精品解析：湖南省湘楚名校2023-2024学年高二下学期5月月考数学试题

2023-2024学年度湘楚名校高二下学期5月联考 数学试卷 注意事项： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 3．本试卷命题范围：高考范围． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解不等式求得集合，求函数的定义域求得集合，由此求得. 【详解】由，解得，所以. 由得，所以， 所以. 故选：D 2. 将一组数据按照从小到大的顺序排列如下：12，15，17，a，23，25，27，31，36，37．若该组数据的35%分位数为19，则（ ） A. 19 B. 20 C. 21 D. 22 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合百分位数的概念及计算方法，即可求解. 【详解】这组数据有10个数，所以，则该组数据的分位数为第4个数据， 所以． 故选：A. 3. 已知双曲线C经过点，离心率为，则C的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据题意得出双曲线的焦点在轴上，设出双曲线的标准方程；再根据双曲线C经过点及离心率公式即可求解. 【详解】因为双曲线C经过点， 所以双曲线的焦点在轴上，设双曲线的方程为. 因为双曲线经过点， 所以，解得． 又因为， 所以， 则， 所以双曲线的标准方程为． 故选：C. 4. 寒假期间某校6名学生计划去安徽旅游，体验皖北与皖南当地的风俗与文化，现有黄山、宏村、八里河三个景区可供选择．若至少有2人前往黄山，其余两个景区都分别至少有1人前往，则不同方案的种数为（ ） A. 240 B. 360 C. 480 D. 540 【答案】B 【解析】 【分析】先将6名同学分成三组，再按要求分配到三个景区即可. 【详解】将6名同学分成三组，其中有三种方案：4，1，1；3，2，1；2，2，2． 则不同方案的种数和为（种）． 故选：B. 5. 设是等比数列的前n项和，若，，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据构成以为公比的新等比数列，可求出的公比，再用等比数列求和公式求得，再相除可得解. 【详解】设等比数列的公比为，则， 所以，，， 故． 故选：B. 6. 我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l与太阳天顶距θ（）的对应数表，这是世界数学史上较早的正切函数表．根据三角学知识可知，晷影长l等于表高h与太阳天顶距θ正切值的乘积，即．对同一“表高”测量两次，第一次和第二次太阳天顶距分别为，，第二次的“晷影长”是“表高”的2倍，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得，根据倍角公式以及齐次化问题解得，再结合两角和差公式运算求解. 【详解】由题意可知：， 则，， 可得，解得或（舍去）， 所以． 故选：A. 7. 在中，，，点D与点B在直线AC的两侧，且，，则BD长度的最大值是（ ） A. 5 B. C. D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】在中，设，推得，，设，以及中，运用余弦定理和三角函数恒等变换，结合正弦函数的值域可得所求最大值. 【详解】在中，令，则，由余弦定理可得： ， 所以，所以有，所以， 所以是，的直角三角形，如图所示． 设，，，则由余弦定理，得， 即， 由正弦定理得，所以． 连接BD，在中，由余弦定理，得． 即 ． 当时，BD的长度取得最大值，为, 故选：C. 8. 已知椭圆）的左、右顶点分别为A，B，左焦点为F，P为椭圆上一点，直线与直线交于点M，的角平分线与直线交于点N．若，的面积是面积的倍，则椭圆C的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知求出，，结合的面积是面积的倍得，从而可得结果. 【详解】根据题意可得，，，则，， 由得．设点坐标为，如图所示． 将代入椭圆方程可得，解得， 可得，直线PA方程为， 联立解得，即， 易知的角平分线倾斜角为，斜率为， 直线方程为，联立解得， 所以的面积为， 面积为， 依题意有，即，所以离心率． 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 《黄帝内经》中十二时辰养生法认为：子时的睡眠对一天至关重要（子时是指23点到次日凌晨1点）．相关数据表明，入睡时间越晚，沉睡时间越少，睡眠指数也就越低．根据某次的抽样数据，对早睡群体和晚睡群体的睡眠指数统计如图，则下列说法错误的是（ ） A. 在睡眠指数的人群中，早睡人数多于晚睡人数 B. 早睡人群睡眠指数主要集中在 C. 早睡人群睡眠指数的极差比晚睡人群睡眠指数的极差小 D. 晚睡人群睡眠指数主要集中在 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据统计图表一一判断即可. 【详解】由图知，每一组中的早睡人群占比与晚睡人群占比都是以早睡与晚睡各自的总人数为基数的， 所以每一组中的早睡人数与晚睡人数不能从所占的百分比来判断，故选项A错误； 早睡人群睡眠指数主要集中在，晚睡人群睡眠指数主要集中在，选项B正确，选项D错误； 早睡人群睡眠指数的极差和晚睡人群睡眠指数的极差的大小无法确定，故选项C错误． 故选：ACD. 10. 如图，设Ox，Oy是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量．若，则把有序实数对叫做向量在斜坐标系Oxy中的坐标，记作．则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则A，B，C三点共线 C. 若，则 D. 若，，则四边形OACB的面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A，易知，再由，利用向量数量积的运算法则，展开运算即可；选项B，由，即可作出判断；选项C，利用基底表示出，再判断是否成立即可；选项D，结合余弦定理与勾股定理算出的值，由求解即可. 【详解】对于A，由题意得， 故， 故，正确； 对于B，由题意得，， 所以，所以A，B，C三点共线，故B正确； 对于C，由题意得，， 所以 ，故与不垂直，故C错误； 对于D，连接OC，在中，OA边上的高为， 所以； 在中，OB边上的高为， 所以． 故，故D正确． 故选：ABD. 11. 已知是定义域为的非常数函数，若对定义域内的任意实数x，y均有，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的值域为 C. D. 是奇函数 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A：利用赋值法，令代入运算即可；对于C：令，代入运算即可；对于BD：举反例说明即可. 【详解】对于A， 令，则，可得， 且不恒为0，所以，故A正确； 对于B，例如，可知是定义域为的非常数函数， 且， 可知符合题意，但，故B错误； 对于C，令，则，可得， 即，故C正确； 对于D，例如，可知是定义域为的非常数函数， 且， 注意到同号， 可得， 可知符合题意， 但，即为偶函数，故D错误； 故选：AC. 【点睛】关键点点睛：对于选项BD：举反例，通过函数和分析判断. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数（i是虚数单位），则的共轭复数是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用复数的运算法则，求得，结合共轭复数的概念，即可求解. 【详解】因为，所以且， 所以，则其共轭复数为． 故答案为：. 13. 已知圆台的轴截面是等腰梯形，，，，圆台的底面圆周都在球的表面上．记圆台的体积为，球的体积为，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】令，根据题意，求得圆台上、下底面半径分别为，高，且，结合圆台的体积公式，分别求得的值，即可求解. 【详解】如图所示，不妨令， 因为，且，可得，， 则圆台上、下底面半径分别为，，高， 设，可得，解得，所以， 可得，，所以． 故答案为：. 14. 已知定义在上的函数可导，且不恒为0，为奇函数，为偶函数，则下列说法正确的是__________．（填序号） ①的周期为4；②的图象关于直线对称；③；④． 【答案】①③ 【解析】 【分析】根据已知条件可得，联立可判定①，对两边求导可判定②，令得，结合①可判断③④. 【详解】因为为奇函数，可得，即， 又为偶函数， 即， 所以，可得， 则的周期为4，故①正确； 又为偶函数， 即， 即， 则的图象关于对称，故②错误； 因为为奇函数，即，令得， 又，所以，，故③正确； 由以上可知，，， 但是不知道等于多少，函数的周期为4， 则，故④错误． 故答案为：①③. 【点睛】关键点点睛：本题关键点是将已知条件转化为，利用赋值法分别可得结果. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 如图，已知正三棱柱，，D，E，F分别为棱，BC，的中点，连接． （1）求证：平面； （2）求二面角的正切值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意证得平面，得到，再由，求得，得到，结合线面垂直的判定定理，即可得证； （2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解. 【小问1详解】 证明：因为为等边三角形，且为中点，可得， 由三棱柱为正三棱柱，可得面， 因为面，所以， 又，且面，所以面． 因为平面，所以， 在和中，由，所以， 可得，所以，即， 又，且面，所以面． 【小问2详解】 解：由（1）知，取AB中点，连接， 以为坐标原点，分别以所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 设，则，，，，， 可得， 由（1）可知为平面的一个法向量， 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以， 由图知，锐二面角的平面角为，则， 可得，则， 所以二面角的正切值为． 16. 时下流行的直播带货与主播的学历层次有某些相关性，某调查小组就两者的关系进行调查，从网红的直播中得到容量为200的样本，将所得直播带货和主播的学历层次的样本观测数据整理如下： 主播的学历层次 直播带货评级 合计 优秀 良好 本科及以上 60 40 100 专科及以下 35 65 100 合计 95 105 200 （1）依据小概率值的独立性检验，分析直播带货的评级与主播学历层次是否有关？ （2）现从主播学历层次为本科及以上的样本中，按比例分配分层随机抽样的方法选出5人组成一个小组，从抽取的5人中再抽取2人参加主播培训，求这2人中，主播带货优秀的人数的概率分布和数学期望； （3）统计学中常用表示在事件A条件下事件B发生的优势，称为似然比，当时，我们认为事件A条件下B发生有优势．现从这200人中任选1人，A表示“选到的主播带货良好”，B表示“选到的主播学历层次为专科及以下”，请利用样本数据，估计的值，并判断事件A条件下B发生是否有优势． 附：，． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）可以认为直播带货的评级与主播的学历层次有关联 （2）分布列见解析；期望为 （3），认为在事件条件下发生有优势 【解析】 【分析】（1）计算出卡方，即可判断； （2）首先求出直播带货优秀与良好的人数，则的可能取值为，，，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望； （3）根据所给公式及条件概率公式计算出，即可判断. 【小问1详解】 由题意得， 由于，依据小概率值的独立性检验，可以认为直播带货的评级与主播的学历层次有关联． 【小问2详解】 按比例分配分层随机抽样，直播带货优秀的有人，直播带货良好的有人， 则随机变量的可能取值为，，， 所以，，． 所以的分布列为： 0 1 2 所以数学期望． 【小问3详解】 因为， 又，所以认为在事件条件下发生有优势． 17. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若，且，证明：，且． 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求定义域，求导，分和两种情况，得到函数的单调性； （2）变形为是方程的两个实数根，构造函数，得到其单调性和极值最值情况，结合图象得到，再构造差函数，证明出. 【小问1详解】 的定义域为R， 由题意，得，， 当时，恒成立，在上单调递增； 当，且当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 综上，当时，在上单调递增； 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增． 【小问2详解】 证明：由，得，是方程的两个实数根， 即是方程的两个实数根． 令，则， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以． 因为当时，；当时，，，所以． 不妨设，因为，是方程的两个实数根，则． 要证，只需证． 因为，， 所以只需证． 因为， 所以只需证． 令，， 则 在恒成立． 所以在区间上单调递减， 所以， 即当时，． 所以， 即成立． 【点睛】极值点偏移问题，通常会构造差函数来进行求解，若等式中含有参数，则先消去参数. 18. 已知为抛物线上的动点，为圆上的动点，若的最小值为． （1）求的值 （2）若动点在 轴上方，过作圆的两条切线分别交抛物线于另外两点，，且满足，求直线的方程． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）由的最小值为，得的最小值为，设，，由两点间距离公式得到，再求最小值即可， （2）设出，，三点的坐标，表示出直线的方程，同理直线的方程为： ，利用点到直线的距离以及同理思想得，是方程的两根，由题意可得，进一步可根据斜率关系求得，从而可将方程化简为，结合判别式、韦达定理以及直线的方程： 即可得解. 【小问1详解】 设，的最小值为，即的最小值为， 则 当时，，； 【小问2详解】 连接，设，，， 直线的斜率， 直线的方程为：， 即直线的方程为：，化简得， 同理直线的方程为： ， 则点到直线的距离为，即， 同理， 则，是方程的两根， 所以，则直线的斜率， 因为与圆均相切， 所以由对称性可知平分， 又注意到， 所以有， ，注意到， 解得，则或（舍去）． 此时方程变为了， 显然满足，且，， 因为直线的方程为： ，即， 即直线的方程为． 【点睛】关键点点睛：解题关键是得出以及，由此求得即可顺利得解. 19. 在平面直角坐标系 中，利用公式①（其中， ，， 为常数），将点变换为点的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①可由， ，， 组成的正方形数表唯一确定，我们将称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母 ， ，…表示． （1）在平面直角坐标系 中，将点绕原点按逆时针旋转得到点（到原点距离不变），求点的坐标； （2）如图，在平面直角坐标系 中，将点绕原点按逆时针旋转 角得到点（到原点距离不变），求坐标变换公式及对应的二阶矩阵； （3）向量（称为行向量形式），也可以写成，这种形式的向量称为列向量，线性变换坐标公式①可以表示为：，则称是二阶矩阵与向量的乘积，设 是一个二阶矩阵，，是平面上的任意两个向量，求证：． 【答案】（1） （2）， （3）设矩阵，向量，，则． ， 对应变换公式为：， ， 所以 故对应变换公式同样为 所以得证. 【解析】 【分析】（1）利用三角函数的定义得到旋转之前的 和 ，再由两角和的正弦、余弦公式得到点的坐标； （2）利用三角函数的定义得到旋转之前的 和 ，再由两角和的正弦、余弦公式得到点的坐标，再根据变换公式的定义得到变换公式及与之对应的二阶矩阵； （3）根据定义分别计算、、，证明即可. 【小问1详解】 可求得，设，则，， 设点，， 故 所以. 【小问2详解】 设，，则，，， 故 所以坐标变换公式为， 该变换所对应的二阶矩阵为 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：利用三角函数的定义解题：（1）角 的顶点与坐标原点重合；（2）角的始边与 轴正半轴重合；在角 的终边上任取一点，该点到原点的距离，则：；； . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年度湘楚名校高二下学期5月联考 数学试卷 注意事项： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 3．本试卷命题范围：高考范围． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 将一组数据按照从小到大的顺序排列如下：12，15，17，a，23，25，27，31，36，37．若该组数据的35%分位数为19，则（ ） A. 19 B. 20 C. 21 D. 22 3. 已知双曲线C经过点，离心率为，则C的标准方程为（ ） A. B. C. D. 4. 寒假期间某校6名学生计划去安徽旅游，体验皖北与皖南当地的风俗与文化，现有黄山、宏村、八里河三个景区可供选择．若至少有2人前往黄山，其余两个景区都分别至少有1人前往，则不同方案的种数为（ ） A. 240 B. 360 C. 480 D. 540 5. 设是等比数列的前n项和，若，，则（ ） A. B. C. 2 D. 6. 我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l与太阳天顶距θ（）的对应数表，这是世界数学史上较早的正切函数表．根据三角学知识可知，晷影长l等于表高h与太阳天顶距θ正切值的乘积，即．对同一“表高”测量两次，第一次和第二次太阳天顶距分别为，，第二次的“晷影长”是“表高”的2倍，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，，，点D与点B在直线AC的两侧，且，，则BD长度的最大值是（ ） A. 5 B. C. D. 7 8. 已知椭圆）的左、右顶点分别为A，B，左焦点为F，P为椭圆上一点，直线与直线交于点M，的角平分线与直线交于点N．若，的面积是面积的倍，则椭圆C的离心率是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 《黄帝内经》中十二时辰养生法认为：子时的睡眠对一天至关重要（子时是指23点到次日凌晨1点）．相关数据表明，入睡时间越晚，沉睡时间越少，睡眠指数也就越低．根据某次的抽样数据，对早睡群体和晚睡群体的睡眠指数统计如图，则下列说法错误的是（ ） A. 在睡眠指数的人群中，早睡人数多于晚睡人数 B. 早睡人群睡眠指数主要集中在 C. 早睡人群睡眠指数的极差比晚睡人群睡眠指数的极差小 D. 晚睡人群睡眠指数主要集中在 10. 如图，设Ox，Oy是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量．若，则把有序实数对叫做向量在斜坐标系Oxy中的坐标，记作．则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则A，B，C三点共线 C. 若，则 D. 若，，则四边形OACB的面积为 11. 已知是定义域为的非常数函数，若对定义域内的任意实数x，y均有，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的值域为 C. D. 是奇函数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数（i是虚数单位），则的共轭复数是__________． 13. 已知圆台的轴截面是等腰梯形，，，，圆台的底面圆周都在球的表面上．记圆台的体积为，球的体积为，则__________． 14. 已知定义在上的函数可导，且不恒为0，为奇函数，为偶函数，则下列说法正确的是__________．（填序号） ①的周期为4；②的图象关于直线对称；③；④． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 如图，已知正三棱柱，，D，E，F分别为棱，BC，的中点，连接． （1）求证：平面； （2）求二面角的正切值． 16. 时下流行的直播带货与主播的学历层次有某些相关性，某调查小组就两者的关系进行调查，从网红的直播中得到容量为200的样本，将所得直播带货和主播的学历层次的样本观测数据整理如下： 主播的学历层次 直播带货评级 合计 优秀 良好 本科及以上 60 40 100 专科及以下 35 65 100 合计 95 105 200 （1）依据小概率值的独立性检验，分析直播带货的评级与主播学历层次是否有关？ （2）现从主播学历层次为本科及以上的样本中，按比例分配分层随机抽样的方法选出5人组成一个小组，从抽取的5人中再抽取2人参加主播培训，求这2人中，主播带货优秀的人数的概率分布和数学期望； （3）统计学中常用表示在事件A条件下事件B发生的优势，称为似然比，当时，我们认为事件A条件下B发生有优势．现从这200人中任选1人，A表示“选到的主播带货良好”，B表示“选到的主播学历层次为专科及以下”，请利用样本数据，估计的值，并判断事件A条件下B发生是否有优势． 附：，． 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 17. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若，且，证明：，且． 18. 已知为抛物线上的动点，为圆上的动点，若的最小值为． （1）求的值 （2）若动点在轴上方，过作圆的两条切线分别交抛物线于另外两点，，且满足，求直线的方程． 19. 在平面直角坐标系 中，利用公式①（其中， ，， 为常数），将点变换为点的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①可由， ，， 组成的正方形数表唯一确定，我们将称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母 ， ，…表示． （1）在平面直角坐标系 中，将点绕原点按逆时针旋转得到点（到原点距离不变），求点的坐标； （2）如图，在平面直角坐标系 中，将点绕原点按逆时针旋转 角得到点（到原点距离不变），求坐标变换公式及对应的二阶矩阵； （3）向量（称为行向量形式），也可以写成，这种形式的向量称为列向量，线性变换坐标公式①可以表示为：，则称是二阶矩阵与向量的乘积，设 是一个二阶矩阵，，是平面上的任意两个向量，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $