精品解析：辽宁省锦州市黑山县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

2023—2024学年度第二学期期中质量检测 八年级数学试卷 亲爱的同学，这份试卷将记录你的自信、沉着、智慧和收获． 我们一直投给你信任的目光．请认真审题，看清要求，仔细答题． 预祝你取得好成绩！ 考试时间：90分钟 试卷满分：100分 一、选择题（本题共10个题．每题2分，计20分．每小题的四个选项中只有一个符合题意，请将符合题目要求答案的英文字母代号填写在括号内．） 1. 若，则下列不等式不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 2. 在下列四个图案中，是中心对称图形的是（　　） A B. C. D. 3. 已知两个不等式的解集在数轴上如图表示，那么这个解集为（ ） A. ＜-1 B. ≤2 C. -1＜≤2 D. ≤-1 4. 下列命题：①等腰三角形两腰上高相等；②若，则；③全等三角形对应角相等；④直角三角形两锐角互余．其中原命题与逆命题均为真命题的个数有（ ）． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 在中，，的垂直平分线与直线所成的角为，则等于（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 6. 下列不等式中，解集不同的是（    ）. A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 7. 学完直角三角形的性质后，某研究性学习小组为测量学校A与河对岸公园B之间的距离，在学校附近选一点C，测量出，利用测量仪器测得，则学校与公园之间的直线距离等于（　　） A. B. C. D. 8. 小明要从甲地到乙地，两地相距1.8千米．已知他步行的平均速度为90米/分，跑步的平均速度为210米/分，若他要在不超过15分钟的时间内从甲地到达乙地，至少需要跑步多少分钟？设他需要跑步x分钟，则列出的不等式为（　　） A 210x+90（15﹣x）≥1800 B. 90x+210（15﹣x）≤1800 C. 210x+90（15﹣x）≥1.8 D. 90x+210（15﹣x）≤1.8 9. 如图，在三角形中，，将三角形沿着射线方向平移，得到三角形，已知，则阴影部分的周长为（ ） A B. C. D. 10. 如图，P是平分线上一点，，，在绕点P旋转过程中始终保持不变，其两边和，分别相交于M，N，下列结论：是等边三角形；的值不变；；四边形 面积不变．其中正确结论的个数为（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本题共5个题．每题2分，计10分请将正确的答案填写在横线上．） 11. 已知关于x不等式的解集是，则a的值为_____________. 12. 如图，已知中，，，将绕点逆时针旋转 到的位置，连接，则的长为___________． 13. 如图，函数y＝2x和y＝ax＋4的图象相交于点A（m，3），则不等式2x＜ax＋4的解集是_____________． 14. 如图，在中，，以B为圆心，适当长为半径画弧交于点M，交于点N，分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点D，射线交于点E，点F为的中点，连接，若，则的长是______. 15. 定义新运算：对于任意实数a，b都有：，其中等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．如：，那么不等式的最小整数解为___________． 三、解答题（本题共2个题．16题每题4分，17题8分，计20分．解答应写出必要的文字说明、演算步骤．） 16. （1）解不等式：，并把它的解集表示在数轴上． （2）解不等式，并写出正整数解的个数． （3）解不等式组，并写出x的非负整数解． 17. 嘉淇准备完成题目：解不等式组时，发现常数“□”印刷不清楚． （1）他把“□”猜成，请你解不等式组； （2）王老师说：不等式组的解集是，请求常数“□”的取值范围． 四、解答题（本题共1个题．18题计6分．解答应写出必要的文字说明、演算步骤．） 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，， （1）若点的坐标为，画出经过平移后得到的，并写出点的坐标； （2）若绕着坐标原点按逆时针方向旋转得到，画出，并写出点的坐标． 五、解答题（本题共3个题．19题6分，20题8分，21题8分，计22分．解答应写出必要的文字说明、演算步骤．） 19. 期中考试后，某班班主任对在期中考试中取得优异成绩的同学进行表彰．她到商场购买了甲、乙两种笔记本作为奖品，甲种笔记本每本10元，乙种笔记本每本5元，两种笔记本均受到了获奖同学的喜爱，班主任决定在期末考试后再次购买两种笔记本共35本，正好赶上商场对商品价格进行调整，甲种笔记本售价比上一次购买时降价元，乙种笔记本按上一次购买时售价的折出售．如果班主任此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过元，求最多能购买多少本甲种笔记本？ 20. 如图，在中，是边上的高线，是中线，且于，． （1）求证：是的中点； （2）求证． 21. 某学校计划购买若干台电脑，现从甲、乙两家商场了解到同一型号电脑每台报价均为元，并且多买都有一定的优惠．各商场的优惠条件如下表所示： 商 场 优惠条件 甲商场 第一台按原价收费，其余每台优惠 乙商场 每台优 （1）分别写出甲、乙两商场的收费元与所买电脑台数之间的关系式； （2）什么情况下到甲商场购买更优惠？ 六、探究题（本题共2个题．22题10分，23题12分，计22分．解答应写出必要的文字说明、演算步骤．） 在学习了“三角形的证明”一章后，小颖对特殊三角形进行了如下研究： 如图1，和都是等边三角形． 22. 【探究发现】 （1）与是否全等?若全等，加以证明；若不全等，请说明理由． 【拓展运用】 23. （2）若B、C、E三点不在一条直线上，，，，求的长． 24. （3）若B、C、E三点在一条直线上（如图2），且和的边长分别为2和3，直接写出的长． 25. 【发现问题】（1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，在中，，，求边上的中线的取值范围． 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到E，使得； ②连接，通过三角形全等把转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是 ． 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （2）如图2，是中线，是的中线，且，下列四个选项中：直接写出所有正确选项的序号是 ． ①；②；③；④； 【问题拓展】 （3）如图3，，与互补，连接，E是的中点，求证： ． （4）如图4，在（3）的条件下，若，延长交于点F，，，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年度第二学期期中质量检测 八年级数学试卷 亲爱的同学，这份试卷将记录你的自信、沉着、智慧和收获． 我们一直投给你信任的目光．请认真审题，看清要求，仔细答题． 预祝你取得好成绩！ 考试时间：90分钟 试卷满分：100分 一、选择题（本题共10个题．每题2分，计20分．每小题的四个选项中只有一个符合题意，请将符合题目要求答案的英文字母代号填写在括号内．） 1. 若，则下列不等式不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质判断选择即可．本题考查了不等式的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】∵， ∴一定成立， 故A不符合题意； ∵， ∴， 故B不符合题意； ∵， ∴， 故C不符合题意； ∵， ∴不一定成立，符合题意， 故D符合题意； 故选D． 2. 在下列四个图案中，是中心对称图形的是（　　） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形，根据中心对称图形的定义判断即可，解题的关键是正确理解中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案． 【详解】、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 故选：． 3. 已知两个不等式解集在数轴上如图表示，那么这个解集为（ ） A. ＜-1 B. ≤2 C. -1＜≤2 D. ≤-1 【答案】A 【解析】 【分析】根据在数轴上表示不等式解集的方法得出该不等式即可． 【详解】解：∵出是空心原点，且这线向左， ∴x<-1， 故选A． 【点睛】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知实心原点与空心原点的区别是解答此题的关键． 4. 下列命题：①等腰三角形两腰上高相等；②若，则；③全等三角形对应角相等；④直角三角形两锐角互余．其中原命题与逆命题均为真命题的个数有（ ）． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】先判断出原命题的正误，再把正确的命题写出其逆命题，判断出其正误即可． 【详解】解：①等腰三角形两腰上高相等，是真命题， 逆命题为：两边高相等的三角形是等腰三角形，是真命题； ②若，且，则，是假命题； 逆命题为：若，则，是真命题； ③全等三角形对应角相等，是真命题， 逆命题为：对应角相等的三角形是全等三角形，是假命题； ④直角三角形两锐角互余，是真命题； 逆命题为：两锐角互余三角形是直角三角形，是真命题． 故选：B． 【点睛】本题考查的是命题与定理，掌握等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，直角三角形的两锐角互余，不等式的性质是解题的关键． 5. 在中，，的垂直平分线与直线所成的角为，则等于（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质， 熟知线段垂直平分线上任意一点， 到线段两端点的距离相等是解答此题的关键 ．由于的形状不能确定， 故应分是锐角三角形与钝角三角形两种情况进行讨论 ． 【详解】解： 如图①， 当的中垂线与线段相交时， 则可得， ， ， ， ； 如图②， 当的中垂线与线段的延长线相交时， 则可得， ， ， ， ， ． 底角为或． 故选：B． 6. 下列不等式中，解集不同的是（    ）. A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】D 【解析】 【分析】分别求出每个选项中每一个不等式的解集，再比较即可． 【详解】A．不等式的解集是，的解集是，解集相同，故不符合题意； B．的解集是，与相同，故不符合题意； C．的解集是，与相同，故不符合题意； D．的解集是，与不相同，故符合题意． 故选D． 【点睛】本题考查解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的一般步骤是解题的关键． 7. 学完直角三角形的性质后，某研究性学习小组为测量学校A与河对岸公园B之间的距离，在学校附近选一点C，测量出，利用测量仪器测得，则学校与公园之间的直线距离等于（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】题目主要考查含30度角的直角三角形的性质及勾股定理解三角形，根据题意得出，再利用勾股定理求解即可 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴即， 解得：， ∴， 故选：C 8. 小明要从甲地到乙地，两地相距1.8千米．已知他步行的平均速度为90米/分，跑步的平均速度为210米/分，若他要在不超过15分钟的时间内从甲地到达乙地，至少需要跑步多少分钟？设他需要跑步x分钟，则列出的不等式为（　　） A. 210x+90（15﹣x）≥1800 B. 90x+210（15﹣x）≤1800 C. 210x+90（15﹣x）≥1.8 D. 90x+210（15﹣x）≤1.8 【答案】A 【解析】 【分析】根据跑步路程加上步行的路程大于等于两地距离列不等式即可． 【详解】解：由题意可得 210x+90（15﹣x）≥1800， 故选：A． 【点睛】本题考查的知识点是一元一次不等式的实际应用，找出题目中的不等关系是解此题的关键． 9. 如图，在三角形中，，将三角形沿着射线方向平移，得到三角形，已知，则阴影部分的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质；根据平移的性质即可求解． 【详解】解：由平移知，，， ∴， ∴阴影部分的周长； 故选：A． 10. 如图，P是平分线上一点，，，在绕点P旋转的过程中始终保持不变，其两边和，分别相交于M，N，下列结论：是等边三角形；的值不变；；四边形 面积不变．其中正确结论的个数为（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．如图作于E，于F．只要证明，再证明，即可一一判断． 【详解】解：作于E，于F，如图所示： ， ， ， ， ， 平分，于E，于F， ，， ∴， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ，，， ， 是等边三角形，故正确； ， 定值，故正确； ，故正确； M，N的位置变化， 的长度是变化的，故错误； 故选：C． 二、填空题（本题共5个题．每题2分，计10分请将正确的答案填写在横线上．） 11. 已知关于x的不等式的解集是，则a的值为_____________. 【答案】3 【解析】 【分析】解不等式x+1＜2a得x＜2a-1，得到2a-1=5，然后解方程即可． 【详解】解：解不等式x+1＜2a，得x＜2a-1． ∵不等式x+1＜2a的解集是x＜5， ∴2a-1=5． ∴a=3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了不等式的解集，属于基础题，关键是掌握不等式的基本性质． 12. 如图，已知中，，，将绕点逆时针旋转 到的位置，连接，则的长为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，勾股定理，线段垂直平分线，旋转的知识，解题的关键是熟练掌握相关知识的联系与运用．连接，根据勾股定理求出，根据旋转的性质，，且，根据等边三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，则垂直平分，再根据勾股定理，求出，最后根据，即可． 【详解】解：连接，设与的交点为点， ∵，， ∴， ∵绕点逆时针旋转 到的位置， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 如图，函数y＝2x和y＝ax＋4的图象相交于点A（m，3），则不等式2x＜ax＋4的解集是_____________． 【答案】x＜ 【解析】 【分析】先根据函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），求出m的值，从而得出点A的坐标，再根据函数的图象即可得出不等式2x＜ax+4的解集． 【详解】解：∵函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3）， ∴3=2m， 解得m， ∴点A的坐标是（，3）， ∴不等式2x＜ax+4的解集为x＜ 【点睛】此题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 14. 如图，在中，，以B为圆心，适当长为半径画弧交于点M，交于点N，分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点D，射线交于点E，点F为的中点，连接，若，则的长是______. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查角平分线尺规作图，等腰三角形底边上三线合一，勾股定理，直角三角形斜边上中线等于斜边一半，根据题意综合运用这些知识点是解题关键． 根据作图得到是的角平分线，结合可得，，根据勾股定理即可得到，根据F为的中点得到，即可得到答案． 【详解】解：∵以B为圆心，适当长为半径画弧交于点M，交于点N，分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点D，射线交于点E， ∴是的角平分线， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵F为的中点，， ∴， 故答案为：． 15. 定义新运算：对于任意实数a，b都有：，其中等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．如：，那么不等式的最小整数解为___________． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查定义新运算，求不等式的整数解，根据新运算的法则，列出不等式，进而求出不等式的解集，确定最小整数解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：， ∴最小整数解为：0， 故答案为：0． 三、解答题（本题共2个题．16题每题4分，17题8分，计20分．解答应写出必要的文字说明、演算步骤．） 16. （1）解不等式：，并把它的解集表示在数轴上． （2）解不等式，并写出正整数解的个数． （3）解不等式组，并写出x的非负整数解． 【答案】（1），数轴表示见解析；（2），5个；（3），非负整数解为0，1 【解析】 【分析】（1）根据一元一次不等式的解法，去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可，再按照数轴表示不等式解集的方法画出数轴即可得到答案； （2）根据一元一次不等式的解法，去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可，再列举出满足解集的正整数解即可得到答案； （3）根据一元一次不等式组的解法，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了，确定不等式组的解集，进而求出正整数即可得到答案． 【详解】解：（1）， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， ， 在数轴上表示不等式解集为： ； （2）， 去分母得， 去括号得， 移项得， ， 满足题意的正整数解为，共5个； （3）， 由①得：， 由②得：， 不等式组的解集为， 的非负整数解为0，1． 【点睛】本题考查解一元一次不等式及不等式组，涉及数轴表示不等式的解集、求不等式的正整数解、求不等式组的非负整数解等知识，熟练掌握一元一次不等式及不等式组的解法是解决问题的关键． 17. 嘉淇准备完成题目：解不等式组时，发现常数“□”印刷不清楚． （1）他把“□”猜成，请你解不等式组； （2）王老师说：不等式组的解集是，请求常数“□”的取值范围． 【答案】（1） （2）“□”的取值范围为大于等于 【解析】 【分析】（1）根据题意求不等式的解集即可； （2）先求出各个不等式的解集，然后由不等式组的解集求解即可． 【小问1详解】 解：解不等式，得 解不等式，得 所以不等式组的解集是 【小问2详解】 设常数“□”为a， 解不等式，得 又因为不等式的解集为， 不等式组的解集为， 所以， 解得，． ∴“□”的取值范围为大于等于． 【点睛】题目主要考查求不等式组的解集及其相关参数，熟练掌握求不等式组解集的方法是解题关键． 四、解答题（本题共1个题．18题计6分．解答应写出必要的文字说明、演算步骤．） 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，， （1）若点的坐标为，画出经过平移后得到的，并写出点的坐标； （2）若绕着坐标原点按逆时针方向旋转得到，画出，并写出点的坐标． 【答案】（1）画图见解析， （2）画图见解析， 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质作图，可得出点的坐标． （2）根据旋转的性质作图，可得出点的坐标． 【小问1详解】 解：如图，即为所求． 点的坐标为； 【小问2详解】 如图，即为所求． 点的坐标为． 【点睛】本题考查作图平移变换和旋转变换，熟练掌握平移和旋转变换的性质是解答本题的关键． 五、解答题（本题共3个题．19题6分，20题8分，21题8分，计22分．解答应写出必要的文字说明、演算步骤．） 19. 期中考试后，某班班主任对在期中考试中取得优异成绩的同学进行表彰．她到商场购买了甲、乙两种笔记本作为奖品，甲种笔记本每本10元，乙种笔记本每本5元，两种笔记本均受到了获奖同学的喜爱，班主任决定在期末考试后再次购买两种笔记本共35本，正好赶上商场对商品价格进行调整，甲种笔记本售价比上一次购买时降价元，乙种笔记本按上一次购买时售价的折出售．如果班主任此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过元，求最多能购买多少本甲种笔记本？ 【答案】最多需要购买本甲种笔记本 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用，读懂题意，设能购买本甲种笔记本，由班主任此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过元，列出不等式求解即可得到答案，实际应用题中的取值是解决问题的关键． 【详解】解：设能购买本甲种笔记本， 根据题意得， 解得 ， ∴取最大整数为， 答：最多需要购买本甲种笔记本． 20. 如图，在中，是边上的高线，是中线，且于，． （1）求证：是的中点； （2）求证． 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析． 【解析】 【分析】（）连接，由直角三角形的性质可得，由是中线得，进而可得，即得，再根据三角形三线合一即可求证； （）由等腰三角形的性质得，，再根据三角形外角性质即可求证； 本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【小问1详解】 证明：连接， ∵是的中线， ∴是的中线， ∵是高， ∴， ∴， ∵是中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即是的中点； 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 21. 某学校计划购买若干台电脑，现从甲、乙两家商场了解到同一型号电脑每台报价均为元，并且多买都有一定的优惠．各商场的优惠条件如下表所示： 商 场 优惠条件 甲商场 第一台按原价收费，其余每台优惠 乙商场 每台优 （1）分别写出甲、乙两商场的收费元与所买电脑台数之间的关系式； （2）什么情况下到甲商场购买更优惠？ 【答案】（1）， （2）当购买电脑大于台时，在甲商场购买比较优惠． 【解析】 【分析】本题考查一次函数的知识，解题的关键是理解题意，根据题意，利用函数的思想解决问题，即可． （1）根据题意，列出相应的函数关系式，即可； （2）根据（1）中的函数关系式，列出相应的不等式，即可． 【小问1详解】 甲商场的收费元与所买电脑台数之间的关系式是：； 乙商场的收费元与所买电脑台数之间的关系式是：． 【小问2详解】 当时，，解得：； 当时，，解得：； 当时，，解得：； 答：当购买电脑大于台时，在甲商场购买比较优惠． 六、探究题（本题共2个题．22题10分，23题12分，计22分．解答应写出必要的文字说明、演算步骤．） 在学习了“三角形的证明”一章后，小颖对特殊三角形进行了如下研究： 如图1，和都是等边三角形． 22. 【探究发现】 （1）与是否全等?若全等，加以证明；若不全等，请说明理由． 【拓展运用】 23. （2）若B、C、E三点不在一条直线上，，，，求的长． 24. （3）若B、C、E三点在一条直线上（如图2），且和的边长分别为2和3，直接写出的长． 【答案】22. ，理由见解析 23. 24. 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理等，第（3）小题巧作辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）依据等式的性质可证明，然后依据可证明； （2）由（1）知：，利用勾股定理计算的长，可得的长； （3）过点A作于F，先根据平角的定义得，利用特殊角的三角函数可得和的长，最后根据勾股定理可得的长． 【22题详解】 解：全等，理由是： 和都是等边三角形， ，，， ， ， 在和中， ， ， 【23题详解】 解：由（1）得：， ， 是等边三角形， ，， ， ， 在中，，， ， ； 【24题详解】 解：如图，过点A作于F， B、C、E三点在一条直线上， ， 和都是等边三角形， ， ， 在中，， ，，， 在中，， ． 25. 【发现问题】（1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，在中，，，求边上的中线的取值范围． 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到E，使得； ②连接，通过三角形全等把转化中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是 ． 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （2）如图2，是中线，是的中线，且，下列四个选项中：直接写出所有正确选项的序号是 ． ①；②；③；④； 【问题拓展】 （3）如图3，，与互补，连接，E是的中点，求证： ． （4）如图4，在（3）的条件下，若，延长交于点F，，，求的面积． 【答案】（1）；（2）①④；（3）见解析；（4） 【解析】 【分析】（1）由题意知，，则，，，由，可得，求解作答即可； （2）如图2，延长到，使，连接，证明，则，，，由，，可得，进而可证，则，，可判断①、④的正误；由，可知当时，，由，的关系未知，可判断②、③的正误； （3）如图3，延长到点P，使，连接，证明，则，可证，则，由与互补，可得，则，证明，可得，进而可得； （4）如图4，由，，可得，，，由，可得，即，，由，根据，求解作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， 故答案为：； （2）解：如图2，延长到，使，连接， ∵，，， ∴， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴，，①④正确，故符合要求； ∵， ∴当时，， ∵，的关系未知， ∴②③错误，故不符合要求； 故答案为：①④； （3）证明：如图3，延长到点P，使，连接， ∵E是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵与互补， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （4） 解：如图4， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系的应用，三角形外角的性质，平行线的判定与性质等知识．熟练掌握全等三角形的判定与性质，三角形三边关系的应用，三角形外角的性质，平行线的判定与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$