精品解析：江西省宜春市丰城市东煌学校2023-2024学年高二下学期6月月考数学试题

2023-2024学年下学期第三次月考试卷 高二数学 一、单选题 1. 若函数在区间内满足，且，则函数在内有（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】由，得函数在区间内单调递增，则，从而即可求解. 【详解】解：由题意，当时，， 所以函数在区间内单调递增，又， 所以， 所以对任意，都有， 故选：C. 2. 已知实数列成等比数列，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列的性质求解可得，再根据性质求解即可 【详解】因为实数列成等比数列，由等比数列的性质有：，解得，但注意到无论等比数列的公比是正是负总有，所以，从而 故选：C． 3. 已知函数的图象与直线相切于点，则（ ） A. 4 B. 8 C. 0 D. -8 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数的几何意义直接求解出的值，再根据点在直线上求解出的值，即可计算出结果. 【详解】直线的斜率为4，直线与函数的图象相切于点， 根据导数的几何意义即为切线的斜率，所以， 又点在函数的图象上，同时也在切线上，所以， ． 则． 故选：B． 4. 设数列满足，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用累乘可求数列的通项，利用裂项相消法可求. 【详解】根据题意，有， 故，而符合该式，故， 而， 因此． 故选：D. 5. 若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】计算，再将问题转化为在有2个不同的两侧异号的实数根，从而利用二次函数的根的分布即可得解. 【详解】因为有两个不同的极值点， 所以在上有2个不同的零点，且零点两侧异号， 所以在有2个不同的实数根，且根据二次函数的性质可知这两根的两侧函数值异号， 所以，解得. 故选：C. 6. 已知正项等比数列的公比为3，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式计算． 【详解】 ，所以， 则，故． 故选：A． 7. 已知是可导函数，且对于恒成立，则 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，利用导数判断其单调性即可得出. 【详解】已知是可导函数，且对于恒成立，即恒成立， 令，则， 函数在R上单调递减， ， 即， 化为. 故选：D. 8. 已知函数若在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数讨论分段函数的单调性即可求解. 【详解】令函数，. 要满足条件，必须在上单调递减， 在上单调递减，且. 易知在上单调递减. ， 令,即,解得, 令,即,解得, 可得在上单调递增，在上单调递减，所以. ， 令,即,解得, 令,即,解得, 则当时，， 当时，， 要使，则. 所以的取值范围是. 故选:C. 二、多选题 9. 已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S5＜S6，S6＝S7，S7＞S8，则（ ） A. S5＜S9 B. 该数列的公差d＜0 C. a7＝0 D. S11＜0 【答案】BC 【解析】 【分析】由题意可得，从而得出等差数列中前6项为正，从第8项起均为负，结合等差数列的性质和前项和的公式对选项进行判断即可. 【详解】解：由可得，， 得， 由得，所以等差数列的公差，故选项B正确. 所以为正，，从第8项起均为负. 故选项C正确. 所以，故选项A不正确. ，故选项D不正确. 故选：BC. 10. 已知函数的极值点，则（ ） A. 是的极小值点 B. 有三个零点 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据极值点的概念可得，进而判断函数单调性及零点情况，判断各选项. 【详解】由， 得， 由是函数的极值点，得，解得， 故函数，， 令，解得或， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减， 故为极小值点，A选项正确； 又，，，， 所以函数分别在，，上各有一个零点，共三个零点，B选项正确； 又在上单调递减，且， 所以， 又，故，C选项错误； 同理， 且， ，D选项正确； 故选：ABD. 11. 如下表，将个数排成n行n列的一个数阵： …… …… …… …… …… …… …… …… …… 该数阵第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列，每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列（其中）．已知，，记第n列的n个数的和为，数阵中的个数的和为．下列结论正确的是（ ） A. m＝3 B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据数阵的特征即可判断各选项的真假． 【详解】对A，因为，由可得，，而，解得，A正确； 对B，因为第一列是以为首项，为公差的等差数列，其前项和为，后一列的和是前一列的倍，所以各列的和可看成以为首项，为公比的等比数列，所以，B正确； 对C，，C正确； 对D，因为第一列是以为首项，为公差的等差数列，其前项和为，后一列的和是前一列的倍，所以各列的和可看成以为首项，为公比的等比数列，所以，D错误． 故选：ABC． 12. 定义在上的函数，已知是它的导函数，且恒有成立，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式结构特征构造函数，研究该函数的单调性即可求解. 【详解】令，则， 因为， 所以，则在上单调递减， 所以，即， 故，， 故选：C. 三、填空题 13. 函数的图象在点处的切线方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】先求导，再求和，利用即可求解. 【详解】由，，故函数的图象在点处的切线方程为：. 故答案为： 14. 设等差数列的前n项和为，且，则当n＝__________时，最大． 【答案】1008 【解析】 【分析】由结合等差数列的前项公式可作出判断． 【详解】∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴当n＝1008时，最大． 故答案为：1008 15. 设函数在和处均有极值，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由题可得，从而可求的值. 【详解】由题可得， ∵在和处有极值，且， ∴，即， ∴，经检验适合题意， ∴. 故答案为：. 16. 已知数列满足，且．若对任意，，不等式恒成立，则正整数的最小值为______． 【答案】12 【解析】 【分析】由，得，得数列是等差数列，求得通项公式，对利用裂项相消法求和，然后由单调性得的最小值，解相应不等式可得的范围从而得结论． 【详解】由，得，所以数列是首项为4，公差为1的等差数列，所以，故，所以， 则． 当，时，为单调递增数列，所以． 因为对任意，恒成立，所以， 即，所以正整数的最小值为12． 故答案为：12． 四、解答题 17. 用数学归纳法证明：． 【答案】 ①当时，左边，右边，左边右边，不等式成立； ②假设当时，不等式成立，即， 则当， 左边= =右边， 所以当时不等式成立， 综上可得 【解析】 【分析】由成立，再假设当时，不等式成立，然后论证时成立即可 【详解】略 18. 已知函数 （1）讨论的单调性并求最大值； （2）设，若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）在单调递增，在单调递减，的最大值为；（2）. 【解析】 【分析】（1）求导，列表研究在定义域上的符号变化情况，得到单调区间和最大值； （2）恒成立即，令，通过讨论研究其再单调性，得到的最小值，即可求得实数的取值范围． 【详解】（1）由题有， 1 0 递增 最大值 递减 可知，在单调递增，在单调递减； 的最大值为 （2）由题有 令，则， 当时，当时，，则单调递增，则，即恒成立，故符合题意； 当时，当时，，单调递减，则，则不能在上恒成立． 综上：实数的取值范围是 19. 设数列满足数列的前项和 （I）求数列的通项公式； （II）设求数列的前项和 【答案】（I）（II） 【解析】 【分析】（I）由等比数列的定义得出的通项公式；由与的关系得出的通项公式； （II）先写出数列的通项公式，再由错位相减法得出. 【详解】（I）由题意知数列是首项为1，公比为3的等比数列，其通项公式为； 数列满足时，，此时不满足. ∴数列的通项公式为 （II）由（I）知 ， ∴ 两式相减得 所以， 综上，数列的前项和 20. 某物流公司购买了一块长米，宽米的矩形地块，规划建设占地如图中矩形的仓库，其余地方为道路和停车场，要求顶点在地块对角线上，、分别在边、上，假设长度为米．若规划建设的仓库是高度与的长相同的长方体建筑，问长为多少时仓库的库容最大？（墙体及楼板所占空间忽略不计） 【答案】的长度为20米时仓库的库容最大． 【解析】 【分析】由三角形相似可得，从而可得，，则可得仓库的库容，化简后利用导数求其最值 【详解】解：因为，且，． 所以， 得． 仓库的库容 ， 令， 得或（舍去）． 当时，； 当时，． 所以当时，有极大值也是最大值． 即的长度为20米时仓库的库容最大． 21. 已知正项数列的前项和为，且，，. （1）求数列的通项公式； （2）记数列的前项和，求证：. 【答案】（1） （2） ， 则， 所以 ， 所以. 【解析】 【分析】（1）根据与的关系，再结合等差数列即可得出答案； （2）利用裂项相消法求出，即可得证. 【小问1详解】 解：当时，，所以， 由， 得， 两式相减得， 又，所以， 所以数列的奇数项和偶数项都是以为公差的等差数列， 又， 所以数列是以为首项为公差的等差数列， 所以； 【小问2详解】 略 22. 已知函数． （1）试问曲线是否存在过原点的切线？若存在，求切点的坐标；若不存在，请说明理由． （2）证明：．（参考数据：） 【答案】（1）存在，切点坐标为，理由如下： 假设曲线存在过原点的切线，并设切点为， 函数，求导得， 则，整理得，解得，则， 所以曲线存在过原点的切线，且切点坐标为． （2） ，不等式， 设函数，求导得， 当时，单调递减，当时，单调递增，则， 设函数，求导得， 当时，单调递增，当时，单调递减，则， 因为，即有，因此， 所以． 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，设出切点坐标，再求出切线方程即可作答. （2）等价变形不等式，构造函数，，再分别求出其最值判断作答. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年下学期第三次月考试卷 高二数学 一、单选题 1. 若函数在区间内满足，且，则函数在内有（ ） A. B. C. D. 无法确定 2. 已知实数列成等比数列，则 A. B. C. D. 3. 已知函数的图象与直线相切于点，则（ ） A. 4 B. 8 C. 0 D. -8 4. 设数列满足，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知正项等比数列的公比为3，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知是可导函数，且对于恒成立，则 A. B. C. D. 8. 已知函数若在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S5＜S6，S6＝S7，S7＞S8，则（ ） A. S5＜S9 B. 该数列的公差d＜0 C. a7＝0 D. S11＜0 10. 已知函数的极值点，则（ ） A. 是的极小值点 B. 有三个零点 C. D. 11. 如下表，将个数排成n行n列的一个数阵： …… …… …… …… …… …… …… …… …… 该数阵第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列，每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列（其中）．已知，，记第n列的n个数的和为，数阵中的个数的和为．下列结论正确的是（ ） A. m＝3 B. C. D. 12. 定义在上的函数，已知是它的导函数，且恒有成立，则有（ ） A. B. C. D. 三、填空题 13. 函数的图象在点处的切线方程为______. 14. 设等差数列的前n项和为，且，则当n＝__________时，最大． 15. 设函数在和处均有极值，且，则______． 16. 已知数列满足，且．若对任意，，不等式恒成立，则正整数的最小值为______． 四、解答题 17. 用数学归纳法证明：． 18. 已知函数 （1）讨论的单调性并求最大值； （2）设，若恒成立，求实数的取值范围. 19. 设数列满足数列的前项和 （I）求数列的通项公式； （II）设求数列的前项和 20. 某物流公司购买了一块长米，宽米的矩形地块，规划建设占地如图中矩形的仓库，其余地方为道路和停车场，要求顶点在地块对角线上，、分别在边、上，假设长度为米．若规划建设的仓库是高度与的长相同的长方体建筑，问长为多少时仓库的库容最大？（墙体及楼板所占空间忽略不计） 21. 已知正项数列的前项和为，且，，. （1）求数列的通项公式； （2）记数列的前项和，求证：. 22. 已知函数． （1）试问曲线是否存在过原点的切线？若存在，求切点的坐标；若不存在，请说明理由． （2）证明：．（参考数据：） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $