专题02 相交线 平行线（3大核心考点）-【暑假自学课】2024年新八年级数学暑假提升精品讲义（沪教版）

专题02 相交线 平行线 目录 考点聚焦：核心考点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 学以致用：提升专练，全面突破 核心考点聚焦 1． 对顶角，邻补角及垂线的概念及性质 2． 点到直线的距离与两平行线间的距离的概念 3． 平行线的判定与性质 一、相交线 1.对顶角、邻补角 两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系，它们的概念及性质如下表： 图形 顶点 边的关系 大小关系 对顶角 1 2 ∠1与∠2 有公共顶点 ∠1的两边与 ∠2的两边互为反向延长线 对顶角相等 即∠1=∠2 邻补角 有公共顶点 ∠3与∠4有一条边公共，另一边互为反向延长线. 邻补角互补即 ∠3+∠4=180° 【规律方法】 ⑴对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角.对顶角的特征:有公共顶点，角的两边互为反向延长线； ⑵如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角 ⑶如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角.邻补角的特征:有公共顶点，有一条公共边，另一边互为反向延长线． ⑶两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个. 2.斜线及垂线、点到直线的距离 （1）斜线：如果两条直线的夹角为锐角，那么就说这两条直线互相斜交，其中一条直线叫做另一条直线的斜线． （2）垂线：如果两条直线的夹角为直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足．如图1，记作： AB⊥CD，垂足为O. 图1 【规律方法】 要判断两条直线是否垂直，只需看它们相交所成的四个角中，是否有一个角是直角，两条线段垂直，是指这两条线段所在的直线垂直. （3）垂线的性质： 垂线性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记) 垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短. （4）点到直线的距离： 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，如图2：PO⊥AB，点P到直线AB的距离是垂线段PO的长. 【规律方法】垂线段PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条. 二、平行线 1．平行线的判定 判定方法1：同位角相等，两直线平行． 判定方法2：内错角相等，两直线平行． 判定方法3：同旁内角互补，两直线平行． 【规律方法】根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有： （1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行. （2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）. （3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行. （4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. 2．平行线的性质 性质1：两直线平行，同位角相等； 性质2：两直线平行，内错角相等； 性质3：两直线平行，同旁内角互补. 【规律方法】根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有： （1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点． （2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直． 3．两条平行线间的距离 如图3，直线AB∥CD，EF⊥AB于E，EF⊥CD于F，则称线段EF的长度为两平行线AB与CD间的距离. 【规律方法】 （1）直线AB∥CD，在直线AB上任取一点G，过点G作CD的垂线段GH，则垂线段GH的长度就是直线AB与CD间的距离. （2）初中阶级学习了三种距离,分别是两点间的距离、点到直线距离、平行线间的距离.这三种距离的共同点在于都是线段的长度,它们的区别是两点间的距离是连接这两点的线段的长度,点到直线距离是直线外一点引已知直线的垂线段的长度, 平行线间的距离是一条直线上的一点到与之平行的另一直线的距离. （3）如何理解 “垂线段”与 “距离”的关系：垂线段是一个图形，距离是线段的长度，是一个量，它们之间不能等同. 1. 两条直线相交得到的四个角中，共有2对对顶角，4对邻补角 2. 涉及到角的运算时，充分利用已知条件和隐含条件（平角、余角、补角、对顶角等）是解题的关键． 3. 构造适当的辅助线-平行线 提升专练 一、单选题 1．如图，与是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了对顶角的定义，根据对顶角的定义进行判断：两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角，依次判定即可得出答案． 【解析】解：根据对顶角的定义可知：只有选项C是对顶角，其它都不是． 故选：C． 2．下列说法中不正确的是（　　） A．平面内，垂直于同一条直线的两直线平行 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离 【答案】B 【分析】根据点到直线的距离、垂直的性质及平行线的判定等知识即可判断． 【解析】A、平面内，垂直于同一条直线的两直线平行，故说法正确； B.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故说法错误； C.平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，此说法正确； D.直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离，这是点到直线的距离的定义，故此说法正确． 故选：B 【点睛】本题主要考查了垂直的性质、点到直线的距离、平行线的判定等知识，理解这些知识是关键．但要注意：平面内，垂直于同一条直线的两直线平行；平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；这两个性质的前提是平面内，否则不成立． 3．如图，下列各组条件中，不能得到c//d的是（　　） A．∠2＝∠3 B．∠1+∠2＝180° C．∠2+∠4＝180° D．∠2＝∠5 【答案】B 【分析】平行线的判定定理有①同位角相等，两直线平行，②内错角相等，两直线平行，③同旁内角互补，两直线平行，根据以上内容判断即可． 【解析】解：A、∵∠2＝∠3， ∴c//d，正确，故A不符合题意； B、由∠1+∠2＝180°能推出a//b，不能推出c//d，错误，故B符合题意； C、∵∠2+∠4＝180°， ∴c//d，正确，故C不符合题意； D、∵∠2＝∠5， ∴c//d，正确，故D不符合题意； 故选B． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定条件，解题的关键在于能够熟练掌握平行线的判定条件． 4．如图所示，下列说法中，错误的是（    ） A．与是同位角 B．与是同旁内角 C．与是同旁内角 D．与是内错角 【答案】B 【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角． 【解析】解：A．∠A与∠EDC是同位角，本选项正确； B．∠A与∠C不是同旁内角，本选项错误； C．∠A与∠ADC是同旁内角，本选项正确； D．∠A与∠ABF是内错角，本选项正确； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了同位角、内错角和同旁内角，同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形． 5．如图，已知∥，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由平行线的性质和对顶角相等，即可求出的度数． 【解析】解：如图： ∵， ∴， ∵， ∴； 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质，以及对顶角相等，解题的关键是熟练掌握两直线平行，同旁内角互补． 6．如图，在中，，是边上一点，且，那么下列说法中错误的是（      ） A．直线与直线的夹角为 B．直线与直线的夹角为 C．线段的长是点到直线的距离 D．线段的长是点到直线的距离 【答案】D 【分析】根据已知角即可判断A、B；根据点到直线的距离的定义即可判断C、D． 【解析】解：A、∵∠CDA=60°， ∴直线AD与直线BC的夹角是60°，正确，故本选项错误； B、∵∠ACD=90°， ∴直线AC与直线BC的夹角是90°，正确，故本选项错误； C、∵∠ACD=90°， ∴DC⊥AC， ∴线段CD的长是点D到直线AC的距离，正确，故本选项错误； D、∵BD和AD不垂直， ∴线段AB的长不是点B到直线AD的距离，错误，故本选项正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了点到直线的距离，注意：点到直线的距离是指该点到直线的垂线段的长． 7．如图，把长方形沿EF对折，若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据折叠的性质及∠1＝50°可求出∠BFE的度数，再由平行线的性质即可得到∠AEF的度数． 【解析】解：根据折叠以及∠1＝50°，得 ∠BFE＝∠BFG＝（180°﹣∠1）＝65°． ∵AD∥BC， ∴∠AEF＝180°﹣∠BFE＝115°． 故选：B． 【点睛】本题考查的是平行线的性质及图形翻折变换的性质，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 8．已知在同一平面内有三条不同的直线，，，下列说法错误的是（    ） A．如果，，那么 B．如果，，那么 C．如果，，那么 D．如果，，那么 【答案】C 【分析】根据平行公理的推论进行分析判断即可． 【解析】解：A．如果，，那么，故A正确，不符合题意； B．如果，，那么，故B正确，不符合题意； CD．如果，，那么，而不是，故C错误，符合题意，D正确不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行公理及推理，解题关键在于掌握“如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行”和“垂直于同一条直线的两直线平行”． 9．将直角三角板和直尺按照如图位置摆放．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质和三角形的外角定理，如图，，而，即可求解． 【解析】解：如图， ， 而， ， 故选：A． 10．一辆汽车在笔直的公路上，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，则这两次拐弯的角度应是（　 　） A．第一次向左拐40°，第二次向右拐40° B．第一次向右拐40°，第二次向左拐140° C．第一次向左拐40°，第二次向左拐140° D．第一次向右拐40°，第二次向右拐140° 【答案】A 【分析】根据两条直线平行的性质：两条直线平行，同位角相等．再根据题意得：两次拐的方向不相同，但角度相等． 【解析】如图，第一次拐的角是∠1，第二次拐的角是∠2，由于平行前进，可以得到∠1=∠2． 故选A． 二、填空题 11．如图,中,,,垂足分别是C、E,那么线段AC的长度表示点 到直线 的距离. 【答案】 A CD 【分析】根据点到直线的距离的定义，可得答案. 【解析】解：CD⊥AC，垂足分别是C，那么线段AC的长度表示点 A到直线CD的距离，故答案为A；CD. 【点睛】本题考查了点到直线的距离，利用点到直线的距离是垂线段的长度是解题关键． 12．如图，直线a、b相交，若，则直线a、b的夹角为 °． 【答案】 【分析】和是一对邻补角，即，假设，则，利用两者相加等于即可求出直线a、b的夹角． 【解析】解：∵，而， ∴设，，则，， 即直线a，b的夹角为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查邻补角的定义，判断两个角是不是邻补角，关键是看这两个角的两边，其中一边是公共边，它们的另一边互为反向延长线． 13．如图，若，则 ． 【答案】 【分析】此题考查平行线的判定定理．根据，利用内错角相等两直线平行即可推出． 【解析】 解：因为与是由与被所截而成的内错角, 又， 所以， 故答案为：；. 14．如图，共有 对同位角，有 对内错角，有 对同旁内角． 【答案】 20 12 12 【分析】利用同位角、内错角、同旁内角定义进行解答即可． 【解析】解：同位角：∠AEO和∠CGE，∠OEF和∠EGH，∠OFB和∠OHD，∠OFE和∠OHG，∠IGH和∠IEF，∠AEI和∠CGI，∠AFJ和∠CHJ，∠DHJ和∠JFB，∠AEO和∠AFO，∠OEB和∠OFB，∠AEG和∠AFH，∠GEB和∠HFB，∠EGH和∠OHD，∠OGC和∠OHC，∠O与∠EFH，∠O与∠GEF，∠O和∠IGH，∠O和∠GHJ， ∠CGI和∠CHJ，∠HGI和∠DHJ，共20对； 内错角：∠O和∠OEA，∠O和∠OFB，∠O和∠OGC，∠O和∠OHD，∠AEG和∠EGH，∠BEG和∠EGC，∠BFH和∠FHC，∠AFH和∠FHD，∠OEF和∠EFH，∠GEF和∠OFE，∠OGH和∠GHJ，∠OHG和∠IGH，共12对； 同旁内角：∠OEF和∠O，∠OFE和∠O，∠O和∠OGH，∠O和∠OHC，∠OEF和∠OFE，∠OGH和∠OHG，∠GEF和∠EFH，∠IGH和∠GHJ，∠AEG和∠CGE，∠BFH和∠FHD，∠FEG和∠EGH，∠EFH和∠GHF，共12对， 故答案为：20；12；12． 【点睛】此题主要考查了同位角、内错角、同旁内角，关键是掌握同位角的边构成“F”形，内错角的边构成“Z”形，同旁内角的边构成“U”形． 15．如图，直线分别与直线，交于点A，B，，，若直线，保持不动，将直线绕点A逆时针旋转，使得，则旋转的最小角度是 ． 【答案】 【分析】过点A作，当绕点A逆时针旋转到直线的位置上时，，的读数即为旋转的最小度数． 【解析】解：过点A作， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质，平行线的性质，关键是熟练运用旋转的性质． 16．如图，，一副三角板（其中，，）按如图所示的位置摆放．若，则的度数为 （用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】根据得到，再根据即可得到答案． 【解析】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查平行直线的性质，解题的关键是熟知两直线平行，内错角相等． 17．已知，如果的两边与两边互相平行，那么的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是平行线的性质，解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．根据当两角的两边分别平行时，两角的关系可能可能相等也可能互补，即可得出答案． 【解析】解：当的两边与的两边如图所示时，； 当的两边与的两边如图所示时，； 故答案为：或 18．如图所示，已知，E在上，点G在上，，如果，如果用含的代数式表示，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，过F作，推出得到，推出，得到． 【解析】解：过F作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题 19．如图，直线相交于点O，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了对顶角，角平分线的定义，角的和差，熟练掌握对顶角相等的性质以及角平分线的定义是解题的关键． （1）由角平分线的定义即可求出的度数，再根据对顶角相等即可求出的度数； （2）根据即可求出的度数，由角平分线的定义即可求出的度数，再根据对顶角相等即可求出的度数． 【解析】（1）∵平分，， ∴， ∴； （2）∵， 又∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 20．已知：如图，． 求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，先通过内错角相等，得再结合角的等量代换，即可作答． 【解析】证明 ； 又， ∴ 21．在如图所示的方格纸中，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C都在格点上．    (1)找一格点D，使得直线，画出直线． (2)找一格点E，使得直线于点F，画出直线，并注明垂足． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据直线的定义，平行线的定义画出图形即可． （2）根据直线的定义，垂线的定义画出图形即可． 【解析】（1）直线如图所示； （2）直线，点F如图所示．    【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，平行线的定义，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 22．如图，已知在△ABC中，点D为AC边上一点，DE∥AB交边BC于点E，点F在DE的延长线上，且∠FBE＝∠ABD，若∠DEC＝∠BDA． （1）试说明∠BDA＝∠ABC的理由； （2）试说明BF∥AC的理由． 【答案】（1）理由见解析；（2）理由见解析； 【分析】（1）根据平行线的性质得出∠DEC=∠ABC，根据∠DEC=∠BDA求出∠BDA=∠ABC即可； （2）求出∠ABC=∠FBD，根据∠BDA=∠ABC得出∠BDA=∠FBD，根据平行线的判定得出即可． 【解析】（1）理由如下： ∵DE∥AB， ∴∠DEC＝∠ABC， ∵∠DEC＝∠BDA， ∴∠BDA＝∠ABC； （2）∵∠ABD＝∠FBE， ∴∠ABD+∠DBE＝∠FBE+∠DBE， 即∠BAC＝∠FBD， ∵∠BDA＝∠BAC， ∴∠BDA＝∠FBD， ∴BF∥AC． 【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，能灵活运用平行线的判定和性质定理进行推理是解此题的关键． 23．如图，点B、C、E在同一直线上，，，请填写理由，说明． 解：因为（已知）， 所以（        ）． 所以（        ）． 因为（已知）， 所以________________（        ）， 所以（        ）． 【答案】同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；；；两直线平行，内错角相等；等量代换 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，根据题干给定的信息逐步填写推理过程与推理依据，熟记平行线的判定与性质是解本题的关键． 【解析】解：因为（已知）， 所以（同旁内角互补，两直线平行）． 所以（两直线平行，内错角相等）． 因为（已知）， 所以（两直线平行，内错角相等）， 所以（等量代换）． 24．如图，已知． (1)求证：； (2)若平分，于点A，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据同位角相等，两直线平行可判定，得到，等量代换得出，即可根据同旁内角互补，两直线平行得解； （2）由，得出，再根据平行线的性质即可求出，再根据角平分线的定义即可得解． 【解析】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵于E， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的基础． 25．已知直线，点P、Q分别在、上，如图所示，射线绕着点P按顺时针方向以每秒的速度旋转至便立即回转，并不断往返旋转；射线绕着点Q按顺时针方向每秒旋转至停止，此时射线也停止转． (1)若射线同时开始旋转，当旋转时间秒时，与的位置关系为______． (2)若射线先转秒，射线才开始转动，当射线旋转的时间为______秒时，． 【答案】(1) (2)秒或秒或 【分析】本题主要考查了平行线的性质和一元一次方程的解法，第（1）题关键是作平行线，第（2）题关键是分情况讨论，运用方程思想解决几何问题． （1）求出旋转秒时，，，过作，根据平行线的性质求得，，进而得结论； （2）分三种情况讨论，根据平行线的性质，得出角的关系，列出的方程便可求得旋转时间． 【解析】（1）解：当旋转时间秒时，由已知得：，，如图1， 过作，则， ，， ， ， 故答案为：； （2）①设射线旋转的时间为秒； 第一次平行时，如图2， 则，， ，， ， 即， 解得：秒； ②第二次平行时，如图3，则，， ，， ， 即， 解得：秒； ③第三次平行时，如图4，则，， ，， ， 即， 解得：秒； 故答案为：15秒或63秒或135． 26．已知，直角的边与直线a分别相交于O、G两点，与直线b分别交于E、F点，． （1）将直角如图1位置摆放，如果，则______； （2）将直角如图2位置摆放，N为AC上一点，，请写出与之间的等量关系，并说明理由． （3）将直角如图3位置摆放，若，延长AC交直线b于点Q，点P是射线GF上一动点，探究，与的数量关系，请直接写出结论． 【答案】（1）136°；（2）∠AOG+∠NEF＝90°，理由见解析；（3）当点P在GF上时，∠OPQ＝140°﹣∠POQ+∠PQF；当点P在线段GF的延长线上时，140°﹣∠POQ＝∠OPQ+∠PQF． 【分析】（1）如图1，作CP∥a，则CP∥a∥b，根据平行线的性质可得∠AOG＝∠ACP，∠BCP+∠CEF＝180°，然后利用∠ACP+∠BCP＝90°即可求得答案； （2）如图2，作CP∥a，则CP∥a∥b，根据平行线的性质可得∠AOG＝∠ACP，∠BCP+∠CEF＝180°，然后结合已知条件可得∠BCP＝∠NEF，然后利用∠ACP+∠BCP＝90°即可得到结论； （3）分两种情况，如图3，当点P在GF上时，过点P作PN∥OG，则NP∥OG∥EF，根据平行线的性质可推出∠OPQ＝∠GOP+∠PQF，进一步可得结论；如图4，当点P在线段GF的延长线上时，同上面方法利用平行线的性质解答即可． 【解析】解：（1）如图1，作CP∥a， ∵， ∴CP∥a∥b， ∴∠AOG＝∠ACP，∠BCP+∠CEF＝180°， ∴∠BCP＝180°﹣∠CEF， ∵∠ACP+∠BCP＝90°， ∴∠AOG+180°﹣∠CEF＝90°， ∵∠AOG＝46°， ∴∠CEF＝136°， 故答案为136°； （2）∠AOG+∠NEF＝90°． 理由如下：如图2，作CP∥a， 则CP∥a∥b， ∴∠AOG＝∠ACP，∠BCP+∠CEF＝180°， 而∠NEF+∠CEF＝180°， ∴∠BCP＝∠NEF， ∵∠ACP+∠BCP＝90°， ∴∠AOG+∠NEF＝90°； （3）如图3，当点P在GF上时，过点P作PN∥OG， ∴NP∥OG∥EF， ∴∠GOP＝∠OPN，∠PQF＝∠NPQ， ∴∠OPQ＝∠GOP+∠PQF， ∴∠OPQ＝140°﹣∠POQ+∠PQF； 如图4，当点P在线段GF的延长线上时，过点P作PN∥OG， ∴NP∥OG∥EF， ∴∠GOP＝∠OPN，∠PQF＝∠NPQ， ∵∠OPN＝∠OPQ+∠QPN， ∴∠GOP＝∠OPQ+∠PQF， ∴140°﹣∠POQ＝∠OPQ+∠PQF． 【点睛】本题考查了平行线的性质以及平行公理的推论等知识，属于常考题型，正确添加辅助线、灵活应用平行线的判定和性质是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 相交线 平行线 目录 考点聚焦：核心考点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 学以致用：提升专练，全面突破 核心考点聚焦 1． 对顶角，邻补角及垂线的概念及性质 2． 点到直线的距离与两平行线间的距离的概念 3． 平行线的判定与性质 一、相交线 1.对顶角、邻补角 两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系，它们的概念及性质如下表： 图形 顶点 边的关系 大小关系 对顶角 1 2 ∠1与∠2 有公共顶点 ∠1的两边与 ∠2的两边互为反向延长线 对顶角相等 即∠1=∠2 邻补角 有公共顶点 ∠3与∠4有一条边公共，另一边互为反向延长线. 邻补角互补即 ∠3+∠4=180° 【规律方法】 ⑴对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角.对顶角的特征:有公共顶点，角的两边互为反向延长线； ⑵如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角 ⑶如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角.邻补角的特征:有公共顶点，有一条公共边，另一边互为反向延长线． ⑶两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个. 2.斜线及垂线、点到直线的距离 （1）斜线：如果两条直线的夹角为锐角，那么就说这两条直线互相斜交，其中一条直线叫做另一条直线的斜线． （2）垂线：如果两条直线的夹角为直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足．如图1，记作： AB⊥CD，垂足为O. 图1 【规律方法】 要判断两条直线是否垂直，只需看它们相交所成的四个角中，是否有一个角是直角，两条线段垂直，是指这两条线段所在的直线垂直. （3）垂线的性质： 垂线性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记) 垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短. （4）点到直线的距离： 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，如图2：PO⊥AB，点P到直线AB的距离是垂线段PO的长. 【规律方法】垂线段PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条. 二、平行线 1．平行线的判定 判定方法1：同位角相等，两直线平行． 判定方法2：内错角相等，两直线平行． 判定方法3：同旁内角互补，两直线平行． 【规律方法】根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有： （1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行. （2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）. （3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行. （4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. 2．平行线的性质 性质1：两直线平行，同位角相等； 性质2：两直线平行，内错角相等； 性质3：两直线平行，同旁内角互补. 【规律方法】根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有： （1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点． （2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直． 3．两条平行线间的距离 如图3，直线AB∥CD，EF⊥AB于E，EF⊥CD于F，则称线段EF的长度为两平行线AB与CD间的距离. 【规律方法】 （1）直线AB∥CD，在直线AB上任取一点G，过点G作CD的垂线段GH，则垂线段GH的长度就是直线AB与CD间的距离. （2）初中阶级学习了三种距离,分别是两点间的距离、点到直线距离、平行线间的距离.这三种距离的共同点在于都是线段的长度,它们的区别是两点间的距离是连接这两点的线段的长度,点到直线距离是直线外一点引已知直线的垂线段的长度, 平行线间的距离是一条直线上的一点到与之平行的另一直线的距离. （3）如何理解 “垂线段”与 “距离”的关系：垂线段是一个图形，距离是线段的长度，是一个量，它们之间不能等同. 1. 两条直线相交得到的四个角中，共有2对对顶角，4对邻补角 2. 涉及到角的运算时，充分利用已知条件和隐含条件（平角、余角、补角、对顶角等）是解题的关键． 3. 构造适当的辅助线-平行线 提升专练 一、单选题 1．如图，与是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 2．下列说法中不正确的是（　　） A．平面内，垂直于同一条直线的两直线平行 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离 3．如图，下列各组条件中，不能得到c//d的是（　　） A．∠2＝∠3 B．∠1+∠2＝180° C．∠2+∠4＝180° D．∠2＝∠5 4．如图所示，下列说法中，错误的是（    ） A．与是同位角 B．与是同旁内角 C．与是同旁内角 D．与是内错角 5．如图，已知∥，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，是边上一点，且，那么下列说法中错误的是（      ） A．直线与直线的夹角为 B．直线与直线的夹角为 C．线段的长是点到直线的距离 D．线段的长是点到直线的距离 7．如图，把长方形沿EF对折，若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 8．已知在同一平面内有三条不同的直线，，，下列说法错误的是（    ） A．如果，，那么 B．如果，，那么 C．如果，，那么 D．如果，，那么 9．将直角三角板和直尺按照如图位置摆放．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 10．一辆汽车在笔直的公路上，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，则这两次拐弯的角度应是（　 　） A．第一次向左拐40°，第二次向右拐40° B．第一次向右拐40°，第二次向左拐140° C．第一次向左拐40°，第二次向左拐140° D．第一次向右拐40°，第二次向右拐140° 二、填空题 11．如图,中,,,垂足分别是C、E,那么线段AC的长度表示点 到直线 的距离. 12．如图，直线a、b相交，若，则直线a、b的夹角为 °． 13．如图，若，则 ． 14．如图，共有 对同位角，有 对内错角，有 对同旁内角． 15．如图，直线分别与直线，交于点A，B，，，若直线，保持不动，将直线绕点A逆时针旋转，使得，则旋转的最小角度是 ． 16．如图，，一副三角板（其中，，）按如图所示的位置摆放．若，则的度数为 （用含的代数式表示）． 17．已知，如果的两边与两边互相平行，那么的度数为 ． 18．如图所示，已知，E在上，点G在上，，如果，如果用含的代数式表示，那么 ． 三、解答题 19．如图，直线相交于点O，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 20．已知：如图，． 求证：． 21．在如图所示的方格纸中，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C都在格点上．    (1)找一格点D，使得直线，画出直线． (2)找一格点E，使得直线于点F，画出直线，并注明垂足． 22．如图，已知在△ABC中，点D为AC边上一点，DE∥AB交边BC于点E，点F在DE的延长线上，且∠FBE＝∠ABD，若∠DEC＝∠BDA． （1）试说明∠BDA＝∠ABC的理由； （2）试说明BF∥AC的理由． 23．如图，点B、C、E在同一直线上，，，请填写理由，说明． 解：因为（已知）， 所以（        ）． 所以（        ）． 因为（已知）， 所以________________（        ）， 所以（        ）． 24．如图，已知． (1)求证：； (2)若平分，于点A，，求的度数． 25．已知直线，点P、Q分别在、上，如图所示，射线绕着点P按顺时针方向以每秒的速度旋转至便立即回转，并不断往返旋转；射线绕着点Q按顺时针方向每秒旋转至停止，此时射线也停止转． (1)若射线同时开始旋转，当旋转时间秒时，与的位置关系为______． (2)若射线先转秒，射线才开始转动，当射线旋转的时间为______秒时，． 26．已知，直角的边与直线a分别相交于O、G两点，与直线b分别交于E、F点，． （1）将直角如图1位置摆放，如果，则______； （2）将直角如图2位置摆放，N为AC上一点，，请写出与之间的等量关系，并说明理由． （3）将直角如图3位置摆放，若，延长AC交直线b于点Q，点P是射线GF上一动点，探究，与的数量关系，请直接写出结论． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$