精品解析：2024年黑龙江省绥化市北林区片区联考九年级（五四学制）中考模拟测试数学试题

初四数学模拟测试题 一、单选题（每题3分，共36分） 1. 下列图形是几家通讯公司的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 的绝对值是（ ） A. B. C. D. 2 3. 如图是一种健身器材——哑铃的实物图，则它的左视图是（ ） A. B. C. D. 4. 根据年第六次全国人口普查主要数据公报，广东省常住人口约为万人，这个数据可以用科学记数法表示为（ ）. A. 人 B. 人 C. 人 D. 人 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，小明用一副三角板拼成一幅“帆船图”，点C在上，，，，，连接，则度数是（ ） A. B. C. D. 7. 下列给出5个命题：①对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；②六边形的内角和等于； ③相等的圆心角所对的弧相等； ④顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形；⑤若顺次连接四边形四边的中点，得到的图形是一个矩形，其中正确命题的个数是（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 8. 某校组织800名学生开展安全教育，现抽取40名学生进行安全知识测试，并将成绩作为样本数据进行整理和分析，下面给出部分信息 ①根据样本数据分成5组，，，，，并制作了如图所示的频率分布直方图； ②在这一组的成绩分别是：80，81，83，83，84，85，86，86，86，87，88，89.根据以上信息，下列说法错误的是（ ） A. 组有8人 B. 抽取的40名学生成绩的中位数是82分 C. 测试成绩达到80及以上为优秀，估计该校800名学生达到优秀程度的有440人 D. 这40名学生的众数在这个范围中 9. 如图，矩形的边轴，对角线的交点O为坐标原点，，垂足是G．若反比例函数的图象经过点A，且，则k的值为（ ） A. B. C. D. 10. 甲、乙两地相距约240千米，新修的高速公路开通后，在两地间行驶的长途客车平均车速提高了，时间比原来缩短了30分钟．设原来的平均车速为x千米/小时，则根据题意可列方程为（　　） A. B. C. D. 11. 如图，在矩形中，，动点M自点A出发沿方向以每秒的速度向点 B 运动，同时动点N自点A出发沿折线以每秒的速度运动，到达点B时运动同时停止．设的面积为，运动时间为x（秒），则下列图象中能大致反映y与x之间的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，P是正方形的边右侧一点，，为锐角，连，，的平分线交于Q点，过点B作交延长线于点E，连接，则以下结论： ①； ②； ③； ④若点D为中点，，则四边形的面积为，其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每题3分．共30分） 13. 在实数范围内分解因式：-1+9a4=____________________。 14. 函数y=的自变量x的取值范围是____. 15. 四张看上去无差别的卡片上分别印有正方形、正三角形、正八边形和圆，现将印有图形的一面朝下，混合均匀后从中随机抽取两张，则抽到的卡片上印有的图形都是中心对称图形的概率为_______． 16. 已知a，b是方程的两个实数根，则的值为______． 17. 化简的结果为______． 18. 某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形门，如图.已知矩形的宽为2m，对角线为4m，则改建后门洞的圆弧长是________ m． 19. 如图，正方形的边长为1，点E是边上的一点，将沿着折叠得．若，恰好都与正方形的中心为圆心的相切，则折痕的长为_______． 20. 如图：等边三角形ABC中，，E、F分别是边上的动点，且，则的最小值为__________． 21. 在平面直角坐标系中，正方形的位置如图所示，点的坐标为，点的坐标为，延长交x轴于点，作正方形，延长交x轴于点，作正方形按这样的规律进行下去，则点到x轴的距离是________． 22. 在中，，，，D是的中点，P是线段上的动点，若P到的一边距离为3，则的长为_________． 三、解答题（共54分） 23. 尺规作图题（利用圆规和无刻度直尺作图，不写作法，保留作图痕迹） （1）如图，点是内一定点过点作弦，使点是弦的中点． （2）延长交圆于点，若，则圆的半径是多少? 24. 图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线表示固定支架，垂直水平桌面于点，点为旋转点，可转动，当绕点顺时针旋转时，投影探头始终垂直于水平桌面，经测量：，，，． （参考数据：，，， （1）如图2，，． ①填空：_____°； ②投影探头的端点D到桌面的距离为_____cm． （2）如图3，将（1）中的向下旋转，当时，求投影探头的端点到桌面的距离． 25. 某商店欲购进一批巡控飞机，已知购进8个甲种遥控飞机和6个乙种遥控飞机需要630元，购进6个甲种遥控飞机和8个乙种飞机需要700元． （1）求甲种遥控飞机和乙种遥控飞机单价分别是多少元？ （2）该商店准备购进200个这两种遥控飞机，总费用不超过10200元，以甲种遥控飞机58元/个，乙种遥控飞机98元/个价格销售完，要使利润不少于6180，有多少种进货方案？其中最大利润的方案是甲种遥控飞机和乙种遥控飞机各多少个？求最大利润为多少？ （3）为了测试飞机性能，小亮两种遥控飞机各购买一个，并将甲、乙两种遥控飞机分别从距离水平面高和高的位置出发，匀速上升．如题所示是两种遥控飞机所在位置高度与飞机上升时间的函数图象，求这两个遥控飞机高度相差时上升的时间． 26. 在矩形中，，． （1）如图（），分别是边的中点，以为邻边作矩形．连接．则的长为______；（直接填空） （2）在（）的条件下，如图（），让矩形绕着点逆时针旋转至点恰好落在上，连接，求出和的长，并求的值． （3）在（）的条件下，如图（），当矩形绕着点逆时针旋转至如图（）位置时，请帮助小明判断的值是否发生变化？若不变，说明理由．若改变，求出新的比值． 27. 已知：内接于，过点作的垂线交于点，垂足为点，连接． （1）如图1，求证：． （2）如图2，连接，，延长交于点，若，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，交于点，过点作的切线交的延长线于点，且，，求线段的长． 28. 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线交轴于、两点（点在点的左侧），交轴于点． （1）求该抛物线的解析式； （2）如图1，点是第四象限抛物线上一点，连接交轴于点，设点的横坐标为，线段的长为，求与之间的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）如图2，在（2）的条件下，点在轴正半轴上，且，连接，，交该抛物线于点，过点作轴交于点，连接，过点作交于点，若，求点的坐标．． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初四数学模拟测试题 一、单选题（每题3分，共36分） 1. 下列图形是几家通讯公司的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故错误； B．不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故错误； C．是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确； D．不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误． 故选C． 【点睛】掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后与原图重合． 2. 的绝对值是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查求实数的绝对值，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键． 根据绝对值的性质：负数的绝对值是其相反数，正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0．求解即可． 【详解】解：的绝对值为：， 故选：B． 3. 如图是一种健身器材——哑铃的实物图，则它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据从左边看到的图形是左视图，可得答案． 【详解】解：从左边看，中间是宽度较小的矩形，它的左右两边分别连接着一个矩形，且两个矩形的内部分别有两条横向的虚线， 故选：A． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看到的图形是左视图． 4. 根据年第六次全国人口普查主要数据公报，广东省常住人口约为万人，这个数据可以用科学记数法表示为（ ）. A. 人 B. 人 C. 人 D. 人 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：万． 故选：A． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法、积的乘方运算法则、完全平方公式、二次根式的运算法则进行判断即可． 【详解】A.，故A错误； B.，故B错误； C.，故C错误； D.，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了整式的运算和二次根式的化简计算，熟练掌握同底数幂的乘法、积的乘方运算法则、完全平方公式、二次根式的运算法则，是解题的关键． 6. 如图，小明用一副三角板拼成一幅“帆船图”，点C在上，，，，，连接，则度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先证明，再证明，结合角的和差关系可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ， 故选A． 【点睛】本题考查的是平行线的性质，三角形的内角和定理的应用，等腰三角形的性质，证明是解本题的关键． 7. 下列给出5个命题：①对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；②六边形的内角和等于； ③相等的圆心角所对的弧相等； ④顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形；⑤若顺次连接四边形四边的中点，得到的图形是一个矩形，其中正确命题的个数是（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】A 【解析】 【分析】根据正方形的判等等，矩形的判定定理，三角形中位线定理，弧、弦、圆周角的关系逐一判断即可． 【详解】解：①对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，所以①假命题； ②六边形的内角和等于，所以②是真命题； ③在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以③是假命题； ④顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形，所以④是真命题； 根据三角形中位线定理可得： ， 再由菱形的性质得到，即可证，即可证明四边形是矩形； ⑤若顺次连接四边形四边的中点，得到的图形是一个平行四边形（同④用三角形中位线证明），所以⑤是假命题； 故选：A． 【点睛】本题考查了命题的真假，涉及正方形的判定方法，多边形的内角和公式，圆心角、弧、弦的关系，矩形的判定，三角形中位线定理等知识点，正确理解这些判定与性质是解题的关键． 8. 某校组织800名学生开展安全教育，现抽取40名学生进行安全知识测试，并将成绩作为样本数据进行整理和分析，下面给出部分信息 ①根据样本数据分成5组，，，，，并制作了如图所示的频率分布直方图； ②在这一组的成绩分别是：80，81，83，83，84，85，86，86，86，87，88，89.根据以上信息，下列说法错误的是（ ） A. 组有8人 B. 抽取的40名学生成绩的中位数是82分 C. 测试成绩达到80及以上为优秀，估计该校800名学生达到优秀程度的有440人 D. 这40名学生的众数在这个范围中 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查频数分布直方图，中位数，众数，用样本估计总体．样本容量减去其余4组人数可求得这组的人数进而判断A；根据中位数的意义，判断出中位数处于这组，再按求中位数的方法求出即可判断B；先算出样本中优秀人数所占百分比，再乘以学生总数即可判断C；根据众数的意义即可判断选项D符合题意． 【详解】解：在这组的人数为：（人），故选项A的说法正确，不符合题意； 中位数应为40个数据由小到大排列中第20，21个数据的平均数， 数据处于较小的三组中有（个）数据， 中位数应是这一组第2，3个数据的平均数， 中位数为：（分），故选项B的说法正确，不符合题意； 样本中优秀的百分比为：， 可以估计该校800名学生中对安全知识掌握程度为优秀的学生约有：（人）， 故选项C的说法正确，不符合题意； ∵众数是一组数据中出现次数最多的数，在这些数据中，不能确定出现次数最多的数，不能说这40名学生的众数在这个范围中，故选项D的说法错误，符合题意； 故选：D． 9. 如图，矩形的边轴，对角线的交点O为坐标原点，，垂足是G．若反比例函数的图象经过点A，且，则k的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合题．由已知求得，设点A的坐标为，求得，，利用矩形面积公式列式计算即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵矩形， ∴， ∵反比例函数的图象经过点A，设点A的坐标为， ∵矩形的边轴， ∴点B的坐标为，点C的坐标为， ∴，， ∴， 解得， 故选：C． 10. 甲、乙两地相距约240千米，新修的高速公路开通后，在两地间行驶的长途客车平均车速提高了，时间比原来缩短了30分钟．