专题06 证明（3大考点）-【暑假自学课】2024年新八年级数学暑假提升精品讲义（苏科版）

专题06 证明 【考点1：】定义与命题 【考点2：】证明 【考点3：】互逆命题 一、定义与命题 命题属于判断句或陈述句，是对一件事情作出判断，与判断的正确与否没有关系．其中命题的题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．当证明一个命题是假命题时只要举出一个反例就可以，即只需列出一个具备条件而不具备结论的例子即可.要说明一个真命题，则要从命题的条件出发，根据已学过的基本事实、定义、性质和定理等，进行有理有据的推理,证明它的正确性. 二、证明 证明过程必须做到言必有据.证明过程通常包含几个推理，每个推理都应包括因、果和有因得果的依据.其中，“因”是已知事项，“果”是推出的结论；“有因得果的依据”是基本事实、定义、已学过的定理以及等式性质、不等式性质. 证明的步骤： 1.根据题意，画出图形； 2.根据命题的条件、结论，结合图形，写出已知、求证； 3.写出证明过程. 推理和证明是有区别的，推理是证明的组成部分，一个证明过程往往包含多个推理. 三、三角形的内角和定理及其推论 三角形的内角和定理：三角形的三个内角的和等于180°. 推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和. (1)三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°． (2)三角形内角和定理的应用 主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角． (3)三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． 三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对． （4）三角形的外角性质： ①三角形的外角和为360°． ②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． ③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角． （5）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去． 四、互逆命题 每一个命题都有对应的逆命题，一个真命题的逆命题不一定是真命题，同样一个假命题的逆命题也不一定仍为假命题. 反例就是复合命题的条件，但不符合命题的结论的例子，它可以是数值、图形，也可以是文字说明.一个命题的反例可以有很多个，解题时只需要举出其中最易懂的一个即可. 考点剖析 【考点1：】定义与命题 1．下列命题中：①有理数和数轴上的点一一对应；②有公共点的两个角是对顶角；③平行于同一条直线的两条直线互相平行；④两个无理数的和一定是无理数；⑤任何一个数都有平方根和立方根．其中真命题的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．根据实数与数轴的关系、对顶角的性质平行公理、无理数和平方根的概念判断即可． 【详解】解∶①实数和数轴上的点一一对应，原命题是假命题； ②有公共点的两个角不一定是对顶角，原命题是假命题； ③平行于同一条直线的两条直线互相平行，是真命题； ④两个无理数的和不一定是无理数，原命题是假命题； ⑤任何一个数不一定都有平方根和立方根，如，原命题是假命题． 故选∶A． 2．下列命题中，真命题的个数有（    ） A．从直线外一点向直线引垂线，这条垂线段就是这个点到这条直线的距离 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 D．实数与数轴上的点是一一对应的 【答案】D 【分析】根据点到直线的距离；过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；两条平行的直线被第三条直线所截，同旁内角互补；实数与数轴的关系；分析选项即可． 【详解】解：由题意可知： A．从直线外一点向直线引垂线，这条垂线段的长度就是这个点到这条直线的距离，故原命题错误，不符合题意； B．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，故原命题错误，不符合题意； C．两条平行的直线被第三条直线所截，同旁内角互补，故原命题错误，不符合题意； D． 实数与数轴上的点是一一对应的，命题正确，故符合题意． 故选：D 【点睛】本题考查真假命题的判断，解题的关键是掌握：点到直线的距离；过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；两条平行的直线被第三条直线所截，同旁内角互补；实数与数轴的关系． 3．命题“在同一平面内，如果，那么”是一个 （填“真”或“假”）命题． 【答案】真 【分析】本题主要考查了判断命题真假，平行线的性质，垂线的定义，根据垂直加上平行线的性质即可证明． 【详解】解：∵， ∴， ∴命题“在同一平面内，如果，那么”是一个真命题， 故答案为：真． 4．在同一平面内，有三条直线a，b，c，下列说法：①若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；②若，，则；③若，，则．其中正确命题是 ．