精品解析：2024年福建省福州市中考三模数学试题

2024年福建省初中学业水平考试・数学 本试卷共6页，满分150分． 注意事项： 1．答题前，考生务必在试卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时用0.5毫米黑色墨水签字笔将答案写在答题卡相应位置上． 3．作图可先使用2B铅笔画出，确定后用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑． 4．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 的相反数是（ ） A. B. 10 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查相反数的求解，解题的关键是熟知a的相反数为．根据相反数的定义即可求解． 【详解】解：的相反数是， 故选：B． 2. 如图是由一个圆柱和正三棱柱组成的几何体，则它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图是解题关键．根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案． 【详解】解：这个立体图形的俯视图是一个等边三角形，三角形的内部有一个圆，且三角形的三边与圆相切． 故选：A． 3. 如图是单位长度为1的数轴，点，是数轴上的点，若点表示的数是，则点表示的数是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了数轴，熟练掌握数轴上两点之间的距离公式是解题的关键．根据数轴上两点之间的距离公式计算即可． 【详解】解：点表示的数是，点距离点有4个单位， 点表示的数是， 故选：C． 4. 下列运算正确的是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，完全平方公式等知识．根据合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，完全平方公式对各选项进行判断即可．熟练掌握合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：A中，错误，故不符合要求； B中，正确，故符合要求； C中，错误，故不符合要求； D中，错误，故不符合要求； 故选：B． 5. 近年来，福建着力推进高水平对外开放，外贸外资量稳质升高，根据福建省统计局数据统计，福建省2021年的进口总额为7612.3亿元，2023年的进口总额为7977.1亿元，设这两年福建省地区进口贸易总额的年平均增长率为，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．设这两年福建省地区进口贸易总额的年平均增长率为，根据福建省2021年的进口总额为7612.3亿元，2023年的进口总额为7977.1亿元，据此列方程． 【详解】解：设这两年福建省地区进口贸易总额的年平均增长率为， 根据题意得，， 故选：A． 6. 每年4月23日为“世界读书日”，读书能丰富知识，陶冶情操，提高文化底蕴．如图是某校七年级学生课外阅读最喜欢的书籍种类人数统计图．若喜欢历史类书籍的有125人，则下列说法正确的是（ ） A. 的值为25 B. 此次统计的总人数为400人 C. 喜欢文学类书籍的人数比喜欢其他类书籍的人数多50人 D. 该年级学生课外阅读最喜欢的书籍种类是历史类 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整体1减去其它类所占的百分比求出，根据喜欢历史类书籍的人数和所占的百分比求出此次统计的总人数，再用总人数乘以喜欢文学类书籍的人数比喜欢其他类书籍的人数多的百分比，求出喜欢文学类书籍的人数比喜欢其他类书籍的人数多的人数，最后根据扇形统计图各自所占的百分比，得出年级学生课外阅读最喜欢的书籍种类． 【详解】解：A．的值为20，故本选项错误，不符合题意； B．此次统计的总人数为（人），故本选项错误，不符合题意； C．喜欢文学类书籍的人数比喜欢其他类书籍的人数多（人），故本选项正确，符合题意； D．该年级学生课外阅读最喜欢的书籍种类是文学类，故本选项错误，不符合题意； 故选：C． 7. 如图，在中，，．阅读以下作图步骤： ①以点为圆心，的长为半径作圆弧，交于点； ②分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧相交于点； ③作射线交于点． 则下列说法错误的是（ ） A. 是的高 B. 是的中线 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，高线的画法，等边三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握这些性质与概念是解题的关键．先通过画法确定是线段垂直平分线，再利用直角三角形依次进行判断即可． 【详解】解：由作图步骤可得，， ∴是的高， 选项A正确，不符合题意； ∵，，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴是的中线， ∴选项B正确，不符合题意； ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴选项C正确，不符合题意； 在中，， ∴， ∴选项D错误，符合题意． 故选：D． 8. 如图，在等边中，于点，延长至点，使得，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理．先根据等腰三角形“三线合一”的性质得出，，再根据勾股定理求出，最后证明，即可得出． 【详解】解：是等边三角形， ，． ， ，，， 在中，． ， ， ， ． 故选B． 9. 如图，是的直径，，是的弦，交于点，且，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由直径所对的圆周角等于可得出，由三角形内角和得出 ，设，由圆周角定理可知，由等边对等角可得出，由对顶角相等可得出，由三角形内角和定理可得出关于x的一元一次方程，求解出 ，再利用三角形内角和定理可得出的度数． 【详解】解：是的直径， ． ， ． 设，则， ， ， ， ， 解得， ， ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，三角形内角和定理，一元一次方程的应用，等边对等角等知识，掌握这些知识是解题的关键． 10. 已知点，为抛物线上的两点，且，则的值可能为（ ） A. 5 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象和性质等知识点，由抛物线的函数解析式，得出抛物线的对称轴，再根据，得出抛物线的增减性，最后对点M的位置进行分类讨论即可解决问题，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】由题意可得，该抛物线的对称轴为直线， 点在对称轴右侧，点的位置不确定，需分类讨论： ①当点在对称轴右侧（或在顶点）时，， ∵，，且在对称轴右侧随的增大而增大， ， ； ②当点在对称轴左侧时，，由对称性可知抛物线过点， ∵，，且在对称轴左侧随的增大而减小， ， ， 综上可得，的取值范围为， 的值可能为1， 故选：B． 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用0.5毫米黑色墨水签字笔将答案写在答题卡相应位置上． 2．作图可先使用2B铅笔画出，确定后用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 如果收入元，记作元，那么支出元应记作________元． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查具有相反意义的量，熟练掌握定义是解题关键．正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案． 【详解】解：如果收入元，记作元，那么支出元应记作， 故答案为：． 12. 若从2名女生，3名男生中随机选择1位担任班级的“环保卫士”，则女生被选中的概率是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率．直接根据概率公式计算即可． 【详解】解：从2名女生，3名男生中随机选择1位担任班级的“环保卫士”，则女生被选中的概率是． 故答案为：． 13. 如图，在中，O是对角线AC与BD的交点．若的面积是5，则的面积是______． 【答案】20 【解析】 【分析】根据平行四边形分得的四个三角形的面积相等即可解得． 【详解】解：∵平行四边形被对角线分得的四个三角形的面积相等， ∴△AOB的面积是面积的 ， ∴=5×4=20． 故答案为：20． 【点睛】此题考查了平行四边形的面积，解题的关键是平行四边形分得的四个三角形的面积相等． 14. 不等式组的解集是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式．首先解不等式组中的每个不等式，然后根据“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则确定两个不等式的解集的公共部分，即可确定不等式组的解集． 【详解】解：解不等式①得， 解不等式②得， 则不等式组的解集是：． 故答案为：． 15. 如图，在正五边形中以为边作等腰直角，，连接，则的度数为________． 【答案】##81度 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形内角的性质，等腰直角三角形的性质等知识点，先求出其内角的度数，再根据角的和差即可求出的度数，进而即可求出答案，求出正五边形的内角是解题的关键． 【详解】多边形为正五边形， 其内角的度数为， ， ， ， ， 故答案为：． 16. 如图，矩形的三个顶点，，分别在反比例函数的图象上，过点，矩形的边与轴交于点，且，若点的横坐标为1，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，设点坐标为，则、、均可用表示，易知，通过线段等量关系可求用表示的点坐标，进而求得点坐标，根据、都在反比例函数图象上，得到两点的横纵坐标之积都为，列方程即可求得的值． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点， 设点坐标为， 由对称性质有， ，，， ， ， ，即， ， ， ，，， ， ，，， ， ， ，，，， ， 、都在反比例函数图象上， ， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题是反比例函数与几何的综合题，主要考查了反比例函数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，解直角三角形的计算，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，解题关键是掌握反比例函数图象上的点的横纵坐标之积是定值，即． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，利用二次函数的性质、绝对值的性质、负整数指数幂分别化简，再合并即可求解，掌握实数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， ． 18. 如图，已知点C，E在线段上，，，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】先求得，利用证明，即可得出答案． 【详解】证明：∵， ∴． 在和中，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定定理是解决本题的关键 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式化简求值，分母有理化；先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 20. 福建永安特产笋干是闽西八大干之一，因其具有肉厚节密、色泽金黄、口感脆嫩的特点，在海内外享有盛誉．某特产店销售，两种不同品牌的笋干，已知销售1千克种笋干和2千克种笋干的销售额为280元，销售2千克种笋干和3千克种笋干的销售额为460元． （1）求，两种笋干每千克的销售价格； （2）据了解，销售，两种笋干的利润分别是40元/千克和70元/千克，该店计划再次购进，两种笋干共150千克，预算不超过5500元，厂家规定购进种笋干不多于种笋干的2倍，求该店最多购买种笋干多少千克？ 【答案】（1）种笋干的销售价格为80元/千克，种笋干的销售价格为100元/千克 （2）最多可购买种笋干100千克 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用及一元一次不等式的应用等知识点． （1）设每千克笋干A的售价为x元，每千克笋干B的售价为y元，列出二元一次方程组求解即可； （2）设笋干A的销量为a千克，则笋干B的销量为千克，所获利润为w元，先根据总成本不高于5500元，求出a的取值范围． 【小问1详解】 解：设种笋干的销售价格为元/千克，种笋干的销售价格为元/千克， ，解得， 答：种笋干的销售价格为80元/千克，种笋干的销售价格为100元/千克． 【小问2详解】 （2）设购进种笋干千克，则购进种笋干千克， 由题意得． 解得：， 的最大值为100， 答：最多可购买种笋干100千克． 21. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，过点作的切线交延长线于点，且，连接． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据切线性质知道，推出，结合等边对等角和平行线的性质，推出，可得，得证； （2）根据圆周角定理及推论，可以知道，结合，得到的度数，然后根据圆的内接四边形的性质，推出的度数，从而推出的度数，由（1）可知，再结合三角形内角和，推出的度数，从而得到的度数． 【小问1详解】 证明：如解图，连接 是的切线 ； 【小问2详解】 是的直径 四边形是的内接四边形 由（1）可得 ． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角、弧、弦三者的关系，圆周角的定理及推论，等腰三角形的性质，平行线的性质，圆的内接四边形的性质，直角三角形两个锐角互余，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 22. 为了解学生体育中考的准备情况，某校对九年级全体学生进行了一次体能摸底测试，学校随机抽取了20名学生，记录他们的体能摸底测试成绩（单位：分）如下表所示．为增强学生的体能，学校组织了强化训练，经过一个月的强化训练后，再次进行测试，对原来抽取的20名学生跟踪调查，记录成绩．其中组为，组为，组为，组为． 63 81 99 72 84 88 67 95 92 77 84 98 97 88 89 96 78 93 85 根据以上信息，回答下列问题： （1）统计表中的一个数据因沾上污渍看不清了，已知这20个数据中存在唯一的众数84，则的值为________，本次抽样调查获取的样本数据的中位数是________； （2）第二次测试中发现组的同学平均成绩提高13分，组的同学平均成绩提高7分，组的同学平均成绩提高3分，组的同学平均成绩提高1分，若把测试成绩超过88分定为优秀，那么这些同学第二次测试的平均成绩能否达到优秀，并说明理由．（各组数据用该组数据的组中值代表，如取65） 【答案】（1）84，86.5 （2）第二次测试中这些学生的平均成绩能达到优秀，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了众数、中位数、平均数的定义，熟练掌握众数、中位数、平均数的定义是解题的关键． （1）根据众数的定义求出的值，再根据中位数的定义求出中位数即可； （2）根据平均数的定义求出这些同学第二次测试的平均成绩即可 【小问1详解】 解：这20个数据中存在唯一的众数84， ， 把这些数从小到大排列，中位数是第10、11个数的平均数，则中位数是； 故答案为：84，； 【小问2详解】 解：这些同学第二次测试的平均成绩能达到优秀，理由如下：第二次测试中，组的2位同学平均成绩提高13分，组的3位同学平均成绩提高7分，组的8位同学平均成绩提高3分，组的7位同学平均成绩提高1分， 整体提高的分数为：， ， 这些同学第二次测试的平均成绩为：， 这些同学第二次测试的平均成绩能达到优秀． 23. 某景区因其特有的玻璃观光栈道吸引了众多游客前来打卡，景区内有两条可供游客观赏自然风光的观光玻璃栈道，，由于景区客流量日益增多，现景区准备新建一条新的玻璃栈道．某数学研究小组的同学们把测量玻璃栈道，之间的距离作为一项课题活动，设计了如下表所示的测量方案： 课题 测量玻璃栈道，之间的距离 成员 组长：××× 组员：×××，×××，××× 测量工具 测角仪、皮尺等 测量方案 … 测量示意图 测量数据 … （1）景区修建玻璃栈道后从到观光所用的时间缩短了，其中蕴含的数学原理是________； A．三角形具有稳定性 B．两点确定一条直线 C．两点之间线段最短 D．垂线段最短 （2）请你利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，求出，之间的距离，并写出你的测量及求解过程．（要求：测量得到的长度用字母表示，角度用表示） 【答案】（1）C （2）解：如图2中，利用测角仪作射线，，使得，射线，射线交于点，则是等边三角形，测量出，则． ， 是等边三角形， ． 【解析】 【分析】本题考查了线段的性质，等边三角形的性质，熟练掌握线段的性质是解题的关键． （1）根据线段的性质即可得到结论； （2）根据等边三角形的性质即可得到结论． 【小问1详解】 解：景区修建玻璃栈道后从到观光所用的时间缩短了，其中蕴含的数学原理是， 故答案为：； 【小问2详解】 略 24. 如图，在等腰中，，，于点，点在线段上，连接，，将线段绕点逆时针旋转，点的对应点恰好落在的延长线上． （1）如图①，当时． ①求证：； ②求的值； （2）如图②，当时，求的长． 【答案】（1）①见详解；② （2） 【解析】 【分析】（1）①利用“三线合一”的性质结合勾股定理求得，，利用即可证明，可证，根据全等三角形的性质以及等腰三角形的性质求证即可；②作于点，证明，设，，，利用勾股定理列式计算求得，，再根据正弦函数的定义即可求解； （2）设，则，证明，推出，利用勾股定理求得，根据，列式计算即可求解． 【小问1详解】 ①证明：，，于点， ， ， ， ， ， ，， ， ∴， ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴； ②解：作于点，即， ， ，， ，， ， ，， 设， ，， ， ， 解得， ， ， ； 【小问2详解】 解：设，则， ， ，， 垂直平分， ， 由旋转得：， ， ， ， 又， ， ， ， ， ，， ， ， 解得， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，正弦函数的定义，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理．解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 25. 已知抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点． （1）若，求抛物线的顶点坐标（用含的式子表示）； （2）已知该抛物线过点，且当时，函数有最大值． ①求该抛物线的解析式； ②若过点的直线与抛物线在对称轴右侧有且只有一个交点，直线与抛物线交于，两点，连接，，求当为何值时，的面积最小，并求出面积的最小值． 【答案】（1） （2）①；②， 【解析】 【分析】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，二次函数与一元二次方程的关系等，解题的关键是用含的代数式表示； （1）当时，，故抛物线的顶点坐标为； （2）①由当 时，函数有最大值，知抛物线的对称轴为直线，且，故，即，得，而该抛物线过点，有，得，从而抛物线解析式为； ②求出，，设直线的解析式为，由直线与抛物线在对称轴右侧有且只有一个 交点，可得，故，即可解得点坐标为，与点重合，由直线，值直线恒过点，，联立，得，可得，故，从而得当时， 有最小值，最小值为． 【小问1详解】 解：当时，抛物线的解析式为， 抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：①当 时，函数有最大值， 抛物线的对称轴为直线，且， ，即， 该抛物线的解析式为， 该抛物线过点， ， 解得， ， 抛物线解析式为； ②如图， 在中，令得， 解得，， ，， 设直线的解析式为， 联立得， 直线与抛物线在对称轴右侧有且只有一个 交点， ， 解得 （舍去），， ， 解得， 点坐标为，与点重合， 直线， 直线恒过点， ， 联立，得， ， ，， ， ， 当时，有最小值，最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年福建省初中学业水平考试・数学 本试卷共6页，满分150分． 注意事项： 1．答题前，考生务必在试卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时用0.5毫米黑色墨水签字笔将答案写在答题卡相应位置上． 3．作图可先使用2B铅笔画出，确定后用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑． 4．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 的相反数是（ ） A. B. 10 C. D. 2. 如图是由一个圆柱和正三棱柱组成的几何体，则它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 如图是单位长度为1的数轴，点，是数轴上的点，若点表示的数是，则点表示的数是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 4. 下列运算正确的是 A. B. C. D. 5. 近年来，福建着力推进高水平对外开放，外贸外资量稳质升高，根据福建省统计局数据统计，福建省2021年的进口总额为7612.3亿元，2023年的进口总额为7977.1亿元，设这两年福建省地区进口贸易总额的年平均增长率为，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 6. 每年4月23日为“世界读书日”，读书能丰富知识，陶冶情操，提高文化底蕴．如图是某校七年级学生课外阅读最喜欢的书籍种类人数统计图．若喜欢历史类书籍的有125人，则下列说法正确的是（ ） A. 的值为25 B. 此次统计的总人数为400人 C. 喜欢文学类书籍的人数比喜欢其他类书籍的人数多50人 D. 该年级学生课外阅读最喜欢的书籍种类是历史类 7. 如图，在中，，．阅读以下作图步骤： ①以点为圆心，的长为半径作圆弧，交于点； ②分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧相交于点； ③作射线交于点． 则下列说法错误的是（ ） A. 是的高 B. 是的中线 C. D. 8. 如图，在等边中，于点，延长至点，使得，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 2 9. 如图，是的直径，，是的弦，交于点，且，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 已知点，为抛物线上的两点，且，则的值可能为（ ） A. 5 B. 1 C. D. 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用0.5毫米黑色墨水签字笔将答案写在答题卡相应位置上． 2．作图可先使用2B铅笔画出，确定后用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 如果收入元，记作元，那么支出元应记作________元． 12. 若从2名女生，3名男生中随机选择1位担任班级的“环保卫士”，则女生被选中的概率是________． 13. 如图，在中，O是对角线AC与BD的交点．若的面积是5，则的面积是______． 14. 不等式组的解集是________． 15. 如图，在正五边形中以为边作等腰直角，，连接，则的度数为________． 16. 如图，矩形的三个顶点，，分别在反比例函数的图象上，过点，矩形的边与轴交于点，且，若点的横坐标为1，则________． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 如图，已知点C，E在线段上，，，．求证：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 福建永安特产笋干是闽西八大干之一，因其具有肉厚节密、色泽金黄、口感脆嫩的特点，在海内外享有盛誉．某特产店销售，两种不同品牌的笋干，已知销售1千克种笋干和2千克种笋干的销售额为280元，销售2千克种笋干和3千克种笋干的销售额为460元． （1）求，两种笋干每千克的销售价格； （2）据了解，销售，两种笋干的利润分别是40元/千克和70元/千克，该店计划再次购进，两种笋干共150千克，预算不超过5500元，厂家规定购进种笋干不多于种笋干的2倍，求该店最多购买种笋干多少千克？ 21. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，过点作的切线交延长线于点，且，连接． （1）求证：； （2）若，求的度数． 22. 为了解学生体育中考的准备情况，某校对九年级全体学生进行了一次体能摸底测试，学校随机抽取了20名学生，记录他们的体能摸底测试成绩（单位：分）如下表所示．为增强学生的体能，学校组织了强化训练，经过一个月的强化训练后，再次进行测试，对原来抽取的20名学生跟踪调查，记录成绩．其中组为，组为，组为，组为． 63 81 99 72 84 88 67 95 92 77 84 98 97 88 89 96 78 93 85 根据以上信息，回答下列问题： （1）统计表中的一个数据因沾上污渍看不清了，已知这20个数据中存在唯一的众数84，则的值为________，本次抽样调查获取的样本数据的中位数是________； （2）第二次测试中发现组的同学平均成绩提高13分，组的同学平均成绩提高7分，组的同学平均成绩提高3分，组的同学平均成绩提高1分，若把测试成绩超过88分定为优秀，那么这些同学第二次测试的平均成绩能否达到优秀，并说明理由．（各组数据用该组数据的组中值代表，如取65） 23. 某景区因其特有的玻璃观光栈道吸引了众多游客前来打卡，景区内有两条可供游客观赏自然风光的观光玻璃栈道，，由于景区客流量日益增多，现景区准备新建一条新的玻璃栈道．某数学研究小组的同学们把测量玻璃栈道，之间的距离作为一项课题活动，设计了如下表所示的测量方案： 课题 测量玻璃栈道，之间的距离 成员 组长：××× 组员：×××，×××，××× 测量工具 测角仪、皮尺等 测量方案 … 测量示意图 测量数据 … （1）景区修建玻璃栈道后从到观光所用的时间缩短了，其中蕴含的数学原理是________； A．三角形具有稳定性 B．两点确定一条直线 C．两点之间线段最短 D．垂线段最短 （2）请你利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，求出，之间的距离，并写出你的测量及求解过程．（要求：测量得到的长度用字母表示，角度用表示） 24. 如图，在等腰中，，，于点，点在线段上，连接，，将线段绕点逆时针旋转，点的对应点恰好落在的延长线上． （1）如图①，当时． ①求证：； ②求的值； （2）如图②，当时，求的长． 25. 已知抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点． （1）若，求抛物线的顶点坐标（用含的式子表示）； （2）已知该抛物线过点，且当时，函数有最大值． ①求该抛物线的解析式； ②若过点的直线与抛物线在对称轴右侧有且只有一个交点，直线与抛物线交于，两点，连接，，求当为何值时，的面积最小，并求出面积的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $