专题03 代数方程 概率初步（5大核心考点）-【暑假自学课】2024年新九年级数学暑假提升精品讲义（沪教版）

专题03 代数方程 概率初步 目录 考点聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 学以致用：真题感知+提升专练，全面突破 核心考点聚焦 1、整式方程的概念 2、分式、无理、二元二次方程组的概念及解法 3、列方程（组）解应用题 4、事件的分类与可能性 5、求概率、用频率估计概率 中考考点聚焦 常考考点 真题举例 换元法 2023·上海·中考真题 解无理方程 2023、2021·上海·中考真题 解二元二次方程组 2022·上海·中考真题 求概率 2023、2021·上海·中考真题 一、整式方程 1. 一元整式方程：如果方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式,这个方程叫做一元整式方程; 2.一元n次方程：一元整式方程中含未知数的项的最高次数是(是正整数),这个方程叫做一元次方程. 3.一元高次方程：一元整式方程中含有未知数的项的最高次数是，若次数是大于2的正整数，这样的方程统称为一元高次方程。 【规律方法】 一元高次方程应具备：整式方程;只含一个未知数;含未知数的项最高次数大于2次. 4.二项方程概念：如果一元n次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程. 【规律方法】 注 ：①=0（a≠0）是非常特殊的n次方程，它的根是0.②这里所涉及的二项方程的次数不超过6次. 5.解的情况： 当n为奇数时，方程有且只有一个实数根，； 当n为偶数时，如果ab<0，那么方程有两个实数根，且这两个根互为相反数；如果ab>0，那么方程没有实数根. 6.双二次方程概念：只含有偶数次项的一元四次方程. 【规律方法】 当常数项不是0时，规定它的次数为0. 7.解双二次方程的常用方法：因式分解法与换元法（目的是降次，使它转化为一元一次方程或一元二次方程）通过换元，把双二次方程转化为一元方程体现了“降次”的策略。 【规律方法】 解高于一次的方程，基本思想就是“降次”，对有些高次方程，可以用因式分解的方法降次。用因式分解的方法时要注意：一定要使方程的一边为零，另一边可以因式分解。 二、分式方程 1.分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 【规律方法】 （1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数. （2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程. （3）分式方程和整式方程看联系：分式方程可以转化为整式方程. 2.分式方程的解法 1、解分式的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根. 2、解分式方程的一般步骤： （1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）； （2）解这个整式方程，求出整式方程的解； （3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 【规律方法】 1、熟练掌握用“去分母”法求解分式方程的方法. 2、了解用“换元法”解特殊的分式方程（组）. 3、领会分式方程“整式化”的化归思想和方法. 3.解分式方程产生增根的原因 方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根. 产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根. 【规律方法】 （1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得方程是原方程的同解方程.如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根. （2）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的. 三、无理方程 1.无理方程：方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程. 【规律方法】简单说，根号下含有未知数的方程，就是无理方程． 2.有理方程 ：整式方程和分式方程统称为有理方程. 3.代数方程：有理方程和无理方程统称为代数方程. 【规律方法】代数方程的共同点是：其中对未知数所涉及的运算是加、减、乘、除、乘方、开方等基本运算. 4.含有一个根式（根式内有未知数的）的无理方程的解题步骤： ①移项，使方程左边是含未知数的根式，其余都移到另一边； ②两边同时乘方（若二次根式就平方，三次根式就立方）得整式方程； ③解整式方程； ④验根； ⑤写答案. 【规律方法】 解简单无理方程的一般步骤，用流程图表示为： 5.含有两个根式（根式内含有未知数）的无理方程的解题步骤： ①移项，使方程等式的左边只含一个根式，其余移到另一边； ②两边同时平方，得到只含有一个根式的无理方程； 以下与1步骤相同. 【规律方法】 解无理方程的关键在于把它转化为有理方程，转化的基本方法是对方程两边同时乘方从而去掉根号，对于简单的无理方程，可通过“方程两边平方”来实施。 四、二元二次方程组 1. 二元二次方程定义：仅含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫做二元二次方程. 【规律方法】 （a、b、c、d、e、f都是常数，且a、b、c中至少有一个不为零），其中叫做这个方程的二次项，a、b、c分别叫做二次项系数，叫做这个方程的一次项，d、e分别叫做一次项系数，f叫做这个方程的常数项. 2.二元二次方程的解 能使二元二次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元二次方程的解. 【规律方法】 二元二次方程有无数个解；二元二次方程的实数解的个数有多种情况. 3.二元二次方程组概念：仅含有两个未知数，各方程都是整式方程，并且含有未知数的项的最高次数为2，这样的方程组叫做二元二次方程组. 【规律方法】 不能认为由两个二元二次方程组成的方程组才叫二元二次方程组，由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，也是二元二次方程组. 4. 二元二次方程组的解: 方程组中所含各方程的公共解叫做这个方程组的解. 1. 代入消元法 代入消元法解“二·一”型二元二次方程组的一般步骤： ①把二元一次方程中的一个未知数用另一个未知数的代数式表示； 　②把这个代数式代入二元二次方程，得到一个一元二次方程； 　③解这个一元二次方程，求得未知数的值； 　④把所求得的未知数的值分别代入二元一次方程，求得另一个未知数的值； 　⑤所得的一个未知数的值和相应的另一个未知数的值分别组在一起，就是原方程组的解； ⑥写出原方程组的解. 【规律方法】 （1）解一元二次方程、分式方程和无理方程的知识都可以运用于解“二·一”型方程组； （2）“二·一”型方程组最多有两个解，要防止漏解和增解的错误. 2. 因式分解法 　(1) 当方程组中只有一个可分解为两个二元一次方程的方程时，可将分解得到的两个二元一次方程分别与原方程组中的另一个二元二次方程组成两个“二·一”型方程组，解得这两个“二·一”型方程组，所得的解都是原方程组的解. 　　(2) 当方程组中两个二元二次方程都可以分解为两个二元一次方程时，将第一个二元二次方程分解所得到的每一个二元一次方程与第二个二元二次方程分解所得的每一个二元一次方程组成新的方程组，可得到四个二元一次方程组，解这四个二元一次方程组，所得的解都是原方程组的解. 5.方程（组）的应用 应用二元二次方程组解应用题的一般步骤： （1）审题；（2）设未知数（2个）；（3）列二元二次方程组；（4）解方程组；（5）检验是否是方程的解以及是否符合实际；（6）写出答案. 【规律方法】 一定要检验一下结果是否符合实际问题的要求. 五、必然事件、不可能事件和随机事件 1.定义： （1）必然事件 在一定条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件，叫做必然事件． （2）不可能事件 在每次试验中都不会发生的事件叫做不可能事件． （3）随机事件 在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件. 【规律方法】 1.必然发生的事件和不可能发生的事件均为“确定事件”，随机事件又称为“不确定事 件”； 2.要知道事件发生的可能性大小首先要确定事件是什么类型.一般地，必然发生的事件发生的可能性最大，不可能发生的事件发生的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同. 六、概率的意义 概率是从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小.一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数附近，那么这个常数就叫做事件A的概率(probability)，记为. 【规律方法】 (1)概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值； (2)概率反映了随机事件发生的可能性的大小； (3) 事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，，即，其中P(必然事件)=1，P(不可能事件)=0，0<P(随机事件)<1. 七、古典概型 满足下列两个特点的概率问题称为古典概型. （1） 一次试验中，可能出现的结果是有限的； （2） 一次试验中，各种结果发生的可能性相等的. 古典概型可以从事件所包含的各种可能的结果在全部可能的试验结果中所占的比例分析事件的概率. 【规律方法】如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P（A）=. 八、用列举法求概率 常用的列举法有两种：列表法和树形图法. 1. 列表法： 　　当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法. 列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法. 【规律方法】（1）列表法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题； （2）列表法适用于涉及两步试验的随机事件发生的概率. 2. 树形图：当一次试验要涉及3个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图. 树形图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法. 【规律方法】(1) 树形图法同样适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题； （2）在用列表法或树形图法求可能事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同. 九、利用频率估计概率 当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率. 【规律方法】用试验去估计随机事件发生的概率应尽可能多地增加试验次数，当试验次数很大时，结果将较为精确. 1、解无理方程时由于在方程的一边含有两个根式，直接平方将很困难．这时通常采用把一个根式移到另一边再平方的方法，这样就可以转化为上例的模式. 2、解二元二次方程时消x还是消y，应由二元一次方程的系数来决定．若系数均为整数，那么最好消去系数绝对值较小的，如本题中方程2x-y=0，可以消去y，变形得y=2x，再代入消元；消元后，求出一元二次方程的根，应代入二元一次方程求另一未知数的值，不能代入二元二次方程求另一未知数的值，因为这样可能产生增根，这一点要切记． 真题感知 1．（2023•上海）在分式方程5中，设y，可得到关于y的整式方程为（　　） A．y2+5y+5＝0 B．y2﹣5y+5＝0 C．y2+5y+1＝0 D．y2﹣5y+1＝0 2．（2023•上海）已知关于x的方程2，则x＝　 　． 3．（2022•上海）解方程组：的结果为 　 　． 4．（2021•上海）已知3，则x＝　 　． 5．（2023•上海）在不透明的盒子中装有一个黑球，两个白球，三个红球，四个绿球，这十个球除颜色外完全相同．那么从中随机摸出一个球是绿球的概率为 　 　． 6．（2021•上海）已知数据1、1、2、3、5、8、13、21、34，从这些数据中选取一个数据，得到偶数的概率为 　 　． 提升专练 一、单选题 1．下列说法正确的是（    ） A．是二元二次方程 B．是二项方程 C．是分式方程 D．是无理方程 2．下列事件中，必然事件是（    ） A．随机购买一张电影票，座位号恰好是偶数 B．抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后反面朝上 C．在只装有2个黄球和3个白球的盒子中，摸出一个球是红球 D．在平面内画一个三角形，该三角形的内角和等于 3．小明在解方程组的过程中，以下说法错误的是（    ） A．可得，再用代入消元法解 B．令，，可用换元法将原方程组化为关于、的二元一次方程组 C．由得，再代入，可得一个关于的分式方程，亦可求解 D．经检验：是方程组的一组解 4．下列方程有实数解的是（    ） A． B． C． D． 5．张老师和李老师同时从学校出发，步行15千米去书店购买书籍，张老师比李老师每小时多走1千米，结果比李老师早到半小时，两位老师每小时各走多少千米？设李老师每小时走x千米，根据题意，所列的方程是（　　） A． B． C． D． 6．如果，且，则的值可能是（   ） A．-     B．1 C． D．以上都无可能 二、填空题 7．试写出一个二项方程，使得它有一个解为x=1，这个二项方程可以是 ． 8．方程的根是 ． 9．写出一个由二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组 ，使它的解是和． 10．在一个不透明袋子中，装有2个红球和一些白球，这些球除颜色外其他都一样，如果从袋中随机摸出一个球是红球的概率为，那么白球的个数是 ． 11．方程的解为 ． 12．用换元法解方程＝3时，设＝y，那么原方程化成关于y的整式方程是 ． 13．在四张完全相同的卡片上分别印有等边三角形、圆、平行四边形、等腰梯形的图案，现将印有图案的一面朝下，混合后随机抽取一张，则抽到的卡片上印有的图案是中心对称图形的概率是 ． 14．如果关于x的方程的一个根为3，那么a= ． 15．甲、乙两个机器人检测零件，甲比乙每小时多检测20个，甲检测300个比乙检测200个所用的时间少，若设甲每小时检测个，则根据题意，可列出方程： ． 16．如果解方程会产生增根，那么的值是 ． 17．关于x、y的方程组有实数解，则m的取值范围是 ． 18．观察下列方程：①x+=3；②x+=5；③x+=7，可以发现它们的解分别是①x=1或2；②x=2或3；③x=3或4．利用上述材料所反映出来的规律，可知关于x的方程x+=2n+4(n为正整数)的解x= ． 三、解答题 19．解方程：． 20．解方程： +=1． 21．解方程组：． 22．若关于x的方程无解，求实数的值． 23．k为何值时，方程组． （1）有两组相等的实数解； （2）有两组不相等的实数解； （3）没有实数解． 24．某中学为配合开展“垃圾分类进校园”活动，新购买了一批不同型号的垃圾分类桶，学校先用4050元购买了一批给班级使用的小号垃圾桶，再用5400元购买了一批放在户外永久使用的大号垃圾桶，已知每个大号垃圾桶的价格是小号垃圾桶的4倍，且购买的数量比小号垃圾桶少60个，求每个小号垃圾桶的价格是多少元？ 25．木盒里有红球和白球，共4个，每个球除了颜色外其他都相同．从盒子里先摸出一个球，放回去摇匀后，再摸出一个球，继续放回去摇匀后，再摸第3次、第4次… (1)甲同学摸球10次，都没有摸到红球，于是他就判断“摸到红球”是“不可能事件”．他的判断正确吗？ (2)如果盒子里有3个红球、1个白球，乙同学按照摸球的规则，摸球2次，那么摸到一个红球和1个白球的概率是多少？（用列表展现所有等可能的结果） 26．对于两个不相等的非零实数m、n，分式的值为零，则或，又因为，所以关于x的方程有两个解，分别为，．应用上面的结论解答下列问题： (1)方程有两个解，分别为________，________； (2)关于x的方程的两个解分别为，，若与互为倒数且，则________，________； (3)关于x的方程的两个解分别为，（），求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 代数方程 概率初步 目录 考点聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 学以致用：真题感知+提升专练，全面突破 核心考点聚焦 1、整式方程的概念 2、分式、无理、二元二次方程组的概念及解法 3、列方程（组）解应用题 4、事件的分类与可能性 5、求概率、用频率估计概率 中考考点聚焦 常考考点 真题举例 换元法 2023·上海·中考真题 解无理方程 2023、2021·上海·中考真题 解二元二次方程组 2022·上海·中考真题 求概率 2023、2021·上海·中考真题 一、整式方程 1. 一元整式方程：如果方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式,这个方程叫做一元整式方程; 2.一元n次方程：一元整式方程中含未知数的项的最高次数是(是正整数),这个方程叫做一元次方程. 3.一元高次方程：一元整式方程中含有未知数的项的最高次数是，若次数是大于2的正整数，这样的方程统称为一元高次方程。 【规律方法】 一元高次方程应具备：整式方程;只含一个未知数;含未知数的项最高次数大于2次. 4.二项方程概念：如果一元n次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程. 【规律方法】 注 ：①=0（a≠0）是非常特殊的n次方程，它的根是0.②这里所涉及的二项方程的次数不超过6次. 5.解的情况： 当n为奇数时，方程有且只有一个实数根，； 当n为偶数时，如果ab<0，那么方程有两个实数根，且这两个根互为相反数；如果ab>0，那么方程没有实数根. 6.双二次方程概念：只含有偶数次项的一元四次方程. 【规律方法】 当常数项不是0时，规定它的次数为0. 7.解双二次方程的常用方法：因式分解法与换元法（目的是降次，使它转化为一元一次方程或一元二次方程）通过换元，把双二次方程转化为一元方程体现了“降次”的策略。 【规律方法】 解高于一次的方程，基本思想就是“降次”，对有些高次方程，可以用因式分解的方法降次。用因式分解的方法时要注意：一定要使方程的一边为零，另一边可以因式分解。 二、分式方程 1.分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 【规律方法】 （1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数. （2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程. （3）分式方程和整式方程看联系：分式方程可以转化为整式方程. 2.分式方程的解法 1、解分式的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根. 2、解分式方程的一般步骤： （1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）； （2）解这个整式方程，求出整式方程的解； （3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 【规律方法】 1、熟练掌握用“去分母”法求解分式方程的方法. 2、了解用“换元法”解特殊的分式方程（组）. 3、领会分式方程“整式化”的化归思想和方法. 3.解分式方程产生增根的原因 方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根. 产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根. 【规律方法】 （1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得方程是原方程的同解方程.如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根. （2）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的. 三、无理方程 1.无理方程：方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程. 【规律方法】简单说，根号下含有未知数的方程，就是无理方程． 2.有理方程 ：整式方程和分式方程统称为有理方程. 3.代数方程：有理方程和无理方程统称为代数方程. 【规律方法】代数方程的共同点是：其中对未知数所涉及的运算是加、减、乘、除、乘方、开方等基本运算. 4.含有一个根式（根式内有未知数的）的无理方程的解题步骤： ①移项，使方程左边是含未知数的根式，其余都移到另一边； ②两边同时乘方（若二次根式就平方，三次根式就立方）得整式方程； ③解整式方程； ④验根； ⑤写答案. 【规律方法】 解简单无理方程的一般步骤，用流程图表示为： 5.含有两个根式（根式内含有未知数）的无理方程的解题步骤： ①移项，使方程等式的左边只含一个根式，其余移到另一边； ②两边同时平方，得到只含有一个根式的无理方程； 以下与1步骤相同. 【规律方法】 解无理方程的关键在于把它转化为有理方程，转化的基本方法是对方程两边同时乘方从而去掉根号，对于简单的无理方程，可通过“方程两边平方”来实施。 四、二元二次方程组 1. 二元二次方程定义：仅含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫做二元二次方程. 【规律方法】 （a、b、c、d、e、f都是常数，且a、b、c中至少有一个不为零），其中叫做这个方程的二次项，a、b、c分别叫做二次项系数，叫做这个方程的一次项，d、e分别叫做一次项系数，f叫做这个方程的常数项. 2.二元二次方程的解 能使二元二次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元二次方程的解. 【规律方法】 二元二次方程有无数个解；二元二次方程的实数解的个数有多种情况. 3.二元二次方程组概念：仅含有两个未知数，各方程都是整式方程，并且含有未知数的项的最高次数为2，这样的方程组叫做二元二次方程组. 【规律方法】 不能认为由两个二元二次方程组成的方程组才叫二元二次方程组，由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，也是二元二次方程组. 4. 二元二次方程组的解: 方程组中所含各方程的公共解叫做这个方程组的解. 1. 代入消元法 代入消元法解“二·一”型二元二次方程组的一般步骤： ①把二元一次方程中的一个未知数用另一个未知数的代数式表示； 　②把这个代数式代入二元二次方程，得到一个一元二次方程； 　③解这个一元二次方程，求得未知数的值； 　④把所求得的未知数的值分别代入二元一次方程，求得另一个未知数的值； 　⑤所得的一个未知数的值和相应的另一个未知数的值分别组在一起，就是原方程组的解； ⑥写出原方程组的解. 【规律方法】 （1）解一元二次方程、分式方程和无理方程的知识都可以运用于解“二·一”型方程组； （2）“二·一”型方程组最多有两个解，要防止漏解和增解的错误. 2. 因式分解法 　(1) 当方程组中只有一个可分解为两个二元一次方程的方程时，可将分解得到的两个二元一次方程分别与原方程组中的另一个二元二次方程组成两个“二·一”型方程组，解得这两个“二·一”型方程组，所得的解都是原方程组的解. 　　(2) 当方程组中两个二元二次方程都可以分解为两个二元一次方程时，将第一个二元二次方程分解所得到的每一个二元一次方程与第二个二元二次方程分解所得的每一个二元一次方程组成新的方程组，可得到四个二元一次方程组，解这四个二元一次方程组，所得的解都是原方程组的解. 5.方程（组）的应用 应用二元二次方程组解应用题的一般步骤： （1）审题；（2）设未知数（2个）；（3）列二元二次方程组；（4）解方程组；（5）检验是否是方程的解以及是否符合实际；（6）写出答案. 【规律方法】 一定要检验一下结果是否符合实际问题的要求. 五、必然事件、不可能事件和随机事件 1.定义： （1）必然事件 在一定条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件，叫做必然事件． （2）不可能事件 在每次试验中都不会发生的事件叫做不可能事件． （3）随机事件 在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件. 【规律方法】 1.必然发生的事件和不可能发生的事件均为“确定事件”，随机事件又称为“不确定事 件”； 2.要知道事件发生的可能性大小首先要确定事件是什么类型.一般地，必然发生的事件发生的可能性最大，不可能发生的事件发生的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同. 六、概率的意义 概率是从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小.一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数附近，那么这个常数就叫做事件A的概率(probability)，记为. 【规律方法】 (1)概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值； (2)概率反映了随机事件发生的可能性的大小； (3) 事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，，即，其中P(必然事件)=1，P(不可能事件)=0，0<P(随机事件)<1. 七、古典概型 满足下列两个特点的概率问题称为古典概型. （1） 一次试验中，可能出现的结果是有限的； （2） 一次试验中，各种结果发生的可能性相等的. 古典概型可以从事件所包含的各种可能的结果在全部可能的试验结果中所占的比例分析事件的概率. 【规律方法】如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P（A）=. 八、用列举法求概率 常用的列举法有两种：列表法和树形图法. 1. 列表法： 　　当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法. 列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法. 【规律方法】（1）列表法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题； （2）列表法适用于涉及两步试验的随机事件发生的概率. 2. 树形图：当一次试验要涉及3个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图. 树形图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法. 【规律方法】(1) 树形图法同样适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题； （2）在用列表法或树形图法求可能事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同. 九、利用频率估计概率 当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率. 【规律方法】用试验去估计随机事件发生的概率应尽可能多地增加试验次数，当试验次数很大时，结果将较为精确. 1、解无理方程时由于在方程的一边含有两个根式，直接平方将很困难．这时通常采用把一个根式移到另一边再平方的方法，这样就可以转化为上例的模式. 2、解二元二次方程时消x还是消y，应由二元一次方程的系数来决定．若系数均为整数，那么最好消去系数绝对值较小的，如本题中方程2x-y=0，可以消去y，变形得y=2x，再代入消元；消元后，求出一元二次方程的根，应代入二元一次方程求另一未知数的值，不能代入二元二次方程求另一未知数的值，因为这样可能产生增根，这一点要切记． 真题感知 1．（2023•上海）在分式方程5中，设y，可得到关于y的整式方程为（　　） A．y2+5y+5＝0 B．y2﹣5y+5＝0 C．y2+5y+1＝0 D．y2﹣5y+1＝0 【答案】D 【分析】设y，则，原方程可变为：y5，再去分母得y2+1＝5y，即可得出结论． 【解析】解：设y，则， 分式方程5可变为：y5， 去分母得：y2+1＝5y， 整理得：y2﹣5y+1＝0， 故选：D． 【点评】本题考查换元法解分式方程，熟练掌握换元法是解题的关键． 2．（2023•上海）已知关于x的方程2，则x＝　18　． 【答案】18． 【分析】方程两边平方得出x﹣14＝4，求出方程的解，再进行检验即可． 【解析】解：2， 方程两边平方得：x﹣14＝4， 解得：x＝18， 经检验x＝18是原方程的解． 故答案为：18． 【点评】本题考查了解无理方程，能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键，注意：解无理方程一定要进行检验． 3．（2022•上海）解方程组：的结果为 　　． 【答案】． 【分析】由x2﹣y2＝3可知（x+y）（x﹣y）＝3，再根据x+y＝1计算出x﹣y＝3，然后与x+y＝1联立计算即可． 【解析】解：∵x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝3，且x+y＝1， ∴x﹣y＝3， ∴可得方程组， 解得：． 故答案为：． 【点评】本题考查了高次方程组的解法，根据题干寻找解题方向及熟练掌握常见公式如平方差公式等是解题的关键． 4．（2021•上海）已知3，则x＝　5　． 【答案】5． 【分析】根据算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为 进行解答即可． 【解析】解：∵3， ∴x+4＝9 ∴x＝5． 故答案为：5． 【点评】此题考查的是算术平方根的概念，掌握其概念是解决此题关键． 5．（2023•上海）在不透明的盒子中装有一个黑球，两个白球，三个红球，四个绿球，这十个球除颜色外完全相同．那么从中随机摸出一个球是绿球的概率为 　　． 【答案】见试题解答内容 【分析】从中随机摸出一个球共有10种等可能结果，其中是绿球的有4种结果，再根据概率公式求解即可． 【解析】解：由题意知，从中随机摸出一个球共有10种等可能结果，其中是绿球的有4种结果， 所以从中随机摸出一个球是绿球的概率为， 故答案为：． 【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数． 6．（2021•上海）已知数据1、1、2、3、5、8、13、21、34，从这些数据中选取一个数据，得到偶数的概率为 　　． 【答案】． 【分析】用偶数的个数除以数的总数即可求得答案． 【解析】解：∵共有9个数据，其中偶数有3个， ∴从这些数据中选取一个数据，得到偶数的概率为， 故答案为：． 【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/5/22 20:39:51；用户：体验；邮箱：221104@xyh.com；学号：45594736 提升专练 一、单选题 1．下列说法正确的是（    ） A．是二元二次方程 B．是二项方程 C．是分式方程 D．是无理方程 【答案】A 【分析】利用无理方程、高次方程、分式方程、二项方程的定义分别进行判断即可得到答案． 【解析】解：A、含有两个未知数，且未知数的最高次数是，故是二元二次方程，故正确； B、是二次方程，故错误； C、分母里不含未知数，不是分式方程，故错误； D、被开方数不含未知数，不是无理方程，故错误， 故选：A． 【点睛】本题考查了无理方程、高次方程、分式方程、二项方程的定义，解题的关键是熟悉这些方程的定义． 2．下列事件中，必然事件是（    ） A．随机购买一张电影票，座位号恰好是偶数 B．抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后反面朝上 C．在只装有2个黄球和3个白球的盒子中，摸出一个球是红球 D．在平面内画一个三角形，该三角形的内角和等于 【答案】D 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断． 【解析】解：A、随机购买一张电影票，座位号是偶数，是随机事件； B、抛掷一枚质地均匀的硬币，反面朝下，是随机事件； C、在只装有2个黄球和3个白球的盒子中，摸出一个球是红球，是不可能事件； D、在平面内画一个三角形，该三角形的内角和等于，是必然事件； 故选D． 3．小明在解方程组的过程中，以下说法错误的是（    ） A．可得，再用代入消元法解 B．令，，可用换元法将原方程组化为关于、的二元一次方程组 C．由得，再代入，可得一个关于的分式方程，亦可求解 D．经检验：是方程组的一组解 【答案】B 【分析】②①得出，整理后得出，即可判断选项A；换元后得出方程组，即可判断选项B；由①求出，代入②后即可判断选项C；把代入方程组中的两个方程，看看方程的两边是否都相等，即可判断选项D． 【解析】解：， A．②①，得， 整理得：，再用代入消元法解，故本选项不符合题意； B．令，，则原方程组化为： ， 不能得出关于、的二元一次方程组，故本选项符合题意； C．由①得， 把代入②得： ，得出一个关于的分式方程，即可求解，故本选项不符合题意； D．把代入①，得 左边，右边，左边右边， 把代入②，得 左边，右边，左边右边， 所以是方程组的解，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了解分式方程组和方程组的解，能把分式方程组转化成方程和理解方程组的解的定义是解此题的关键． 4．下列方程有实数解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据无理方程、分式方程、一元二次方程、二元一次方程是否有意义的条件，逐项分析解答即可 【解析】A.，即，该方程无意义，即方程没有实数解，故不符合题意； B.，即，且，解得且，方程没有实数解，故不符合题意； C.，，方程没有实数解，故不符合题意； D.是二元一次方程，有无数组实数解，故符合题意 故选：D 【点睛】本题考查了无理方程、分式方程、一元二次方程、二元一次方程是否有意义的条件，熟练掌握各种方程的性质是解决问题的关键 5．张老师和李老师同时从学校出发，步行15千米去书店购买书籍，张老师比李老师每小时多走1千米，结果比李老师早到半小时，两位老师每小时各走多少千米？设李老师每小时走x千米，根据题意，所列的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等量关系“结果比李老师早到半小时”即可列出方程． 【解析】解：李老师所用时间为：，张老师所用的时间为：； 所列方程为：﹣＝． 故选：B． 【点睛】本题考查分式方程的应用，找出题目的等量关系是解题的关键． 6．如果，且，则的值可能是（   ） A．-     B．1 C． D．以上都无可能 【答案】B 【分析】可将方程两边同时平方，从而将无理方程转化为整式方程，运用因式分解法即可得到y与x的关系，从而解决问题. 【解析】将方程两边同时平方，并整理得， （其中3x-2y＞0） 即（9x-4y）(x-y)=0， 解得，，或y=x， 当时，3x-2y=-x， ∵x＞0， ∴ 3x-2y＜0，不符合要求， 当y=x时，3x-2y=x＞0，符合要求. ∴， 故选B. 【点睛】本题主要考查了解无理方程，运用因式分解法解方程，需要注意的是将无理方程转化为整式方程，可能会出现增根，本题需要挖掘出隐含条件3x-2y＞0. 二、填空题 7．试写出一个二项方程，使得它有一个解为x=1，这个二项方程可以是 ． 【答案】x2-1=0（答案不唯一） 【分析】按要求写出二项、有一个解为1的方程即可． 【解析】解：二项方程，使得它有一个解为x=1，这样的方程不唯一， 比如：x2-1=0，x-1=0等， 故答案为：x2-1=0（答案不唯一）． 【点睛】本题考查项及方程的解等概念的应用，属开放性题目，答案不唯一，解题的关键是理解项、方程的解等概念． 8．方程的根是 ． 【答案】 【分析】首先把方程两边同时平方，去掉根号，然后解一元二次方程，最后检验即可求解． 【解析】解：两边平方得，， 移项得：， 即， 解得，， 经检验，是增根， ∴方程的解为． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了解无理方程的方法，解题的关键是利用平方把方程的根号去掉，化无理方程为有理方程． 9．写出一个由二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组 ，使它的解是和． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据方程组的解可得，再由平方差公式得到，则可写出满足条件的一个方程组为． 【解析】解：方程组的解为和， ， ， 方程组可以是， 故答案为：答案不唯一）． 【点睛】本题考查二元二次方程组，熟练掌握二元一次方程和二元一次方程的基本形式，根据所给的条件写出符合题意的方程组是解题的关键． 10．在一个不透明袋子中，装有2个红球和一些白球，这些球除颜色外其他都一样，如果从袋中随机摸出一个球是红球的概率为，那么白球的个数是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了概率的定义．解题的关键与难点在于理解概率的定义，求出球的总数．随机摸出一个球是红球的概率是，可以得到球的总个数，进而得出白球的个数． 【解析】解：设红、白球总共n个，记摸出一个球是红球为事件A， ， 白球有个 故答案为：． 11．方程的解为 ． 【答案】x= 【分析】先方程两边同时除以2，再直接开方求解即可． 【解析】解：2x4=18 x4=9 x2=3 x= 故答案为：x= 【点睛】本题考查解高次方程，掌握直接开方法求解方程是解题的关键． 12．用换元法解方程＝3时，设＝y，那么原方程化成关于y的整式方程是 ． 【答案】 【分析】根据题意，用含y的式子表示出方程并整理方程即可． 【解析】解：设＝y，则． 所以原方程可变形为：． 方程的两边都乘以y，得． 即． 故答案为：． 【点睛】本题考查了换元法，掌握换元法解方程一般步骤及方法是解题的关键． 13．在四张完全相同的卡片上分别印有等边三角形、圆、平行四边形、等腰梯形的图案，现将印有图案的一面朝下，混合后随机抽取一张，则抽到的卡片上印有的图案是中心对称图形的概率是 ． 【答案】/0.5 【分析】本题考查了中心对称图形，概率的求法，掌握概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比是解题关键；直接利用概率公式计算即可； 【解析】解：4个图案中，中心对称图形的有2个，分别是平行四边形、圆， 抽到的卡片上印有的图案是中心对称图形的概率是， 故答案为：； 14．如果关于x的方程的一个根为3，那么a= ． 【答案】3 【分析】根据方程的解的意义，把x=3代入原方程，然后解关于a的方程，解答后，一定要验根. 【解析】∵关于x的方程的一个根为3， ∴x=3一定满足关于x的方程， ∴， 方程的两边同时平方，得 6+a=9，解得a=3； 检验： 将a=3代入原方程得， 左边=， 右边=3， ∴左边=右边， ∴a=3符合题意， 故填：3. 15．甲、乙两个机器人检测零件，甲比乙每小时多检测20个，甲检测300个比乙检测200个所用的时间少，若设甲每小时检测个，则根据题意，可列出方程： ． 【答案】 【解析】【分析】若设甲每小时检测个，检测时间为，乙每小时检测个，检测时间为，根据甲检测300个比乙检测200个所用的时间少，列出方程即可. 【解析】若设甲每小时检测个，检测时间为，乙每小时检测个，检测时间为，根据题意有： . 故答案为 【点评】考查分式方程的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系. 16．如果解方程会产生增根，那么的值是 ． 【答案】 【分析】先去分母，然后再根据会产生增根的条件确定x的值，然后代入方程确定存在增根时k的取值范围． 【解析】解： ∵是分式方程的增根， 把代入整理后的方程得，， 解得， ∴当时，方程会产生增根， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式方程的增根，确定有增根时的x的值是解答本题的关键． 17．关于x、y的方程组有实数解，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由①得出x=m+y③，把③代入②得出y2-2（m+y）+3y+4=0，整理后得出y2+y+（4-2m）=0，根据已知方程组有实数根和根的判别式得出12-4×1×（4-2m）≥0，求出不等式的解集即可． 【解析】解：， 由①，得③， 把③代入②，得， 整理得：， 关于、的方程组有实数解， ， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，根的判别式，解一元一次不等式等知识点，能把方程组转化成一元二次方程是解此题的关键． 18．观察下列方程：①x+=3；②x+=5；③x+=7，可以发现它们的解分别是①x=1或2；②x=2或3；③x=3或4．利用上述材料所反映出来的规律，可知关于x的方程x+=2n+4(n为正整数)的解x= ． 【答案】n+3或n+4 【分析】分别对三个方程式变形，并求三个方程式的解，根据方程的解发现规律即可求解. 【解析】分别对三个方程式变形，并求三个方程式的解： ①x+= x+=1+2，在等式两边同时乘以x， 移项得x2- 3x+2=0，即(x- 2)(x- 3)=0，故解得x = 1或x=2； ②x+= x+=2+3，同理解得x = 2或x =3； ③x+= x+=3+4，同理解得x =3或x =4； 以此类推，第n个方程为：x+= x+， 且解为：x =n或x =n+1； 将方程x+=2n+4两边同时减3，得（x-3）+=2n+1， 根据规律得：x-3 =n或x -3=n+1，即x =n+3或x =n+4. 故答案为：n+3或n+4. 【点睛】此题考查数字的规律，分别对三个方程式变形，并求三个方程式的解发现规律是解答此题的关键. 三、解答题 19．解方程：． 【答案】 【分析】方程两边同乘以（x+1）（x﹣1），得到整式方程，解整式方程，把得到的根代入最简公分母检验即可． 【解析】解：方程两边同乘以（x+1）（x﹣1），得， 即， 整理得， 解得：，， 经检验：是原方程的增根，是原方程的根．   原方程的根是． 【点睛】本题考查的是可化为一元二次方程的分式方程的解法，解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论． 20．解方程： +=1． 【答案】无解 【解析】试题分析：先把移到等号右边，两边平方，再把含根号的项放到等号左边，两边再一次平方化为一个一元二次方程，即可求解，最后要验根. 解：， ， ． ， ， ， 经检验：都是增根，所以原方程无解． 21．解方程组：． 【答案】， 【分析】因式分解组中的方程②，得到两个二元一次方程，再重新与①组成方程组，求解即可． 【解析】解：由②，得（x+3y）（x﹣y）＝0， 所以x+3y＝0③或x﹣y＝0④． 由①③、①④可组成新的方程组： ，． 解这两个方程组，得，． 所以原方程组的解为：，． 【点睛】本题考查了二元二次方程组解法，解题关键是通过因式分解将二元一次方程组转化为两个二元一次方程组解答． 22．若关于x的方程无解，求实数的值． 【答案】或或 【分析】方程去分母转化为整式方程，求出的表达式，根据分式方程无解可得或或的表达式中分母为0，再代入的表达式中即可求出的值． 【解析】解：方程两边同时乘以， 得：， 解得：， 当时，此方程无解，原分式方程也无解，解得：， 当时， 原分式方程无解， ， 或， 当时，，解得：， 当时，，解得：， 综上，的值为或或． 【点睛】本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解的特点，并能分情况进行讨论是解题的关键． 23．k为何值时，方程组． （1）有两组相等的实数解； （2）有两组不相等的实数解； （3）没有实数解． 【答案】（1）k=1；（2）k<1且k≠0；（3）k>1 【分析】（1）将方程组转化为k2x2+（2k﹣4）x+1＝0，用根的判别式，列出方程求解即可； （2）同（1）用根的判别式，列出不等式求解即可； （3）通过讨论k＝0和k≠0，根据方程无实根，确定k的范围即可． 【解析】解：将（2）代入（1），整理得k2x2+（2k-4）x+1=0（3）， （1）当时，方程（3）有两个相等的实数根． 即 解得：，　 ∴当k=1时，原方程组有两组相等的实数根． （2）当时，方程（3）有两个不相等的实数根． 即 解得：， ∴当k<1且k≠0时，原方程组有两组不等实根． （3）①若方程（3）是一元二次方程，无解条件是， 即 解得：，　∴k＞1． ②若方程（3）不是二次方程，则k=0，此时方程（3）为-4x+1=0，它有实数根x=． 综合①和②两种情况可知，当k>1时，原方程组没有实数根． 【点睛】本题考查了二次方程组根的情况，解题关键是把方程组转化为方程，再分类讨论，利用根的判别式进行求解． 24．某中学为配合开展“垃圾分类进校园”活动，新购买了一批不同型号的垃圾分类桶，学校先用4050元购买了一批给班级使用的小号垃圾桶，再用5400元购买了一批放在户外永久使用的大号垃圾桶，已知每个大号垃圾桶的价格是小号垃圾桶的4倍，且购买的数量比小号垃圾桶少60个，求每个小号垃圾桶的价格是多少元？ 【答案】每个小号垃圾桶的价格是45元 【分析】设每个小号垃圾桶的价格是x元，则每个大号垃圾桶的价格是元，由购买大号垃圾桶的数量比小号垃圾桶少60个列出方程解答即可． 【解析】解：设每个小号垃圾桶的价格是x元，则每个大号垃圾桶的价格是元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， 答：每个小号垃圾桶的价格是45元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的相等关系，列方程求解． 25．木盒里有红球和白球，共4个，每个球除了颜色外其他都相同．从盒子里先摸出一个球，放回去摇匀后，再摸出一个球，继续放回去摇匀后，再摸第3次、第4次… (1)甲同学摸球10次，都没有摸到红球，于是他就判断“摸到红球”是“不可能事件”．他的判断正确吗？ (2)如果盒子里有3个红球、1个白球，乙同学按照摸球的规则，摸球2次，那么摸到一个红球和1个白球的概率是多少？（用列表展现所有等可能的结果） 【答案】(1)他的判断不正确 (2) 【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率． （1）根据概率的可能性进行判断即可； （2）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出摸到一个红球和1个白球的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【解析】（1）他的判断不正确，因为此事件是随机事件，不能因为事件发生的可能性小就认为它是不可能事件； （2）根据题意画树状图如下： 共有16种等可能的结果，其中摸到一个红球和一个白球的有6种结果， 所以摸到一个红球和一个白球的概率是． 26．对于两个不相等的非零实数m、n，分式的值为零，则或，又因为，所以关于x的方程有两个解，分别为，．应用上面的结论解答下列问题： (1)方程有两个解，分别为________，________； (2)关于x的方程的两个解分别为，，若与互为倒数且，则________，________； (3)关于x的方程的两个解分别为，（），求的值． 【答案】(1)1，6 (2)，2 (3) 【分析】（1）方程变形后，利用题中的结论确定出方程的解即可； （2）方程变形后，根据利用题中的结论，以及与互为倒数，确定出与的值即可；（3）方程变形后，根据利用题中的结论表示出为、，代入原式计算即可得到结果． 【解析】（1）解：∵，， ∴方程有两个解，分别为， 故答案为：1，6； （2）解：， 方程变形得： 由题中的结论得：有两个解，分别为，2， ∵与互为倒数， ∴， 故答案为：，2； （3）解：， 方程整理得， 得或 可得，． ∴． 【点睛】此题考查了分式方程的解，掌握分式的性质，弄清题中的规律是解本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$