸爸相距多少米？ (2)由于体力不支，小成在中途降低速度，降速后小成速度是爸爸速度的，求小成和爸爸相遇时距天府路演艺术中心(终点) 还有多远？ (3)调整状态后，小成再次提高速度，当爸爸到达终点时，小成离终点还有880米，求整个跑步过程中爸爸和小成相距400米时的时间． 【答案】(1)600米 (2)2600米 (3)整个跑步过程中爸爸和小成相距400米时的时间为第4分钟或第8分钟或第16分钟或第28分钟． 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，一元一次方程的应用： （1）根据函数图象求出爸爸的速度，进而求出第6分钟时爸爸所走的路程即可得到答案； （2）设小成和爸爸在出发t分钟后相遇，先求出降速后小成的速度为米/分，再根据两人相遇时所走的路程相同列出方程求解即可； （3）求出小成再次提高速度后的速度为160米/分，设整个跑步过程中爸爸和小成相距400米时的时间为m分钟，分当小成没有降速时，两人相距400米，当小成降速后，二人相遇前，两人相距400米，当小成降速后，二人相遇后且小成未再次提速前，两人相距400米，当爸爸到达终点后，两人相距400米，四种情况分别列出方程求解即可． 【详解】（1）解；由函数图象可知，小成爸爸的速度为米/分， ∴第6分钟时小成和爸爸相距米； （2）解：设小成和爸爸在出发t分钟后相遇， 由题意得，降速后小成的速度为米/分， ∴， 解得， ∴小成和爸爸相遇时距天府路演艺术中心(终点) 还有米； （3）解：米/分， ∴小成再次提高速度后的速度为160米/分， 设整个跑步过程中爸爸和小成相距400米时的时间为m分钟， 当小成没有降速时，两人相距400米，则，解得； 当小成降速后，二人相遇前，两人相距400米，则，解得； 当小成降速后，二人相遇后且小成未再次提速前，两人相距400米，则，解得； 当爸爸到达终点后，两人相距400米，则，解得； 综上所述，整个跑步过程中爸爸和小成相距400米时的时间为第4分钟或第8分钟或第16分钟或第28分钟． 21．在中，，点D、E分别在、上，连接、和；并且有，． （1）求的度数； （2）求证：． 【答案】（1）；（2）见解析 【分析】（1）由，，可得为等边三角形，由，，，可证 （2）延长至F，使，连接， 由，，且，可证 由，可证为等边三角形，可得， 可推出结论， 【详解】解：（1）∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∵，， ∵， ∴ （2）如图，延长至F，使，连接， 由（1）得为等边三角形， ∴， ∵， 又∵，且， ∴， 在与中， ∴ ∴， ∴， ∴ 又∵， ∴为等边三角形 ∴， 又∵，且， ∴， 【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，三角形全等判定与性质，线段和差，三角形外角性质，关键是引辅助线构造三角形全等证明等边三角形． 22．阅读下列材料： ①关于x的方程方程两边同时乘以得：，即，故，所以． ②；． 根据以上材料，解答下列问题： （1），则______ ；______ ；______ ； （2），求的值． 【答案】（1）4， 14，194；（2） 【分析】（1）根据例题方程两边同时除以x，即可求得的值，然后平方即可求得的值，然后再平方求得的值； （2）首先方程两边除以2x即可求得的值，然后平方即可求得的值，，然后利用题目提供的立方差公式求解． 【详解】解：（1）∵， ∴， ， ； 故答案为：4；14；194； （2）∵， ∴， ， ． 【点睛】本题考查了完全平方公式、平方差公式以及立方差公式，正确理解完全平方公式的变形是关键． 23．【问题初探】 如图，和是两个都含有角的大小不同的直角三角板，即，，． （1）当两个三角板如图（1）所示的位置摆放时，、、在同一直线上，连接、，则线段与的数量关系是　　，位置关系是　　； 【类比探究】 （2）当三角板保持不动时，将三角板绕点顺时针旋转到如图（2）所示的位置，判断与的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 如图（3），在四边形中，，，，连接，，，点到直线的距离为7，请直接写出的面积． 【答案】（1），；（2），理由见解析；（3） 【分析】此题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂直的判断方法，熟练掌握相关性质和判定，作出合适的辅助线是解题的关键． （1）由等腰直角三角形的性质判断出即可得出，，然后推导出，进而得出，即可得解； （2）先证明得到，，再延长与交于点，证明即可得到； （3）过作交延长线于，可证得，可得，，进而得到，再由求出和的长即可． 【详解】解：（1）；，证明如下， 延长交于点，如图1所示， 和是两个都含有角的大小不同的直角三角板， ，，， ， ，， ， ． ． ， ， （2），，理由如下： ， ， ，， ， ，， 延长与交于点，如图2， ， ， ， ， ， ； （3）过作交延长线于，过作交于，如图3， ， ， ， ，，， ， ，， ， 到直线的距离为7， ， ， ， ， ，即， 解得，， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$