设原来的平均车速为x千米/小时，则根据题意可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设原来的平均车速为x千米/小时，根据题意列出分式方程求解即可． 【详解】解：∵新修的高速公路开通后，在两地间行驶的长途客车平均车速提高了，且原来的平均车速为x千米/小时， ∴新修的高速公路开通后的平均速度为千米/小时． 根据题意得：，即． 故选：A． 【点睛】此题考查了分式方程的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系． 11. 如图，在矩形中，，动点M自点A出发沿方向以每秒的速度向点 B 运动，同时动点N自点A出发沿折线以每秒的速度运动，到达点B时运动同时停止．设的面积为，运动时间为x（秒），则下列图象中能大致反映y与x之间的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查动点问题的函数图象问题；根据自变量不同的取值范围得到相应的函数关系式是解决本题的关键．根据题意，分三段（，，）分别求解与的解析式，从而求解． 【详解】解：当时，分别在线段上， 此时，， ，为二次函数，图象为开口向上的抛物线； 当时，分别在线段上， 此时，底边上的高为， ，为一次函数，图象为直线； 当时，分别在线段上， 此时，底边上的高为， ，为二次函数，图象为开口向下的抛物线； 结合选项，只有A选项符合题意， 故选：A． 12. 如图，P是正方形的边右侧一点，，为锐角，连，，的平分线交于Q点，过点B作交延长线于点E，连接，则以下结论： ①； ②； ③； ④若点D为中点，，则四边形的面积为，其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是正确画出辅助线，构造全等三角形． ①根据题意可得，则，，设，，，根据，即可判断①；过点C作于点H， 先根据，得出，进而推出，再证明，得出，即可判断②；③连接，证明，得出，，则，根据，，得出，则，最后通过，得出，即可判断③；过点E作于点N，易得，进而得出，根据梯形面积公式，求出四边形的面积即可判断④． 【详解】解：①∵四边形为正方形，， ∴， ∴，， 设， 在中，， 在中，， ∴， 故①正确，符合题意； ②过点C作于点H， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故②正确，符合题意； ③连接， ∵， ∴， ∴， ∴，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故③正确，符合题意； ④过点E作于点N， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴点N为中点，则， ∵， ∴， ∵点为中点， ∴， ∴， ∴四边形的面积， 故④不正确，不符合题意，    综上：正确的有①②③， 故选：C． 二、填空题（每题3分．共30分） 13. 在实数范围内分解因式：-1+9a4=____________________。 【答案】 【解析】 【分析】连续利用2次平方差公式分解即可． 【详解】解：. 【点睛】此题考查了实数范围内分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解本题的基础，注意检查分解要彻底． 14. 函数y=的自变量x的取值范围是____. 【答案】x≥-1且x≠2 【解析】 【详解】根据二次根式有意义的条件就是被开方数大于或等于0，分式有意义的条件是分母不为0；分析原函数式可得x２-４≠0，解不等式即可． 解：根据题意得：x２-４≠0，x＋１≥0， 解得：x≥-1且x≠2； 故答案为x≥-1且x≠2． “点睛”函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数． 15. 四张看上去无差别的卡片上分别印有正方形、正三角形、正八边形和圆，现将印有图形的一面朝下，混合均匀后从中随机抽取两张，则抽到的卡片上印有的图形都是中心对称图形的概率为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，中心对称图形的定义，先确定正六边形和圆是中心对称图形，正三角形和正五边形不是中心对称图形，再画树状图分析，最后由概率计算公式进行求解即可． 【详解】解：正方形、正八边形和圆是中心对称图形，正三角形不是中心对称图形， ∵一共有四张卡片，每张卡片被抽到的概率相同，其中印有图形都是中心对称图形的卡片有三张， 设正方形、正三角形、正八边形和圆分别为A、B、C、D， 画树状图如下： ∴从中随机抽取两张，一共有12种结果，其中抽到的卡片上印有图形都是中心对称图形的结果有6种， ∴抽到的卡片上印有图形都是中心对称图形概率为， 故答案为∶． 16. 已知a，b是方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程解的定义，根据一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值得到，根据根与系数的关系得到，进而得到，再把所求式子变形为，即可利用整体代入法代值计算得到答案． 【详解】解：∵a，b是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 17. 化简的结果为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据分式的加减乘除运算，求解即可． 【详解】解： 故答案为： 【点睛】此题考查了分式的加减乘除运算，解题的关键是熟练掌握分式的有关运算法则． 18. 某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形门，如图.已知矩形的宽为2m，对角线为4m，则改建后门洞的圆弧长是________ m． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式、矩形的性质、等边三角形的判定和性质，求得弧所对的圆心角和圆的半径是解答本题的关键．连接、相交于O，根据矩形的性质可得，，，即得到是等边三角形，的半径是2，由此可得，改建后门洞的圆弧所对的圆心角为，根据弧长公式即可求． 【详解】解：如图：连接、相交于O， 由题意得，四边形为矩形，，， ， 是等边三角形，的半径是2， ， 改建后门洞的圆弧所对的圆心角为， 改建后门洞的圆弧长是（）． 故答案为． 19. 如图，正方形的边长为1，点E是边上的一点，将沿着折叠得．若，恰好都与正方形的中心为圆心的相切，则折痕的长为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质以及折叠的性质，切线长定理，解直角三角形等知识．连接，如图，由正方形的性质得，再由折叠的性质得，接着根据切线长定理得到平分，则，所以，则利用可计算出，然后在中利用含30度的直角三角形三边的关系可计算出． 【详解】解：连接，如图， ∵四边形为正方形， ∴， ∵沿折叠至， ∴， ∵，与以正方形的中心为圆心的相切， ∴平分， ∴， ∴， 而， ∴， 在，． 故答案为：． 20. 如图：等边三角形ABC中，，E、F分别是边上的动点，且，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求线段和最小值问题，勾股定理解三角形，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线，角的直角三角形，解题的关键是通过构造中位线和全等三角形，将进行转化． 取中点G，中点H，，在的外侧作，的长度即为所求． 【详解】取中点G，中点H，作，使，作，交延长线于点J，连接， 是的中位线 ， 是等边三角形 又 当I，E，C三点共线时，取得最小值，即取得最小值 在中， 取得最小值为 故答案为： 21. 在平面直角坐标系中，正方形的位置如图所示，点的坐标为，点的坐标为，延长交x轴于点，作正方形，延长交x轴于点，作正方形按这样的规律进行下去，则点到x轴的距离是________． 【答案】##0.375 【解析】 【分析】根据勾股定理可得正方形的边长为，根据相似三角形的性质可得后面正方形的边长依次是前面正方形边长的，依次得到第四个正方形和第五个正方形的边长，进一步得到点到轴的距离． 【详解】解：在中，，， 正方形的边长为， ，， ， ， ∴， ， 过作轴于， ∵， ∴， ∴， 依此可得，，， ， 同理可得：点到轴的距离是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，坐标与图形性质，勾股定理，锐角三角函数的应用．掌握以上基础知识是解本题的关键． 22. 在中，，，，D是的中点，P是线段上的动点，若P到的一边距离为3，则的长为_________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理、直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点．先运用勾股定理的逆定理可得为直角三角形，由直角三角形的性质可得，然后分点P到的距离为3的三种情况，分别运用相似三角形的判定与性质即可解答． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴为直角三角形，， 又∵是的中点， ∴ ①如图（1），当点P到的距离为3时，过点P作于点E，过点D作于点F，则，， ∵，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即 解得：（不符合题意舍去）； ②如图（2），当点P到的距离为3时，过点P作于点E，过点D作于点F，则， 同理可得：， ∴， ∴， 即， 解得：； ③如图（3），当点P到的距离为3时，过点P作于点E，过点C作于点F， 则，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：； ∴． 综上，的长为或． 三、解答题（共54分） 23. 尺规作图题（利用圆规和无刻度直尺作图，不写作法，保留作图痕迹） （1）如图，点是内一定点过点作弦，使点是弦的中点． （2）延长交圆于点，若，则圆的半径是多少? 【答案】（1） 线段即为所求弦． （2） 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，作垂线； （1）作直线，以为圆心，任意长为半径画弧交直线于点、，作线段的垂直平分线交圆于点、，则线段即为所求弦． （2）连接，根据垂径定理可得，设的半径为，则，在中，勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 如图，作直线，以为圆心，任意长为半径画弧交直线于点、，作线段的垂直平分线交于点、，则线段即为所求弦． 【小问2详解】 解：如图所示，连接， ∵， ∴ 设的半径为，则 在中， ∴ 解得：， 即 的半径为． 24. 图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线表示固定支架，垂直水平桌面于点，点为旋转点，可转动，当绕点顺时针旋转时，投影探头始终垂直于水平桌面，经测量：，，，． （参考数据：，，， （1）如图2，，． ①填空：_____°； ②投影探头的端点D到桌面的距离为_____cm． （2）如图3，将（1）中的向下旋转，当时，求投影探头的端点到桌面的距离． 【答案】（1）①160；②36 （2）投影探头的端点D到桌面OE的距离为 【解析】 【分析】此题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是构造直角三角形． （1）①延长交于，先证明得到，再利用三角形外角的性质求出的度数即可；②解求出，进而计算即可求解； （2）如图所示，延长交于点，过点作，与延长线相交于点，过作于点，则四边形是矩形，由（1）得，，则，求出，解，求出，则，即投影探头的端点到桌面的距离为． 【小问1详解】 解：①如图所示，延长交于， ∵，， ， ， ， 故答案为：160； ②在中，，，， ， ， ， 投影探头的端点到桌面的距离为， 故答案为：36； 【小问2详解】 解：如图所示，延长交于点，过点作，与延长线相交于点，过作于点，则四边形是矩形， 由（1）得，， ， ， ， 在中，，， ， ， 投影探头的端点到桌面的距离为． 25. 某商店欲购进一批巡控飞机，已知购进8个甲种遥控飞机和6个乙种遥控飞机需要630元，购进6个甲种遥控飞机和8个乙种飞机需要700元． （1）求甲种遥控飞机和乙种遥控飞机单价分别是多少元？ （2）该商店准备购进200个这两种遥控飞机，总费用不超过10200元，以甲种遥控飞机58元/个，乙种遥控飞机98元/个价格销售完，要使利润不少于6180，有多少种进货方案？其中最大利润的方案是甲种遥控飞机和乙种遥控飞机各多少个？求最大利润为多少？ （3）为了测试飞机性能，小亮两种遥控飞机各购买一个，并将甲、乙两种遥控飞机分别从距离水平面高和高的位置出发，匀速上升．如题所示是两种遥控飞机所在位置高度与飞机上升时间的函数图象，求这两个遥控飞机高度相差时上升的时间． 【答案】（1）甲种遥控飞机和乙种遥控飞机单价分别30元/个，65元/个 （2）一共有5种进货方案，其中购买甲种遥控飞机80个，乙种遥控飞机120个时利润最大，最大利润为6200元 （3）或 【解析】 【分析】（1）设甲种遥控飞机和乙种遥控飞机单价分别m元/个，n元/个，根据题意列方程组求解即可； （2）设购买甲种遥控飞机个，则购买乙种遥控飞机个，根据题意列出不等式组求出m的取值范围，求出整数a的值，即可得出方案；设利润为w元，求出，利用一次函数的性质求解即可； （3）分别求出两函数的解析式，然后根据相差列方程求解即可． 【小问1详解】 解：设甲种遥控飞机和乙种遥控飞机单价分别m元/个，n元/个， 根据题意，得， 解得， 答：甲种遥控飞机和乙种遥控飞机单价分别30元/个，65元/个； 【小问2详解】 解：设购买甲种遥控飞机个，则购买乙种遥控飞机个， 根据题意，得， 解得， ∴整数a的值为80，81，82，83，84，共5个 ∴一共有5种进货方案； 设利润为w元， 则 ， ∴w随a的增大而减小， ∴当时，w有最小值为， 此时， ∴购买甲种遥控飞机80个，乙种遥控飞机120个时利润最大，最大利润为6200元； 【小问3详解】 解：设甲所在位置高度与上升时间的函数解析式为， 则， 解得， ∴， 设乙所在位置高度与上升时间的函数解析式为， 则， 解得， ∴ 根据题意，得， 解得或， 答：这两个遥控飞机高度相差时上升的时间或． 26. 在矩形中，，． （1）如图（），分别是边的中点，以为邻边作矩形．连接．则的长为______；（直接填空） （2）在（）的条件下，如图（），让矩形绕着点逆时针旋转至点恰好落在上，连接，求出和的长，并求的值． （3）在（）的条件下，如图（），当矩形绕着点逆时针旋转至如图（）位置时，请帮助小明判断的值是否发生变化？若不变，说明理由．若改变，求出新的比值． 【答案】（1）； （2），，； （3） 不变，，理由如下： 连接， 由旋转可知：， 由勾股定理可知：，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查四边形综合题、矩形的性质、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题. （）延长交于，则四边形是矩形，在中，利用勾股定理即可解决问题； （）过作于，利用勾股定理相似三角形的性质，分别求出即可解决问题； （）连接，只要证明，列比例式即可解决问题； 【小问1详解】 如图， 延长交于，则四边形是矩形， 在中，， ∴， 故答案为； 【小问2详解】 如图中，过作于， 由（）得则四边形是矩形， ∴，， ∵分别是边的中点， ∴，， ∵， 在中，由勾股定理得， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ； 【小问3详解】 略 27. 已知：内接于，过点作的垂线交于点，垂足为点，连接． （1）如图1，求证：． （2）如图2，连接，，延长交于点，若，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，交于点，过点作的切线交的延长线于点，且，，求线段的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， 设，则， ， ， ， ， ， 又， ， ； （2） 证明：如图，连接，， ， ， 即， ， ， ， 又， ， 又，， ， ，； （3） 【解析】 【分析】（1）连接，设，则，根据垂直的定义及三角形内角和定理即可得证； （2）连接，，利用圆周角定理，证明，即可得证； （3）作直径，连接，，交于点，证明，，令，则，，，得到，设，则，，，利用勾股定理求出，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，作直径，连接，，交于点， 为的切线，为切点， ， ， ， ， ， ， 是的直径， ， ，， ， ， ，， 又， ， ， ，， ，， 又，， ， ， ， ， 又，， ， ， ， 即， ， 令，则，，， ， ， 设，则，，， 在中，， ， 解得， （舍， ， ， ， ． 【点睛】本题考查圆的综合应用，主要考查切线的性质，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，全等三角形的性质与判定，掌握这些性质定理是解题的关键． 28. 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线交轴于、两点（点在点的左侧），交轴于点． （1）求该抛物线的解析式； （2）如图1，点是第四象限抛物线上一点，连接交轴于点，设点的横坐标为，线段的长为，求与之间的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）如图2，在（2）的条件下，点在轴正半轴上，且，连接，，交该抛物线于点，过点作轴交于点，连接，过点作交于点，若，求点的坐标．． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）求出直线的解析式即可求点坐标，再求的长即可； （3）过点作轴交于点，过点作轴交于点，延长交于点，过点作轴交于点，连接、，，在中，，设，可求，可得方程，解得，从而知道，再由，得到，推导出，可得，则，证明，能推导出，，再由，得到，可求解得或（舍，则． 【小问1详解】 解：将点代入， ， 解得， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：点的横坐标为， ， 当时，， 解得或， ，， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， ， ； 【小问3详解】 解：过点作轴交于点，过点作轴交于点，延长交于点，过点作轴交于点，连接、， ∵轴， ， ， ， ， 在中，， 设， ，， ， ， 解得， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ∵轴， ， ， ， ， ， ，， ∵， ， ， 解得或（舍， ． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形全等的判定及性质，解直角三角形，平行线分线段成比例定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $