精品解析：广东省四校（麻涌、塘厦、七中、济川）2023-2024学年高二下学期5月期中联考数学试题

2023-2024学年下学期段考二四校联考高二数学试题 考试时间120分钟 满分150分 命题人：陈海勇 潘印超 唐春梅 张秀敏 审题人：张秀敏 注意事项： 1.答卷前，考生务必用2B铅笔在“考生号”处填涂考生号，用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在的班级，以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将答题卡交回. 第1卷（选择题 共58分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.） 1. 下列求导结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用基本初等初等函数的导数与复合函数的导数逐项判断. 【详解】对于：，故A正确；                        对于B：，故B错误； 对于C：，故C错误； 对于D：，故D错误． 故选：A． 2. 甲、乙、丙三个同学报名参加学校运动会中设立的跳高、铅球、跳远、100米比赛，每人限报一项，共有多少种不同的报名方法（ ） A. 12 B. 24 C. 64 D. 81 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，可知三个同学中每人有4种报名方法，由分步计数原理即可得到. 【详解】甲、乙、丙三个同学报名参加学校运动会中设立的跳高、铅球、跳远、100米比赛，每人限报一项, 每人有4种报名方法， 根据分步计数原理，可知共有种不同的报名方法. 故选：C 3. 某气象台天气预报的准确率为80%，则3次预报中恰有1次预报准确的概率是（ ） A. 9.6% B. 10.4% C. 80% D. 99.2% 【答案】A 【解析】 【分析】根据独立重复实验的概率公式可求出结果. 【详解】由天气预报的准确率为80%， 则3次预报中恰有1次预报准确的概率为： ，即. 故选：A. 4. 的展开式中的系数为（ ） A. 80 B. 40 C. 10 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，求得二项展开式的通项公式，结合通项确定的值，代入即可求解. 【详解】由二项式展开式的通项公式为， 令，可得， 所以展开式中的系数为. 故选：B. 5. 一个盒中有10个球，其中红球7个，黄球3个，随机抽取两个，则至少有一个黄球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】记抽取黄球的个数为X，则由题意可得X服从超几何分布，然后根据超几何分布的概率公式求解即可. 【详解】记抽取黄球的个数为X，则X服从超几何分布，其分布列为 ，，1，2． 所以，． 或． 故选：D． 6. 某莲藕种植塘每年的固定成本是2万元，每年最大规模的种植量是10万斤，每种植1斤藕，成本增加1元．销售额（单位：万元）与莲藕种植量（单位：万斤）满足（为常数），若种植3万斤，利润是万元，则要使销售利润最大，每年需种植莲藕（ ） A. 7万斤 B. 8万斤 C. 9万斤 D. 10万斤 【答案】B 【解析】 【分析】求出利润的表达式，根据种植3万斤，利润是万元可求得，再求导分析利润函数的单调性与极大值点即可. 【详解】由题意，利润函数，（单位：万元）. 即，则，解得. 故，则， 令有，令有， 故要使销售利润最大，每年需种植莲藕8万斤. 故选：B 7. 英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件A，B存在如下关系：.若某地区一种疾病的患病率是0.05，现有一种试剂可以检验被检者是否患病.已知该试剂的准确率为95%，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有95%的可能呈现阳性；该试剂的误报率为0.5%，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有0.5%的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，已知检验结果呈现阳性，则此人患病的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设出事件，利用条件概率和全概率公式得到，使用贝叶斯公式得到答案. 【详解】设检验结果呈现阳性为事件，此人患病为事件， ， ， 则. 故选：C 8. 某市举行乡村振兴汇报会，六个获奖单位的负责人甲､乙､丙等六人分别上台发言，其中负责人甲､乙发言顺序必须相邻，丙不能在第一个与最后一个发言，则不同的安排方法共有（ ） A. 240种 B. 120种 C. 156种 D. 144种 【答案】D 【解析】 【分析】将甲乙捆绑，并确定丙的位置，排序即可. 【详解】将将甲乙捆绑看做一个元素，由丙不能在第一个与最后一个发言， 则丙的位置有3个，将剩余4个元素再排序有种方法， 故不同的安排方法共有种. 故选：D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.） 9. 随机变量的分布列为（ ） 0 1 2 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据分布列的性质及期望公式得到方程组，求出、的值，再求出方差，最后利用期望、方差的性质求出、，即可判断. 【详解】由题可知，，解得，故A正确． ，故B正确． ，故C错误． ，故D正确． 故选：ABD 10. 甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（    ） A. 如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种 B. 最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种 C. 甲乙不相邻的排法种数为82种 D. 甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有20种 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，利用捆绑法求解判断；对于B，分最左端排甲，和最左端排乙两类求解判断；对于C，根据甲乙不相邻，利用插空法求解判断；对于D，根据甲乙丙从左到右的顺序排列，通过除序法求解判断. 【详解】对于A，如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有种，A正确； 对于B，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，若最左端排甲，有种排法；若最左端排乙，有种排法，合计不同的排法共有42种，B正确； 对于C，甲乙不相邻的排法种数有种，C不正确； 对于D，甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有种，D正确. 故选：ABD 11. 已知函数，，则下列说法正确的有（） A. 为偶函数 B. 为周期函数 C. 在区间上，有且只有一个极小值点 D. 过作的切线有且仅有3条 【答案】AD 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性的定义易知函数为偶函数，所以A正确；根据周期性的定义可判断B错误；根据导数判断其单调性，易知有且只有一个极值点，是极大值点，故C错误；根据导数的几何意义求曲线过某点的切线方程可知D正确. 【详解】对于A，因为函数的定义域为，因为，所以函数是偶函数，故A正确； 对于B，若存在非零常数，使得， 令，则，即， 令，则，因为，所以，即或. 若，则，解得，舍去； 若，则，解得， 所以若存在非零常数，使得，则. 即，令，则， 而，，不符合题意.故不存在非零常数， 使得，故B错误； 对于C，，，则， 令，则， 当，，则单调递减，即单调递减， 又，， 故在上有且仅有一个解，设为， 所以当时，单调递增； 当时，单调递减， 所以有且只有一个极值点，且是极大值点，故C错误； 对于D，设切点横坐标为，则切线方程为， 将代入，得，解得或，. 若，则切线方程为；若，则，故D正确. 故选：AD. 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填在答题卡的相应位置上.） 12. 的展开式中的系数为________________（用数字作答）． 【答案】-28 【解析】 【分析】可化为，结合二项式展开式的通项公式求解. 【详解】因为， 所以的展开式中含的项为， 的展开式中的系数为-28 故答案为：-28 13. 若随机变量，且，则____________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据对称性确定的值，然后由正态分布的性质可得. 【详解】因为， 所以，且， 所以. 故答案为： 14. 已知函数在上有两个零点，则的取值范围是_______. 【答案】 【解析】 【分析】原问题等价于函数与函数有两个不同的交点，求出两函数相切时的切线斜率，再结合函数特征，求出m的取值范围即可. 【详解】函数在上有两个零点， 等价于与有两个不同的交点， 恒过点，设与相切时切点为， 因为，所以切线斜率为， 则切线方程为， 当切线经过点时，解得或（舍），此时切线斜率为， 由函数图像特征可知：函数在上有两个零点， 则实数的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛： 本题关键在于将函数有两个零点问题转化为两函数有两个不同交点问题. 四、解答题（本大题共5小题，第15题13分，16、17题各15分，18、19题各17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效.） 15. 已知. （1）求展开式第3项的二项式系数； （2）求的值； （3）求的值； 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用二项式的通项公式，即可求解； （2）分别令和，进而求得的值； （3）分别令和，两式相减，进而求得的值. 【小问1详解】 因为， 由二项式展开式的通项公式为， 所以展开式的第3项的二项式系数为. 【小问2详解】 由， 令，可得； 令，可得， 所以 【小问3详解】 由， 令，可得， 令，可得， 两式相减可得，所以. 16. 已知函数在x＝1处取得极值． （1）求a的值； （2）求f（x）在区间[－4，4]上的最大值和最小值． 【答案】（1）9；（2）最大值为76，最小值为－5. 【解析】 【分析】（1）求出导函数，利用在处取得极值，，求解即可． （2）求出．判断导函数的符号，判断函数的单调性，然后求解极值，求解端点值，推出最值即可． 【详解】解：（1）因为， 所以． 因为在x＝1处取得极值， 所以，即，解得 经检验，符合题意． （2）由（1）得． 所以． 令，得或； 令，得． 所以的单调递增区间为，，单调递减区间为． 所以的极大值为，极小值为 又， ， 所以 所以的最大值为76，最小值为 17. 甲、乙两位同学到校学生会竞聘同一岗位，进入最后面试环节．具体面试方案如下：甲、乙各自从5个问题中随机抽取3个问题，已知这5个问题中，甲能正确回答其中3个问题，而乙能正确回答每个问题的概率均为，甲、乙对每个问题的回答都相互独立，互不影响． （1）设甲答对的问题个数为随机变量，求的分布列、数学期望和方差； （2）请从数学期望和方差的角度分析，甲、乙两位同学，哪位同学竞聘成功的可能性更大？ 【答案】（1）分布列： 1 2 3 ，. （2）甲同学竞聘成功的可能性更大 【解析】 【分析】（1）由题意可知的所有可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，从而可求得的分布列、数学期望和方差； （2）设乙答对的题数为，则所有可能的取值为0，1，2，3，由题意可知，从而利用二项分布求出乙的数学期望和方差，再与甲比较可得结论 【详解】解：由题意可知的所有可能取值为1，2，3，则 , , , 则的分布列为 1 2 3 所以， ， （2）设乙答对的题数为，则所有可能的取值为0，1，2，3，由题意可知， 则 因为, 所以甲的方差小，甲比较稳定， 所以甲同学竞聘成功的可能性更大 18. 在混放在一起的6件不同的产品中，有2件次品，4件正品.现需要通过检测将其区分，每次随机抽取一件进行检测，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出4件正品时检测结束. （1）若第二次抽到的是次品且第三次抽到的是正品，求共有多少种不同的抽法； （2）已知每检测一件产品需要100元费用，求检测结束时检测费用为400元的抽法有多少种？（要求：解答过程要有必要的说明和步骤） 【答案】（1）120 （2）96 【解析】 【分析】（1）由题意知，第一次抽到的必是正品，共抽取4次或5次检测结束，然后利用两个计数原理和排列组合数即可求解； （2）利用分类加法计数原理和排列组合的相关知识即可进行求解. 【小问1详解】 由题意知，第一次抽到的必是正品，共抽取4次或5次检测结束， 第1次抽到的是正品有种抽法；第2次抽到的是次品有种抽法；第3次抽到的是正品有种抽法； 当抽取4次结束时，第4次抽到的必是次品，共有种抽法； 当抽取5次结束时，若第4次抽到的是正品且第5次抽到的是正品，则共有种抽法； 若第4次抽到的是正品且第5次抽到的是次品，则共有种抽法； 综上，第二次抽到的是次品且第三次抽到的是正品共有120种抽法. 【小问2详解】 由题意知，检测费用为400元，说明一共抽取了4次检测结束，共有以下两种情况： ①4次抽到的均为正品，共有种抽法； ②前3次抽到2件正品，1件次品，且第4次抽到的是次品，共有种抽法. 所以，检测结束时，检测费用为400元的抽法共有96种. 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）当时，证明：不等式恒成立． 【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，分、两种情况讨论，分别求出函数的单调区间； （2）依题意恒成立，令，，利用导数说明函数的单调性，只需证明即可. 【小问1详解】 定义域为， ， 当时恒成立，所以在上单调递减， 当时， 所以当时，则在上单调递增， 当时，则在上单调递减， 综上可得，当时在上单调递减； 当时在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 当时，则不等式恒成立， 即恒成立， 令，，则， 令，，则， 所以在上单调递增， 又，，所以存在唯一实数使得， 所以当时，即，所以在上单调递减， 当时，即，所以在上单调递增， 所以，又， 即，所以，则， 所以 ， 令，，则, 所以在上单调递减，所以， 所以 ， 即，所以恒成立，即不等式恒成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年下学期段考二四校联考高二数学试题 考试时间120分钟 满分150分 命题人：陈海勇 潘印超 唐春梅 张秀敏 审题人：张秀敏 注意事项： 1.答卷前，考生务必用2B铅笔在“考生号”处填涂考生号，用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在的班级，以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将答题卡交回. 第1卷（选择题 共58分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.） 1. 下列求导结果正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 甲、乙、丙三个同学报名参加学校运动会中设立的跳高、铅球、跳远、100米比赛，每人限报一项，共有多少种不同的报名方法（ ） A. 12 B. 24 C. 64 D. 81 3. 某气象台天气预报的准确率为80%，则3次预报中恰有1次预报准确的概率是（ ） A. 9.6% B. 10.4% C. 80% D. 99.2% 4. 的展开式中的系数为（ ） A. 80 B. 40 C. 10 D. 5. 一个盒中有10个球，其中红球7个，黄球3个，随机抽取两个，则至少有一个黄球的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 某莲藕种植塘每年的固定成本是2万元，每年最大规模的种植量是10万斤，每种植1斤藕，成本增加1元．销售额（单位：万元）与莲藕种植量（单位：万斤）满足（为常数），若种植3万斤，利润是万元，则要使销售利润最大，每年需种植莲藕（ ） A. 7万斤 B. 8万斤 C. 9万斤 D. 10万斤 7. 英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件A，B存在如下关系：.若某地区一种疾病的患病率是0.05，现有一种试剂可以检验被检者是否患病.已知该试剂的准确率为95%，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有95%的可能呈现阳性；该试剂的误报率为0.5%，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有0.5%的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，已知检验结果呈现阳性，则此人患病的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 某市举行乡村振兴汇报会，六个获奖单位的负责人甲､乙､丙等六人分别上台发言，其中负责人甲､乙发言顺序必须相邻，丙不能在第一个与最后一个发言，则不同的安排方法共有（ ） A. 240种 B. 120种 C. 156种 D. 144种 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.） 9. 随机变量的分布列为（ ） 0 1 2 若，则（ ） A. B. C. D. 10. 甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（    ） A. 如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种 B. 最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种 C. 甲乙不相邻的排法种数为82种 D. 甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有20种 11. 已知函数，，则下列说法正确的有（） A. 为偶函数 B. 为周期函数 C. 在区间上，有且只有一个极小值点 D. 过作的切线有且仅有3条 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填在答题卡的相应位置上.） 12. 的展开式中的系数为________________（用数字作答）． 13. 若随机变量，且，则____________． 14. 已知函数在上有两个零点，则的取值范围是_______. 四、解答题（本大题共5小题，第15题13分，16、17题各15分，18、19题各17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效.） 15. 已知. （1）求展开式第3项的二项式系数； （2）求的值； （3）求的值； 16. 已知函数在x＝1处取得极值． （1）求a的值； （2）求f（x）在区间[－4，4]上的最大值和最小值． 17. 甲、乙两位同学到校学生会竞聘同一岗位，进入最后面试环节．具体面试方案如下：甲、乙各自从5个问题中随机抽取3个问题，已知这5个问题中，甲能正确回答其中3个问题，而乙能正确回答每个问题的概率均为，甲、乙对每个问题的回答都相互独立，互不影响． （1）设甲答对的问题个数为随机变量，求的分布列、数学期望和方差； （2）请从数学期望和方差的角度分析，甲、乙两位同学，哪位同学竞聘成功的可能性更大？ 18. 在混放在一起的6件不同的产品中，有2件次品，4件正品.现需要通过检测将其区分，每次随机抽取一件进行检测，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出4件正品时检测结束. （1）若第二次抽到的是次品且第三次抽到的是正品，求共有多少种不同的抽法； （2）已知每检测一件产品需要100元费用，求检测结束时检测费用为400元的抽法有多少种？（要求：解答过程要有必要的说明和步骤） 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）当时，证明：不等式恒成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $