第13讲 一元二次方程的应用（十四大题型）-【暑假自学课】2024年新八年级数学暑假提升精品讲义（沪教版）

第13讲 一元二次方程的应用（十四大题型） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点精准练（十四大题型） 模块四 小试牛刀过关测 1、通过分析具体问题中的数量关系，建立方程并解决实际问题，总结运用方程解决实际问题的一般步骤； 2、通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力. 3、掌握二次三项式的因式分解. 一、二次三项式的因式分解 方法探究：如果方程有两个实数根: =、=，那么写出代数式得 因为=+=－ ·= 上面等式，从右到左就是把ax+bx+c分解因式.把二次三项式ax+bx+c(a≠0)分解因式时, 1 如果b-4ac≥0,那么先用公式法求出方程ax+bx+c=0(a≠0)的两个实数根、， 再写出分解式 ②如果b-4ac<0，那么方程ax+bx+c=0(a≠0)没有实数根，ax+bx+c不能分解因式（R内）. 二、列一元二次方程解应用题的一般步骤 审题→寻找数量关系和等量关系→设未知数（直接假设和间接假设）→列一元二次方程→解方程→检验→作答。 三、一元二次方程应用题的主要类型 1.平均变化率问题 　列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次. (1)增长率问题： 　平均增长率公式为 (a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.) (2)降低率问题： 平均降低率公式为 (a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.) 2.数字问题 (1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数.如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：100c+10b+a. (2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1. 如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1. 几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2. 如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2. 3.利息问题 (1)概念： 本金：顾客存入银行的钱叫本金. 利息：银行付给顾客的酬金叫利息.本息和：本金和利息的和叫本息和. 期数：存入银行的时间叫期数. 利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率. (2)公式:利息=本金×利率×期数 利息税=利息×税率 本金×(1+利率×期数)=本息和 本金×[1+利率×期数×(1-税率)]=本息和(收利息税时) 4.利润(销售)问题 利润(销售)问题中常用的等量关系： 利润=售价-进价(成本) 总利润=每件的利润×总件数 5.形积问题 此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，根据图形的面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出方程. 题型1：二次三项式的因式分解 1．下列各式哪个是二次三项式的因式分解（         ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令多项式值为0，求出方程的解即可得到因式分解的结果. 【解析】解：令， 解得：， ∴， 故选B. 【点睛】本题考查了在实数范围内因式分解，令多项式值为0求出方程的解是解题关键. 2．二次三项式2x2-8x+5在实数范围内因式分解为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令二次三项式等于0，求出x的值，即可得到分解因式的结果． 【解析】令2x2-8x+5=0，解得：x1=，x2=，则2x2-8x+5=． 故选D． 【点睛】本题考查了实数范围内分解因式-求根公式法．当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号．注意当无法用十字相乘法的方法时用求根公式法可分解因式． 3．如果一元二次方程的两个实数根为、，则二次三项式在实数范围内的分解式是（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由因式分解法可知，如果一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根为x1、x2，则a（x-x1）（x-x2）=0，进而分解因式即可． 【解析】解：∵一元二次方程的两个实数根为、， ∴a（x-x1）（x-x2）=0， ∴二次三项式在实数范围内的分解式是：． 故选B． 【点睛】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，正确利用方程根分解因式是解题关键. 题型2：含参数型二次三项式的因式分解 4．若方程的两个解是，那么在实数范围内分解因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据因式分解法和一元二次方程根的关系即可得出结论． 【解析】解：∵的两个解是， ∴=0 ∴在实数范围内，= 故选D． 【点睛】此题考查的是利用一元二次方程的根进行因式分解，掌握因式分解法和一元二次方程根的关系是解题关键． 5．在实数范围内因式分解，下列四个答案中正确的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把y看作已知数，求出=0的根，然后根据一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根为x1、x2，则a（x-x1）（x-x2）=0，进而分解因式即可； 【解析】对于=0， ∆=9y2+8y2=17y2， ∴x= , ∴=. 【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程：若一元二次方程的两根为x1，x2，那么一元二次方程可整理为(x－x1)(x－x2)＝0． 题型3：二次三项式能因式分解的条件 6．下列关于的二次三项式在实数范围内不能够因式分解的是（       ） A．； B．； C．； D．． 【答案】B 【分析】这道题考查的是因式分解的知识，注意是在什么范围内进行因式分解，我们根据在实数范围内进行因式分解，判断有没有实数根就可以解决这个问题. 【解析】， =0没有实数根，不能因式分解. 所以选B. 【点睛】这道题考查的是因式分解的知识，这个知识点是我们初中数学中非常重要的知识点，在以后的学习中，我们一定要注意这个知识点的掌握与学习，为以后的学习打好基础. 7．下列多项式，在实数范围内能用公式法分解因式的有（    ）. ①；②；③；④；⑤；⑥. A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】别求出对应方程∆的值，看方程是否有实数根即可． 【解析】①∵对于=0， ∆=36-36=0， ∴在实数范围内能用公式法分解因式； ②∵对于=0， ∆=16+16=32>0， ∴在实数范围内能用公式法分解因式； ③∵对于=0，不管把哪个字母看作未知数， ∆=0-4<0， ∴在实数范围内不能用公式法分解因式； ④∵对于=0，不管把哪个字母看作未知数，， ∆=0+8=8>0， ∴在实数范围内能用公式法分解因式； ⑤∵对于=0， ∆=0+28=28>0， ∴在实数范围内能用公式法分解因式； ⑥∵对于=0，不管把哪个字母看作未知数，， ∆=36-144=-108<0， ∴在实数范围内不能用公式法分解因式； 故选B. 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，以及因式分解法解一元二次方程：若一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，那么一元二次方程可整理为a(x－x1)(x－x2)＝0 8．如果二次三项式在实数范围内可以因式分解,求的取值范围. 【答案】p⩾−1且p≠0. 【分析】由二次三项式在实数范围内可以分解因式，得到根的判别式大于等于0，求出p的范围即可． 【解析】∵二次三项式px2+2x−1在实数范围内可以因式分解， ∴px2+2x−1=0有实数解， ∴△=4+4p⩾0，且p≠0， 解得：p⩾−1且p≠0. 【点睛】此题考查根的判别式，解题关键在于利用判别式进行解答. 9．小颖初一时体重是，到初三时体重增加到，则她的体重平均每年增加的百分率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设小颖的体重平均每年增加的百分率为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解． 【解析】解：设小颖的体重平均每年增加的百分率为，根据题意得 解得（舍去） 故选C 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键． 题型4：增长率问题 10．随着国内新冠疫情逐步得到控制，人们的口罩储备逐渐充足，市场的口罩需求量在逐渐减少，某口罩厂六月份的口罩产量为万只，由于市场需求量减少，八月份的产量减少到万只，则该厂七八月份的口罩产量的月平均减少率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设该厂七八月份的口罩产量的月平均减少率为，利用等量关系：八月份的产量六月份的产量×（1-产量的月平均减少率，即可得出关于的一元二次方程，解方程取其合适的值即可得出结论． 【解析】解：设该厂七八月份的口罩产量的月平均减少率为， 依题意得：， 解得： ，（不符合题意，舍去）， ∴该厂七八月份的口罩产量的月平均减少率为． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 11．某农机厂一月份生产零件50万个，第一季度共生产零件182万个．设该厂二、三月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（　　） A．50（1+x）²=182 B．50+50（1+x）+50（1+x）²=182 C．50（1+2x）=182 D．50+50（1+x）+50（1+2x）²=182 【答案】B 【分析】设平均每月的增长率为x，则二月份生产零件万个，三月份生产零件万个，由此可得出方程． 【解析】解：设二、三月份平均每月的增长率为x，则二月份生产零件个，三月份生产零件个， 则得： ． 故答案为：B． 【点睛】本题主要考查了求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为． 题型5：数字型问题 12．有一个两位数，它的十位数字与个位数字之和为8，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘原来的两位数就得1855，则原来的两位数中较大的数为（    ） A．62 B．44 C．53 D．35 【答案】C 【分析】设个位数为x，则十位上的数为8-x,根据题意列出一元二次方程即可求解. 【解析】设个位数为x，则十位上的数为8-x, 由题意得[10×（8-x）+x] [10x+8-x]=1855, 解得x=3或5， 故较大的数为53，故选C. 【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是表示出对调前后的两位数表示. 题型6：握手问题（握手问题2个算一场） 13．一次会议上，每两个参加会议的人都互相握了一次手，有人统计一共共握66次手．若设这次会议到会的人数为x人，依题意可列方程（　　） A．x（x﹣1）＝66 B．＝66 C．x（1+x）＝66 D．x（x﹣1）＝66 【答案】A 【分析】利用参会人员共握手次数＝参会人数×（参会人数﹣1）÷2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解析】解：依题意得：． 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 题型7：握手问题衍生题（红包问题2个算2场，重在理解） 14．今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到90个红包，则该群一共有(    ) A．9人 B．10人 C．11人 D．12人 【答案】B 【解析】试题解析：设这个微信群共有x人， 依题意有x（x-1）=90， 解得：x=-9（舍去）或x=10， ∴这个微信群共有10人． 故选B. 题型8：传染问题 15．有两名流感病人，如果每轮传播中平均一个病人传染的人数相同，为了使两轮传播后，流感病人总数不超过72人，则每轮传播中平均一个病人传染的人数不能超过（    ）人 A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】设一个人传播不超过x人，第一轮的得病人数为人，第二轮传播感染人数为，两轮总人数为，建立方程求解即可． 【解析】解：设一个人传播不超过x人，则第一轮的得病人数为人，第二轮传播感染人数为， 根据题意得， 解得或（不合题意，舍去）， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键在于正确理解题意，建立正确的一元二次方程． 16．某女子冰壶比赛有若干支队伍参加了双循环比赛，双循环比赛共进行了56场，共有多少支队伍参加比赛？（    ） A．8 B． C．7 D．9 【答案】A 【分析】设有支队伍，根据双循环比赛的制度规则，一共要赛场； 【解析】解：设有支队伍 由题意得： 解得：，（舍） 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，熟练根据题意列出相应的一元二次方程是解题关键． 题型9：小路问题 17．有一个会议室的桌子，其桌面为如图所示的矩形，其中，，现在要在此桌面上铺上台布（矩形），并将四个角（阴影）减掉，然后台布向四周垂下，并且垂下的长度相同，已知所购买的台布的面积是桌面面积的3倍，若四周垂下的长度为，根据题意，列出的方程是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据所购买的台布的面积是桌面面积的3倍，求出桌面面积即矩形ABCD，的面积和台布面积即矩形EFGH的面积，列出等式，即可得解. 【解析】根据题意，得 桌面面积为： 台布面积为： 又由，可得 故答案为B. 【点睛】此题主要考查一元二次方程的实际应用，解题关键是理解题意，列出等式. 18．现要在一个长为，宽为的矩形花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为，若设小道的宽度为，则由题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设小道的宽度应为，则剩余部分可合成长为，宽为的矩形，根据矩形的面积计算公式，结合种植花草的面积为，即可得出关于x的一元二次方程． 【解析】解：设小道的宽度应为，则剩余部分可合成长为，宽为的矩形， 依题意得：． 故选：B 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 19．如图，在宽为米、长为米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为平方米，则设道路的宽为米，根据题意，列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设道路的宽为米，根据面积公式即可求解． 【解析】解：设道路的宽为米，依题意得， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键． 题型10：日历（表格）问题 20．如图所示的是一张月历表，在此月历表上用一个矩形任意圈出个数(如17，18，24，25)，如果圈出的四个数中最小数与最大数的积为153，那么这四个数的和为（   ） A．40 B．48 C．52 D．56 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．找出题中等量关系，并用方程表示出来是解题的关键． 根据题意，设最小数为x，则另外三个数为，根据题意可列方程，结合月历表的数据情况选出合适的数． 【解析】解：设最小数为x，则另外三个数为， 根据题意可列方程，得， 解得 (不符合题意，舍去)， ∴，，，， ∴四个数分别为9，10，16，17， ∵， 故选：C． 21．如图是某月的月历表，在此月历表上可以用一个矩形圈出个位置相邻的9个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，设这个最小数为，则下列方程正确的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由圈出的9个数可知最大数与最小数的差为16，设这个最小数为，则圈出的9个数中最大数为，由“最大数与最小数的积为192”即可列出方程，得到答案． 【解析】解：由圈出的9个数可知：最大数与最小数的差为：， 设这个最小数为，则圈出的9个数中最大数为， 根据题意得：， 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据题意得出圈出的9个数中最大数与最小数的差为16是解题的关键． 22．如图所示的是某月的日历表，在此日历表上可以按图示形状圈出位置相邻的6个数(如：8，14，15，16，17，24)．如果圈出的6个数中，最大数x与最小数的积为225，那么根据题意可列方程为(　　) A．x(x+8)=225 B．x(x+16)=225 C．x(x﹣16)=225 D．(x+8)(x﹣8)=225 【答案】C 【分析】最大数为x，则我们只需要将最小数用x表示出来即可列出方程． 【解析】∵最大数为x， ∴最小数用x表示为：x-16， ∴列方程为：x(x﹣16)=225， 故选：C 【点睛】本题考查列一元二次方程，解题关键是根据题干找出等量关系式，然后根据等量关系式来列方程． 题型11：围栏问题 23．一农户，有27m长的篱笆，要围成一边靠住房墙（墙长12m）的面积为90m2的长方形花园，且垂直于住房墙的一边留一个1m的门，设垂直于住房墙的其中一边长为xm，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可知该长方形花园的长为m，然后问题可求解． 【解析】解：由题意可列方程为； 故选D． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 24．空地上有一段长为a米的旧墙MN，利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园（如图1或图2），已知木栏总长为40米，所围成的菜园面积为S．下列说法错误的是（    ） A．若a＝16，S＝196，则有一种围法 B．若a＝20，S＝198，则有两种围法 C．若a＝24，S＝198，则有两种围法 D．若a＝24，S＝200，则有一种围法 【答案】A 【分析】分两种情况讨论：采用图1围法，图2围法，设矩形菜园的宽为x米，分别表示矩形的长，再利用矩形面积列方程，解方程，注意检验x的范围，从而可得答案． 【解析】解：设矩形菜园的宽为x米，则长为米， ∴ 当时，采用图1围法，则此时 当时， 解得： 此时都不符合题意， 采用图2围法，如图， 此时矩形菜园的宽为x米，即 则 则 所以长为米， 结合可得   ∴ 解得： 经检验不符合题意， 综上：若a＝16，S＝196，则没有围法，故A符合题意； 设矩形菜园的宽为x米，则长为米， ∴ 当时，采用图1围法，则此时 当时， 解得： 经检验符合题意； 采用图2围法，如图， 此时矩形菜园的宽为x米，即 则 则 所以长为米， 结合可得   ∴ 解得： 经检验符合题意， 综上：若a＝20，S＝198，则有两种围法，故B不符合题意； 同理可得：C不符合题意，D不符合题意； 故选A 【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，理解题意，表示图2中矩形的长是解本题的关键． 题型12：营销问题 25．某海鲜市场以每千克10元的进价进了一批螃蟹，经市场调研发现：售价为每千克20元时，每天可销售40千克．售价每上涨1元，每天的销量将减少3千克．如果该海鲜市场想平均每天获利408元，设这种螃蟹的售价上涨了x元，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设这种螃蟹的售价上涨了元，则每千克的销售利润为元，每天可销售千克，利用每天的销售利润每千克的销售利润每天的销售量，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【解析】设这种螃蟹的售价上涨了元，则每千克的销售利润为元，每天可销售千克， 依题意得：． 故选：D 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 题型13：其他问题 26．近年来，网红北京迎来了无数中外游客．除了游故宫、登长城、吃烤鸭以外，稻香村的传统糕点成为了炙手可热的伴手礼．根据消费者的喜好，现推出A、B两种伴手礼礼盒，A礼盒装有2个福字饼，2个禄字饼：B礼盒装有1个福字饼，2个禄字饼，3个寿字饼，A、B两种礼盒每盒成本价分别为盒中福禄寿三种糕点的成本价之和．已知A种礼盒每盒的售价为96元，利润率为20%，每个禄字饼的成本价是寿字饼的成本价的3倍．国庆期间，由于客流量大，一天就卖出A、B两种礼盒共计78盒，工作人员在核算当日卖出礼盒总成本的时候把福字饼和禄字饼的成本看反了，后面发现如果不看反，那么当日卖出礼盒的实际总成本比核算时的总成本少500元，则当日卖出礼盒的实际总成本为 元． 【答案】5740 【分析】根据题意可得A礼盒的成本价格，进而可求出1个福字饼和1个禄字饼的成本和为40元，再设一个福字饼成本x元，一个禄字饼成本（40﹣x）元，A种礼盒m袋，B种礼盒n袋，列出方程得到xn＝20n+250，最后求出每日卖出礼盒的实际总成本即可． 【解析】解：设A礼盒成本价格a元，根据题意，得 96﹣a＝20%a， 解得a＝80， ∵A礼盒装有2个福字饼，2个禄字饼， ∴2个福字饼和2个禄字饼的成本价格为80元， ∴1个福字饼和1个禄字饼的成本价格为40元， 设个福字饼成本价x元，1个禄字饼成本价（40﹣x）元，则1个寿字饼成本价为（40﹣x）元， A种礼盒m袋，B种礼盒n袋， 根据题意，得 m+n＝78 80m+n[x+2（40﹣x）+3×（40﹣x）]+500＝80m+n[（40﹣x+2x+3×（40﹣x）] ∴xn＝20n+250 设A、B两种礼盒实际成本为w元，则有 w＝80m+xn+2n（40﹣x）+n×（40﹣x） ＝80（m+n）﹣500 ＝80×78﹣500 ＝5740． 故答案为：5740． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是求出A礼盒的成本． 27．在刚刚过去的“五一”假期中，某超市为迎接“五一”小长假购物高潮，经销甲、乙两种品牌的洗衣液．市场上甲种品牌洗衣液的进价比乙种品牌洗衣液的进价每瓶便宜10元，该超市用6000元购进的甲种品牌洗衣液与用8000元购进的乙种品牌洗衣液的瓶数相同． （1）求甲品牌的洗衣液的进价 元； （2）在销售中，该超市决定将甲种品牌的洗衣液以每瓶45元售出，每天固定售出100瓶；但调查发现，乙种品牌的洗衣液每瓶售价50元时，每天可售出140瓶，并且当乙种品牌的洗衣液每瓶售价每提高1元时，乙种品牌的洗衣液每天就会少售出2瓶，当乙种品牌的洗衣液的每瓶售价为 元时，两种品牌的洗衣液每天的利润之和可达到4700元？ 【答案】 30 80 【分析】（1）设甲品牌洗衣液的进价为x元，乙品牌洗衣液的进价为元，根据“用元购进的甲种品牌洗衣液与用元购进的乙种品牌洗衣液的瓶数相同”列出方程，解方程即可求出结论； （2）设乙种品牌的洗衣液的每瓶售价为a元，则乙种品牌的洗衣液每天可售出瓶，根据“两种品牌的洗衣液每天的利润之和可达到元”列出方程，解之即可求出结论． 【解析】解：（1）设甲品牌洗衣液的进价为x元，乙品牌洗衣液的进价为元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， ∴甲品牌洗衣液的进价为元，乙品牌洗衣液的进价为元， （2）设乙种品牌的洗衣液的每瓶售价为a元， 根据题意得：， 化简得， 解得：， 答：当乙种品牌的洗衣液的每瓶售价为元时，两种品牌的洗衣液每天的利润之和可达到元． 故答案为：；． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元二次方程． 题型14：几何问题 28．如图，长方形中，，，动点P从点D出发，沿向终点A以的速度移动，动点Q从点A出发沿向终点C以的速度移动，如果P、Q分别从D、A同时出发，其中一个动点到达终点，另一个动点也随之停止． （1）若经过x秒，用x的代数式表示，则 ； （2）经过 秒时，以A、P、Q为顶点的三角形面积为． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出的长；（2）分及两种情况，列出关于的方程． （1）利用的长的长点的运动速度运动时间，可用含的代数式表示出的长； （2）当时，，，根据以、、为顶点的三角形面积为，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值；当时，，根据以、、为顶点的三角形面积为，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值．再取符合题意的值，即可得出结论． 【解析】解：（1）动点从点出发，沿向终点以的速度移动， 经过秒，， ． 故答案为：； （2），，． 当时，，， ，即， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）； 当时，， ， 解得：（不符合题意，舍去）． 经过秒时，以、、为顶点的三角形面积为． 故答案为：． 29．现有长方形纸片，，． (1)阅读思考：如图1，沿着虚线剪掉一个宽为的小长方形，若剩余长方形面积为，直接写出的值； (2)实践探究：如图2，沿着剪掉一个，点，分别在，上，，若剩余图形面积为，求的长； (3)问题解决：如图3，沿着四周均剪掉宽为的边框，剩余图形（即实线所围）面积能否为，若能，请求出的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，值为1 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据所给图形的面积关系正确列出方程． （1）长方形纸片面积减去小长方形面积等于剩余长方形面积，由此列方程即可求解； （2）长方形纸片面积减去的面积等于剩余部分面积，由此列方程即可求解； （3）长方形纸片剪掉一个宽为的边框后，剩余长方形的长为，宽为，根据面积为列方程，判断方程是否有解即可． 【解析】（1）解：剩余长方形的长为，宽为， 剩余长方形面积为， ， ； （2）解：为上一点，为上一点，， 且， ， ，即， 剩余部分图形面积为， 剩余部分图形面积为， ， 或（舍去）， 即； （3）解：存在，的值为1，理由如下： 剩余长方形的长为，宽为， 剩余长方形面积为， ， 或， （由于长方形的宽为，所以不符合题意，舍去）， 即的值为1． 30．如图所示，中，． (1)点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，点P和点Q间的距离是？ (2)点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由； (3)若P点沿射线方向从A点出发以的速度移动，点Q沿射线方向从C点出发以的速度移动，P，Q同时出发，问几秒后，的面积为？ 【答案】(1)2.4秒 (2)不能，理由见解析 (3)经过秒或5秒或秒后，的面积为 【分析】（1）设经过x秒，点P和点Q间的距离是，列出方程求解即可； （2）设经过y秒，线段能将分成面积相等的两部分，根据面积之间的等量关系和判别式即可求解； （3）分三种情况：①点P在线段上，点Q在线段上；②点P在线段上，点Q在射线上；③点P在射线上，点Q在射线上；进行讨论即可求解． 【解析】（1）解：设经过x秒，点P和点Q间的距离是，依题意有 ， 解得：， 经检验，符合题意． 故经过2.4秒点P和点Q间的距离是； （2）解：设经过y秒，线段能将分成面积相等的两部分，依题意有 的面积， ， 即， ∵， ∴此方程无实数根， ∴线段不能将分成面积相等的两部分； （3）解：①设经过m秒，点P在线段上，点Q在线段上， 依题意有 ， 即， 解得， ， 经检验， 不符合题意，舍去， ∴； ②设经过n秒，点P在线段上，点Q在射线上；依题意有 ， 即， 解得， 经检验，符合题意． ③设经过k秒，点P在射线上，点Q在射线上， 依题意有 ， 即， 解得， ， 经检验， 不符合题意，舍去， ∴； 综上所述，经过）秒或5秒或秒后，的面积为． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．注意分类思想的运用． 一、单选题 1．2024 年眘节刚过，国内新能源汽车车企纷纷开展降价促销活动．某款新能源汽车今年3月份的售价为25万元，5月份的售价为18万元，设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】题考查了一元二次方程的应用，设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，根据题意列出一元二次方程，即可求解． 【解析】解：设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，列方程为， 故选A． 2．两个相邻奇数的乘积为783，若设较小的奇数为x，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程若设较小的奇数为x，则与它相邻奇数且比它大的为，根据这两个数的积是783即可列出方程． 【解析】解：若设较小的奇数为x，则与它相邻奇数且比它大的为， 根据题意有：， 故选：A． 3．将分解因式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求解一元二次方程的两个实数根，然后再将二次三项式进行因式分解． 【解析】解：令， ， ， ， ， ； 故选：D． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握利用一元二次方程的应用，将二次三项式在实数范围内因式分解，是解答此题的关键． 4．某种植物只有一个主干，该主干上长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是111，设一个主干长出x个支干，则下列方程中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．由一个主干长出个支干且每个支干又长出同样数目的小分支，可得出共长出个小分支，再结合主干、支干和小分支的总数是111，即可列出关于的一元二次方程． 【解析】解：一个主干长出个支干，每个支干又长出同样数目的小分支， 共长出个小分支． 根据题意得：． 故选：C． 5．如图，在一边靠墙（墙足够长）的空地上，修建一个面积为375平方米的矩形临时仓库，仓库一边靠墙，另三边用总长为55米的栅栏围成，若设栅栏的长为x米，则下列各方程中，符合题意的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由栅栏的总长度可得出米，根据矩形仓库的面积为375平方米，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解析】解：∵米， ∴米． 依题意得：， 即． 故选：C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 6．如果关于x的二次三项式在实数范围内能分解因式，那么a的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 【答案】D 【分析】因二次三项式在实数范围内能分解因式，所以有实数根，据此求解即可． 【解析】∵二次三项式在实数范围内能分解因式， ∴有实数根， ∴， ∴且． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，以及因式分解法解一元二次方程：若一元二次方程的两根为，那么一元二次方程可整理为． 7．在一次同学聚会上，参加聚会的所有人都相互握手相见，握手总次数为次，则参加聚会的人数为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，找数量关系列方程是解题关键．根据设参加聚会的人数是x人，每个人都与另外的人握手一次，则每个人握手次是关键列方程计算即可． 【解析】解：设共有人参加聚会． 根据题意得∶， 整理得∶， 解得∶， (不符合题意，舍去)， 故共有人参加聚会． 故选∶B． 8．下图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个数(如6，7，8，l3，14，l5，20，21，22)．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，则这9个数的和为（ ）． A．32 B．126 C．135 D．144 【答案】D 【分析】根据日历上数字规律得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为16，以及利用最大数与最小数的积为192，求出两数，再利用上下对应数字关系得出其他数即可． 【解析】解：根据图象可以得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为16，设最小数为：，则最大数为，根据题意得出： ， 解得：，，（不合题意舍去）， 故最小的三个数为：8，9，10， 下面一行的数字分别比上面三个数大7，即为：15，16，17， 第3行三个数，比上一行三个数分别大7，即为：22，23，24， 故这9个数的和为：， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了数字变化规律以及一元二次方程的解法，解题的关键是根据已知得出最大数与最小数的差为16． 9．为了宣传环保，某学生写了一份倡议书在微博传播，规则为：将倡议书发表在自己的微博，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有1641人参与了传播活动，则方程列为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两轮传播后，共有1641人参与了传播活动，列出方程即可． 【解析】解：第一轮传播人数为：，第二轮又增加，由题意，得：； 故选D． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用．找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键． 10．直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件．若日利润保持不变．商家想尽快销售完该款商品．每件售价应定为多少元（    ） A．45 B．50 C．55 D．60 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设每件售价应定为x元，依据按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件列出等式解答即可． 【解析】解：设设每件售价应定为x元，根据题意，得 解得：，， ∵商家想尽快销售完该款商品， ∴， ∴商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为50元． 故选：B． 二、填空题 11．根据上海市统计局数据，上海市2021年的地区生产总值约是4.32万亿，2023年的地区生产总值约是4.72万亿，设这两年上海市地区生产总值的年平均增长率都为x，根据题意可列方程 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 根据上海市2021年及2023年我国国民生产总值，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【解析】解：依题意得：． 故答案为：． 12．我国新能源汽车发展迅速，某品牌电动车第一季度销量达10万辆，预计第二季度的销量比第一季度增长，第三季度的销量比第二季度增长，那么预计第三季度的销量为 万辆． 【答案】13.2 【分析】本题考查了销售增长率的问题，利用“第二季度的销量=第一季度的销量（1+增长率），第三季度的销量=第二季度的销量（1+增长率）”，即可求解． 【解析】， 故答案为：13.2． 13．要为一幅长29cm，宽22cm的照片配一个镜框，要求镜框的四边宽度相等，且镜框所占面积为照片面积的四分之一，镜框边的宽度应是多少厘米？设镜框边的宽度为x厘米，列方程并化为一般形式为： ． 【答案】 【分析】根据镜框边的宽度为厘米，配上镜框的照片的长为cm，宽为cm，结合镜框所占面积为照片面积的四分之一，即可得出关于的一元二次方程，此意得解． 【解析】解：∵镜框边的宽度为厘米， ∴配上镜框的照片的长为cm，宽为cm， 根据题意得：， 即：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 14．在实数范围内分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查的是在实数范围内分解因式，一元二次方程的解法，本题令，用含y的代数式表示x，再分解因式即可． 【解析】解：令， ∴， ∴， 解得：，， ∴； 故答案为：． 15．有一个两位数，如果个位上的数比十位上的数大1，并其十位上的数的平方比个位上的数也大1，那么这个两位数是 ． 【答案】23 【分析】设十位上的数为x，则个位上的数位，十位上的数的平方比个位上的数也大1，再建立方程求出其解就可以得出结论． 【解析】解：设原两位数的十位数字为x， 根据题意得： ∴， 解得：，（不符合题意舍去） 答：这个两位数为23， 故答案为23． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键． 16．如图，操场边的小学部农庄，有一块长米，宽米的矩形田地，现需修建一横两竖同样宽的三条道路，把田地分成六块，种植不同品种的蔬菜，使种植蔬菜的面积为道路面积的3倍．则道路的宽为 米． 【答案】 【分析】如图所示，用平移的方法计算出道路的面积，再计算出种植蔬菜的面积，根据题意的数量关系即可求解． 【解析】解：设道路的宽为米，如图所示， ∵矩形田地的长米，宽米， ∴道路部分的面积为，整理得，， 种植蔬菜部分的面积为，整理得，， ∵种植蔬菜的面积为道路面积的3倍， ∴， 整理得，， 解得，，（舍去）， ∴道路的宽为米， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的实际运用，理解题目中的数量关系，运用平移的方法简化图形，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 17．如图是一块长方形菜地ABCD，，，面积为．现将边AB增加，边AD增加，若有且只有一个a的值，使得到的长方形面积为，则S的值是 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，一元二次方程的知识，根据已知条件，用a和S表示出矩形的面积，根据一元二次方程的解法解答即可． 【解析】解：根据题意，得起始矩形的面积，变化后矩形的面积为， ∴，， ∴， ∴， ∵有且只有一个a的值， ∴， 整理得：， 解得：，（舍去）， ∴S的值是． 故答案为：． 18．如图，长方形中，，，动点P从点D出发，沿向终点A以的速度移动，动点Q从点A出发沿向终点C以的速度移动，如果P、Q分别从D、A同时出发，其中一个动点到达终点，另一个动点也随之停止． （1）若经过x秒，用x的代数式表示，则 ； （2）经过 秒时，以A、P、Q为顶点的三角形面积为． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出的长；（2）分及两种情况，列出关于的方程． （1）利用的长的长点的运动速度运动时间，可用含的代数式表示出的长； （2）当时，，，根据以、、为顶点的三角形面积为，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值；当时，，根据以、、为顶点的三角形面积为，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值．再取符合题意的值，即可得出结论． 【解析】解：（1）动点从点出发，沿向终点以的速度移动， 经过秒，， ． 故答案为：； （2），，． 当时，，， ，即， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）； 当时，， ， 解得：（不符合题意，舍去）． 经过秒时，以、、为顶点的三角形面积为． 故答案为：． 三、解答题 19．一种笔记本电脑，原来的售价是元，经过连续两年的降价，今年每台售价为元，每年降价的百分率相同． (1)年降价的百分率是多少？ (2)小明是去年购买这种笔记本的，那么与今年的售价相比，他多付了多少元？ 【答案】(1) (2)元 【分析】（1）设平均每次降价的百分率为，则第一次降价后的售价为元，第二次的降价后的售价为元，根据题意可列出方程，据此求解即可． （2）用现价减去去年的价格即可求解． 【解析】（1）解：设每年降价的百分率是，根据题意可得： ， 解得，舍去 答：每年降价的百分率为． （2）解：， 答：他多付了元． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用—增长率问题，有理数的混合计算的应用，关键是会根据增长率列出式子，再找到等量关系列出方程． 20．如图所示，已知墙的长度是20米，利用墙的一边，用篱色围成一个面积为96平方米的长方形，中间用篱笆分隔出两个小长方形，每个长方形隔出一个1米长的门，总共用去34米长的篱笆，求的长度？ 【答案】的长度是8米 【分析】设为x米，然后表示出的长为米，利用矩形的面积计算方法列出方程求解即可． 【解析】解：设为x米，则 依题意得 解得：． 当时，（不合题意，舍去） 当时，，符合题意， 答：的长度是8米． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，正确列出关系式是解题的关键． 21．在实数范围内分解因式： （1）﹣a2﹣3a+1． （2）2x2y2﹣3xy﹣4． 【答案】（1）﹣（a+）（a+） （2）2（xy﹣）（xy﹣） 【分析】（ 1）设﹣a2﹣3a+1＝0，先求出方程的解，再分解因式即可； （ 2）设2x2y2﹣3xy﹣4＝0，先求出方程的解，再分解因式即可． 【解析】解：（ 1）设﹣a2﹣3a+1＝0， ∵△＝（﹣3）2﹣4×（﹣1）×1＝13＞0， ∴a＝， a1＝﹣，a2＝﹣， ∴﹣a2﹣3a+1＝﹣（a+）（a+）； （ 2）设2x2y2﹣3xy﹣4＝0， ∵△＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣4）＝41＞0， ∴xy＝＝， ∴（xy）1＝，（xy）2＝， ∴2x2y2﹣3xy﹣4＝2（xy﹣）（xy﹣）． 【点睛】本题考查了解一元二次方程和分解因式，能求出一元二次方程的解是解此题的关键． 22．某单位组织员工前往九棵树艺术中心欣赏民族舞表演．表演前，主办方工作人员准备利用米长的墙为一边，用米隔栏绳为另三边，设立一个面积为平方米的长方形等候区，如图，为了方便群众进出，在两边空出两个各为米的出入口（出入口不用隔栏绳）．假设这个长方形平行于墙的一边为长，垂直于墙的一边为宽，那么围成的这个长方形的长与宽分别是多少米？ 【答案】长方形的长为10米，宽为6米． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设这个长方形的长为米，则宽为，然后根据长方形的面积是60平方米列出方程求解即可得到答案． 【解析】解：设这个长方形的长为x米，则宽为， 由题意得： 解得或， ∵平行于墙的一边为长，墙长为11米， ∴长方形的长不能超过11米， ∴， ∴， ∴长方形的长为10米，宽为6米． 答：长方形的长为10米，宽为6米． 23．某宾馆有房间40间，当每间房间定价为300元/天时，可全部住满．每间房间定价每增加10元/天，未入住的房间将增加1间．入住的房间的维护费为20元/天，未入住的房间的维护费为5元/天． (1)当每间房间定价为360元/天时，入住的房间有 间； (2)若该宾馆每天的收入为11350元，每间房间定价为多少元/天？（宾馆每天的收入=入住的房费-维护费） 【答案】(1)34 (2)400 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键 （1）利用入住的房间数，即可求出结论； （2）设每间房间定价为x元/天，则入住的房间有间有，根据该宾馆每天的收入要达到11350元，可得出关于x的一元二次方程，求解取其符合题意的值，即可得出结论． 【解析】（1）解：（间）， ∴当每间房间定价为360元/天时，入住的房间有34间． 故答案为： 34； （2）解：设每间房间定价为x元/天，则入住的房间有 间， 根据题意得： ， 整理得： 解得： 又为正整数， 答：每间房间定价为400元/天． 24．某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． (1)求二、三这两个月的月平均增长率； (2)从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利4250元？ 【答案】(1)二、三这两个月的月平均增长率为； (2)当商品降价5元时，商场获利4250元 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，本题的关键在于理解题意，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键． （1）由题意可得，1月份的销售量为：256件；设2月份到3月份销售额的月平均增长率，则二月份的销售量为：件；三月份的销售量为：件，又知三月份的销售量为：400元，由此等量关系列出方程求出的值，即求出了平均增长率； （2）利用销量每件商品的利润求出即可． 【解析】（1）设二、三这两个月的月平均增长率为，根据题意可得： ， 解得：，（不合题意舍去）． 答：二、三这两个月的月平均增长率为； （2）设当商品降价元时，商品获利4250元，根据题意可得： ， 解得：，（不合题意舍去）． 答：当商品降价5元时，商场获利4250元． 25．如图所示的是2024年1月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，设这四个数从小到大依次为a，b，c，d．请解答下列问题． (1)若用含有 a 的式子分别表示出b，c，d， 则 ， ， ；按这种方法所圈出的四个数中，的最大值为 ． (2)若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数． (3)虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)；；； (2)10 (3)方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，列代数式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据日历的特点先求出b、c、d，再根据当a越大时，b也越大，求出a的最大值即可求出的最大值； （2）根据方框中最大数与最小数的乘积为180，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （3）假设方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124，根据方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和为124，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，由在最后一列，可得出假设不成立，即方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124． 【解析】（1）解：由题意得，； ∵a是正整数， ∴也是正整数， ∴当a越大时，b也越大， 根据日历的特点可知a的最大值为23，此时b的值为24， ∴的最大值为； 故答案为：；；；； （2）解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． ∴最小数是10； （3）解：方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124，理由如下： 假设方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∵时，在最后一列， 假设不成立， 即方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124． 26．阅读与思考：下面是小宇同学整理的一篇数学日记，请仔细阅读并完成任务． 求为正整数）方法欣赏 在学习一元二次方程时，数学老师组织同学们进行了一次数学活动“三角形点阵中前行的点数计算”．老师给出了提示：．课后我们小组收集了“求为正整数）的值”这个问题的两种解法供大家欣赏． 方法1：把式子的加数顺序倒过来写在原始式子的下面，上下的加数加起来再除以2 ．．．．．．．．①   则．．．．．．② ①+②得   即： ∴． 方法2：“递归法”（设． 由完全平方公式可得，． 我们列出特殊情况：； ； ； … ． 两边分别相加可得，． ． 任务： (1)计算：　　； (2)我们知道：；；；则 ； (3)列方程解答问题：阿拉伯数学著作《算术之钥》书中，记载着一道数学题：“一群人走进果园去摘石榴，第一个人摘了1个石榴，第二个人摘了2个石榴，第三个人摘了3个石榴，以此类推，后进果园的人都比前面那个人多摘一个石榴，这群人刚好把果园的石榴全部摘下来了，如果平均分配，每个人可以得到6个石榴，问这群人共有多少人？” 【答案】(1)20706 (2) (3)这群人共有11人 【分析】本题考查了一元二次方程的应用及数字的变化规律 （1）根据方法1：“头尾相加法”，即可解答； （2）根据方法2：“递归法”计算即可； （3）设这群人共有人，根据等差数列求和公式和平均数公式得到关于梨子个数的方程，解方程求解即可解答． 【解析】（1）， 故答案为：20706； （2）令 ..... ①， ....................② ②①：有， 故答案为：； （3）设这群人共有人， 由题意，得， 即， 解方程，得（舍去），， 答：这群人共有11人． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13讲 一元二次方程的应用（十四大题型） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点精准练（十四大题型） 模块四 小试牛刀过关测 1、通过分析具体问题中的数量关系，建立方程并解决实际问题，总结运用方程解决实际问题的一般步骤； 2、通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力. 3、掌握二次三项式的因式分解. 一、二次三项式的因式分解 方法探究：如果方程有两个实数根: =、=，那么写出代数式得 因为=+=－ ·= 上面等式，从右到左就是把ax+bx+c分解因式.把二次三项式ax+bx+c(a≠0)分解因式时, 1 如果b-4ac≥0,那么先用公式法求出方程ax+bx+c=0(a≠0)的两个实数根、， 再写出分解式 ②如果b-4ac<0，那么方程ax+bx+c=0(a≠0)没有实数根，ax+bx+c不能分解因式（R内）. 二、列一元二次方程解应用题的一般步骤 审题→寻找数量关系和等量关系→设未知数（直接假设和间接假设）→列一元二次方程→解方程→检验→作答。 三、一元二次方程应用题的主要类型 1.平均变化率问题 　列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次. (1)增长率问题： 　平均增长率公式为 (a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.) (2)降低率问题： 平均降低率公式为 (a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.) 2.数字问题 (1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数.如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：100c+10b+a. (2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1. 如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1. 几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2. 如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2. 3.利息问题 (1)概念： 本金：顾客存入银行的钱叫本金. 利息：银行付给顾客的酬金叫利息.本息和：本金和利息的和叫本息和. 期数：存入银行的时间叫期数. 利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率. (2)公式:利息=本金×利率×期数 利息税=利息×税率 本金×(1+利率×期数)=本息和 本金×[1+利率×期数×(1-税率)]=本息和(收利息税时) 4.利润(销售)问题 利润(销售)问题中常用的等量关系： 利润=售价-进价(成本) 总利润=每件的利润×总件数 5.形积问题 此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，根据图形的面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出方程. 题型1：二次三项式的因式分解 1．下列各式哪个是二次三项式的因式分解（         ） A． B． C． D． 2．二次三项式2x2-8x+5在实数范围内因式分解为（    ） A． B． C． D． 3．如果一元二次方程的两个实数根为、，则二次三项式在实数范围内的分解式是（    ）. A． B． C． D． 题型2：含参数型二次三项式的因式分解 4．若方程的两个解是，那么在实数范围内分解因式是（    ） A． B． C． D． 5．在实数范围内因式分解，下列四个答案中正确的是（    ）. A． B． C． D． 题型3：二次三项式能因式分解的条件 6．下列关于的二次三项式在实数范围内不能够因式分解的是（       ） A．； B．； C．； D．． 7．下列多项式，在实数范围内能用公式法分解因式的有（    ）. ①；②；③；④；⑤；⑥. A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 8．如果二次三项式在实数范围内可以因式分解,求的取值范围. 9．小颖初一时体重是，到初三时体重增加到，则她的体重平均每年增加的百分率为（    ） A． B． C． D． 题型4：增长率问题 10．随着国内新冠疫情逐步得到控制，人们的口罩储备逐渐充足，市场的口罩需求量在逐渐减少，某口罩厂六月份的口罩产量为万只，由于市场需求量减少，八月份的产量减少到万只，则该厂七八月份的口罩产量的月平均减少率为（    ） A． B． C． D． 11．某农机厂一月份生产零件50万个，第一季度共生产零件182万个．设该厂二、三月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（　　） A．50（1+x）²=182 B．50+50（1+x）+50（1+x）²=182 C．50（1+2x）=182 D．50+50（1+x）+50（1+2x）²=182 题型5：数字型问题 12．有一个两位数，它的十位数字与个位数字之和为8，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘原来的两位数就得1855，则原来的两位数中较大的数为（    ） A．62 B．44 C．53 D．35 题型6：握手问题（握手问题2个算一场） 13．一次会议上，每两个参加会议的人都互相握了一次手，有人统计一共共握66次手．若设这次会议到会的人数为x人，依题意可列方程（　　） A．x（x﹣1）＝66 B．＝66 C．x（1+x）＝66 D．x（x﹣1）＝66 题型7：握手问题衍生题（红包问题2个算2场，重在理解） 14．今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到90个红包，则该群一共有(    ) A．9人 B．10人 C．11人 D．12人 题型8：传染问题 15．有两名流感病人，如果每轮传播中平均一个病人传染的人数相同，为了使两轮传播后，流感病人总数不超过72人，则每轮传播中平均一个病人传染的人数不能超过（    ）人 A．4 B．5 C．6 D．7 16．某女子冰壶比赛有若干支队伍参加了双循环比赛，双循环比赛共进行了56场，共有多少支队伍参加比赛？（    ） A．8 B． C．7 D．9 题型9：小路问题 17．有一个会议室的桌子，其桌面为如图所示的矩形，其中，，现在要在此桌面上铺上台布（矩形），并将四个角（阴影）减掉，然后台布向四周垂下，并且垂下的长度相同，已知所购买的台布的面积是桌面面积的3倍，若四周垂下的长度为，根据题意，列出的方程是（    ）    A． B． C． D． 18．现要在一个长为，宽为的矩形花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为，若设小道的宽度为，则由题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 19．如图，在宽为米、长为米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为平方米，则设道路的宽为米，根据题意，列方程（    ） A． B． C． D． 题型10：日历（表格）问题 20．如图所示的是一张月历表，在此月历表上用一个矩形任意圈出个数(如17，18，24，25)，如果圈出的四个数中最小数与最大数的积为153，那么这四个数的和为（   ） A．40 B．48 C．52 D．56 21．如图是某月的月历表，在此月历表上可以用一个矩形圈出个位置相邻的9个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，设这个最小数为，则下列方程正确的是（　　）    A． B． C． D． 22．如图所示的是某月的日历表，在此日历表上可以按图示形状圈出位置相邻的6个数(如：8，14，15，16，17，24)．如果圈出的6个数中，最大数x与最小数的积为225，那么根据题意可列方程为(　　) A．x(x+8)=225 B．x(x+16)=225 C．x(x﹣16)=225 D．(x+8)(x﹣8)=225 题型11：围栏问题 23．一农户，有27m长的篱笆，要围成一边靠住房墙（墙长12m）的面积为90m2的长方形花园，且垂直于住房墙的一边留一个1m的门，设垂直于住房墙的其中一边长为xm，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 24．空地上有一段长为a米的旧墙MN，利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园（如图1或图2），已知木栏总长为40米，所围成的菜园面积为S．下列说法错误的是（    ） A．若a＝16，S＝196，则有一种围法 B．若a＝20，S＝198，则有两种围法 C．若a＝24，S＝198，则有两种围法 D．若a＝24，S＝200，则有一种围法 题型12：营销问题 25．某海鲜市场以每千克10元的进价进了一批螃蟹，经市场调研发现：售价为每千克20元时，每天可销售40千克．售价每上涨1元，每天的销量将减少3千克．如果该海鲜市场想平均每天获利408元，设这种螃蟹的售价上涨了x元，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 题型13：其他问题 26．近年来，网红北京迎来了无数中外游客．除了游故宫、登长城、吃烤鸭以外，稻香村的传统糕点成为了炙手可热的伴手礼．根据消费者的喜好，现推出A、B两种伴手礼礼盒，A礼盒装有2个福字饼，2个禄字饼：B礼盒装有1个福字饼，2个禄字饼，3个寿字饼，A、B两种礼盒每盒成本价分别为盒中福禄寿三种糕点的成本价之和．已知A种礼盒每盒的售价为96元，利润率为20%，每个禄字饼的成本价是寿字饼的成本价的3倍．国庆期间，由于客流量大，一天就卖出A、B两种礼盒共计78盒，工作人员在核算当日卖出礼盒总成本的时候把福字饼和禄字饼的成本看反了，后面发现如果不看反，那么当日卖出礼盒的实际总成本比核算时的总成本少500元，则当日卖出礼盒的实际总成本为 元． 27．在刚刚过去的“五一”假期中，某超市为迎接“五一”小长假购物高潮，经销甲、乙两种品牌的洗衣液．市场上甲种品牌洗衣液的进价比乙种品牌洗衣液的进价每瓶便宜10元，该超市用6000元购进的甲种品牌洗衣液与用8000元购进的乙种品牌洗衣液的瓶数相同． （1）求甲品牌的洗衣液的进价 元； （2）在销售中，该超市决定将甲种品牌的洗衣液以每瓶45元售出，每天固定售出100瓶；但调查发现，乙种品牌的洗衣液每瓶售价50元时，每天可售出140瓶，并且当乙种品牌的洗衣液每瓶售价每提高1元时，乙种品牌的洗衣液每天就会少售出2瓶，当乙种品牌的洗衣液的每瓶售价为 元时，两种品牌的洗衣液每天的利润之和可达到4700元？ 题型14：几何问题 28．如图，长方形中，，，动点P从点D出发，沿向终点A以的速度移动，动点Q从点A出发沿向终点C以的速度移动，如果P、Q分别从D、A同时出发，其中一个动点到达终点，另一个动点也随之停止． （1）若经过x秒，用x的代数式表示，则 ； （2）经过 秒时，以A、P、Q为顶点的三角形面积为． 29．现有长方形纸片，，． (1)阅读思考：如图1，沿着虚线剪掉一个宽为的小长方形，若剩余长方形面积为，直接写出的值； (2)实践探究：如图2，沿着剪掉一个，点，分别在，上，，若剩余图形面积为，求的长； (3)问题解决：如图3，沿着四周均剪掉宽为的边框，剩余图形（即实线所围）面积能否为，若能，请求出的值；若不能，请说明理由． 30．如图所示，中，． (1)点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，点P和点Q间的距离是？ (2)点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由； (3)若P点沿射线方向从A点出发以的速度移动，点Q沿射线方向从C点出发以的速度移动，P，Q同时出发，问几秒后，的面积为？ 一、单选题 1．2024 年眘节刚过，国内新能源汽车车企纷纷开展降价促销活动．某款新能源汽车今年3月份的售价为25万元，5月份的售价为18万元，设该款汽车这两月售价的月均下降率是x，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 2．两个相邻奇数的乘积为783，若设较小的奇数为x，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 3．将分解因式正确的是（    ） A． B． C． D． 4．某种植物只有一个主干，该主干上长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是111，设一个主干长出x个支干，则下列方程中正确的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在一边靠墙（墙足够长）的空地上，修建一个面积为375平方米的矩形临时仓库，仓库一边靠墙，另三边用总长为55米的栅栏围成，若设栅栏的长为x米，则下列各方程中，符合题意的是（　　） A． B． C． D． 6．如果关于x的二次三项式在实数范围内能分解因式，那么a的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 7．在一次同学聚会上，参加聚会的所有人都相互握手相见，握手总次数为次，则参加聚会的人数为（） A． B． C． D． 8．下图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个数(如6，7，8，l3，14，l5，20，21，22)．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，则这9个数的和为（ ）． A．32 B．126 C．135 D．144 9．为了宣传环保，某学生写了一份倡议书在微博传播，规则为：将倡议书发表在自己的微博，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮传播后，共有1641人参与了传播活动，则方程列为（　　） A． B． C． D． 10．直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现每件小商品售价每降低1元，日销售量增加2件．若日利润保持不变．商家想尽快销售完该款商品．每件售价应定为多少元（    ） A．45 B．50 C．55 D．60 二、填空题 11．根据上海市统计局数据，上海市2021年的地区生产总值约是4.32万亿，2023年的地区生产总值约是4.72万亿，设这两年上海市地区生产总值的年平均增长率都为x，根据题意可列方程 ． 12．我国新能源汽车发展迅速，某品牌电动车第一季度销量达10万辆，预计第二季度的销量比第一季度增长，第三季度的销量比第二季度增长，那么预计第三季度的销量为 万辆． 13．要为一幅长29cm，宽22cm的照片配一个镜框，要求镜框的四边宽度相等，且镜框所占面积为照片面积的四分之一，镜框边的宽度应是多少厘米？设镜框边的宽度为x厘米，列方程并化为一般形式为： ． 14．在实数范围内分解因式： ． 15．有一个两位数，如果个位上的数比十位上的数大1，并其十位上的数的平方比个位上的数也大1，那么这个两位数是 ． 16．如图，操场边的小学部农庄，有一块长米，宽米的矩形田地，现需修建一横两竖同样宽的三条道路，把田地分成六块，种植不同品种的蔬菜，使种植蔬菜的面积为道路面积的3倍．则道路的宽为 米． 17．如图是一块长方形菜地ABCD，，，面积为．现将边AB增加，边AD增加，若有且只有一个a的值，使得到的长方形面积为，则S的值是 ．    18．如图，长方形中，，，动点P从点D出发，沿向终点A以的速度移动，动点Q从点A出发沿向终点C以的速度移动，如果P、Q分别从D、A同时出发，其中一个动点到达终点，另一个动点也随之停止． （1）若经过x秒，用x的代数式表示，则 ； （2）经过 秒时，以A、P、Q为顶点的三角形面积为． 三、解答题 19．一种笔记本电脑，原来的售价是元，经过连续两年的降价，今年每台售价为元，每年降价的百分率相同． (1)年降价的百分率是多少？ (2)小明是去年购买这种笔记本的，那么与今年的售价相比，他多付了多少元？ 20．如图所示，已知墙的长度是20米，利用墙的一边，用篱色围成一个面积为96平方米的长方形，中间用篱笆分隔出两个小长方形，每个长方形隔出一个1米长的门，总共用去34米长的篱笆，求的长度？ 21．在实数范围内分解因式： （1）﹣a2﹣3a+1． （2）2x2y2﹣3xy﹣4． 22．某单位组织员工前往九棵树艺术中心欣赏民族舞表演．表演前，主办方工作人员准备利用米长的墙为一边，用米隔栏绳为另三边，设立一个面积为平方米的长方形等候区，如图，为了方便群众进出，在两边空出两个各为米的出入口（出入口不用隔栏绳）．假设这个长方形平行于墙的一边为长，垂直于墙的一边为宽，那么围成的这个长方形的长与宽分别是多少米？ 23．某宾馆有房间40间，当每间房间定价为300元/天时，可全部住满．每间房间定价每增加10元/天，未入住的房间将增加1间．入住的房间的维护费为20元/天，未入住的房间的维护费为5元/天． (1)当每间房间定价为360元/天时，入住的房间有 间； (2)若该宾馆每天的收入为11350元，每间房间定价为多少元/天？（宾馆每天的收入=入住的房费-维护费） 24．某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． (1)求二、三这两个月的月平均增长率； (2)从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场获利4250元？ 25．如图所示的是2024年1月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，设这四个数从小到大依次为a，b，c，d．请解答下列问题． (1)若用含有 a 的式子分别表示出b，c，d， 则 ， ， ；按这种方法所圈出的四个数中，的最大值为 ． (2)若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数． (3)虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明理由． 26．阅读与思考：下面是小宇同学整理的一篇数学日记，请仔细阅读并完成任务． 求为正整数）方法欣赏 在学习一元二次方程时，数学老师组织同学们进行了一次数学活动“三角形点阵中前行的点数计算”．老师给出了提示：．课后我们小组收集了“求为正整数）的值”这个问题的两种解法供大家欣赏． 方法1：把式子的加数顺序倒过来写在原始式子的下面，上下的加数加起来再除以2 ．．．．．．．．①   则．．．．．．② ①+②得   即： ∴． 方法2：“递归法”（设． 由完全平方公式可得，． 我们列出特殊情况：； ； ； … ． 两边分别相加可得，． ． 任务： (1)计算：　　； (2)我们知道：；；；则 ； (3)列方程解答问题：阿拉伯数学著作《算术之钥》书中，记载着一道数学题：“一群人走进果园去摘石榴，第一个人摘了1个石榴，第二个人摘了2个石榴，第三个人摘了3个石榴，以此类推，后进果园的人都比前面那个人多摘一个石榴，这群人刚好把果园的石榴全部摘下来了，如果平均分配，每个人可以得到6个石榴，问这群人共有多少人？” 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$