专题02 四边形（6大核心考点）-【暑假自学课】2024年新九年级数学暑假提升精品讲义（沪教版）

专题02 四边形 目录 考点聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 学以致用：真题感知+提升专练，全面突破 核心考点聚焦 1、多边形的内角和与外角和 2、平行四边形的判定与性质 3、特殊平行四边形的判定与性质 4、梯形与特殊梯形的判定与性质 5、三角形的中位线、梯形的中位线 6、平面向量 中考考点聚焦 常考考点 真题举例 矩形的判定 2023·上海·中考真题 特殊梯形的判定与性质 2023·上海·中考真题 平面向量的线性运算 2022·上海·中考真题 平面向量的线性运算 2021·上海·中考真题 一、多边形内角和定理、外角定理 边形的内角和为(－2)·180°(≥3)． 【规律方法】(1)内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数； (2)正多边形的每个内角都相等，都等于； 多边形的外角和为360°．边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关. 二、平行四边形 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 性质： 1．边的性质：平行四边形两组对边平行且相等； 2．角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等； 3．对角线性质：平行四边形的对角线互相平分； 4．平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心. 判定： 1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形； 2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 5.对角线互相平分的四边形是平行四边形. 平行线的性质 1.平行线间的距离都相等 2.等底等高的平行四边形面积相等 三、特殊的平行四边形 矩形、菱形、正方形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 有一组邻边相等并且有一个内角是直角的平行四边形 叫做正方形. 矩形的性质：1.矩形具有平行四边形的所有性质； 2.矩形的对角线相等； 3.矩形的四个角都是直角； 4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴. 矩形的判定：1. 有三个角是直角的四边形是矩形. 2. 对角线相等的平行四边形是矩形. 3. 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 菱形的性质：1.菱形的四条边都相等； 2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角； 3.菱形是轴对称图形，它有两条对称轴. 菱形的判定：1. 四条边相等的四边形是菱形. 2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 3. 定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 正方形的性质：1.正方形四个角都是直角，四条边都相等. 2.正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角. 3.正方形是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心. 正方形的判定：1.有一组邻边相等的矩形是正方形. 2.有一个内角是直角的菱形是正方形. 四、梯形 定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫梯形；有一个角是直角的梯形叫直角梯形；有两条腰相等的梯形叫做等腰梯形. 等腰梯形性质：（1）两底平行，两腰相等； （2）同一底边上的两个角相等； （3）两条对角线相等； （4）轴对称图形（底的中垂线就是它的对称轴）． 面积： 等腰梯形判定：（1）两腰相等的梯形是等腰梯形； （2）同一底边上的两个角相等的梯形是等腰梯形； （3）对角线相等的梯形是等腰梯形． 解决梯形问题的常用方法（如下图所示）： （1）“作高”：使两腰在两个直角三角形中． （2）“移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中． （3）“延长两腰”：构造具有公共角的两个三角形． （4）“等积变形”：连接梯形上底一端点和另一腰中点，并延长交下底的延长线于一点，构成三角形．并且这个三角形面积与原来的梯形面积相等. 综上，解决梯形问题的基本思路： 梯形问题三角形或平行四边形问题， 这种思路常通过平移或旋转来实现． 三角形、梯形的中位线 联结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半. 联结梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线. 梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半. 五、平面向量 平面向量的概念：既有大小，又有方向的量叫做向量.向量一般用……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如： .向量的大小也叫做向量的长度（或向量的模），记作||或｜｜.