2024年内蒙古包头市青山区中考二模数学试题

2024年初中学业水平考试模拟试卷 数 学 一、选择题：本大题共有10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个正确选项，请将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 1.下列四个数中，属于无理数的是 A. B.-2 024 C. D. 2.2024年李强总理政府工作报告指出，今年发展的主要预期目标是：国内生产总值培长5%左右；城镇新增就业1 200万人以上．将数据“1 200万”用科学记数法表示为 A. B. C. D. 3.如图，已知a∥b,直角三角板的直角顶点在直线a上，若∠l=,则∠2等于 A. B. C. D. 4.对任意整数n,都能 A.被3整除 B.被4整除 C.被5整除 D.被6整除 5.如图，实数m在数轴上对应的点M到原点的距离为5.下列各数中，与m最接近的是 A. B. C. D. 6.某篮球队5名场上队员的身高（单位：cm)是：168,184,187,188,197.现用一名身高为178 cm的队员换下场上身高为197 cm的队员，与换人前相比，场上队员的身高 A.平均数变小，方差变小 B.平均数变小，方差变大 C.平均数变大，方差变小 D.平均数变大，方差变大 7.如图，已知点A,B,C在⊙O上，C为的中点．若∠BAC=30°,OA=3,则的长等于 A.π B.2π C.3π D.4π 8.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知△OAB是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，点B在y轴正半轴上，点A(-1,1),将△AOB沿x轴正方向平移得到△DCE,若点E恰好落在直线上，则此时点D的坐标为 A.(2,1) B.(3,1) C.(4,1) D.(5,1) 9.如图，在菱形ABCD中分别以C,D为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点E、F,连接EF,若直线EF恰好经过点A,与边CD交于点M,连接BM.有以下四个结论：①∠ABC=60°；②如果AB=2,那么BM=；③BC=CM；④；其中正确结论的个数是 A.4个 B.3个C.2个D.1个 10.如图，正方形ABCD的边长为4,△EBC的边EB,EC分别与AD边相交于点F,G,若△EBG的面积为6,则FG与BC的长度比为 A.3∶4 B.3∶5 C.3∶7 D.3∶8 二、填空题：本大题共有6小题，每小题3分，共18分.请将答案填在答题卡上对应的横线上. 11.因式分解： . 12.已知最简二次根式与二次根式是同类二次根式，则x= . 13.化简：的结果是 . 14.如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD,垂足是E,∠A=22.5°，OC=4，则CD的长为 . 15.若m,n是一元二次方程的两个实数根，则的值是 . 16.如图，反比例函数的图象上有一动点A,连接AO并延长交图象的另一支于点B,在第二象限内有一点C,满足AC=BC,当点A运动时，点C始终在函数的图象上运动，tan∠CBA=3,则k= . 三、解答题：本大题共有7小题，共72分，请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置. 17.(8分)(1)计算：； (2)解不等式组：. 18.(8分)某班数学教师给七(1)班学生推荐《数学密码》、《数学家的故事》、《原来数学》三本数学课外读物，小明和小聪商量做一个数学游戏，将这三本书的书名写在形状与质地完全相同且不透明的三张卡片上，并将这三张卡片倒扣在桌面上，第一步：由小明在这三本书中随机抽取一本；第二步：由小聪在剩下的两本书中随机抽取一本. (1)小明抽到的《生活中的数学》是 事件；（填“必然”、“不可能”或“随机”) (2)请用画树状图法或列表法，求小明抽中《原来数学》、小聪抽中《数学家的故事》的概率. 19.(8分)如图，我市在三角形公园ABC旁修建了两条骑行线路：①E-A-C;②E-D-C.经勘测，点A在点B的正西方10千米处，点C在点B的正南方，点A在点C的北偏西45°方向，点D在点C的正南方20千米处，点E在点D的正西方，点A在点E的北偏东30°方向.（参考数据：，） (1)求DE的长度；（结果保留根号） (2)由于时间原因，小渝决定选择一条较短线路骑行，请计算说明他应该选择线路①还是线路②？ 20.(11分)心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x(分钟)的变化规律如图所示（其中AB、BC分别为线段，CD为双曲线的一部分）. (1)开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？ (2)一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到36,那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？ 21.(12分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,点D是AB的中点，以CD为直径作⊙O,⊙O分别与AC,BC交于点E,F,过点F作⊙O的切线FG,交AB于点G. (1)求证：FG⊥AB; (2)若AC=6,BC=8,求FG的长．（用两种方法求解） 22.(12分)(1)如图1,在矩形ABCD中，点E,F分别在边DC,BC上，AE⊥DF,垂足为点G.求证：△ADE∽△DCF； [问题解决] (2)如图2,在正方形ABCD中，点E,F分别在边DC,BC上，AE=DF,延长BC到点H,使CH=DE,连接DH.求证：∠ADF=∠H； [类比迁移] (3)如图3,在菱形ABCD中，点E,F分别在边DC,BC上，AE=DF=11,DE=8,∠AED=60°,求CF的长. 23.(13分）如图，已知抛物线与x轴交于点A(-3,0)、B(1,0)两点，与y轴交于点C(0,3),点P是抛物线上的一个动点. (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1,当点P在直线AC上方的抛物线上时，连接AP、BP,BP交AC于点D,若,求k的取值范围； (3)已知M是直线AC上一动点，将点M绕着点O旋转90°得到点Q,若点Q恰好落在二次函数的图象上，请直接写出点M的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年初中学业水平考试模拟试卷 数 学 一、选择题：本大题共有10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个正确选项，请将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 1.下列四个数中，属于无理数的是D A. B.-2 024 C. D. 2.2024年李强总理政府工作报告指出，今年发展的主要预期目标是：国内生产总值培长5%左右；城镇新增就业1 200万人以上．将数据“1 200万”用科学记数法表示为B A. B. C. D. 3.如图，已知a∥b,直角三角板的直角顶点在直线a上，若∠l=,则∠2等于D A. B. C. D. 4.对任意整数n,都能B A.被3整除 B.被4整除 C.被5整除 D.被6整除 5.如图，实数m在数轴上对应的点M到原点的距离为5.下列各数中，与m最接近的是A A. B. C. D. 6.某篮球队5名场上队员的身高（单位：cm)是：168,184,187,188,197.现用一名身高为178 cm的队员换下场上身高为197 cm的队员，与换人前相比，场上队员的身高A A.平均数变小，方差变小 B.平均数变小，方差变大 C.平均数变大，方差变小 D.平均数变大，方差变大 7.如图，已知点A,B,C在⊙O上，C为的中点．若∠BAC=30°,OA=3,则的长等于B A.π B.2π C.3π D.4π 8.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知△OAB是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，点B在y轴正半轴上，点A(-1,1),将△AOB沿x轴正方向平移得到△DCE,若点E恰好落在直线上，则此时点D的坐标为B A.(2,1) B.(3,1) C.(4,1) D.(5,1) 9.如图，在菱形ABCD中分别以C,D为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点E、F,连接EF,若直线EF恰好经过点A,与边CD交于点M,连接BM.有以下四个结论：①∠ABC=60°；②如果AB=2,那么BM=；③BC=CM；④；其中正确结论的个数是B A.4个 B.3个C.2个D.1个 10.如图，正方形ABCD的边长为4,△EBC的边EB,EC分别与AD边相交于点F,G,若△EBG的面积为6,则FG与BC的长度比为C A.3∶4 B.3∶5 C.3∶7 D.3∶8 二、填空题：本大题共有6小题，每小题3分，共18分.请将答案填在答题卡上对应的横线上. 11.因式分解：. 12.已知最简二次根式与二次根式是同类二次根式，则x=4. 13.化简：的结果是. 14.如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD,垂足是E,∠A=22.5°，OC=4，则CD的长为. 15.若m,n是一元二次方程的两个实数根，则的值是-3. 16.如图，反比例函数的图象上有一动点A,连接AO并延长交图象的另一支于点B,在第二象限内有一点C,满足AC=BC,当点A运动时，点C始终在函数的图象上运动，tan∠CBA=3,则k=-9. 三、解答题：本大题共有7小题，共72分，请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置. 17.(8分)(1)计算：； (2)解不等式组：. 解：(1)原式(2分) .(4分) (2) ，解不等式①得：x>-2,(1分) 解不等式②得：x<5,(2分) ∴原不等式组的解集为：-2<x<5.(4分) 18.(8分)某班数学教师给七(1)班学生推荐《数学密码》、《数学家的故事》、《原来数学》三本数学课外读物，小明和小聪商量做一个数学游戏，将这三本书的书名写在形状与质地完全相同且不透明的三张卡片上，并将这三张卡片倒扣在桌面上，第一步：由小明在这三本书中随机抽取一本；第二步：由小聪在剩下的两本书中随机抽取一本. (1)小明抽到的《生活中的数学》是 事件；（填“必然”、“不可能”或“随机”) (2)请用画树状图法或列表法，求小明抽中《原来数学》、小聪抽中《数学家的故事》的概率. 解：(1)不可能.(3分) (2)将《数学密码》、《数学家的故事》、《原来数学》三本数学课外读物分别记为A,B,C，画树状图如下： (6分) 共有6种等可能的结果，其中小明抽中《原来数学》、小聪抽中《数学家的故事》的结果有：(C，B)1种， ∴小明抽中《原来数学》、小聪抽中《数学家的故事》的概率为.(8分) 19.(8分)如图，我市在三角形公园ABC旁修建了两条骑行线路：①E-A-C;②E-D-C.经勘测，点A在点B的正西方10千米处，点C在点B的正南方，点A在点C的北偏西45°方向，点D在点C的正南方20千米处，点E在点D的正西方，点A在点E的北偏东30°方向.（参考数据：，） (1)求DE的长度；（结果保留根号） (2)由于时间原因，小渝决定选择一条较短线路骑行，请计算说明他应该选择线路①还是线路②？ 解：(1)过点E作EF⊥BA，交BA的延长线于点F，（1分） ∴∠EFA=90°，由题意得：∠B=∠D=90°， ∴四边形EFBD是矩形， ∴EF=BD,BF=ED, 在Rt△ABC中，∠ACB=45°，AB=10千米， ∴BC==10（千米）， ∵CD=20（千米）， ∴EF=BD=BC+CD=30（千米），（2分） 在Rt△AEF中，∠AEF=30°， ∴AF=EF·tan 30°=30×=（千米），（3分） ∴DE=BF=AF+AB=(+10)千米, ∴DE的长度为(+10)千米.（4分） (2)他应该选择线路②，理由：在Rt△AEF中，∠AEF=30°，AF=10， ∴AE=2AF=（千米）， 在Rt△ABC中，∠ACB=45°，AB=10千米， ∴AC==（千米），（5分） ∴线路①的总路程=AE+AC=+≈48.7（千米），（6分） 线路②的总路程=ED+CD=+10+20≈47.3（千米），（7分） ∵47.3千米<48.7千米， ∴他应该选择线路②.（8分） 20.(11分)心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x(分钟)的变化规律如图所示（其中AB、BC分别为线段，CD为双曲线的一部分）. (1)开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？ (2)一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到36,那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？ 解：(1)设直线AB所在的直线的解析式为， 把点B(10,40)代入得，∴.（1分） 设C、D所在双曲线的解析式为， 把C(25,40)代入得，∴，（2分） 当，=30，（3分） 当，，（4分） ∴，∴第30分钟注意力更集中.（5分） (2)令=36，∴36=2x+20, ∴,（7分） 令=36,∴36=1 000÷x, ∴x=1 000÷36≈27.8，（9分） ∵27.8-8=19.8>19,（10分） ∴经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目.（11分） 21.(12分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,点D是AB的中点，以CD为直径作⊙O,⊙O分别与AC,BC交于点E,F,过点F作⊙O的切线FG,交AB于点G. (1)求证：FG⊥AB; (2)若AC=6,BC=8,求FG的长．（用两种方法求解） (1)证明：连接OF，DF， ∵∠ACB=90°,AD=DB,∴DC=DB=DA, ∵CD是直径，∴∠CFD=90°,即DF⊥BC,∴CF=FB, ∵OC=OD,CF=BF, ∴OF是△CDB的中位线，∴OF∥BD, ∴∠OFC=∠B,（2分） ∵FG是⊙O的切线，∴∠OFG=90°, ∴∠OFC+∠BFG=90°, ∴∠B+∠BFG=90°,∠FGB=90°,（3分） ∴FG⊥AB.（4分） (2)解：（方法一）连接DF， 在Rt△ABC中，根据勾股定理得，AB=10,（5分） ∴点D是AB中点，∴CD=BD=AB=5, ∵CD是⊙O的直径，∠CFD=90°, ∴BF=CF=BC=4，∴DF=，（6分） ∴,（7分） .（8分） （方法二）连接OF， 在Rt△ABC中，根据勾股定理得，AB=10,（9分） ∵∠ACB=90°,AD=DB,∴DC=DB, ∵OC=OF,∴F为BC的中点，∴BF=CF=BC=4， ∴∠FGB=∠BCA,∠FBG=∠ABC, ∴△BFG∽△BAC，（11分） ∴,即,得.（12分） 22.(12分)(1)如图1,在矩形ABCD中，点E,F分别在边DC,BC上，AE⊥DF,垂足为点G.求证：△ADE∽△DCF； [问题解决] (2)如图2,在正方形ABCD中，点E,F分别在边DC,BC上，AE=DF,延长BC到点H,使CH=DE,连接DH.求证：∠ADF=∠H； [类比迁移] (3)如图3,在菱形ABCD中，点E,F分别在边DC,BC上，AE=DF=11,DE=8,∠AED=60°,求CF的长. (1)证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠C=∠ADE=90°，(1分) ∴∠CDF+∠DFC=90°，∵AE⊥DF, ∴∠DGE=90°,∠CDF+∠AED=90°,∴∠AED=∠DFC，(3分) ∴△ADE∽△DCF.(4分) (2)证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=DC,AD∥BC,∠ADE=∠DCF=90°, ∴AE=DF,∴Rt△ADE≌Rt△DCF(HL)，(5分) ∴DE=CF,∵CH=DE,∴CF=CH, ∵点H在BC的延长线上，∠DCH=∠DCF=90°,DC=DC, ∴△DCF≌△DCH(SAS)，(7分) ∴∠DFC=∠H, ∵AD∥BC,∴∠ADF=∠DFC,∴∠ADF=∠H.(8分) (3)解：如图3，延长BC至点G，使CG=DE=8，连接DG，(9分) ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD=DC,AD∥BC，∴∠ADE=∠DCG, ∴△ADE≌△DCG(SAS)，(10分) ∴∠DGC=∠AED=60°,AE=DG, ∵AE=DF,∴DG=DF, ∴△DFG是等边三角形，(11分) ∴FG=DF=11,∵CF+CG=FG, ∴CF=FG-CG=11-8=3,即CF的长为3.(12分) 23.(13分）如图，已知抛物线与x轴交于点A(-3,0)、B(1,0)两点，与y轴交于点C(0,3),点P是抛物线上的一个动点. (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1,当点P在直线AC上方的抛物线上时，连接AP、BP,BP交AC于点D,若,求k的取值范围； (3)已知M是直线AC上一动点，将点M绕着点O旋转90°得到点Q,若点Q恰好落在二次函数的图象上，请直接写出点M的坐标． 解：(1)设抛物线的表达式为,(1分) 将点C的坐标代入上式得：3=a(0+3)(0-1)，解得a=-1,(2分) 故抛物线的函数表达式为y=-(x+3)(x-1)=.(4分) (2)如图，过点B作BE∥y轴交AC于E，过点P作PF∥y轴交AC于F，(5分) 设直线AC的解析式为y=kx+n,把A(-3,0),C(0,3)代入，得 ，解得 ∴直线AC的解析式为y=x+3.(6分) 设P(t,),且-3<t<0,则F(t,t+3), ∵B(1,0),∴E(1,4), ∴BE=4,PF=-(t+3)=, ∵BE∥y轴,PF∥y轴, ∴BE∥PF, ∴△BDE∽△PDF，(7分) ∴， ∵-3<t<0, ∴当t=时，取得最大值， ∵,∴, ∴k的最大值为，(8分) ∴0<k≤.(9分) (3)如图，过点Q作QT⊥y轴于点T,过点M作MK⊥x轴于点K,则∠MKO=∠QTO=90°, ①当点M绕着点O顺时针旋转90°得到点Q时， ∴OM=OQ,∠MOQ=90°,∴∠MOK+∠QOK=90°, ∵∠QOT+∠QOK=90°,∴∠MOK=∠QOT, ∴△OMK≌△OQT(AAS), ∴OK=OT,MK=QT, 设点M(x,x+3),则OK=-x,MK=-x-3， ∴OT=-x,QT=-x-3,∴Q(x+3,-x), ∵点Q在抛物线上， ∴-x=, 解得 ∴M(-3,0)或(-4,-1); ②当点M绕着点O逆时针旋转90°得到点Q时，则Q(-x-3,x), ∵点Q在抛物线上， ∴x=, 解得(舍去)， ∴M(-5,-2); ③当点M(0,3)绕着点O逆时针旋转90°时，对应点Q(-3,0)刚好落在抛物线上； 综上所述，点M的坐标为(-3,0)或(-4,-1)或(-5,-2)或(0,3).(13分) 学科网（北京）股份有限公司 $$