初中数学：证明两直线垂直或一个角为直角的方法全归纳

初中数学：证明两直线垂直或一个角为直角的方法全归纳 证明两直线垂直的方法有哪些？ 1、利用直角三角形中两锐角之和为90° 由直角三角形的定义与三角形的内角和定理可知直角三角形的两个锐角和等于90° ，即如果一个三角形的有两个角和为90°，那么第三个角必然为90°。 2、利用勾股定理的逆定理证明 勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形。 3、利用全等三角形 4、相似三角形证明 5、利用等腰三角形“三线合一”证明 要证二线垂直，若能证二线之一是等腰三角形的底边，另一线是等腰三角形顶角的平分线或底边上的中线，则二线互相垂直。 6、利用菱形的对角线互相垂直证明 7、圆周角定理的推论： 其中方法1、2 为初一知识点；方法3、4为初二知识点；方法5、6、7为初三知识点。 由于篇幅和时间有限，在本篇文章中，我们先讨论1、2、3、4四种方法。 8、 圆的切线垂直于过切点的半径 9、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 10、相交两圆的连心线垂直平分公共弦 【说明】方法 1和2为最基本最重要的方法 1、利用直角三角形中两锐角之和为90° 例1、如图，在平行四边形ABCD中，AE，BF分别平分∠DAB和∠ABC，交边CD于点E，F，线段AE，BF相交于点M． （1）求证：AE⊥BF； （2）若EF＝（1/5）AD，则BC：AB的值是　 　． （1）【证明】∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC， ∴∠DAB+∠ABC＝180°， ∵AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC， ∴∠DAB＝2∠BAE，∠ABC＝2∠ABF， ∴2∠BAE+2∠ABF＝180°，即∠BAE+∠ABF＝90°， ∴∠AMB＝90°， ∴AE⊥BF； （2）【解析】∵在平行四边形ABCD中，CD∥AB， ∴∠DEA＝∠EAB， 又∵AE平分∠DAB， ∴∠DAE＝∠EAB， ∴∠DEA＝∠DAE， ∴DE＝AD，同理可得，CF＝BC， 又∵在平行四边形ABCD中，AD＝BC， ∴DE＝CF， ∴DF＝CE， ∵EF＝AD， ∴BC＝AD＝5EF， ∴DE＝5EF， ∴DF＝CE＝4EF， ∴AB＝CD＝9EF， ∴BC：AB＝5：9； 2、利用勾股定理的逆定理证明 例2、已知：如下图，△ABC中，CD⊥AB于D，AC=4，BC=3，DB=. （1）求DC的长；（2）求AD的长；（3）求AB的长； （4）求证：△ABC是直角三角形. 【解析】（1）在Rt△DCB中，DC2+DB2=BC2 ∴DC2=9－ ∴DC= （2）解：在Rt△ACD中，AD2+CD2=AC2 ∴AD2=16－ ∴AD= （3）AB=AD+DB=+=5 （4）【证明】∵AC2+BC2=16+9=25，AB2=25 ∴AC2+BC2=AB2 ∴∠ACB=90°， ∴△ABC是直角三角形. 3、利用全等三角形 例3、如图，正方形ABCD中，点E、F、G分别为边AB、BC、AD上的中点，连接AF、DE交于点M，连接GM、CG，CG与DE交于点N，则结论①GM⊥CM；②CD＝DM；③四边形AGCF是平行四边形；④∠CMD＝∠AGM中正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】∵AG∥FC且AG＝FC， ∴四边形AGCF为平行四边形，故③正确； ∴∠GAF＝∠FCG＝∠DGC，∠AMN＝∠GND 在△ADE和△BAF中， ∵AE=BF, ∠DAE=∠ABF ,AD=AB ∴△ADE≌△BAF（SAS）， ∴∠ADE＝∠BAF， ∵∠ADE+∠AEM＝90° ∴∠EAM+∠AEM＝90° ∴∠AME＝90° ∴∠GND＝90° ∴∠DE⊥AF，DE⊥CG． ∵G点为AD中点， ∴GN为△ADM的中位线， 即CG为DM的垂直平分线， ∴GM＝GD，CD＝CM，故②错误； 在△GDC和△GMC中， ∵DG=MG，CD=CM，CG=CG ∴△GDC≌△GMC（SSS）， ∴∠CDG＝∠CMG＝90°， ∠MGC＝∠DGC， ∴GM⊥CM，故①正确； ∵∠CDG＝∠CMG＝90°， ∴G、D、C、M四点共圆， ∴∠AGM＝∠DCM， ∵CD＝CM， ∴∠CMD＝∠CDM， 在Rt△AMD中，∠AMD＝90°， ∴DM＜AD， ∴DM＜CD， ∴∠DMC≠∠DCM， ∴∠CMD≠∠AGM，故④错误． 故选：B． 4、相似三角形证明 例4、如图，等腰Rt△ABC,中线BE，CA=CB，∠AEF=∠BEC,CF交BE于D 求证：BD⊥CF 【证明】过F作FH⊥AC ∵∠AEF=∠BEC ∴△FHE ∽△BCE ∵BE是中线，，BC=CA ∴FH/HE = BC/CE = 2:1 可设EH=x 那么FH = 2x， ∵∠A = 45º ∴AH = HF= 2x ∴EC=AE= 2x+x=3x ∴HC = 3x+x=4x ∴HC/FE= BC/CE = 2:1 ∴△FHC ∽△ECB ∴∠FCH = ∠EBC 又∠EBC + ∠BEC =90º ∴∠FCH + ∠BEC =90º ∴BD⊥CF 5、利用等腰三角形“三线合一”证明 例5、如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36º，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF，求证： （1） EF⊥AB； （2） △ACF为等腰三角形 【证明】（1）∵AB=AC ，∠BAC=36º ∴∠ABC=72º ,BD是∠ABC的平分线 ∴∠ABD=36º ∴DA=DB 又∵E是AB的中点 ∴EF⊥AB （2）由（1）知BF是AB的垂直平分线 ∴FA=FB ∴∠ABF=∠FAB=72º ∴∠FAC=72º-36º=36º ∠AFC=72º-36º=36º（外角定理） ∴△ACF为等腰三角形 6、利用菱形的对角线互相垂直证明：菱形的对角线互相垂直。 例6、如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠CAB＝∠ACB，过点B作BE⊥AB交AC的延长线于点E. (1)求证：AC⊥BD； (2)若AB＝14，cos∠CAB＝，求线段OE的长． （1） 【证明】∵ ∠CAB＝∠ACB ∴AB = BC 又∵四边形ABCD为平行四边形 ∴四边形ABCD为菱形 ∴AC⊥BD（棱形的对角线相互垂直） （2）【提示】因为△ABO ∽ △AEB，cos∠CAB＝，解得OE=AE-AO= 7、圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角，一个三角形的一边中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形。 例7、AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ACD＝30°，则∠BAD的度数为(　　) A．30° B．50° C．60° D．70° 【解析】如图，连接BD， ∵∠ACD＝30°，∴∠ABD＝30°. ∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°， ∴∠BAD＝90°－∠ABD＝60°. 故选C. 八、圆的切线垂直于过切点的半径 例8、如图，⊙O的直径AB＝4，BC切⊙O于点B，OC平行于弦AD，OC＝5，则AD的长为(　　) 【解析】如图，连接BD. ∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°. ∵OC∥AD，∴∠A＝∠BOC， ∴cosA＝cos∠BOC. ∵BC切⊙O于点B，∴OB⊥BC， ∴cos∠BOC＝＝， ∴cosA＝. 又∵cosA＝，AB＝4， ∴AD＝ 九、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 例9、如图：已知：CD平分AB，且CD=AD=BD， 求证：△ABC是直角三角形． 【证明】∵AD=CD， ∴∠A=∠1． 同理∠2=∠B． ∵∠2+∠B+∠A+∠1=180°， 即2（∠1+∠2）=180°， ∴∠1+∠2=90°， 即：∠ACB=90°， ∴△ABC是直角三角形． 跟踪练习 1、【利用直角三角形中两锐角之后为90° 】如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB＝2∠BCP． （1）求证：直线CP是⊙O的切线． （2）若BC＝2，sin∠BCP＝，求点B到AC的距离． （3）在第（2）的条件下，求△ACP的周长． 【解析】（1）∵∠ABC＝∠ACB且∠CAB＝2∠BCP，在△ABC中，∠ABC+∠BAC+∠BCA＝180° ∴2∠BCP+2∠BCA＝180°， ∴∠BCP+∠BCA＝90°， 又C点在直径上， ∴直线CP是⊙O的切线． （2）如右图，作BD⊥AC于点D， ∵PC⊥AC ∴BD∥PC ∴∠PCB＝∠DBC ∵BC＝2，sin∠BCP＝， ∴sin∠BCP＝sin∠DBC＝＝＝， 解得：DC＝2， ∴由勾股定理得：BD＝4， ∴点B到AC的距离为4． （3）如右图，连接AN， ∵AC为直径， ∴∠ANC＝90°， ∴Rt△ACN中，AC＝＝5， 又CD＝2， ∴AD＝AC﹣CD＝5﹣2＝3． ∵BD∥CP， ∴， ∴CP＝． 在Rt△ACP中，AP＝＝， AC+CP+AP＝5++＝20， ∴△ACP的周长为20． 2、【利用勾股定理逆定理证明】如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，作CE⊥AB于点E，BE＝2OE，延长AB至点D，使得BD＝AB，P是弧AB（异于A，B）上一个动点，连接AC、PE． （1）若AO＝3，求AC的长度； （2）求证：CD是⊙O的切线； （3）点P在运动的过程中是否存在常数k，使得PE＝k•PD，如果存在，求k的值，如果不存在，请说明理由． 【解析】（1）∵AO＝BO＝3，BE＝2OE， ∴OE＝1，BE＝2，AB＝6， ∴AE＝4， ∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， ∵CE⊥AB， ∴∠CEA＝∠ACB＝90°， 又∵∠A＝∠A， ∴△ACB∽△AEC， ∴， ∴ ∴AC＝2； （2）如图，连接OC， ∵设OB＝OC＝3k， ∵BE＝2OE， ∴OE＝k，BE＝2k， ∴CE＝＝2k， ∵DE＝BD+BE＝AB+BE＝8k， ∴CD＝＝6k， ∵OC2+DC2＝9k2+72k2，OD2＝81k2， ∴OC2+DC2＝OD2， ∴∠OCD＝90°， ∴CD是⊙O的切线； （3）连接OP， 设OB＝OC＝OP＝3k， ∵BE＝2OE， ∴∴OE＝k，BE＝2k， ∵＝，∠EOP＝∠POD， ∴△EOP∽△POD， ∴， ∴PE＝PD， ∴k＝． 3、如图，已知一次函数的图象与坐标轴分别交于点A，B两点，⊙O的半径为1，P是线段AB上的一个点，过点P作⊙O的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为 ． 【答案】． 【解析】 试题分析：连接OP、OQ．∵PQ是⊙O的切线，∴OQ⊥PQ； 根据勾股定理知，∵当PO⊥AB时，线段PQ最短； ∵一次函数，当x=0时，y=，∴A（0，），当y=0时，x=，∴B（，0），∴OA=OB=，∴AB==6，∴OP=AB=3，∴PQ==．故答案为：． 4、【如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝8，BC＝6，延长BC至E，使得CE＝BC，将△ABC沿AC翻折，使点B落点D处，连接DE，则DE的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】连接BD交AC于点F， ∵将△ABC沿AC翻折，使点B落点D处， ∴AB=AD，CB=CD，∠BAC=∠DAC， ∴BF=DF，∠BFC=90°， ∵AB=8，BC=6， ∴AC=， ∵CE=BC， ∴CD=CB=CE， ∴△BDE为直角三角形 ∴ 学科网（北京）股份有限公司 $$