向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小． 方向相同且长度相等的两个向量叫做相等的向量. 方向相反且长度相等的两个向量叫做互为相反向量. 方向相同或相反的两个向量叫做平行向量. 平面向量的加法： 向量加法的三角形法则：求不平行的两个向量的和向量时，只要把第二个向量与第一个向量首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点、第二个向量的终点为终点的向量就是和向量. 设，则＝＝. 向量加法的平行四边形法则：如果是两个不平行的向量，那么求它们的和向量时，任取一点为公共起点，作两个向量分别和相等；再以这两个向量为邻边作平行四边形；然后以所取的公共起点为起点，作这个平行四边形的对角线向量，则这一对角线向量就是与的和向量. 向量的加法满足交换律，满足结合律. 零向量：长度为0的向量，记为，其方向是任意的，与任意向量平行零向量. ＝｜｜＝0.. 平面向量的减法：已知两个向量的和及其中一个向量，求另一个向量的运算叫做向量的减法.减去一个向量等于加上这个向量的相反向量. 向量减法的三角形法则：在平面内任取一点，以这点为公共起点作出这两个向量，那么它们的差向量是以减向量的终点为起点、被减向量的终点为终点的向量. 【规律方法】（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量. （2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则．向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加： ，但这时必须“首尾相连”． 1.动态几何 动态问题一般分两类，一类是代数综合方面，在坐标系中有动点，动直线，一般是利用多种函数交叉求解。另一类就是几何综合题，在梯形，矩形，三角形中设立动点、线以及整体平移翻转，对考生的综合分析能力进行考察。 2.学会运用数形结合思想 数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系,寻求代数问题的解决方法(以形助数),或利用数量关系来研究几何图形的性质,解决几何问题(以数助形)的一种数学思想.数形结合思想使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，使问题得以解决。 纵观近几年全国各地的中考压轴题，绝大部分都是与平面直角坐标系有关，其特点是通过建立点与数即坐标之间的对应关系，一方面可用代数方法研究几何图形的性质，另一方面又可借助几何直观，得到某些代数问题的解答。 3.学会运用分类讨论的思想 分类讨论思想可用来检测学生思维的准确性与严密性，常常通过条件的多变性或结论的不确定性来进行考察，有些问题，如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。 在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。 分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏。 真题感知 1．（2023•上海）在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD．下列说法能使四边形ABCD为矩形的是（　　） A．AB∥CD B．AD＝BC C．∠A＝∠B D．∠A＝∠D 2．（2021•上海）如图，在平行四边形ABCD中，已知，，E为AB中点，则（　　） A． B． C． D． 3．（2023•上海）已知在梯形ABCD中，连接AC，BD，且AC⊥BD，设AB＝a，CD＝b．下列两个说法：①AC（a+b）；②AD，则下列说法正确的是（　　） A．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①②均正确 D．①②均错误 4．（2022•上海）如图所示，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，，，则　 　． 提升专练 一、单选题 1．在中，的度数是（    ）． A． B． C． D． 2．如果n边形的内角和是它外角和的3倍，则n等于（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 3．化简是（    ） A． B． C．0 D． 4．已知在菱形中，，，则菱形的面积为（    ） A．160 B．80 C．40 D．96 5．下列命题中，正确的是（    ） A．对角线相等的四边形是平行四边形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 6．如图，在等腰梯形中，ABCD，，，平分，那么这个梯形的周长为（    ） A．18 B．24 C．30 D．36 二、填空题 7．平行四边形的对角线、相交于点O，要使平行四边形是矩形请添加一个条件 ． 8．如果平行四边形的周长是20，边，则 ． 9．菱形的边长为10，一条对角线为16，它的面积是 ． 10．矩形的两条对角线交于点O，，，则 ． 11．顺次连接一个矩形各边中点得到的四边形是 ． 12．已知等腰梯形的中位线长为9，对角线互相垂直，那么该梯形的一条对角线长是 ． 13．一个多边形截去一个角后，形成的新多边形的内角和是，则原多边形的边数是 ． 14．已知正方形的边长为1，如果将向量的运算结果记为向量，那么向量的长度为 15．在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，则∠EBC的度数是 ． 16．在平面直角坐标系中，的对角线交于点O．若点A的坐标为，则点C的坐标为 ． 17．新定义：将一个凸四边形分成一个等腰三角形和一个等腰直角三角形的对角线叫做这个四边形的“等腰直角线”．已知一个直角梯形的“等腰直角线”等于4，它的面积是 ． 18．如图，已知正方形的边长为1，点是边的中点，将沿直线翻折，使得点落在同一平面内的点处，联结并延长交射线于点，那么的长为 ． 三、解答题 19．如图，四边形ABCD的对角线交于点O，点E，F在AC上，DF∥BE，且OE=OF，AE=CF．求证：AB=CD，且AB∥CD． 20．如图，矩形的对角线相交于点O，点E、F分别在、上，，求证：四边形是等腰梯形． 21．如图，在梯形中，，，点是的中点．    (1)填空：______，______； (2)如果把图中的线段都画成有向线段，那么在这些有向线段所表示的向量中，与平行的向量共有______个； (3)求作：．（不写作法，保留作图痕迹，写出结果） 22．如图，在平行四边形中，E是上一点，且，．      (1)求证：平行四边形是菱形； (2)若，，求对角线的长． 23．如图，在正方形中，是对角线上的一点（与点不重合），分别为垂足．连接，并延长交于点．    (1)求证：． (2)判断与是否垂直，并说明理由． 24．如图，直线与坐标轴分别交于A，B两点，以线段为一边向上作等边三角形．    (1)求出A，B，C的坐标； (2)已知在y轴上有一点P，且，求出符合条件的P点坐标； (3)平面直角坐标系内有一点Q，使得以A，C，O，Q为顶点的四边形为等腰梯形，请直接写出所有符合条件的Q点坐标． 25．如图1，在菱形ABCD中，AB＝4，AC＝4，点M是AC上一点，点N在射线CB上，且MB＝MN，联结DN，设AM＝x． (1)当点M、N（N在边BC上）运动时，∠MND的大小是否会变化？若不变请求出度数，若变化请说明理由． (2)若∠BMN＝30°，求AM的值． (3)当N在线段BC上时，设DN＝y，求y关于x的函数关系式及其定义域． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 四边形 目录 考点聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 学以致用：真题感知+提升专练，全面突破 核心考点聚焦 1、多边形的内角和与外角和 2、平行四边形的判定与性质 3、特殊平行四边形的判定与性质 4、梯形与特殊梯形的判定与性质 5、三角形的中位线、梯形的中位线 6、平面向量 中考考点聚焦 常考考点 真题举例 矩形的判定 2023·上海·中考真题 特殊梯形的判定与性质 2023·上海·中考真题 平面向量的线性运算 2022·上海·中考真题 平面向量的线性运算 2021·上海·中考真题 一、多边形内角和定理、外角定理 边形的内角和为(－2)·180°(≥3)． 【规律方法】(1)内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数； (2)正多边形的每个内角都相等，都等于； 多边形的外角和为360°．边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关. 二、平行四边形 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 性质： 1．边的性质：平行四边形两组对边平行且相等； 2．角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等； 3．对角线性质：平行四边形的对角线互相平分； 4．平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心. 判定： 1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形； 2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 5.对角线互相平分的四边形是平行四边形. 平行线的性质 1.平行线间的距离都相等 2.等底等高的平行四边形面积相等 三、特殊的平行四边形 矩形、菱形、正方形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 有一组邻边相等并且有一个内角是直角的平行四边形 叫做正方形. 矩形的性质：1.矩形具有平行四边形的所有性质； 2.矩形的对角线相等； 3.矩形的四个角都是直角； 4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴. 矩形的判定：1. 有三个角是直角的四边形是矩形. 2. 对角线相等的平行四边形是矩形. 3. 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 菱形的性质：1.菱形的四条边都相等； 2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角； 3.菱形是轴对称图形，它有两条对称轴. 菱形的判定：1. 四条边相等的四边形是菱形. 2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 3. 定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 正方形的性质：1.正方形四个角都是直角，四条边都相等. 2.正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角. 3.正方形是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心. 正方形的判定：1.有一组邻边相等的矩形是正方形. 2.有一个内角是直角的菱形是正方形. 四、梯形 定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫梯形；有一个角是直角的梯形叫直角梯形；有两条腰相等的梯形叫做等腰梯形. 等腰梯形性质：（1）两底平行，两腰相等； （2）同一底边上的两个角相等； （3）两条对角线相等； （4）轴对称图形（底的中垂线就是它的对称轴）． 面积： 等腰梯形判定：（1）两腰相等的梯形是等腰梯形； （2）同一底边上的两个角相等的梯形是等腰梯形； （3）对角线相等的梯形是等腰梯形． 解决梯形问题的常用方法（如下图所示）： （1）“作高”：使两腰在两个直角三角形中． （2）“移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中． （3）“延长两腰”：构造具有公共角的两个三角形． （4）“等积变形”：连接梯形上底一端点和另一腰中点，并延长交下底的延长线于一点，构成三角形．并且这个三角形面积与原来的梯形面积相等. 综上，解决梯形问题的基本思路： 梯形问题三角形或平行四边形问题， 这种思路常通过平移或旋转来实现． 三角形、梯形的中位线 联结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半. 联结梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线. 梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半. 五、平面向量 平面向量的概念：既有大小，又有方向的量叫做向量.向量一般用……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如： .向量的大小也叫做向量的长度（或向量的模），记作||或｜｜.向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小． 方向相同且长度相等的两个向量叫做相等的向量. 方向相反且长度相等的两个向量叫做互为相反向量. 方向相同或相反的两个向量叫做平行向量. 平面向量的加法： 向量加法的三角形法则：求不平行的两个向量的和向量时，只要把第二个向量与第一个向量首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点、第二个向量的终点为终点的向量就是和向量. 设，则＝＝. 向量加法的平行四边形法则：如果是两个不平行的向量，那么求它们的和向量时，任取一点为公共起点，作两个向量分别和相等；再以这两个向量为邻边作平行四边形；然后以所取的公共起点为起点，作这个平行四边形的对角线向量，则这一对角线向量就是与的和向量. 向量的加法满足交换律，满足结合律. 零向量：长度为0的向量，记为，其方向是任意的，与任意向量平行零向量. ＝｜｜＝0.. 平面向量的减法：已知两个向量的和及其中一个向量，求另一个向量的运算叫做向量的减法.减去一个向量等于加上这个向量的相反向量. 向量减法的三角形法则：在平面内任取一点，以这点为公共起点作出这两个向量，那么它们的差向量是以减向量的终点为起点、被减向量的终点为终点的向量. 【规律方法】（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量. （2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则．向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加： ，但这时必须“首尾相连”． 1.动态几何 动态问题一般分两类，一类是代数综合方面，在坐标系中有动点，动直线，一般是利用多种函数交叉求解。另一类就是几何综合题，在梯形，矩形，三角形中设立动点、线以及整体平移翻转，对考生的综合分析能力进行考察。 2.学会运用数形结合思想 数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系,寻求代数问题的解决方法(以形助数),或利用数量关系来研究几何图形的性质,解决几何问题(以数助形)的一种数学思想.数形结合思想使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，使问题得以解决。 纵观近几年全国各地的中考压轴题，绝大部分都是与平面直角坐标系有关，其特点是通过建立点与数即坐标之间的对应关系，一方面可用代数方法研究几何图形的性质，另一方面又可借助几何直观，得到某些代数问题的解答。 3.学会运用分类讨论的思想 分类讨论思想可用来检测学生思维的准确性与严密性，常常通过条件的多变性或结论的不确定性来进行考察，有些问题，如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。 在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。 分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏。 真题感知 1．（2023•上海）在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD．下列说法能使四边形ABCD为矩形的是（　　） A．AB∥CD B．AD＝BC C．∠A＝∠B D．∠A＝∠D 【答案】C 【分析】由矩形的判定分别对各个选项进行判断即可． 【解析】解：A、∵AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， 由AB＝CD，不能判定四边形ABCD为矩形，故选项A不符合题意； B、∵AD＝BC，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， 由AB＝CD，不能判定四边形ABCD为矩形，故选项B不符合题意； C、∵AD∥BC， ∴∠A+∠B＝180°， ∵∠A＝∠B， ∴∠A＝∠B＝90°， ∴AB⊥AD，AB⊥BC， ∴AB的长为AD与BC间的距离， ∵AB＝CD， ∴CD⊥AD，CD⊥BC， ∴∠C＝∠D＝90°， ∴四边形ABCD是矩形，故选项C符合题意； D、∵AD∥BC， ∴∠A+∠B＝180°，∠D+∠C＝180°， ∵∠A＝∠D， ∴∠B＝∠C， ∵AB＝CD， ∴四边形ABCD是等腰梯形，故选项D不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定是解题的关键． 2．（2021•上海）如图，在平行四边形ABCD中，已知，，E为AB中点，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据相等向量的几何意义和三角形法则解答． 【解析】解：∵，E为AB中点， ∴， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴， ∴， 故选：A． 【点评】本题考查平面向量，三角形法则，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握三角形法则，属于中考常考题型． 3．（2023•上海）已知在梯形ABCD中，连接AC，BD，且AC⊥BD，设AB＝a，CD＝b．下列两个说法：①AC（a+b）；②AD，则下列说法正确的是（　　） A．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①②均正确 D．①②均错误 【答案】D 【分析】根据题意，作出图形，若梯形ABCD为等腰梯形，可得①；②，其余情况得不出这样的结论，从而得到答案． 【解析】解：过B作BE∥CA，交DC延长线于E，如图所示： 若AD＝BC，AB∥CD，则四边形ACEB是平行四边形， ∴CE＝AB，AC＝BE， ∴AB∥DC， ∴∠DAB＝∠CBA， ∵AB＝AB， ∴△DAB≌△CBA（SAS）， ∴AC＝BD，即BD＝BE， ∵AC⊥BD， ∴BE⊥BD， 在Rt△BDE 中，BD＝BE，AB＝a，CD＝b， ∴DE＝DC+CE＝b+a， ∴，此时①正确； 过B作BF⊥DE于F，如图所示： 在Rt△BFC中，BD＝BE，AB＝a，CD＝b，DE＝b+a， ∴，， ∴BC，此时②正确； 但已知中，梯形ABCD是否为等腰梯形，并未确定；梯形ABCD是AB∥CD还是AD∥BC，并未确定， ∴无法保证①②正确， 故选：D． 【点评】本题考查梯形中求线段长，涉及梯形性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识，孰练掌握相关几何判定与性质是解决问题的关键． 4．（2022•上海）如图所示，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，，，则　﹣2　． 【答案】﹣2． 【分析】根据平行四边形的性质分析即可． 【解析】解：因为四边形ABCD为平行四边形， 所以， 所以2． 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查了平面向量与平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的有关性质和平面向量的有关知识是解题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/5/22 20:39:39；用户：体验；邮箱：221104@xyh.com；学号：45594736 提升专练 一、单选题 1．在中，的度数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 本题考查了平行四边形的性质；熟记平行四边形的对角相等是解决问题的关键．由平行四边形的对角相等即可得出结果． 【解析】 解：四边形是平行四边形， ； 故选：A 2．如果n边形的内角和是它外角和的3倍，则n等于（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】根据多边形内角和公式180°（n-2）和外角和为360°可得方程180（n-2）=360×3，再解方程即可． 【解析】解：由题意得：180（n-2）=360×3， 解得：n=8， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了多边形内角和与外角和，要结合多边形的内角和公式与外角和的关系来寻求等量关系，构建方程即可求解． 3．化简是（    ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【分析】根据平面向量定理即可表示． 【解析】， 故选：D． 【点睛】本题考查了平面向量定理，解决本题的关键是掌握三角形法则． 4．已知在菱形中，，，则菱形的面积为（    ） A．160 B．80 C．40 D．96 【答案】D 【分析】根据菱形的性质利用勾股定理求得的长，从而得到的长，再根据菱形的面积公式即可求得其面积． 【解析】解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∵在中， ， ∴， ∴， ∴． 故选D． 【点睛】此题考查学生对菱形的性质及勾股定理的理解及运用，熟练掌握菱形的性质是解答本题的关键． 5．下列命题中，正确的是（    ） A．对角线相等的四边形是平行四边形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 【答案】C 【分析】根据平行四边形、矩形、菱形以及正方形的判定方法，对选项逐个判断即可． 【解析】A．对角线互相平分的四边形是平行四边形，原命题是假命题，不符合题意； B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形，原命题是假命题，不符合题意； C．对角线相等的平行四边形是矩形，是真命题，符合题意； D．对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形，原命题是假命题，不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题考查了平行四边形、矩形、菱形以及正方形的判定，掌握它们的判定方法是解题的关键． 6．如图，在等腰梯形中，ABCD，，，平分，那么这个梯形的周长为（    ） A．18 B．24 C．30 D．36 【答案】C 【分析】根据等腰梯形性质求出，求出，求出，推出，求出，根据含30度角的直角三角形性质求出，即可求出答案． 【解析】解：等腰梯形中，，，， ，， 平分， ， ，， ， 梯形的周长是， 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰梯形性质，平行线性质，含30度角的直角三角形性质，等腰三角形的性质和判定的应用，关键是能求出和的长． 二、填空题 7．平行四边形的对角线、相交于点O，要使平行四边形是矩形请添加一个条件 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与矩形的判定，熟练掌握矩形是特殊的平行四边形是解题关键．矩形是特殊的平行四边形，矩形有而平行四边形不具有的性质是：矩形的对角线相等，矩形的四个内角是直角；可针对这些特点来添加条件． 【解析】解：若使平行四边形变为矩形，可添加的条件是： ；（对角线相等的平行四边形是矩形） 等．（有一个角是直角的平行四边形是矩形）， 故答案为：（答案不唯一）． 8．如果平行四边形的周长是20，边，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了平行四边形的性质：（1）边：平行四边形的对边相等；（2）角：平行四边形的对角相等；（3）对角线：平行四边形的对角线互相平分． 根据平行四边形的特点，对应边相等，知道周长和其中一条边的长度可求出另外几条边的长度． 【解析】解：如图： ∵平行四边形的周长为，， ∴它的对边， 故答案为：6． 9．菱形的边长为10，一条对角线为16，它的面积是 ． 【答案】96 【分析】本题主要菱形的性质和面积公式，勾股定理．根据菱形的性质得到以及勾股定理求出另一条对角线的长，然后根据菱形的面积公式计算求值． 【解析】解：如图，菱形中，边，对角线，对角线交于点O， ∴，，， ∴， ∴， ∴它的面积是． 故答案为：96 10．矩形的两条对角线交于点O，，，则 ． 【答案】8 【分析】本题考查矩形的性质，等边三角形的判定和性质，根据，得到，进而得到为等边三角形，进而得到，结合，求出的长，根据即可得出结果． 【解析】解：∵矩形的两条对角线交于点O，，    ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：8． 11．顺次连接一个矩形各边中点得到的四边形是 ． 【答案】菱形 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定，三角形中位线的性质，熟练掌握中位线的性质是解题的关键．连接、，根据矩形的性质，以及三角形中位线的性质，可得，进而即可求解． 【解析】解：如图，连接、，   、、、分别是矩形的、、、边上的中点， ，， 矩形的对角线， ， 四边形是菱形． 故答案为：菱形． 12．已知等腰梯形的中位线长为9，对角线互相垂直，那么该梯形的一条对角线长是 ． 【答案】 【分析】根据题意画出图形，根据等腰梯形的性质得出，根据得出是等腰直角三角形，根据勾股定理即可求解． 【解析】解：如图所示，    ∵ ∴， 又∵,，设交于点, ∴是等腰直角三角形， ∴ 设，则 ∴ 即, 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰梯形的性质，中位线的性质，勾股定理，熟练掌握等腰梯形的性质是解题的关键． 13．一个多边形截去一个角后，形成的新多边形的内角和是，则原多边形的边数是 ． 【答案】17，18或19 【分析】根据多边形的内角和公式可得：，求出新多边形的边数，然后再根据截去一个角的情况进行讨论，计算即可． 【解析】解：设新多边形的边数为， 则， 解得：， 若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为19， 若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为17， 若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为18， 则多边形的边数是17，18或19， 故答案为：17，18或19． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式（且是整数），注意要分情况进行讨论，避免漏解． 14．已知正方形的边长为1，如果将向量的运算结果记为向量，那么向量的长度为 【答案】1 【分析】利用向量的三角形法则直接求得答案． 【解析】如图： ∵-==且||=1， ∴||=1． 故答案为1． 【点睛】此题考查了平面向量，属于基础题，熟记三角形法则即可解答． 15．在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，则∠EBC的度数是 ． 【答案】22.5°/22.5度 【分析】由AB=AE，在正方形中可知∠BAC=45°，进而求出∠ABE，又知∠ABE+∠EBC=90°，故能求出∠EBC． 【解析】解：∵正方形ABCD中，E是对角线AC上一点， ∴∠BAC=45°， ∵AB=AE， ∴∠ABE=∠AEB=67.5°， ∵∠ABE+∠EBC=90°， ∴∠EBC=22.5°， 故答案为：22.5°． 【点睛】本题主要考查了正方形的对角线平分对角的性质及等腰三角形的性质，解题的关键是正确求出∠ABE的度数． 16．在平面直角坐标系中，的对角线交于点O．若点A的坐标为，则点C的坐标为 ． 【答案】 【分析】此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的对角线互相平分． 根据平行四边形的性质解答即可． 【解析】解：， ， 的对角线相交于点O，， ∴点的坐标为， 故选：C． 17．新定义：将一个凸四边形分成一个等腰三角形和一个等腰直角三角形的对角线叫做这个四边形的“等腰直角线”．已知一个直角梯形的“等腰直角线”等于4，它的面积是 ． 【答案】或12 【分析】分两种情况，结合勾股定理，即可求解． 【解析】解：如图，在梯形中，，是等腰直角三角形，，    ∴， ∴， ∴梯形的面积为； 如图，在梯形中，，是等腰直角三角形，，    ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴梯形的面积为； 如图，在梯形中，，是等腰直角三角形，； 综上所述，它的面积为或12． 故答案为：或12 【点睛】本题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形，梯形，利用分类讨论思想解答是解题的关键． 18．如图，已知正方形的边长为1，点是边的中点，将沿直线翻折，使得点落在同一平面内的点处，联结并延长交射线于点，那么的长为 ． 【答案】 【分析】过B作BH⊥AF于H，联结EC交BM于G，可证明，即可得到，利用面积法求出EG的长度即可． 【解析】过B作BH⊥AF于H，联结EC交BM于G ∵正方形的边长为1，点是边的中点， ∴ ∴ ∵将沿直线翻折， ∴EC⊥BM，, ∵BH⊥AF, ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质、折叠问题、等腰直角三角形，解题的关键是正确的作出辅助线，证明． 三、解答题 19．如图，四边形ABCD的对角线交于点O，点E，F在AC上，DF∥BE，且OE=OF，AE=CF．求证：AB=CD，且AB∥CD． 【答案】证明见解析． 【分析】根据平行线的性质得出∠DFO=∠BEO，再利用ASA证明三角形全等，最后利用平行四边形的判定和性质解答即可． 【解析】解:∵DF∥BE， ∴∠DFO=∠BEO 在△DFO与△BEO中， ∵， ∴△DFO≌△BEO(ASA)， ∴OD=OB． ∵AE=CF，OE=OF， ∴OA=OC， ∴四边形ABCD为平行四边形， ∴AB=CD，且AB∥CD． 【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，关键是根据全等三角形的判定和性质得出OD=OB． 20．如图，矩形的对角线相交于点O，点E、F分别在、上，，求证：四边形是等腰梯形． 【答案】见解析 【分析】此题考查的是矩形的性质、全等三角形的判定与性质． 由矩形的性质可得，则，进而结合平行线的性质可得，得，再利用即可证明，得，即可证得结论．掌握其性质定理是解决此题的关键． 【解析】证明：∵四边形是矩形， ∴，则， ∵， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是等腰梯形． 21．如图，在梯形中，，，点是的中点．    (1)填空：______，______； (2)如果把图中的线段都画成有向线段，那么在这些有向线段所表示的向量中，与平行的向量共有______个； (3)求作：．（不写作法，保留作图痕迹，写出结果） 【答案】(1)； (2) (3)图形见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质，向量的运算，即可； （2）根据平行向量的意义求解； （3）根据三角形的作图，即可． 【解析】（1）∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，， 故答案为：；． （2）与平行的向量有：，，，，，，共个， 故答案为：． （3）以点为圆心，长为半径，延长，连接， ∴， ∴． 图形见下：    【点睛】本题考查向量，平行四边形的知识，解题的关键是掌握平行向量的性质，平行四边形的性质． 22．如图，在平行四边形中，E是上一点，且，．      (1)求证：平行四边形是菱形； (2)若，，求对角线的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接交于点，根据四边形是平行四边形得，再根据得是等腰三角形，利用等腰三角形的性质证明即可； （2）设，则，利用勾股定理得，列出方程求解即可． 【解析】（1）证明：如图，连接交于点，   四边形是平行四边形， ， ， 是等腰三角形， ， ， 四边形是菱形； （2）解：, 设，则， ， ， ， ， ， 或（舍去）， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定和性质、勾股定理，解决本题的关键是掌握菱形的判定方法． 23．如图，在正方形中，是对角线上的一点（与点不重合），分别为垂足．连接，并延长交于点．    (1)求证：． (2)判断与是否垂直，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)与垂直，理由见解析 【分析】（1）由正方形的性质，得到，结合垂直于同一条直线的两条直线平行，可得，再根据平行线的性质解答即可； （2）连接交于点，由证明，再根据全等三角形对应角相等得到，继而证明四边形为矩形，最后根据矩形的性质解答即可． 【解析】（1）解：在正方形中， ∴， ∴． （2）与垂直，理由如下． 连接交于点． ∵为正方形的对角线， ∴， 又∵， ∴， ∴． 在正方形中，， 又∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质、平行线的性质、全等三角形的判断与性质、矩形的判定与性质等知识，综合性较强，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 24．如图，直线与坐标轴分别交于A，B两点，以线段为一边向上作等边三角形．    (1)求出A，B，C的坐标； (2)已知在y轴上有一点P，且，求出符合条件的P点坐标； (3)平面直角坐标系内有一点Q，使得以A，C，O，Q为顶点的四边形为等腰梯形，请直接写出所有符合条件的Q点坐标． 【答案】(1)，， (2)或 (3)， 【分析】（1）根据一次函数图象上点的坐标特征求点A，B的坐标，结合等边三角形和含30°直角三角形的性质求得C点坐标； （2）结合三角形面积公式，利用方程思想计算求解； （3）根据等腰三角形的性质分情况讨论求解． 【解析】（1）解：在中，当时，， 当时，， ∴，， 过点C作轴，交轴于点D，    ∵，， ∴，， 在Rt中，， ∵， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， 在Rt中，，， ∴， ∴； （2）解：由（1）已证， ∴， ∴四边形为梯形， 设y轴上一点 当时，， 解得，， ∴或； （3）解：当，且时，四边形是等腰梯形，    由（1）已证， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 当，且时，四边形是等腰梯形，    过点作轴， 由（1）已证， ∴，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 综上，，． 【点睛】本题考查一次函数与几何图形综合应用，等边三角形的性质，等腰梯形的判定和性质，掌握相关性质定理正确推理论证是解题关键． 25．如图1，在菱形ABCD中，AB＝4，AC＝4，点M是AC上一点，点N在射线CB上，且MB＝MN，联结DN，设AM＝x． (1)当点M、N（N在边BC上）运动时，∠MND的大小是否会变化？若不变请求出度数，若变化请说明理由． (2)若∠BMN＝30°，求AM的值． (3)当N在线段BC上时，设DN＝y，求y关于x的函数关系式及其定义域． 【答案】(1)不变，∠MND=30°； (2)AM的长为2-2或4-4； (3) 【分析】（1）联结DM，设∠MBO=α，可表示出∠DMN，∠CDM，∠CMD，∠CMB，∠CMN，进而计算求得∠DMN=120°，从而求得结果； （2）分点N在边BC上和点N在CB延长线上时两种情况讨论，进而求得结果； （3）作ME⊥AB于E，MF⊥DN，在△ABM中表示出MB，进而表示出MN，进一步表示出DN，从而求得结果． 【解析】（1）解：如图1， 联结DM， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OA=OC=AC=2，BD=2OD=2OB，AD=AB， ∴DM=BM，OD=OB==2， ∴BD=4， ∴AD=AB=BD， ∴∠BCD=∠BAD=60°，∠CBD=60°， ∴∠ACD=∠BCD=30°， 设∠MBO=α， ∵MN=MB， ∴∠MBN=∠MNB=∠DBC+∠MBO=60°+α， 在△CBM中， ∠CMB=180°-∠ACB-∠CBM=180°-30°-（60°+α）=90°-α， ∴∠CMD=∠CMB=90°-α， 在△MND中， ∠BMN=180°-∠MBN-∠MNB=180°-2（60°+α）=60°-2α， ∴∠CMN=∠CMB-∠BMN=90°-α-（60°-2α）=30°+α， ∴∠DMN=∠CMN+∠CMD=（30°+α）+（90°-α）=120°， ∵BM=DM=MN， ∴∠MND=∠MDN==30°； （2）解：当点N在边BC上时， 在△MBN和△CBM中， ∠BMN=∠ACB=30°， ∠CBM=∠MBN， ∴∠CMB=∠MBN， ∵MB=MN， ∴∠MBN=∠MNB， ∴∠CBM=∠MBN， ∴CM=CB=4， ∴AM=AC-CM=4-4； 当点N在CB延长线上时， 过点M作MG⊥BN于点G， ∵MB=MN， ∴∠NMG=∠BMG=×30°=15°， ∴∠GMC=180°-90°-30°=60°， ∴∠BMO=45°， ∴△OBM是等腰直角三角形， ∴OB=OM=2， ∴AM=AO-OM=2-2； 综上，AM的长为2-2或4-4； （3）解：如图2， 作ME⊥AB于E，MF⊥DN， ∵∠CAB=30°， ∴EM=AM=x， ∴AE=， ∴BE=AB-AE=4-x， 在Rt△BEM中， BM=， 在Rt△MNF中， 同理可得：NF=MN=， ∴DN=2NF， ∴． 【点睛】本题考查了菱形性质，直角三角形性质，等腰三角形判定和性质等知识，解决问题的关键是设角，通过计算寻找角的数量关系． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$