（填序号） 【答案】② 【分析】此题主要考查了平行公理和推论，关键是掌握同一平面内两条直线的位置关系．在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行进行分析即可． 【详解】解：在同一平面内，有三条直线a，b，c， ①若a与b相交，b与c相交，则a与c不一定相交，故原命题不正确； ②若，，则，故原命题正确； ③若，，则，故原命题不正确． 故答案为：②． 5．请指出下列命题的条件和结论，并判断它们的真假． (1)如果两个角是直角，那么这两个角相等； (2)绝对值相等的两个数相等； (3)两个钝角的和一定大于． 【答案】(1)条件：两个角是直角；结论：这两个角相等；真命题 (2)条件：两个数绝对值相等；结论：这两个数相等；假命题 (3)条件：两个角是钝角；结论：这两个角的和一定大于；真命题 【分析】本题考查命题的真假性，熟知相关概念是解题的关键． （1）根据题意，写出条件和结论，再进行判断真假即可； （2）根据题意，写出条件和结论，再进行判断真假即可； （3）根据题意，写出条件和结论，再进行判断真假即可． 【详解】（1）解：条件：两个角是直角；结论：这两个角相等； 直角为，故原命题是真命题； （2）解：条件：两个数绝对值相等；结论：这两个数相等； 绝对值相等的两个数，还可以互为相反数，不一定相等，故原命题是假命题； （3）解：条件：两个角是钝角；结论：这两个角的和一定大于； 钝角大于，故两个钝角的和一定大于，故原命题是真命题． 6．命题：绝对值相等的两个数相等． (1)请将上述命题改写成“如果……，那么……”，并指出这个命题的条件与结论； (2)判断这个命题是真命题还是假命题． 【答案】(1)见解析； (2)假命题． 【分析】（）根据命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论解答； （）根据有关性质与定理，对命题的真假进行判断，如果是假命题，再举出反例即可； 【详解】（1）如果两个数的绝对值相等，那么这两个数也相等； 命题的条件是：两个数的绝对值相等；结论：这两个数也相等； （2）如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等；是假命题， 反例：，但，假命题． 【考点2：】证明 1．在第届全国中学生物理竞赛决赛中，华师一物理竞赛团队有位同学获金牌，并全部进入国家集训队．五位同学猜谁是第一名，说：是，说：是，说：是，说：说错了，说：不是我．教练说：你们中只有一人说对了，那么第一名是（　　） A．B B．C C．D D．E 【答案】D 【分析】教练说：你们中只有一人说对了，根据，相互矛盾，由此即可求解． 【详解】解：说：是，说：说错了，教练说：你们中只有一人说对了， ∴和的说法只能一真一假，不能同真，也不能同假； ∴和，说得都是假话， ∴只有说对了， 故选：． 【点睛】本题主要考查命题的逻辑推理，理解题目中教练，和的说法进行推导是解题的关键． 2．下列选项中，能说明命题“若，则”是假命题的反例是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】说明一个命题错误只要举反例即可，即满足命题的条件但不满足命题的结论的例子便是举反例，由此即可作出判断． 【详解】选项A的反例不满足命题的条件，不符合；选项B、C满足命题的条件，也满足命题的结论，不符合；选项D满足命题的条件，但不满足命题的结论，故是举反例； 故选：D． 【点睛】本题考查了命题的举反例，了解举反例的含义是关键． 3．把命题“等边对等角”改写为“如果…，那么…”的形式为： ． 【答案】如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等； 【分析】本题考查命题的扩充改写，先要明确命题中的已知条件和结论，然后将已知和结论的描述语言进行适当扩充． 【详解】命题“等边对等角”改写为“如果…，那么…”的形式为：如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等； 故答案为：如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等． 4．用反证法证明“如果，那么．”是真命题时，第一步应先假设 ． 【答案】a≥0 【分析】用反正法证明命题应先假设结论的反面成立，本题结论的反面应是. 【详解】解： “如果，那么．”是真命题时 ,用反证法证明第一步应假设. 故答案为 【点睛】本题考查了反证法，熟练掌握反证法的证明步骤是解题的关键. 5．命题：直角三角形的两锐角互余．    (1)将此命题写成“如果…，那么…”：______； (2)请判断此命题的真假．若为假命题，请说明理由；若为真命题，请根据所给图形写出已知、求证和证明过程． 【答案】(1)如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余 (2)该命题是真命题，详见解析 【分析】本题考查的是直角三角形的性质，逆命题的概念： （1）根据逆命题的概念写出原命题的逆命题； （2）根据三角形内角和定理计算，即可证明． 【详解】（1）解：如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余； 故答案为：如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余 （2）解：该命题是真命题 已知：如图，在中， 求证： 证明： ． 6．如图，有如下四个论断：①；②；③平分；④平分，请你选择四个论断中的三个作为条件，余下的一个论断作为结论，构成一个正确的数学命题并证明它． 【答案】见解析 【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义即可得到结论． 【详解】已知：，，平分， 求证：平分． 证明：如图所示， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴平分． 【点睛】本题考查了命题与定理，平行线的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 【考点3：】互逆命题 1．下列命题的逆命题是假命题的是（    ） A．对顶角相等 B．两直线平行，同位角相等 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】本题主要考查了逆命题、真假命题、平行线的性质和判定、对顶角的定义以及有理数的乘方、等式性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 依据平行线的性质和判定、对顶角的定义以及有理数的乘方、等式性质逐项分析判断即可． 【详解】解：A．“对顶角相等”其逆命题为“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”，这个命题是假命题，故符合题意； B．“两直线平行，同位角相等”其逆命题为“同位角相等，两直线平行”，这个命题是真命题，故不符合题意； C．“若，则”其逆命题为“若，则”，这个命题是真命题，故不符合题意； D．“若，则”其逆命题为“若，则”，这个命题是真命题，故不符合题意． 故选：A． 2．已知命题“正方形的四条边均相等”，则下列说法不正确的是（    ） A．该命题的题设是正方形 B．该命题是真命题 C．其逆命题的题设是四边形的四条边相等 D．其逆命题是真命题 【答案】D 【分析】本题主要考查了命题的概念，“判断一件事情的语句，叫做命题．命题由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．” 理解命题的结构，掌握判断命题真假，写出一个命题的逆命题，熟悉正方形的判定是解题的关键． 【详解】解：A： 原命题中的已知事项是正方形，故该命题的题设是正方形，该选项不符合题意； B：原命题是真命题，该选项不符合题意； C：原命题的逆命题是“四条边均相等的四边形是正方形”，已知事项是四边形的四条边相等，故该选项不符合题意； D：原命题的逆命题是“四条边均相等的四边形是正方形”，四条边均相等的四边形不一定是正方形，还可能是菱形，逆命题为假命题，故该选项符合题意； 故选：D． 3．命题“等边三角形是锐角三角形”的逆命题是 ，该逆命题是 命题．（填“真”或“假”） 【答案】 锐角三角形是等边三角形 假 【分析】本题考查了逆命题及判断命题真假，正确理解三角形的分类是解题关键．先根据原命题写出逆命题，再判断真假即可． 【详解】解：命题“等边三角形是锐角三角形”的逆命题是“锐角三角形是等边三角形”，该逆命题是假命题， 故答案为：锐角三角形是等边三角形；假； 4．下列命题中，其逆命题成立的是 （填序号） ①同旁内角互补，两直线平行； ②如果三角形的三边长a，b，c（c为最长边）且满足，那么这个三角形是直角三角形． ③如果两个角是直角，那么它们相等； ④如果两个实数相等，那么它们的平方相等； 【答案】①②/②① 【分析】本题考查的是逆命题的概念以及命题的真假判断，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．根据逆命题的概念得出原命题的逆命题，判断即可． 【详解】解：①同旁内角互补，两直线平行的逆命题是两直线平行，同旁内角互补，是真命题； ②如果三角形的三边长a，b，c（c为最长边）且满足，那么这个三角形是直角三角形的逆命题是如果这个三角形是直角三角形，那么三角形的三边长a，b，c（c为最长边）满足，是真命题； ③如果两个角是直角，那么它们相等的逆命题是如果两个角相等，那么这两个角是直角，是假命题； ④如果两个实数相等，那么它们的平方相等的逆命题是如果两个实数的平方相等，那么两个实数相等，是假命题； 故答案为：①②． 5．写出下列命题“若p，则q”的形式，写出它的逆命题并判断它们的真假． (1)全等三角形的对应边相等； (2)互为相反数的两个数的和为零． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查命题书写及判断真假： （1）先根据题意找到题设结论，写出命题，根据是否能得到判断真假即可得到答案； （2）先根据题意找到题设结论，写出命题，根据是否能得到判断真假即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意可得， “若p，则q ”的形式：若两个三角形全等，则这两个三角形的对应边相等， ∵三角形全等对应边相等， ∴该命题是真命题， 逆命题：若两个三角形的对应边相等，则这两个三角形全等，是真命题； （2）解：由题意可得， “若p，则q”的形式：若两个数互为相反数，则它们的和为零， ∵两个互为相反的数和为0， ∴是真命题， 逆命题：若两个数的和为零，则它们互为相反数，是真命题． 6．已知命题“如果，那么．” (1)写出此命题的条件和结论； (2)写出此命题的逆命题； (3)判断此命题的逆命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例进行说明． 【答案】(1)条件为：；结论为： (2)如果，那么 (3)假命题，反例不唯一 【分析】（1）“如果”后面的部分为条件，“那么”后面的部分为结论； （2）交换题目中命题的结论和题设的位置即可； （3）举出反例即可． 【详解】（1）解：此命题的条件为：， 结论为：； （2）此命题的逆命题为：如果，那么； （3）此命题的逆命题是假命题， 当为相反数时，它们的绝对值相等，但本身不相等， 如时，，而． 【点睛】本题考查的是命题与定理，用到的知识点是真假命题的定义，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，交换命题的中题设和结论即为原命题的逆命题． 过关检测 1．下列命题中，真命题的个数是（    ） ①过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ③垂直于同一条直线的两条直线互相平行； ④两直线平行，同位角相等． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题主要考查了判断命题真假，平行线的性质与判定，垂线的定义，熟知相关知识是解题的关键． 【详解】解：①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原命题是假命题； ②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原命题是真命题； ③同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，原命题是假命题； ④两直线平行，同位角相等，原命题是真命题． ∴真命题有2个， 故选：C． 2．为说明命题“若，则”是假命题，所列举反例正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是命题的证明和判断，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．根据举反例时需满足题设，而不满足结论求解即可． 【详解】解：A、，则，不是反例，不符合题意； B、，则，不是反例，不符合题意； C、，则，是反例，符合题意； D、，，则，不是反例，不符合题意； 故选：C． 3．下列命题中，说法正确的个数有（   ） ①等角的补角相等； ②过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ③相等的角是对顶角； ④两条直线被第三条直线所截，同位角相等； ⑤过直线外一点作这条直线的垂线段，则这条垂线段叫做这个点到这条直线的距离． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了命题与定理的知识．利用互补的定义、平行公理、对顶角的定义、平行线的性质及点到直线的距离等知识分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：①等角的补角相等，正确，符合题意； ②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原命题错误，不符合题意； ③相等的角不一定是对顶角，故原命题错误，不符合题意； ④两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故原命题错误，不符合题意； ⑤过直线外一点作这条直线的垂线段，则这条垂线段的长度叫做这个点到这条直线的距离，故原命题错误，不符合题意． 正确的有1个， 故选：A． 4．下列命题中是真命题的有（    ）． ①如果，，则； ②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ③同旁内角互补，则它们的角平分线互相垂直； ④过一点画已知直线的垂线可以画而且只能画一条； ⑤有理数和数轴上的点一一对应． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．根据平行线的判定，平行公理，平行线的性质，角平分线的定义，邻补角，实数与数轴的关系分别判断即可． 【详解】解：①同一平面内，如果，，则，故原命题为假命题； ②在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原命题为假命题； ③同旁内角互补，则它们的角平分线互相垂直，故为真命题； ④在同一平面内，过一点画已知直线的垂线可以画而且只能画一条，故原命题为假命题； ⑤实数和数轴上的点一一对应，故原命题为假命题； ∴共有1个真命题， 故选：A． 5．有下列命题：①点到直线的距离是这一点到直线的垂线段；②两条直线被第三条直线所截，同旁内角相等；③在同一平面内，有且只有一条直线与已知直线垂直；④对顶角相等；⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行．其中，真命题有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】此题考查了点到直线的距离、平行线的性质、垂线的性质、对顶角的性质等知识，根据相关知识进行判断即可． 【详解】解：①点到直线的距离是这一点到直线的垂线段的长度；故选项错误，不符合题意； ②两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角相等；故选项错误，不符合题意； ③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；故选项错误，不符合题意； ④对顶角相等；故选项正确，符合题意． ⑤过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；故选项错误，不符合题意； 故选：A． 6．有下列四个命题：一条直线的垂线只有一条；在同一平面内，从一点到某直线的垂线段叫这点到这条直线的距离；如果两条直线垂直，那么他们相交成的四个角都相等；在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行．其中假命题的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了命题的真假，根据垂线的性质、点到直线距离、垂直的定义、平行线的判定逐项判断即可求解，掌握有关定义和性质是解题的关键． 【详解】解：一条直线的垂线有无数条，故是假命题； 在同一平面内，从一点到某直线的垂线段的长度叫这点到这条直线的距离，故是假命题； 如果两条直线垂直，那么他们相交成的四个角都相等，故是真命题； 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故是真命题； ∴假命题有，一共个， 故选：． 7．“内错角相等”是 命题．（填“真”、“假”） 【答案】假 【分析】本题考查了判定命题的真假，两直线平行，内错角相等．熟练掌握两直线平行，内错角相等，错误的命题是假命题是解题的关键． 根据两直线平行，内错角相等进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，两直线平行，内错角相等， ∴“内错角相等”是假命题， 故答案为：假． 8．“如果a是无理数，b是无理数，那么a与b之积仍是无理数”是 （填“真”或“假”）命题． 【答案】假 【分析】根据无理数的乘法法则计算，判断即可．本题考查的是命题与定理，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 【详解】解：当，时，，而是有理数， 所以如果是无理数，是无理数，那么与b之积仍是无理数是假命题． 故答案为：假． 9．将命题“互补的两个角是邻补角”改写成“如果那么”的形式： ， 这是一个 ． 【答案】 如果两个角互补，那么这两个角是邻补角 假命题 【分析】本题考查命题的改写，判断命题的真假．根据命题的改写方法：如果后面是条件，那么后面是结论，进行作答即可． 【详解】解：“互补的两个角是邻补角” 改写成“如果那么”的形式为：如果两个角互补，那么这两个角是邻补角；是一个假命题； 故答案为：如果两个角互补，那么这两个角是邻补角；假命题． 10．“如果，则”是 （填写“真命题”或“假命题”） 【答案】真命题 【分析】本题考查了真命题．熟练掌握正确的命题是真命题是解题的关键． 根据正确的命题是真命题判断作答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴命题是真命题， 故答案为：真命题． 11．已知命题“如果两条平行线被第三条直线所截，那么一对同位角的平分线互相平行”． (1)如图为符合该命题的示意图，请你把该命题用几何符号语言补充完整： 已知：______，、分别平分______和______，则_______． (2)试判断这个命题的真假，并说明理由． 【答案】(1)；；； (2)此命题为真命题，理由见解析 【分析】（1）根据题意，补充条件即可； （2）根据平行线的性质可得：，然后根据角平分线的定义可得：， ，从而得出：，再根据平行线的判定，即可证出：． 【详解】（1）解：根据题意：已知：，、分别平分和，则； （2）解：此命题为真命题；理由如下： ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ， ∴， ∴． 【点睛】此题主要考查的是平行线的性质和判定，掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等和平行线的判定：同位相等，两直线平行，是解决此题的关键． 12．如图，①，②平分，③，④平分． (1)若以②③④为条件，①为结论组成一个命题，则这个命题是_______（“真”或“假”）命题； (2)证明（1）中的结论． 【答案】(1)真 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了判断命题真假，平行线的判定，角平分线的定义： （1）由角平分线的定义得到，再根据已知条件可证明，即可证明，据此可得结论； （2）同（1）证明即可． 【详解】（1）解：当以②③④为条件，①为结论组成一个命题时， ∵平分，平分 ∴， 又∵ ∴， ∴； ∴以②③④为条件，①为结论组成一个命题，这个命题是真命题； 故答案为：真； （2）证明：∵平分，平分 ∴ 又∵， ∴， ∴． 13．【阅读理解】 如果把一个命题（记作）的题设和结论交换位置，得到另一个命题（记作），那么这两个命题叫做互逆命题，其中命题称为原命题，命题称为原命题的逆命题． 例如：原命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”． 【解决问题】 给出命题“如果，那么．” (1)写出命题的题设和结论，及逆命题． (2)判断命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例进行说明． 【答案】(1)是题设，是结论；逆命题是：如果，那么 (2)假命题，见解析． 【分析】本题考查了命题：要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． （1）命题的题设为，“那么”后面为结论，再交换题设和结论得到原命题的逆命题； （2）命题是假命题，举出一个反例进行说明即可． 【详解】（1）解：∵命题“如果，那么． ∴是题设，是结论； 逆命题是：如果，那么． （2）解：命题是假命题， 反倒：，但是3不等于． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 证明 【考点1：】定义与命题 【考点2：】证明 【考点3：】互逆命题 一、定义与命题 命题属于判断句或陈述句，是对一件事情作出判断，与判断的正确与否没有关系．其中命题的题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．当证明一个命题是假命题时只要举出一个反例就可以，即只需列出一个具备条件而不具备结论的例子即可.要说明一个真命题，则要从命题的条件出发，根据已学过的基本事实、定义、性质和定理等，进行有理有据的推理,证明它的正确性. 二、证明 证明过程必须做到言必有据.证明过程通常包含几个推理，每个推理都应包括因、果和有因得果的依据.其中，“因”是已知事项，“果”是推出的结论；“有因得果的依据”是基本事实、定义、已学过的定理以及等式性质、不等式性质. 证明的步骤： 1.根据题意，画出图形； 2.根据命题的条件、结论，结合图形，写出已知、求证； 3.写出证明过程. 推理和证明是有区别的，推理是证明的组成部分，一个证明过程往往包含多个推理. 三、三角形的内角和定理及其推论 三角形的内角和定理：三角形的三个内角的和等于180°. 推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和. (1)三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°． (2)三角形内角和定理的应用 主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角． (3)三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． 三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对． （4）三角形的外角性质： ①三角形的外角和为360°． ②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． ③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角． （5）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去． 四、互逆命题 每一个命题都有对应的逆命题，一个真命题的逆命题不一定是真命题，同样一个假命题的逆命题也不一定仍为假命题. 反例就是复合命题的条件，但不符合命题的结论的例子，它可以是数值、图形，也可以是文字说明.一个命题的反例可以有很多个，解题时只需要举出其中最易懂的一个即可. 考点剖析 【考点1：】定义与命题 1．下列命题中：①有理数和数轴上的点一一对应；②有公共点的两个角是对顶角；③平行于同一条直线的两条直线互相平行；④两个无理数的和一定是无理数；⑤任何一个数都有平方根和立方根．其中真命题的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列命题中，真命题的个数有（    ） A．从直线外一点向直线引垂线，这条垂线段就是这个点到这条直线的距离 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 D．实数与数轴上的点是一一对应的 3．命题“在同一平面内，如果，那么”是一个 （填“真”或“假”）命题． 4．在同一平面内，有三条直线a，b，c，下列说法：①若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；②若，，则；③若，，则．其中正确命题是 ．（填序号） 5．请指出下列命题的条件和结论，并判断它们的真假． (1)如果两个角是直角，那么这两个角相等； (2)绝对值相等的两个数相等； (3)两个钝角的和一定大于． 6．命题：绝对值相等的两个数相等． (1)请将上述命题改写成“如果……，那么……”，并指出这个命题的条件与结论； (2)判断这个命题是真命题还是假命题． 【考点2：】证明 1．在第届全国中学生物理竞赛决赛中，华师一物理竞赛团队有位同学获金牌，并全部进入国家集训队．五位同学猜谁是第一名，说：是，说：是，说：是，说：说错了，说：不是我．教练说：你们中只有一人说对了，那么第一名是（　　） A．B B．C C．D D．E 2．下列选项中，能说明命题“若，则”是假命题的反例是（    ） A． B． C． D． 3．把命题“等边对等角”改写为“如果…，那么…”的形式为： ． 