初中数学：截长补短或旋转法证明线段间数量关系

初中数学：截长补短或旋转证明线段间数量关系 截长补短法表现形式及原理 所求结论表现形式： （1） a>b （2） a±b = c （3） a±b = c±d （4） 猜想或证明三线段之间有什么关系 截长补短法是一种常用的添加辅助线的方法，在证明几条线段之间的数量关系时（比如证明线段的和、差、倍、分等类的题目）非常有用。通常用截长补短作辅助线的方法，构造全等三角形，以证明线段之间存在某种数量关系。 截长法：要证明一段长线段c等于两段小线段a、b的和，即a+b=c。用截长法在较长线段上截取一段等于要证的两段较短的线段中的一段，然后证明剩下的那一段等于另外一段较短的线段。 证明方法：作辅助线，连接截取点与图形中的某一点，构造全等三角形，证明结论。。 补短法：选取两条较短线段中的一条进行延长，延长的长度为另一条较短的线段的长度，进而证明延长后的新线段等于原来三条线段中较长的线段。 补短法实质上就是将分散的元素集中起来，然后构造全等三角形，证明结论。 证明方法：作辅助线，连接截取点与图形中的某一点，构造全等三角形，证明结论。 旋转法：若有两条相等线段出自于同一顶点，则一般可以通过旋转的方法补短，构造全等三角形，常见于等腰三角形、正方形等图形中，见例4。 例题解析 例1、【截长】在△ABC中高AD、BE交于点F，DF=CD (1) 如图1，求证：AD=BD； (2) 如图2，延长BA到点G，过点G作BE的垂线交BE的延长线于点H，当GH=BE时，探究线段CE、CG、BH的数量关系，并证明你的结论。 【证明】(1)∵AD⊥BC，BE⊥AC ， ∴∠FBD+∠C=90º,∠CAD+∠C=90º ∴∠FBD=∠CAD 又∵DF=CD ∴△BDF≌△ADC ∴AD=BD (2)在HB上截取HM=CE ∵GH=BE ∠CEB = 90º，∠MHG = 90º ∴△MHG≌△CEB ∴MG=CB 且∠CBE = ∠MGH=∠1 由(1)易知∠1+∠2=45º ∴∠BGM=90º-∠1-∠2 = 45º =∠GBC 又∵GB = GB ∴△BGM≌△GBC ∴BM = GC ∴BH = HM + MB =CE+CG 例2、【截长补短】已知，如图，在△ABC中，AB>AC,∠1 = ∠2，P为AD上任一点，求证：AB-AC>PB-PC。 截长法 补短法 【证明】在AB上截取AN = AC ∵∠1 = ∠2且AP = AP ∴△APC≌△APN ∴PN = PC 在△BPN中有BN > PB - PN ∴AB-AC>PB-PC得证。 本题也可用补短法，大家自己证一证。 例3、【截长】已知，在△ABC中，∠B=60º，AD、CE是△ABC的角平分线，并且它们交于点O，求证：AC = AE+CD 【证明】在AC上截取AF = AE ∵AO平分∠BAC， ∴∠BAD=∠CAD AO=AO ∴△AEO≌△FAO ∴∠AOE=∠AFO ∵∠B=60º AD、CE是△ABC的角平分线 ∴∠AOE=∠COD=∠ACO+∠CAO=60º ∴∠AOE=∠AOF=∠COF=∠COD=60º 又∠FCO=∠DCO CO=CO ∴△FCO≌△DCO ∴CD=CF ∵AC = AF+FC ∴AC = AE+CD 例4、【截长补短或旋转】问题1：如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝CD，点M，N分别在AD，CD上，∠MBN∠ABC，试探究线段MN，AM，CN有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想； 问题2：如图2，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＋∠ADC＝180°，点M，N分别在DA，CD延长线，若∠MBN＝∠ABC仍然成立，请你进一步探究线段MN，AM，CN又有怎么样的关量关系？写出你的猜想， 并给予证明。 【证明】问题1 旋转△ABM，使BA与BC边重合，M至点M＇处， 则∠ABM=∠CBM＇,BM=BM＇,AM=CM＇ ∵∠MBN∠ABC ∴∠ABM+∠CBN=∠MBN ∴∠CBM＇+∠CBN=∠MBN ∵BM=BM＇,BN=BN ∴△NBM＇≌△NBM ∴NM＇= NM =NC+CM＇ ∴MN =AM +CN 问题2、 ∵∠ABC＋∠ADC＝180° ∴∠DAB＋∠DCB＝180° 而∠DAB＋∠MAB＝180° ∴∠MAB =∠DCB 又AB＝BC 在CN上截取CE=MA ∴ △BCE≌△BAM ∴ BE = BM，∠CBE=∠ABM ∴ ∠ABC = MBE 又∠MBN＝∠ABC ∴∠MBN = ∠EBN ∵BN = BN,BE = BM ∴△MBN = △EBN ∴NM = NE 而NE +EC = CN ，CE=MA ∴MN +AM = CN 例5、【补短】在△ ABC中,∠A=60º,D在∠A的平分线上,DE⊥AB,DF⊥AC 求证:当∠BDC=120º时BC=BE+CF 【证明】延长FA至点M，使FM = BE,连接MD ∵D在∠A的平分线上,DE⊥AB,DF⊥AC ∴△BED≌△MFD ∴∠MDF =∠BDE BD=DM ∴∠BDM = ∠EDF =120º ∴∠MDC= 360º-120º-120º=120º ∴在△BDC和△MDC中BD=DM ，∠MDC = ∠BDC DC=DC ∴△BDC≌△MDC ∴BC=CM = FM+CF = BE+CF 例6、【截长】如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝30°，点D是△ABC内一点，DB＝DC，∠DCB＝30°，点E是BD延长线上一点，AE＝AB． （1）直接写出∠ADE的度数　 　； （2）求证：DE＝AD＋DC； （3）作BP平分∠ABE，EF⊥BP，垂足为F，若EF＝3，求BP的长． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3） 【解析】（1）∵△ABC中，AB=AC，∠BAC=30°， ∴∠ABC=∠ACB=(180º-30º)÷2=75º， ∵DB=DC， ∴易得∠DBC=∠DCB=30°， ∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=45°， ∵AB=AC，DB=DC， ∴AD所在直线垂直平分BC， ∴AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠BAC=15°， ∴∠ADE=∠ABD+∠BAD=60°； （2）在线段DE上截取DM=AD，连接AM， ∵∠ADE=60°，DM=AD， ∴△ADM是等边三角形， ∴∠ADB=∠AME=120° ∵AE=AB， ∴∠ABD=∠E， 在△ABD和△AEM中， ∴△ABD≌△AEM（AAS）， ∴BD=ME， ∵BD=CD， ∴CD=ME， ∵DE=DM+ME， ∴DE=AD+CD； （3）延长EF交BA的延长线与点N， 由（2）知△ABD≌△AEM，△ADM是等边三角形， ，或180º-45º-45º EF⊥BP， ∴∠ABF=∠NEA， 又AB=AE， BF垂直平分EN ∴Rt△ANE≌Rt△APB（AAS）， ∴BP = EN = 2EF = 6， 学科网（北京）股份有限公司 $$