精品解析：河北省保定市保定名校协作体2024届高三五月适应性考试（三模）数学试题

2024届高三年级五月适应性考试 数学试题 时限：120分钟 满分：150分 命审题：高三数学备课组 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数函数的性质和交集的定义可得 【详解】， 故选:C 2. 函数（ ） A. 是偶函数，且在区间上单调递增 B. 是偶函数，且在区间上单调递㺂 C. 是奇函数，且在区间上单调递增 D. 既不是奇函数，也不是偶函数 【答案】A 【解析】 【分析】借助函数奇偶性的定义可判断函数奇偶性，借助导数即可得函数单调性. 【详解】的定义域为，， 为偶函数； 当时，在区间上单调递增. 故选：A. 3. 如图，一个电路中有三个电器元件，每个元件正常工作的概率均为，这个电路是通路的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用对立事件的概率公式及相互独立事件的概率公式计算即得. 【详解】元件都不正常的概率， 则元件至少有一个正常工作的概率为， 而电路是通路，即元件正常工作，元件至少有一个正常工作同时发生， 所以这个电路是通路的概率. 故选：B 4. 已知数列，则“”是“数列是等差数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列定义以及等差中项性质对充分性和必要性分别进行判断即可得结论. 【详解】判断充分性： 因为，所以， 令，则，所以数列的偶数项成等差数列， 令，则，所以数列的奇数项成等差数列， 但数列不一定是等差数列，如：1，1，2，2，3，3； 所以“”不是“数列为等差数列”的充分条件； 再判断必要性： 若数列是等差数列，则， 所以，所以“”是“数列为等差数列”的必要条件； 综上，“”是“数列为等差数列”的必要不充分条件. 故选：B. 5. 已知的三个角，，的对边分别是，，，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦定理将边化为角，利用题设将换为，从而求出，再利用二倍角公式求出. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以，即， 所以. 故选：D． 6. 设抛物线的焦点为，过的直线与抛物线在第一象限交于点，与轴交于点，若，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可求得的坐标为，进而可求的的斜率. 【详解】为的中点，过点作垂直于轴于点为的中位线， 则的坐标为，而，则直线的斜率为. 故选：C． 7. 若函数在区间上是减函数，且，，，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简函数表达式，根据单调性与函数值，结合正弦函数的图象，确定与的值，两式相减，即可求出的值. 【详解】由题知， 因为，， 所以， 又因为在区间上是减函数， 所以， 两式相减，得， 因为，所以. 故选：A. 8. 已知是边长为的正三角形，点是所在平面内的一点，且满足，则的最小值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】可由重心的性质结合向量运算得到点的轨迹，再结合圆上的点到圆外定点的距离最小值为圆心到定点减半径得到；亦可建立适当平面直角坐标系，借助向量的坐标运算结合圆的性质得解. 【详解】法一：设的重心为，则， 点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 又，的最小值是. 法二：以所在直线为轴，以中垂线为轴建立直角坐标系， 则， 设，即， 化简得，点的轨迹方程为， 设圆心为，，由圆的性质可知当过圆心时最小， 又，故得最小值为. 故选：C. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 如图，在正方体中，分别为棱的中点，点是面的中心，则下列结论正确的是（ ） A. 四点共面 B. 平面被正方体截得的截面是等腰梯形 C. 平面 D. 平面平面 【答案】BD 【解析】 【分析】可得过三点的平面为一个正六边形，判断A；分别连接和，截面是等腰梯形，判断B；分别取的中点，易证显然不平行平面，可判断C；平面，可判断D. 【详解】对于A：如图经过三点的平面为一个正六边形，点在平面外，四点不共面，选项A错误； 对于B：分别连接和，则平面即平面，截面是等腰梯形，选项B正确； 对于C：分别取的中点，则平面即为平面， 由正六边形，可知，所以不平行于， 又平面，所以，所以平面， 所以不平行于平面，故选项错误； 对于D：因为是等腰三角形，， ，， 是的中点，易证，由正方体可得平面， 平面，又平面，， 平面，平面， 平面，平面平面故选项D正确． 故选：BD． 10. 已知复数满足：为纯虚数，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 的最小值为3 D. 的最小值为3 【答案】ABD 【解析】 【分析】借助复数的基本概念与模长运算可得A；借助复数的几何意义计算可得B；借助圆与直线的距离可得C、D. 【详解】对A：为纯虚数，可设选项A正确； 对B：设，， 则，即， 则所对应点的轨迹是以为圆心，以2为半径的圆， ，选项B正确； 对C：为纯虚数，对应点在轴上（除去原点）， 所对应点的轨迹是以为圆心，以2为半径的圆， 的取值范围为，无最小值，选项C错误； 对D： ， 表示点到以为圆心，以2为半径的圆上的点的距离， 为纯虚数或0，在轴上（除去点）， 当时取得最小值3，∴选项D正确. 故选：ABD． 11. 已知函数的定义域为R，对，且为的导函数，则（ ） A. 为偶函数 B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A：令，可判断A；对于B：令，进而计算可判断B；对于C：为奇函数，可得为偶函数；进而可得关于对称，可判断C；对于D：令，可得，令，则，两式相加可判断D. 【详解】对于A：令，则， 为奇函数，故选项A不正确； 对于B：令，则，令，则 为奇函数， ， 的周期为4，，故选项B正确； 对于C：为奇函数，为偶函数； 的周期为4， 为偶函数，， 关于对称， 所以，令，可得，令，可得， 所以，故， ，故选项C正确； 对于D：令，则，即①， 令，则②， 由①+②得， 故选项D正确. 故选：BCD． 【点睛】关键点睛：本题综合考查函数性质的应用，涉及到函数的奇偶性、周期性以及导数的知识，解答的关键是根据题意采用变量代换推出函数为周期为4的周期函数，进而求得一个周期内的函数值，即可求解. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分. 12. 已知圆锥曲线的焦点在轴上，且离心率为2，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由圆锥曲线是双曲线，方程表示成标准方程，由离心率求的值. 【详解】圆锥曲线的离心率为，则该圆锥曲线是双曲线， 将方程化成焦点在轴上的标准形式， 由离心率， 有，得． 故答案为： 13. 已知矩形中，以所在直线为旋转轴，将矩形旋转一周形成的面所围成的几何体的体积为______． 【答案】 【解析】 【分析】以所在直线为旋转轴，旋转一周形成两个共底面的圆锥，旋转一周形成一个倒立的相同的几何体，将其体积记为，这两个几何体重叠部分是以圆为底面，为顶点的两个小圆锥，其体积记为，计算可求矩形旋转一周形成的面所围成的几何体的体积. 【详解】如图，以所在直线为旋转轴，旋转一周形成两个共底面的圆锥， 旋转一周形成一个倒立的相同的几何体，将其体积记为， 这两个几何体重叠部分是以圆为底面，为顶点的两个小圆锥，其体积记为， 则所求几何体体积. 故答案为：. 14. 一只口袋装有形状、大小完全相同的3只小球，其中红球、黄球、黑球各1只．现从口袋中先后有放回地取球次，且每次取1只球，表示次取球中取到红球的次数，，则的数学期望为______（用表示）． 【答案】 【解析】 【分析】由题知，，利用，可求得. 【详解】由题知， ， ， ， . 故答案为：. 二､解答题：本题共5小题，共77分. 15. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）若函数有最大值，求实数的值． 【答案】（1） 当时，的增区间是， 当时，的增区间是，减区间是 （2） 【解析】 【分析】（1）求导得，分类讨论可求单调区间； （2）利用（1）的结论可求实数的值． 【小问1详解】 1°当时在区间上单调递增。 2°当时，时，单调递增 时，单调递减 综上，当时，的增区间是， 当时，的增区间是，减区间是 【小问2详解】 由（1）知当时，无最大值。 当时，，平方有， 解得． 16. （1）假设变量与变量的对观测数据为，，，，两个变量满足一元线性回归模型，请写出参数的最小二乘估计； （2）为推动新能源汽车产业高质量发展，国家出台了系列政策举措，对新能源汽车产业发展带来了巨大的推动效果.下表是某新能源汽车品牌从2019年到2023年新能源汽车的年销量（万），其中年份对应的年份代码为1-5．已知根据散点图和相关系数判断，它们之间具有较强的线性相关关系，可以用线性回归模型描述． 年份代码 1 2 3 4 5 销量（万） 4 9 14 18 25 令变量，，则变量与变量满足一元线性回归模型，利用（1）中结论求关于的经验回归方程，并预测2025年该品牌新能源汽车的销售量． 【答案】（1）参数的最小二乘估计为. （2）关于的经验回归方程为，预测2025年该品牌新能源汽车的销售量为34.4万辆. 【解析】 【分析】（1）列式子计算残差平方和，得到一个关于的二次函数，当处在对称轴位置时，有最小值，从而得到参数的最小二乘估计； （2）利用（1）中结论和（2）的数据，求出，得到经验回归方程为，利用题设条件，转化为与的关系式，将代入，即可求出2025年的预测销量. 【详解】（1） ， 要使残差平方和最小，当且仅当，所以参数的最小二乘估计为. （2）由题知，， 所以 ， ， 所以，所以， 所以，，所以， 当时，（万）， 故关于的经验回归方程为，预计2025年该品牌新能源汽车的销售量将达到34.4万辆． 17. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面与相交于点，点在上，． （1）证明：平面； （2）若与平面所成的角为，平面与平面的夹角为，求． 【答案】（1） 底面是菱形，， 平面，且平面，. 又，平面,平面， 平面，，又，且平面，， 平面，平面，， ，，即，又平面， 且，平面． （2） 【解析】 【分析】（1）通过证明，即可证明平面； （2）建立空间直角坐标系，由（1）知平面，即可得，再求平面和平面的法向量即可求出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点，以为轴，为轴，过点且平行的直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示，则 ， ,,又, 在中由勾股定理得, 即,. ，， ，，平面， 与平面所成的角为，平面， 是平面的一个法向量，平面，平面， 平面平面，设，只需，则平面， 则， 令，则， ，. 18. 已知圆，动圆与圆相内切，且经过定点 （1）求动圆圆心的轨迹方程； （2）若直线与（1）中轨迹交于不同的两点，记外接圆的圆心为（为坐标原点），平面上是否存在两定点，使得为定值，若存在，求出定点坐标和定值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在定点，使得（定值） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的定义得到动圆圆心的轨迹焦点在轴上的椭圆，进而求得椭圆的方程； （2）联立与椭圆方程，根据韦达定理得，进而得出和OB的中垂线方程，联立方程求出交点即为圆心坐标的关系为，根据双曲线定义可得及，方法二，设外接圆方程为，联立直线和与圆的方程，利用韦达定理和参数方程消去参数得圆心的坐标关系为，根据双曲线定义可得及 【小问1详解】 设圆的半径为，圆与动圆内切于点．点在圆内部，点在圆内部． ， 点的轨迹是焦点在轴上的椭圆，其方程为． 【小问2详解】 （方法一）联立与椭圆方程，消得， 设，则， 的中垂线方程为：，即① 的中垂线方程为：② 由①②两式可得， 外接圆圆心的横坐标， 其中 ， 又的中垂线方程为，即， 圆心的纵坐标为， 圆心在双曲线上， 存在定点，使得（定值）， （方法二）设外接圆方程为， 联立与圆的方程，消得， 则 ，解得， 设圆心坐标为， 则， 圆心在双曲线上， 存在定点，使得（定值）， 19. 对于数列，如果存在等差数列和等比数列，使得，则称数列是“优分解”的． （1）证明：如果是等差数列，则是“优分解”的． （2）记，证明：如果数列是“优分解”的，则或数列是等比数列． （3）设数列的前项和为，如果和都是“优分解”的，并且，求的通项公式． 【答案】（1） 是等差数列，设， 令， 则是等差数列，是等比数列，所以数列是“优分解”的． （2） 因为数列是“优分解”的，设， 其中， 则． 当时， 当时，是首项为，公比为的等比数列． （3） 【解析】 【分析】（1）是等差数列，则，令，可得结论； （2）设，可得，进而可得结论； （3）设，可得是首项为2，公比为的等比数列，设，可得，可得，可得数列是首项，公比为的等比数列，可求的通项公式． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 一方面，数列是“优分解”的，设， 其中，由（2）知 因为，所以． 是首项为2，公比为的等比数列． 另一方面，因为是“优分解”的，设， 其中， 是首项为2，公比为的等比数列， ，且， 化简得， 即数列是首项，公比为的等比数列． 又， 又解得， 综上所述，． 【点睛】关键点点睛：本题考查数列新定义，弄清题意，并充分应用等比和等差数列的性质是解题的关徤. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024届高三年级五月适应性考试 数学试题 时限：120分钟 满分：150分 命审题：高三数学备课组 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数（ ） A. 是偶函数，且在区间上单调递增 B. 是偶函数，且在区间上单调递㺂 C. 是奇函数，且在区间上单调递增 D. 既不是奇函数，也不是偶函数 3. 如图，一个电路中有三个电器元件，每个元件正常工作的概率均为，这个电路是通路的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 已知数列，则“”是“数列是等差数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知的三个角，，的对边分别是，，，若，，则（ ） A. B. C. D. 6. 设抛物线的焦点为，过的直线与抛物线在第一象限交于点，与轴交于点，若，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 7. 若函数在区间上是减函数，且，，，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 8. 已知是边长为的正三角形，点是所在平面内的一点，且满足，则的最小值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 如图，在正方体中，分别为棱的中点，点是面的中心，则下列结论正确的是（ ） A. 四点共面 B. 平面被正方体截得的截面是等腰梯形 C. 平面 D. 平面平面 10. 已知复数满足：为纯虚数，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 的最小值为3 D. 的最小值为3 11. 已知函数的定义域为R，对，且为的导函数，则（ ） A. 为偶函数 B. C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分. 12. 已知圆锥曲线的焦点在轴上，且离心率为2，则______． 13. 已知矩形中，以所在直线为旋转轴，将矩形旋转一周形成的面所围成的几何体的体积为______． 14. 一只口袋装有形状、大小完全相同的3只小球，其中红球、黄球、黑球各1只．现从口袋中先后有放回地取球次，且每次取1只球，表示次取球中取到红球的次数，，则的数学期望为______（用表示）． 二､解答题：本题共5小题，共77分. 15. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）若函数有最大值，求实数的值． 16. （1）假设变量与变量的对观测数据为，，，，两个变量满足一元线性回归模型，请写出参数的最小二乘估计； （2）为推动新能源汽车产业高质量发展，国家出台了系列政策举措，对新能源汽车产业发展带来了巨大的推动效果.下表是某新能源汽车品牌从2019年到2023年新能源汽车的年销量（万），其中年份对应的年份代码为1-5．已知根据散点图和相关系数判断，它们之间具有较强的线性相关关系，可以用线性回归模型描述． 年份代码 1 2 3 4 5 销量（万） 4 9 14 18 25 令变量，，则变量与变量满足一元线性回归模型，利用（1）中结论求关于的经验回归方程，并预测2025年该品牌新能源汽车的销售量． 17. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面与相交于点，点在上，． （1）证明：平面； （2）若与平面所成的角为，平面与平面的夹角为，求． 18. 已知圆，动圆与圆相内切，且经过定点 （1）求动圆圆心的轨迹方程； （2）若直线与（1）中轨迹交于不同的两点，记外接圆的圆心为（为坐标原点），平面上是否存在两定点，使得为定值，若存在，求出定点坐标和定值，若不存在，请说明理由． 19. 对于数列，如果存在等差数列和等比数列，使得，则称数列是“优分解”的． （1）证明：如果是等差数列，则是“优分解”的． （2）记，证明：如果数列是“优分解”的，则或数列是等比数列． （3）设数列的前项和为，如果和都是“优分解”的，并且，求的通项公式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $