专题03 三角形（4大核心考点）-【暑假自学课】2024年新八年级数学暑假提升精品讲义（沪教版）

专题03 三角形 目录 考点聚焦：核心考点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 学以致用：提升专练，全面突破 核心考点聚焦 1. 三角形三边间的关系．三角形内角和定理及三角形的外角性质 2. 全等三角形的概念和性质，全等三角形中的对应元素 3．三角形全等的判定方法，利用三角形全等进行证明，综合法证明的格式 4．等腰三角形、等边三角形的有关概念，它们的性质以及判定方法 一、三角形的有关概念和性质 三角形三边的关系： 定理：三角形任意两边之和大于第三边。 推论：三角形任意两边的之差小于第三边。 【规律方法】（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围． 三角形的分类： 按“角”分类： 按“边”分类： 三角形的重要线段： 一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点． 一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点． 三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点在三角形内；直角三角形交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外. 三角形的内角和与外角和： 三角形内角和定理：三角形的内角和为180°． 三角形外角性质： （1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． （2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角． 三角形的外角和： 三角形的外角和等于360°. 二、全等三角形的判定与性质 全等三角形对应边相等，对应角相等. 全等三角形判定1——“边角边”：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）. 全等三角形判定2——“角边角”：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）. 全等三角形判定3——“角角边”：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”） 全等三角形判定4——“边边边”：三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）. 三、判定方法的选择 1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表： 已知条件 可选择的判定方法 一边一角对应相等 SAS AAS ASA 两角对应相等 ASA AAS 两边对应相等 SAS SSS 2.如何选择三角形证全等 （1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等； （2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等； （3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等； （4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形. 四、等腰三角形 等腰三角形的性质 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）． 等腰三角形的性质的作用 性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据． 性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等． 等腰三角形是轴对称图形 等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴． 等腰三角形的判定 如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）. 【规律方法】等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理. 等边三角形的性质： 等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°. 等边三角形的判定： 　　（1）三条边都相等的三角形是等边三角形； （2）三个角都相等的三角形是等边三角形； （3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 全等三角形常用辅助线作法： 1．截长补短法： “截长法”即把结论中最大的线段根据已知条件分成两段，使其中一段与较短线段相等，然后证明余下的线段与另一条线段相等的方法． “补短法”为把两条线段中的一条补长成为一条长线段，然后证明补成的线段与较长的线段相等，或是把一条较短的线段加长，使它等于较长的一段，然后证明加长的那部分与另一较短的线段相等。 2．平行线法（或平移法）：若题设中含有中点可以试过中点作平行线或中位线，对Rt△,有时可作出斜边的中线。 3．倍长中线法：题中条件若有中线，可延长一倍，以构造全等三角形，从而将分散条件集中在一个三角形内。 4．翻折法：若题设中含有垂线、角的平分线等条件的，可以试用轴对称性质，沿轴翻转图形来构造全等三角形。 提升专练 一、单选题 1．下列三条线段能组成三角形的是（    ） A．2，5，4 B．14，22，7 C．22，9，7 D．1，1， 【答案】A 【分析】根据三角形的三边关系定理即可得． 【解析】解：A、，满足三角形的三边关系定理，此项符合题意； B、，不满足三角形的三边关系定理，此项不符题意； C、，不满足三角形的三边关系定理，此项符合题意； D、，不满足三角形的三边关系定理，此项不符题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理，熟记定理是解题关键． 2．在数学课上，同学们在练习过点作线段所在直线的垂线段时，有一部分同学画出下列四种图形，请你数一数，错误的个数为（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形的高，熟练掌握三角形的高是解题的关键．根据三角形的高可进行求解． 【解析】解：过点B作线段所在直线的垂线段时，只有第一个图是正确的，其余三个都是错误的作法； 故选C． 3．在中，当时，这个三角形是（     ） A．锐角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 【答案】D 【分析】根据三角形的内角和定理建立方程求解具体角度即可得出结论． 【解析】设， 由三角形的内角和定理， 解得： ，这个三角形是直角三角形， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的判定，能够根据三角形的内角和性质推算出三角形的内角度数是解题的关键． 4．下列说法错误的是（    ） A．等腰三角形两腰上的高相等 B．等腰三角形两腰上的中线相等 C．等腰三角形两底角的平分线相等 D．等腰三角形高、中线和角平分线重合 【答案】D 【分析】根据等腰三角形的性质依次判断． 【解析】解：A、等腰三角形两腰上的高相等，故正确； B、等腰三角形两腰上的中线相等，故正确； C、等腰三角形两底角的平分线相等，故正确； D、等腰三角形底边上的高、底边上的中线和顶角的角平分线重合，故错误； 故选：D． 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键． 5．用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，如图所示，则说明是因为图中的两个三角形，那么判定这两个三角形全等的依据是（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】从作图可知，根据证即可． 【解析】解：从作图可知， 在和中 ， ， （全等三角形的对应角相等）， 故选：B． 【点睛】本题考查了尺规作图—作一个角等于已知角，全等三角形的性质和判定，主要考查学生的观察能力和推理能力，全等三角形的判定定理有，，，． 6．若a、b是等腰三角形的两边长，且满足关系式，则这个三角形的周长是（　　） A．9 B．12 C．9或12 D．15或6 【答案】B 【分析】先根据非负数的性质求出，再分两种情况求解即可． 【解析】解：根据题意，， 解得， （1）若2是腰长，则三角形的三边长为：2、2、5，，不能组成三角形； （2）若2是底边长，则三角形的三边长为：2、5、5，能组成三角形，周长为． 故选：B． 【点睛】此题考查了等腰三角形、构成三角形的条件、非负数的性质等知识，分类讨论是解题的关键． 7．给定三角形的两个元素，画出的三角形的形状和大小都是不能确定的，在下列给定的条件下，再增加一个“”的条件后，所画出的三角形形状和大小仍不能完全确定的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据三角形全等的判定方法即可解答. 【解析】解：A．，，增加“”后，类似，不能判定两三角形全等，所以所画出的三角形的形状和大小仍不能完全确定，故选项A符合题意. B．，，增加“”后，属于用来判定三角形全等，所以所画出的三角形的形状和大小确定，故选项B不符合题意. C．，，增加“”后，属于用来判定三角形全等，所以所画出的三角形的形状和大小确定，故选项C不符合题意. D．，，增加“”后，属于用SSS 来判定三角形全等，所以所画出的三角形的形状和大小确定，故选项D不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，解题关键是不能用来判定三角形全等. 8．如图，等边中和分别为、边上的点，且，和交于点，则的度数为（  ）    A．50° B．55° C．60° D．65° 【答案】C 【分析】先根据等边三角形的性质得到，，再证明得到，然后利用等量代换得到． 【解析】解：为等边三角形， ，， 在和中， ， ， ， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．也考查了等边三角形的性质． 9．如图，平分，，连接、，并延长交、于、点，则图中全等的三角形有(    )对．    A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 【答案】B 【分析】认真观察图形，确定已知条件在图形上的位置，结合全等三角形的判定方法，仔细寻找． 【解析】解：平分， ， 在与中， ， ， ，，， 又， ， ，，． ，，，，共对． 故选：B． 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 10．.如图所示，已知△ABC和△BDE都是等边三角形，下列结论：①AE=CD；②BF=BG；③BH平分∠AHD；④∠AHC=60°；⑤△BFG是等边三角形；⑥FG∥AD，其中正确的有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【解析】∵△ABC与△BDE为等边三角形， ∴AB=BC，BD=BE，∠ABC=∠DBE=60°， ∴∠ABE=∠CBD， 即AB=BC，BD=BE，∠ABE=∠CBD ∴△ABE≌△CBD， ∴AE=CD，∠BDC=∠AEB， 又∵∠DBG=∠FBE=60°， ∴△BGD≌△BFE， ∴BG=BF，∠BFG=∠BGF=60°， ∴△BFG是等边三角形， ∴FG∥AD， ∵BF=BG，AB=BC，∠ABF=∠CBG=60°， ∴△ABF≌△CGB， ∴∠BAF=∠BCG， ∴∠CAF+∠ACB+∠BCD=∠CAF+∠ACB+∠BAF=60°+60°=120°， ∴∠AHC=60°， ∵∠FHG+∠FBG=120°+60°=180°， ∴B、G、H、F四点共圆， ∵FB=GB， ∴∠FHB=∠GHB， ∴BH平分∠GHF， ∴题中①②③④⑤⑥都正确． 故选D． 点睛：本题主要考查对等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键． 二、填空题 11．如图，的度数为    【答案】80 【分析】根据三角形外角的性质可进行求解． 【解析】解：由图可知：； 故答案为：80． 【点睛】本题主要考查三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键． 12．若三角形两条边的长分别是10，15，第三条边的长是整数，则第三条边的长的最大值是 ． 【答案】24 【分析】根据三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”进行解答即可． 【解析】解：∵第三边，即：第三边． ∵第三条边的长是整数， ∴第三条边的长的最大值是 24． 故答案为：24． 【点睛】本题考查三角形的三边关系．解答此题的关键是掌握“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”． 13．如图，，要使，还需要添加的一个条件是 （添加一个条件即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】由题意可知，，再根据三角形全等的判定定理添加条件即可． 【解析】由题意可知，， ∴添加或，可利用证明； 添加，可利用证明； 添加，可利用证明． 故答案为：(答案不唯一)． 【点睛】本题考查添加条件是三角形全等，掌握三角形全等的判定定理是解题关键． 14．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，那么这个等腰三角形的顶角为 度． 【答案】或 【分析】此题考查了等腰三角形的定义．此题难度适中，注意掌握分类讨论思想与数形结合思想的应用．首先根据题意画出图形，然后分别从锐角三角形与钝角三角形分析求解即可求得答案． 【解析】解：根据题意得：，， 如图（1），， 则， 如图（2），， ∴， ∴． 故这个等腰三角形的顶角是：或． 故答案为：或 15．已知，若的面积为，则的面积为 ；若的周长为，则的周长为 ． 【答案】 【分析】 本题考查全等三角形的性质，利用全等三角形的面积和周长相等填空即可． 【解析】解：∵， ∴与形状和大小一致，能重合，， ∴它们的面积和周长相等， ∴若的面积为，则的面积为； 若的周长为，则的周长为． 故答案为：；． 16．如图，在中，和是两条高线，相交于点，若，，，则 ．    【答案】3 【分析】证明，得出，，根据求出结果即可． 【解析】解：∵和是两条高线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，余角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，证明． 17．如图，在钝角中，，，设，，过点的射线交于点，点在延长线上，且，，请写出、和满足的数量关系： ． 【答案】 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，在上截取，连接，先证，从而得到进而得由此可得、和满足的数量关系，熟练掌握全等三角形的判定和性质，正确地作出辅助线构造全等三角形是解决问题的关键． 【解析】解：、和满足的数量关系是：， 在上截取，连接， ∵ ∴ 在和中， ， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴． 18．已知中，，将绕点旋转得，使点恰好落在边上点处，边交边于点（如图），如果为等腰三角形，则的度数为 ．    【答案】或 【分析】如图，设，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到，再利用旋转的性质得，，则，利用平角定理得，利用三角形外角性质得，讨论：当时，，则；当时，，利用得到；当时，，利用得到，然后分别解关于的方程，然后计算即可得到的度数． 【解析】解：如图，设，    ， ， 绕点旋转得，使点恰好落在边上点处， ，， ， ，， 当时，为等腰三角形，即，则，解得，此时； 当时，为等腰三角形，即，而，则， 解得，此时， 当时，为等腰三角形，即，而， 则，无解，故舍去， 综上所述，为等腰三角形时的度数为或， 故答案为或． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了三角形内角和、等腰三角形的性质和分类讨论思想． 三、解答题 19．如图，，平分，，，求的度数． 【答案】的度数为 【分析】由平行线的性质得到，根据角平分线的定义，得到，在中，根据三角形内角和定理，即可求解， 本题考查了，平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理． 【解析】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴, 的度数为． 20．根据要求作图并写好结论： (1)画三角形，使得的长度等于厘米，，； (2)在三角形中，作出的角平分线； (3)在三角形中，作出边上中线． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)作图见解析 【分析】（1）根据要求作出图形即可； （2）根据角平分线的定义画出图形即可； （3）根据三角形的中线的定义画出图形即可． 【解析】（1）如图，即为所求； （2）如图，射线即为所求； （3）如图，线段即为所求． 【点睛】本题考查作图—复杂作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 21．如图，点A、B、C、D在一条直线上，如果，，且，那么．为什么？（完成以下说理过程：）    解：因为（已知）， 所以（两直线平行，内错角相等）． 因为，（平角的意义）， 所以_________（__________）， 因为（已知）， 所以（等式性质），即________． 【答案】；等角的补角相等； 【分析】先证．再证，然后证，得，即可得出结论． 【解析】解：∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）． ∵，（平角的意义）， ∴（等角的补角相等）， ∵（已知）， ∴（等式性质）， 即， 在和中， ， ∴， ∴（全等三角形的对应角相等）， ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：；等角的补角相等；． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识；熟练掌握平行线的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 22．如图，，点D在边上，和相交于点O．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和、三角形的外角性质： （1）先由三角形的外角性质得，结合，即可证明作答． （2）由得，结合三角形的内角和公式列式计算，即可作答． 【解析】（1）解：∵ ∴ ∵ ∴； （2）解：∵ ∴ 则 ∵ ∴ 23．如图，在中，是的中线，点E在上，点F在的延长线上，与交于点O，且． (1)求证：； (2)若，求证： 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质． （1）利用三线合一证出，证明即可证出结论 （2）利用截长补短法添加辅助线，构造即可证出结论． 【解析】（1）证明：连接， 是的中线， ， 在和中 ， ， ，， ， ， ， ， ， ； （2）证明：在上截取，连接，， ， ， ， ， 在中 ， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ． 24．如图，在中，，，点D在边上，以点A为中心，将线段顺时针旋转得到线段，连接． (1)求证：平分； (2)连接交于点F，过点C作，交的延长线于点G．补全图形，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)补全图形见解析，，证明见解析 【分析】（1）由旋转的性质得到，先证明，再利用证明，根据等边对等角证明，即可证明，则平分； （2）根据题意补全图形即可；如图所示，在上取一点M，使得，连接，由平行线的性质得到，证明，得到，，再证明，得到，即可证明． 【解析】（1）证明：由旋转的性质可得， ∵， ∴，即， 又∵， ∴，， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：补全图形如下所示，，理由如下： 如图所示，在上取一点M，使得，连接， ∵， ∴， 由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，旋转的性质，等腰三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定是解题的关键． 25．已知点A的坐标为，设点A关于x轴对称的点为点B，点A关于原点的对称点为点C，过点C作y轴的平行线交x轴于点D．    (1)在直角坐标平面内描出点A、点B、点C； (2)点B的坐标是______，点C的坐标是______． (3)已知在线段BC上存在一点E，恰好能使与全等，那么此时点E的坐标是______． 【答案】(1)见解析 (2)； (3) 【分析】（1）根据在平面直角坐标系中，点关于轴对称时，横坐标不变，纵坐标为相反数，关于轴对称时，横坐标为相反数，纵坐标不变，关于原点对称时，横纵坐标都为相反数即可解答本题； （2）利用（1）中所求解答； （3）根据题意作出点，再根据全等三角形的判定顶点解答即可． 【解析】（1）解：（1）的坐标为，点关于轴对称的点为点，点关于原点的对称点为点，过点作轴的平行线，交轴于点．如图：    （2）解：由图可知，点的坐标是；点的坐标是． （3）解：点如图所示：    ， ，， ，， ，， 点坐标为． 【点睛】本题考查了在平面直角坐标系中，点关于轴，轴及原点对称时横纵坐标的符号以及全等三角形的判定，正确掌握点的变换坐标性质是解题关键． 26．在等边三角形的两边、所在直线上分别有两点，为外一点，且，，．探究：当点分别在直线、移动时，之间的数量关系． (1)如图，当点在边、上，且时，试说明． (2)如图，当点在边、上，且时，还成立吗？ 答：　　．（请在空格内填“一定成立”“不一定成立”或“一定不成立”． (3)如图，当点分别在边的延长线上时，请直接写出之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)一定成立 (3) 【分析】（1）根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理得到，进而得到，证明，得到，根据含的直角三角形的性质证明结论； （2）延长至，使，连接，证明，得到，，再证明，得到，即可得到答案； （3）在上截取，连接，证明，得到，，再证明，得到，即可得到答案． 【解析】（1）证明：为等边三角形， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ，， 为等边三角形， ， 在中，， ， 同理可得，， ； （2）解：一定成立， 理由如下：如图，延长至，使，连接， ， 由（1）可知：， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 故答案为：一定成立； （3）解：如图，在上截取，连接， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 三角形 目录 考点聚焦：核心考点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 学以致用：提升专练，全面突破 核心考点聚焦 1. 三角形三边间的关系．三角形内角和定理及三角形的外角性质 2. 全等三角形的概念和性质，全等三角形中的对应元素 3．三角形全等的判定方法，利用三角形全等进行证明，综合法证明的格式 4．等腰三角形、等边三角形的有关概念，它们的性质以及判定方法 一、三角形的有关概念和性质 三角形三边的关系： 定理：三角形任意两边之和大于第三边。 推论：三角形任意两边的之差小于第三边。 【规律方法】（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围． 三角形的分类： 按“角”分类： 按“边”分类： 三角形的重要线段： 一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点． 一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点． 三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点在三角形内；直角三角形交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外. 三角形的内角和与外角和： 三角形内角和定理：三角形的内角和为180°． 三角形外角性质： （1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． （2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角． 三角形的外角和： 三角形的外角和等于360°. 二、全等三角形的判定与性质 全等三角形对应边相等，对应角相等. 全等三角形判定1——“边角边”：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）. 全等三角形判定2——“角边角”：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）. 全等三角形判定3——“角角边”：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”） 全等三角形判定4——“边边边”：三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）. 三、判定方法的选择 1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表： 已知条件 可选择的判定方法 一边一角对应相等 SAS AAS ASA 两角对应相等 ASA AAS 两边对应相等 SAS SSS 2.如何选择三角形证全等 （1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等； （2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等； （3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等； （4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形. 四、等腰三角形 等腰三角形的性质 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）． 等腰三角形的性质的作用 性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据． 性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等． 等腰三角形是轴对称图形 等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴． 等腰三角形的判定 如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）. 【规律方法】等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理. 等边三角形的性质： 等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°. 等边三角形的判定： 　　（1）三条边都相等的三角形是等边三角形； （2）三个角都相等的三角形是等边三角形； （3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 全等三角形常用辅助线作法： 1．截长补短法： “截长法”即把结论中最大的线段根据已知条件分成两段，使其中一段与较短线段相等，然后证明余下的线段与另一条线段相等的方法． “补短法”为把两条线段中的一条补长成为一条长线段，然后证明补成的线段与较长的线段相等，或是把一条较短的线段加长，使它等于较长的一段，然后证明加长的那部分与另一较短的线段相等。 2．平行线法（或平移法）：若题设中含有中点可以试过中点作平行线或中位线，对Rt△,有时可作出斜边的中线。 3．倍长中线法：题中条件若有中线，可延长一倍，以构造全等三角形，从而将分散条件集中在一个三角形内。 4．翻折法：若题设中含有垂线、角的平分线等条件的，可以试用轴对称性质，沿轴翻转图形来构造全等三角形。 提升专练 一、单选题 1．下列三条线段能组成三角形的是（    ） A．2，5，4 B．14，22，7 C．22，9，7 D．1，1， 2．在数学课上，同学们在练习过点作线段所在直线的垂线段时，有一部分同学画出下列四种图形，请你数一数，错误的个数为（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．在中，当时，这个三角形是（     ） A．锐角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 4．下列说法错误的是（    ） A．等腰三角形两腰上的高相等 B．等腰三角形两腰上的中线相等 C．等腰三角形两底角的平分线相等 D．等腰三角形高、中线和角平分线重合 5．用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，如图所示，则说明是因为图中的两个三角形，那么判定这两个三角形全等的依据是（　　）    A． B． C． D． 6．若a、b是等腰三角形的两边长，且满足关系式，则这个三角形的周长是（　　） A．9 B．12 C．9或12 D．15或6 7．给定三角形的两个元素，画出的三角形的形状和大小都是不能确定的，在下列给定的条件下，再增加一个“”的条件后，所画出的三角形形状和大小仍不能完全确定的是（    ） A．， B．， C．， D．， 8．如图，等边中和分别为、边上的点，且，和交于点，则的度数为（  ）    A．50° B．55° C．60° D．65° 9．如图，平分，，连接、，并延长交、于、点，则图中全等的三角形有(    )对．    A．3对 B．4对 C．5对 D．6对 10．.如图所示，已知△ABC和△BDE都是等边三角形，下列结论：①AE=CD；②BF=BG；③BH平分∠AHD；④∠AHC=60°；⑤△BFG是等边三角形；⑥FG∥AD，其中正确的有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 二、填空题 11．如图，的度数为    12．若三角形两条边的长分别是10，15，第三条边的长是整数，则第三条边的长的最大值是 ． 13．如图，，要使，还需要添加的一个条件是 （添加一个条件即可）． 14．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，那么这个等腰三角形的顶角为 度． 15．已知，若的面积为，则的面积为 ；若的周长为，则的周长为 ． 16．如图，在中，和是两条高线，相交于点，若，，，则 ．    17．如图，在钝角中，，，设，，过点的射线交于点，点在延长线上，且，，请写出、和满足的数量关系： ． 18．已知中，，将绕点旋转得，使点恰好落在边上点处，边交边于点（如图），如果为等腰三角形，则的度数为 ．    三、解答题 19．如图，，平分，，，求的度数． 20．根据要求作图并写好结论： (1)画三角形，使得的长度等于厘米，，； (2)在三角形中，作出的角平分线； (3)在三角形中，作出边上中线． 21．如图，点A、B、C、D在一条直线上，如果，，且，那么．为什么？（完成以下说理过程：）    解：因为（已知）， 所以（两直线平行，内错角相等）． 因为，（平角的意义）， 所以_________（__________）， 因为（已知）， 所以（等式性质），即________． 22．如图，，点D在边上，和相交于点O．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 23．如图，在中，是的中线，点E在上，点F在的延长线上，与交于点O，且． (1)求证：； (2)若，求证： 24．如图，在中，，，点D在边上，以点A为中心，将线段顺时针旋转得到线段，连接． (1)求证：平分； (2)连接交于点F，过点C作，交的延长线于点G．补全图形，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 25．已知点A的坐标为，设点A关于x轴对称的点为点B，点A关于原点的对称点为点C，过点C作y轴的平行线交x轴于点D．    (1)在直角坐标平面内描出点A、点B、点C； (2)点B的坐标是______，点C的坐标是______． (3)已知在线段BC上存在一点E，恰好能使与全等，那么此时点E的坐标是______． 26．在等边三角形的两边、所在直线上分别有两点，为外一点，且，，．探究：当点分别在直线、移动时，之间的数量关系． (1)如图，当点在边、上，且时，试说明． (2)如图，当点在边、上，且时，还成立吗？ 答：　　．（请在空格内填“一定成立”“不一定成立”或“一定不成立”． (3)如图，当点分别在边的延长线上时，请直接写出之间的数量关系． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$