4．用反证法证明“如果，那么．”是真命题时，第一步应先假设 ． 5．命题：直角三角形的两锐角互余．    (1)将此命题写成“如果…，那么…”：______； (2)请判断此命题的真假．若为假命题，请说明理由；若为真命题，请根据所给图形写出已知、求证和证明过程． 6．如图，有如下四个论断：①；②；③平分；④平分，请你选择四个论断中的三个作为条件，余下的一个论断作为结论，构成一个正确的数学命题并证明它． 【考点3：】互逆命题 1．下列命题的逆命题是假命题的是（    ） A．对顶角相等 B．两直线平行，同位角相等 C．若，则 D．若，则 2．已知命题“正方形的四条边均相等”，则下列说法不正确的是（    ） A．该命题的题设是正方形 B．该命题是真命题 C．其逆命题的题设是四边形的四条边相等 D．其逆命题是真命题 3．命题“等边三角形是锐角三角形”的逆命题是 ，该逆命题是 命题．（填“真”或“假”） 4．下列命题中，其逆命题成立的是 （填序号） ①同旁内角互补，两直线平行； ②如果三角形的三边长a，b，c（c为最长边）且满足，那么这个三角形是直角三角形． ③如果两个角是直角，那么它们相等； ④如果两个实数相等，那么它们的平方相等； 5．写出下列命题“若p，则q”的形式，写出它的逆命题并判断它们的真假． (1)全等三角形的对应边相等； (2)互为相反数的两个数的和为零． 6．已知命题“如果，那么．” (1)写出此命题的条件和结论； (2)写出此命题的逆命题； (3)判断此命题的逆命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例进行说明． 过关检测 1．下列命题中，真命题的个数是（    ） ①过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ③垂直于同一条直线的两条直线互相平行； ④两直线平行，同位角相等． A．4 B．3 C．2 D．1 2．为说明命题“若，则”是假命题，所列举反例正确的是（   ） A． B． C． D． 3．下列命题中，说法正确的个数有（   ） ①等角的补角相等； ②过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ③相等的角是对顶角； ④两条直线被第三条直线所截，同位角相等； ⑤过直线外一点作这条直线的垂线段，则这条垂线段叫做这个点到这条直线的距离． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．下列命题中是真命题的有（    ）． ①如果，，则； ②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ③同旁内角互补，则它们的角平分线互相垂直； ④过一点画已知直线的垂线可以画而且只能画一条； ⑤有理数和数轴上的点一一对应． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．有下列命题：①点到直线的距离是这一点到直线的垂线段；②两条直线被第三条直线所截，同旁内角相等；③在同一平面内，有且只有一条直线与已知直线垂直；④对顶角相等；⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行．其中，真命题有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 6．有下列四个命题：一条直线的垂线只有一条；在同一平面内，从一点到某直线的垂线段叫这点到这条直线的距离；如果两条直线垂直，那么他们相交成的四个角都相等；在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行．其中假命题的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 7．“内错角相等”是 命题．（填“真”、“假”） 8．“如果a是无理数，b是无理数，那么a与b之积仍是无理数”是 （填“真”或“假”）命题． 9．将命题“互补的两个角是邻补角”改写成“如果那么”的形式： ， 这是一个 ． 10．“如果，则”是 （填写“真命题”或“假命题”） 11．已知命题“如果两条平行线被第三条直线所截，那么一对同位角的平分线互相平行”． (1)如图为符合该命题的示意图，请你把该命题用几何符号语言补充完整： 已知：______，、分别平分______和______，则_______． (2)试判断这个命题的真假，并说明理由． 12．如图，①，②平分，③，④平分． (1)若以②③④为条件，①为结论组成一个命题，则这个命题是_______（“真”或“假”）命题； (2)证明（1）中的结论． 13．【阅读理解】 如果把一个命题（记作）的题设和结论交换位置，得到另一个命题（记作），那么这两个命题叫做互逆命题，其中命题称为原命题，命题称为原命题的逆命题． 例如：原命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”． 【解决问题】 给出命题“如果，那么．” (1)写出命题的题设和结论，及逆命题． (2)判断命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例进行说明． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$