精品解析：江苏省无锡市江阴市两校联考2023-2024学年高二下学期5月阶段性练习数学试题

2024年春学期高二年级阶段性练习 数学学科  2024.05 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则的子集的个数为（ ） A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用交集定义与子集个数与元素个数的关系计算即可得. 【详解】由，可得， 则的子集的个数为. 故选：B. 2. 已知随机变量服从正态分布，若，则（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据正太分布的性质，利用对称性即可求解. 【详解】因为， 由正态分布的对称性可知， 所以. 故选：B. 3. 已知，，则的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解. 【详解】，， 当且仅当，即，时等号成立. 故选：B. 4. 随着疫情结束，自行车市场逐渐回暖，通过调查，收集了5家商家对某个品牌的自行车的售价（百元）和月销售量（百辆）之间的一组数据，如下表所示： 价格 9.6 9.9 10 10.2 10.3 销售 10.2 9.3 8.4 8.0 根据计算可得与的经验回归方程是：，则的值为（ ） A. 8.8 B. 8.9 C. 9 D. 9.1 【答案】D 【解析】 【分析】根据线性回归直线过求解即可； 【详解】价格平均， 则， 销售量， 解得. 故选：D. 5. 书架上已有四本书，小明又带来了两本不同的长篇小说和一本人物传记要放到书架上，若两本小说不能放到一起，则不同的放法有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】D 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理，结合插空法，即可求解． 【详解】人物传记有种放法，这样五本书之间有个空， 将两本不同的长篇小说选两个空插入即可不相邻，共有种方法， 故选：D． 6. 已知曲线在每一点处的切线的斜率都小于1，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出导函数，只需在上恒成立，分离参数利用基本不等式即可求解. 【详解】解析：由得， 因为曲线在每一点处的切线的斜率都小于1， 所以在上恒成立，即在上恒成立． 因为当时，，当且仅当，即时等号成立， 所以实数a的取值范围是， 故选：B． 7. 若二项式的展开式中含有常数项，则该常数项的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式，求出n的最小值为5，此时r=2，即可求出常数项. 【详解】二项式的展开式的通项公式为. 当展开式中含有常数项，只需，即， 因为r、n为自然数，所以n的最小值为5，此时r=2， 所以常数项为. 故选：B 8. 若任意两个不等正实数，，满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】不妨令，即可得到，令，依题意只需在上单调递减，利用导数求出函数的单调区间，即可求出参数的取值范围，即可得解. 【详解】因为对任意两个不等正实数，，满足， 不妨令，则，所以， 即，所以， 令，则， 即在上单调递减， 由，当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，即的最小值为. 故选：D 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列说法：①对于回归分析，相关系数的绝对值越小，说明拟合效果越好； ②以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则，的值分别是和； ③已知随机变量，若，则的值为； ④通过回归直线及回归系数，可以精确反映变量的取值和变化趋势． 其中正确的选项是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】BC 【解析】 【分析】利用正态分布、回归分析等知识，对选项进行逐一分析判断作答. 【详解】对于A，回归分析中，相关系数绝对值越大，变量线性相关程度越高，A不正确； 对于B，由两边取对数得，依题意，，即，B正确； 对于C，由正态分布的性质知，由得，于是得，C正确； 对于D，回归直线及回归系数，不能精确反映变量的取值和变化趋势，D不正确. 故选：BC 10. 已知随机变量满足，且，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意，利用二次分布的期望与方差的公式，以及期望与方差的运算性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由随机变量满足，且，可得，解得， 对于A中，由，所以A错误； 对于B中，因为，即，可得，所以B正确； 对于C中，由，所以C正确； 对于D中，由，可得，所以D正确. 故选：BCD. 11. 已知函数，则关于 零点叙述不正确的是（ ） A. 当时，函数有两个零点 B. 函数必有一个零点是正数 C. 当时，函数有两个零点 D. 当时，函数只有一个零点 【答案】ACD 【解析】 【分析】在同一坐标系中作出与的图象，可观察出A、C、D选项错误，选项B正确． 【详解】⇔在同一坐标系中作出与的图象， 可观察出 当时，函数有一个零点, 当时，函数有一个零点, 当时，函数有两个零点, 函数必有一个零点是正数, A、C、D选项错误，选项B正确． 故选:ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 命题“恒成立”是假命题，则实数的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：根据命题的否定可知“，”为真命题，所以有或，解得或. 考点：1、命题；2、一元二次不等式. 【方法点晴】全称命题“，”的否定为“，”，当全称命题为假命题时，根据命题的否定可知，它的否定即存在性命题一定为真命题，从而将问题进行转化，转化为易于求解的问题，化归转化思想、分类讨论思想在解决这类问题中有着十分重要的作用. 13. 甲、乙、丙、丁人分别到、、、四所学校实习，每所学校一人，在甲不去校的条件下，乙不去校的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用古典概型的概率公式求出甲不去校的概率和甲不去校且乙不去校的概率，然后由条件概率的概率公式求解即可． 【详解】由题意，甲不去校的概率为， 甲不去校且乙不去校的概率为， 则在甲不去校的条件下，乙不去校的概率． 故答案为：． 14. 已知正实数，满足，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】由，结合基本不等式求解即可. 【详解】因为， 所以， 所以， 因为为正实数，所以， 所以，当且仅当时等号成立，即时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设集合 （1）若是的必要条件，求实数的取值范围； （2）是否存在实数，使成立？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）；（2）存在，. 【解析】 【分析】 （1）是的必要条件可转化为，建立不等式求解即可； （2）假设，建立不等关系，有解则存在，无解则不存在. 【详解】， （1）由已知得： ， 即实数的取值范围， （2）假设存在满足条件， 则或， 即存在使. 【点睛】本题主要考查了根据集合的包含关系求参数的取值范围，考查了必要条件，属于中档题. 16. 已知展开式的二项式系数和为128，且. （1）求的值； （2）求的值； （3）求被6整除的余数. 【答案】（1）；（2）2；（3）3. 【解析】 【分析】（1）由二项式系数性质求得，然后变形，利用二项式定理求得； （2）令可求得，再求得后得结论； （3）用二项式定理展开，把20的位数剔除在外，剩下的计算后可得． 【详解】解：（1）由展开式的二项式系数和为128， 可得，即n=7， 由， 得=； （2）令，得， 令，得， 所以……=2； （3）由 因为能被6整除，被6整除后余数为3. 所以被6整除的余数为3 17. 已知函数． （1）若关于的不等式的解集为，求的解集； （2）若，解不等式的解集． （3）若，对于，恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）答案见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）根据一元一次不等式的解法，得到且，再结合一元二次不等式的解法，即可求解； （2）化简不等式为，分类讨论，即可求解； （3）根据题意，转化为时，恒成立，结合基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 因为不等式的解集为，可得且， 因为，所以，等价于， 解得，即不等式的解集为. 【小问2详解】 当时，不等式，即为， ①当时，不等式的解集为； ②当时，不等式的解集为； ③当时，不等式的解集为. 【小问3详解】 由题意，当时，恒成立，即恒成立， 即时，恒成立， 由基本不等式得，当且仅当即时，等号成立， 所以，所以实数取值范围是. 18. 某运动服装品牌店将购买次数超过五次的会员称为星级会员，其他会员称为普通会员该店随机抽取男、女会员各名进行调研统计，其中抽到男性星级会员名，女性星级会员名． （1）完成下面的列联表，并依据小概率值的独立性检验，是否可以认为星级会员与性别有关 男性会员 女性会员 合计 星级会员 普通会员 合计 附：，其中． （2）该运动服装品牌店在今年店庆时将举办会员消费返利活动，活动有如下两种方案． 方案一：店内商品一律九折优惠； 方案二：会员可参加摸奖游戏，游戏规则如下：从一个装有个白球、个红球个球除颜色外其他均相同的箱子里，有放回地摸三次球，每次只能摸一个球若三次都没有摸到红球，则无优惠若三次摸到个红球，则获得九折优惠若三次摸到个红球，则获得八折优惠若三次摸到个红球，则获得七折优惠． 哪种方案对会员更有利请说明理由 【答案】（1）表格见解析，可以认为星级会员与性别有关 （2）方案二对会员更有利，理由见解析 【解析】 【分析】（1）先完成列联表中数据，可得，对照临界值表可得结论； （2）设该店某件商品的标价为元，方案二中会员实付费用为，则的可能取值为，，，，得出的分布列和数学期望，与方案一比较可得结论． 【小问1详解】 由题意得男性普通会员有名，女性普通会员有名，则 男性会员 女性会员 合计 星级会员 普通会员 合计 零假设为星级会员与性别无关， 根据列联表中数据，可得， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即可以认为星级会员与性别有关； 【小问2详解】 设该店某件商品的标价为元，方案二中会员实付费用为， 则的所有可能取值为，，，， ， ， ， ， 所以的分布列为 ， 按方案一，会员实付， 因为， 所以方案二对会员更有利． 19. 已知函数． （1）若，求的极值； （2）讨论的单调性； （3）若对任意，有恒成立，求整数m的最小值． 【答案】（1）极大值为，无极小值． （2）分类讨论，答案见解析. （3）1 【解析】 【分析】（1）求导，通过导数判断函数单调性，然后可得； （2）求导，分，讨论可得； （3）参变分离，将问题转化为在上恒成立问题，记，利用导数求函数的最大值所在区间可得. 【小问1详解】 的定义域为， 当 时，， 令，解得 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减． 所以在时取得极大值为，无极小值． 【小问2详解】 因为 当时，在上恒成立，此时在上单调递增； 当时 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； 综上：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减． 【小问3详解】 因为对任意，恒成立， 所以在上恒成立， 即在上恒成立． 设，则． 设，，则在上单调递减， 因为，， 所以，使得，即． 当时，； 当时，． 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以． 因为，所以， 故整数的最小值为1． 【点睛】本题第三问属于恒成立问题,恒成立问题比较常见的处理方法之一便是参变分离法,然后构造函数转化问函数最值问题,利用导数可解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年春学期高二年级阶段性练习 数学学科  2024.05 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则的子集的个数为（ ） A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 2. 已知随机变量服从正态分布，若，则（ ） A. B. C. 2 D. 1 3. 已知，，则的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 随着疫情结束，自行车市场逐渐回暖，通过调查，收集了5家商家对某个品牌的自行车的售价（百元）和月销售量（百辆）之间的一组数据，如下表所示： 价格 9.6 9.9 10 10.2 10.3 销售 10.2 9.3 8.4 8.0 根据计算可得与的经验回归方程是：，则的值为（ ） A. 8.8 B. 8.9 C. 9 D. 9.1 5. 书架上已有四本书，小明又带来了两本不同的长篇小说和一本人物传记要放到书架上，若两本小说不能放到一起，则不同的放法有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 6. 已知曲线在每一点处的切线的斜率都小于1，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若二项式的展开式中含有常数项，则该常数项的最小值是（ ） A. B. C. D. 8. 若任意两个不等正实数，，满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列说法：①对于回归分析，相关系数的绝对值越小，说明拟合效果越好； ②以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则，的值分别是和； ③已知随机变量，若，则的值为； ④通过回归直线及回归系数，可以精确反映变量的取值和变化趋势． 其中正确的选项是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 10. 已知随机变量满足，且，且，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则关于 零点叙述不正确的是（ ） A. 当时，函数有两个零点 B. 函数必有一个零点是正数 C. 当时，函数有两个零点 D. 当时，函数只有一个零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 命题“恒成立”是假命题，则实数的取值范围是_________． 13. 甲、乙、丙、丁人分别到、、、四所学校实习，每所学校一人，在甲不去校的条件下，乙不去校的概率是______． 14. 已知正实数，满足，则的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设集合 （1）若是的必要条件，求实数的取值范围； （2）是否存在实数，使成立？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由. 16. 已知展开式的二项式系数和为128，且. （1）求的值； （2）求的值； （3）求被6整除的余数. 17. 已知函数． （1）若关于的不等式的解集为，求的解集； （2）若，解不等式的解集． （3）若，对于，恒成立，求的取值范围． 18. 某运动服装品牌店将购买次数超过五次的会员称为星级会员，其他会员称为普通会员该店随机抽取男、女会员各名进行调研统计，其中抽到男性星级会员名，女性星级会员名． （1）完成下面的列联表，并依据小概率值的独立性检验，是否可以认为星级会员与性别有关 男性会员 女性会员 合计 星级会员 普通会员 合计 附：，其中． （2）该运动服装品牌店在今年店庆时将举办会员消费返利活动，活动有如下两种方案． 方案一：店内商品一律九折优惠； 方案二：会员可参加摸奖游戏，游戏规则如下：从一个装有个白球、个红球个球除颜色外其他均相同的箱子里，有放回地摸三次球，每次只能摸一个球若三次都没有摸到红球，则无优惠若三次摸到个红球，则获得九折优惠若三次摸到个红球，则获得八折优惠若三次摸到个红球，则获得七折优惠． 哪种方案对会员更有利请说明理由 19. 已知函数． （1）若，求的极值； （2）讨论的单调性； （3）若对任意，有恒成立，求整数m的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $