精品解析：2024年广东省深圳市南海中学中考三模数学试题

南海中学九年级三模数学试卷 一．选择题（共 10 小题） 1. 若用5表示向上移动5米，则向下移动2米记作（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正负数的实际应用，由用5表示向上移动5米，则可得到向下移动2米记作，熟记正负数的意义是解决问题的关键． 【详解】解：用5表示向上移动5米， 向下移动2米记作， 故选：A． 2. 以下是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别；根据轴对称图形的概念，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此解答即可． 【详解】根据轴对称图形的定义可知B选项是轴对称图形，其余选项不是轴对称图形． 故选：B 3. 海关总署网站3月7日消息，据海关统计，年前2个月，我国货物贸易进出口总值达到亿元人民币，同比增长．将数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了用科学记数法表示较大的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．根据科学记数法的定义，这里的，，据此即可判断． 【详解】解：， 故选：C． 4. 为迎接“义务教育国测”检查，南海中学抽查了八年级7个班的班额人数，抽查数据统计如下：52，52，54，55，52，51，55，这组数据的众数和中位数是（ ） A. 53 和 52 B. 52 和 53 C. 53 和 53 D. 52 和 52 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查中位数和众数，熟练掌握中位数和众数的定义，是解题的关键．根据中位数和众数的定义，直接求解即可． 【详解】数据52出现了3次，出现次数最多，故这组数据的众数是52； 将这组数据从小到大的顺序排列51，52，52，52，54，55，55， 所以中位数是52． 故选：D． 5. 如图，在中，平分交于，，，则的长为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型． 首先证明，再根据平行四边形的性质即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 故选：C． 6. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂的运算及整式的乘法法则即可完成． 【详解】A、，故运算结果错误； B、，故运算结果错误； C、，故运算结果正确； D、，故运算结果错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了幂的运算：同底数幂的除法与积的乘方，单项式乘多项式及乘法公式中的完全平方公式，熟悉这些计算法则，掌握完全平方公式的特征是解题的关键，注意运算中符号不要出错． 7. 如图，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查三角形内角和定理，平行线的性质，根据平行线的性质求出的度数，进而根据邻补角得出，再根据三角形的内角和即可求出 ． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴， 故选：B． 8. 劳动课上，八（1）班同学分成两组练习包饺子，女生组包300个饺子与男生组包200个所用的时间相同，已知女生组每分钟比男生组多包30个，若设女生组每分钟包个，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设女生组每分钟包个，则男生组每分钟包个，根据等量关系即可列出方程. 【详解】解：设女生组每分钟包个，则男生组每分钟包个，由题意可得： 故选：A． 9. 如图，市政府准备修建一座高 的过街天桥，已知天桥的坡面与地面的夹角的余弦值为，则坡面的长度为（ ） A. 8m B. 10m C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查的是解直角三角形的应用．在中，通过已知边和已知角的余弦值，即可计算出未知边的长度． 【详解】解：由在中，， 设 ， ， 则 ， 则； 又， ； 故选：B． 10. 如图，在等腰中，于点D．动点从点出发，沿着的路径以每秒个单位长度的速度运动到点停止，过点作 于点，作于．在此过程中四边形的面积与运动时间的函数关系图象如图所示，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，由图中拐点的纵坐标，得到四边形的面积，此时点运动到点，可证明四边形是正方形，面积为，那么正方形的边长为，易得 为等腰直角三角形，即得到长为，进而求出长度为，解题的关键理解拐点的纵坐标表示的意义及动点此时所在的位置． 【详解】解：∵动点从点出发，沿着的路径运动， ∴第一个拐点的位置在点处，此时点运动到点， ∵图中拐点的纵坐标， ∴四边形的面积为， ∵ ，， ∴， ∵， ∴ 四边形是矩形， ∵是等腰直角三角形，， ∴，，， ∴，， ∴四边形是正方形， ， ∴是等腰直角三角形， ∵四边形的面积为， ∴， ∴， ∴， 故选：． 二．填空题（共 5 小题） 11. 将一枚点数为 且质地均匀的正方体骰子投掷一次，观察向上一面的点数，则向上一面的点数大于的概率为______． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】本题考查概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事情的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率． 直接应用求概率的公式求解即可． 【详解】∵一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有到的点数，点数大于的有，，共个， ∴向上一面的点数大于的概率为． 故答案为：． 12. 已知，则的值为______． 【答案】2025 【解析】 【分析】本题主要考查了代数式求值，多项式乘多项式，先根据得出，用多项式乘多项式计算得出，然后整体代入求值即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：2025． 13. 如图，是的直径，点C，D在上，连接，若，则________°． 【答案】28 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，关键是由圆周角定理得到． 由邻补角的性质得到，由圆周角定理求出． 【详解】解：∵， ， ． 故答案为：28． 14. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于A、B两点，与坐标轴交于C、D两点，若 ，则k的值是_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，相似三角形的判定和性质等知识点， 利用条件证出，设，则，点A、B的横坐标分别为 ，，将点 的横坐标分别代入一次函数 可得点 的纵坐标，可得，，利用反比例函数图象上点的坐标特征建立方程求出a的值得到，由此可得k值．利用交点坐标满足两个函数解析式是解题关键． 【详解】作轴，轴，垂足分别为M、N， ∵， ∴， ∴，， ∵ ， ∴， 设，则， 将代入得 解得：， ∴， 将代入得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点A、B的横坐标分别为， 将点，的横坐标分别代入一次函数 可得点，的纵坐标， ∴，， ∵点，在反比例函数图象上， ∴， 解得舍去， ∴， ∵点A在反比例函数图象上， ∴， 故答案为：6． 15. 如图，在中，，点在上，点为上的动点，将沿翻折得到 ，与相交于点，若，，，，则的值为 __________________． 【答案】 【解析】 【分析】作 于点，作于点，交于点，作于点，得到，证明四边形是正方形，是等腰三角形，根据，得出，设 ，，进而得到，，根据平分，可得，，在中，根据勾股定理得，即，求出即可． 【详解】解：如图， 作 于点，作于点，交于点，作于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， 矩形是正方形， ，， ，， ， 设 ，， ，， 由折叠得：， ，， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， （舍去）， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了翻折的性质，平行线的性质，正方形的性质，相似三角形的判断与性质，勾股定理，角平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识，并正确作出辅助线． 三．解答题（共 7 小题） 16. 计算： 【答案】6 【解析】 【分析】先分别计算有理数的乘方，化简绝对值，零指数幂，负整数指数幂，正弦，然后进行加减运算即可 【详解】解：， 【点睛】本题考查了有理数的乘方，化简绝对值，零指数幂，负整数指数幂，正弦等知识 熟练掌握有理数的乘方，化简绝对值，零指数幂，负整数指数幂，正弦是解题的关键 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，及二次根式的分母有理化，熟练掌握以上化简技巧是解题的关键． 先通分，因式分解，然后变除为乘，约分即可，最后代入的值，得出结果 【详解】解： ． 当时， 原式． 18. 某学校为了开展好课后延时服务，举办了A：机器人；B：航模；C：科幻绘画：D：信息学；E：科技小制作等五个兴趣小组（每人限报一项），将参加各兴趣小组的人数绘制成如图两幅不完整的统计图．根据统计图中的信息解答下列问题： （1）求本次参加课后延时服务的学生人数； （2）把条形统计图补充完整，并求扇形统计图中 的度数； （3）在C组最优秀的2名同学（1名男生1名女生）和E组最优秀的3名同学（2名男生1名女生）中，各选1名同学参加全区的课后延时服务成果展示比赛，利用树状图或表格，求所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的概率． 【答案】（1）80 （2）补全条形统计图如图所示． ； （3）设组的1名男生和1名女生分别记为 组的2名男生和1名女生分别记为 ． 画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的结果有： ， ，共3种， 所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的概率为． 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图； （1）用参加组的学生人数除以其所占的百分比可得本次参加课后延时服务的学生人数． （2）用本次参加课后延时服务的学生人数分别减去参加，，，组的学生人数，可求出参加组的学生人数，补全条形统计图即可；用乘以参加组的学生所占的百分比，即可求出 的度数． （3）画树状图得出所有等可能的结果数和所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：本次参加课后延时服务的学生人数是 （名）． 【小问2详解】 参加组的人数为 （名）． 扇形统计图中的 的度数是 ． 【小问3详解】 略 19. “体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想，体育强则中国强，国运兴则体育兴．”为引导学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质，学校开展大课间活动，七年级五班拟组织学生参加跳绳活动，需购买，两种跳绳若干，已知购买根种跳绳和根种跳绳共需元；购买根种跳绳和根种跳绳共需元． （1）求，两种跳绳的单价； （2）如果班级计划购买，两型跳绳共 根，型跳绳个数不少于型跳绳个数的倍，那么购买跳绳所需最少费用是多少元？ 【答案】（1）种跳绳的单价为元，种跳绳的单价为元 （2）购买跳绳所需最少费用是元 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一次函数的实际应用，读懂题意，正确列出二元一次方程以及一次函数是解题的关键． （1）设种跳绳的单价为元，种跳绳的单价为元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得到答案； （2）设购买型跳绳根，总费用为元，根据“型跳绳个数不少于型跳绳个数的倍”，求出，求出，根据一次函数的性质，即可得到答案． 【小问1详解】 解：设种跳绳的单价为元，种跳绳的单价为元． 由题意可得， 解得：， 答：种跳绳的单价为元，种跳绳的单价为元 【小问2详解】 解：设购买型跳绳根． 班级计划购买，两型跳绳共48根 购买型跳绳根． 根据题意得： 解得：． 设购买跳绳所需费用为元， 则 即 ， 随的增大而减小． 当时，取得最小值，最小值为（元）． 答：购买跳绳所需最少费用是元． 20. 如图，在中，，D为边上的点，以为直径作，连接并延长交于点E，连接，． （1）求证：是的切线． （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：如图所示，连接， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵ ， ∴． 又∵ ， ∴， ∴ ，即 ， ∴． ∵是的半径， ∴是的切线． （2）． 【解析】 【分析】本题考查的是切线的判定、等腰三角形的性质、勾股定理． （1）连接，根据等腰三角形的性质得到，由得到 ，得 ，于是得到结论； （2）设的半径为r，则，由得到关于r的方程，即可求出半径，进而求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中，， 由题意得，， 设的半径为r，则， 在 中， ， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴ ． 21. 请阅读信息，并解决问题： 问题 芙蓉大桥检修后需要更换吊杆及相关装饰品 查询信息 深圳有许多桥，有一座坐落于罗湖区的桥—芙蓉大桥，如图，是芙蓉大桥的一个拱，其外形酷似竖琴．桥拱固定在桥面上，拱的两侧安装了17对吊杆（俗称“琴弦”）此段桥长120米，拱高25米． 处理信息 如图是芙蓉大桥其中一拱的主视图，，分别表示是桥的起点和终点，桥拱可看成抛物线，拱的两端，位于线段上，且．一根琴弦固定在拱的对称轴处，其余16根琴弦对称固定在两侧，每侧各8根．记离拱端最近的一根为第1根，从左往右，依次记为第2根，第3根，为第9根， 测量数据 测得上桥起点与拱端水平距离为20米，最靠近拱端的“琴弦” 高9米，与之间设置7根“琴弦”，各琴弦的水平距离相等，记为米． 解决问题 任务1：建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式； 任务2：求琴弦与拱端的水平距离及的值． 任务3：若需要在琴弦与之间垂直安装一个如图所示高为的高音谱号艺术品，艺术品底部在桥面上，顶部恰好扣在拱桥上边缘，问该艺术品顶部应该安装在哪两根琴弦之间？ 【答案】任务1：；任务2：琴弦与拱端的水平距离为8米，的值为4米；任务3：该艺术品顶部应该安装在第3根和第4根琴弦之间 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的表达式及性质是解题的关键． 任务1：以桥所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立平面直角坐标系，则点为原点，令抛物线的解析式为，将点代入中即可得出答案； 任务2：将代入即可得出的长度，再根据线段的和差即可得出的长度，进而求出的值； 任务3：将代入出的值，再进行判断该艺术品顶部应该安装在哪两根琴弦之间． 【详解】解：任务 如图，以桥所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立直角坐标系， 则点为原点， 由题意得，，， 则点的坐标为， 令抛物线的解析式为， 将点代入中得， ， 解得：， 则抛物线的解析式为． 任务（米）， 将代入得， ，（舍）， （米， （米），（米）， 琴弦与拱端的水平距离为8米，的值为4米． 任务3：将代入得， ，（舍）， ， 该艺术品顶部应该安装在第3根和第4根琴弦之间． 22. （1）如图1，在与中， ，，连结，，求和的数量关系； （2）如图2，在与中，，，边和交于点F．点D在边上，，求； （3）如图3，若， ，，，当的值最大时，直接写出 的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题主要考查动点最值问题，涉及相似三角形的判定和性质、解直角三角形和勾股定理， 根据题意得 ，及，即可判定，有，则有； 连接，设 ，则，由（1）知，得，则 ，进一步判定，则有即可； 以为边在上方作，且，，连接，，，，可得，求得，在中求得，即可得到点D在以点E为圆心，半径的圆上运动，当点A，E，D三点共线时，AD的值最大，此时可求得和，则有和，结合，有 ，过点A作于点F，可求得和以及和，在中即可求得． 【详解】解：（1）∵， ∴ ， ∵ ， ∴，即， ∴， 即， 故； （2）连接，如图， 设 ，则， 由（1）知， ∴， ∴ ， ∵，， ∴， ∴； （3）以为边在上方作，且，，连接，，，，如图所示， 由(1)可得， ∴， ∵， ∴， 在中，， ， ∴点D在以点E为圆心，半径的圆上运动， 当点A，E，D三点共线时，AD的值最大，此时如图所示，则：， 在 中，， ∴， ， ∵， ∴， ∵， ∴ ， 过点A作于点F，如图， ∴， ， ∵ ， ∴， ∴， 在中，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南海中学九年级三模数学试卷 一．选择题（共 10 小题） 1. 若用5表示向上移动5米，则向下移动2米记作（ ） A. B. C. D. 2. 以下是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 海关总署网站3月7日消息，据海关统计，年前2个月，我国货物贸易进出口总值达到亿元人民币，同比增长．将数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 为迎接“义务教育国测”检查，南海中学抽查了八年级7个班的班额人数，抽查数据统计如下：52，52，54，55，52，51，55，这组数据的众数和中位数是（ ） A. 53 和 52 B. 52 和 53 C. 53 和 53 D. 52 和 52 5. 如图，在中，平分交于，，，则的长为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 6. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 劳动课上，八（1）班同学分成两组练习包饺子，女生组包300个饺子与男生组包200个所用的时间相同，已知女生组每分钟比男生组多包30个，若设女生组每分钟包个，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，市政府准备修建一座高 的过街天桥，已知天桥的坡面与地面的夹角的余弦值为，则坡面的长度为（ ） A. 8m B. 10m C. D. 10. 如图，在等腰中，于点D．动点从点出发，沿着的路径以每秒个单位长度的速度运动到点停止，过点作 于点，作于．在此过程中四边形的面积与运动时间的函数关系图象如图所示，则的长是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共 5 小题） 11. 将一枚点数为 且质地均匀的正方体骰子投掷一次，观察向上一面的点数，则向上一面的点数大于的概率为______． 12. 已知，则的值为______． 13. 如图，是的直径，点C，D在上，连接，若，则________°． 14. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于A、B两点，与坐标轴交于C、D两点，若 ，则k的值是_____． 15. 如图，在中，，点在上，点为上的动点，将沿翻折得到 ，与相交于点，若，，，，则的值为 __________________． 三．解答题（共 7 小题） 16. 计算： 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 某学校为了开展好课后延时服务，举办了A：机器人；B：航模；C：科幻绘画：D：信息学；E：科技小制作等五个兴趣小组（每人限报一项），将参加各兴趣小组的人数绘制成如图两幅不完整的统计图．根据统计图中的信息解答下列问题： （1）求本次参加课后延时服务的学生人数； （2）把条形统计图补充完整，并求扇形统计图中 的度数； （3）在C组最优秀的2名同学（1名男生1名女生）和E组最优秀的3名同学（2名男生1名女生）中，各选1名同学参加全区的课后延时服务成果展示比赛，利用树状图或表格，求所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的概率． 19. “体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想，体育强则中国强，国运兴则体育兴．”为引导学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质，学校开展大课间活动，七年级五班拟组织学生参加跳绳活动，需购买，两种跳绳若干，已知购买根种跳绳和根种跳绳共需元；购买根种跳绳和根种跳绳共需元． （1）求，两种跳绳的单价； （2）如果班级计划购买，两型跳绳共 根，型跳绳个数不少于型跳绳个数的倍，那么购买跳绳所需最少费用是多少元？ 20. 如图，在中，，D为边上的点，以为直径作，连接并延长交于点E，连接，． （1）求证：是的切线． （2）若，求的长． 21. 请阅读信息，并解决问题： 问题 芙蓉大桥检修后需要更换吊杆及相关装饰品 查询信息 深圳有许多桥，有一座坐落于罗湖区的桥—芙蓉大桥，如图，是芙蓉大桥的一个拱，其外形酷似竖琴．桥拱固定在桥面上，拱的两侧安装了17对吊杆（俗称“琴弦”）此段桥长120米，拱高25米． 处理信息 如图是芙蓉大桥其中一拱的主视图，，分别表示是桥的起点和终点，桥拱可看成抛物线，拱的两端，位于线段上，且．一根琴弦固定在拱的对称轴处，其余16根琴弦对称固定在两侧，每侧各8根．记离拱端最近的一根为第1根，从左往右，依次记为第2根，第3根，为第9根， 测量数据 测得上桥起点与拱端水平距离为20米，最靠近拱端的“琴弦” 高9米，与之间设置7根“琴弦”，各琴弦的水平距离相等，记为米． 解决问题 任务1：建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式； 任务2：求琴弦与拱端的水平距离及的值． 任务3：若需要在琴弦与之间垂直安装一个如图所示高为的高音谱号艺术品，艺术品底部在桥面上，顶部恰好扣在拱桥上边缘，问该艺术品顶部应该安装在哪两根琴弦之间？ 22. （1）如图1，在与中， ，，连结，，求和的数量关系； （2）如图2，在与中，，，边和交于点F．点D在边上，，求； （3）如图3，若， ，，，当的值最大时，直接写出 的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $