第02讲 全等三角形 （1个知识点+2种经典题型+习题试卷）-2024年新八年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（苏科版）

第02讲 全等三角形 （1个知识点+2种经典题型+习题试卷） 本节知识导图 知识点合集 知识点.全等三角形的性质 （1）性质1：全等三角形的对应边相等 性质2：全等三角形的对应角相等 说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等 ②全等三角形的周长相等，面积相等 ③平移、翻折、旋转前后的图形全等 （2）关于全等三角形的性质应注意 ①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边． ②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角． 【例1】（2023秋•泗阳县期末）如图，若，四个点、、、在同一直线上，，，则的长是　　 A．2 B．3 C．5 D．7 【变式1】（2023秋•姜堰区期末）如图，点、在上，且．若，，则的长为 　　． 【变式2】（2023秋•射阳县期末）如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则等于　　 A． B． C． D． 【变式3】（2023秋•泗阳县期末）如图，已知，点在上，与相交于点． （1）当，时，线段的长为 　　； （2）已知，，求的度数． 【变式4】（2023秋•丹徒区期末）如图，已知．求证：． 经典题型汇编 题型一.全等三角形的概念 1．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）下列说法正确的是（　　） A．形状相同的两个三角形全等 B．周长相等的两个三角形全等 C．面积相等的两个三角形全等 D．形状、大小相同的两个三角形全等 2．（21-22八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线经过点E，交AD于F，∠ACB＝∠AED＝105°，∠CAD＝10°，∠B＝50°，则∠AFE＝ °． 3．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）如图是的正方形网格，的顶点都在小正方形的顶点上，像这样的三角形叫做格点三角形，画与只有一条公共边且全等的格点三角形，在该网格中这样的格点三角形（不与重合）最多可以画出 个． 4．（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）作图题：        (1)如图，在图1所给方格纸中，每个小正方形边长都是1，标号为①②③的三个三角形均为格点三角形（顶点在方格顶点处），请按要求将图2中的指定图形分割成三个三角形，使它们与标号为①②③的三个三角形分别对应全等．（分割线画成实线） (2)如图3，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上． ①在图中画出与关于直线l成轴对称的； ②请直线l上找到一点P，使得的距离之和最小． ③的面积是________． 题型二.全等三角形的性质 5．（23-24八年级上·江苏徐州·期末）若，，，则的大小为（　　） A． B． C． D． 6．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知图中的两个三角形全等，则的度数是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）一个三角形的三边为、、，另一个三角形的三边为、、，若这两个三角形全等，则 ． 8．（23-24八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，直线，平分，过点B作交于点C．动点E，D同时从点A出发，其中动点E以的速度沿射线运动，动点D以的速度在直线上运动．已知，设动点D，E的运动时间为． (1)的度数为 ； (2)当点D沿射线运动时，若，求t的值； (3)当动点D在直线上运动时，若与全等，则t的值为 ． 练习试卷 一、单选题 1．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）已知，则F的度数为（　　） 2．（20-21八年级上·全国·单元测试）下列说法中正确的有（     ） ①形状相同的两个图形是全等图形 ②对应角相等的两个三角形是全等三角形 ③全等三角形的面积相等 ④若则. A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．（19-20八年级上·江苏连云港·期末）如图所示的两个三角形全等，图中的字母表示三角形的边长，则的度数为（    ）    A．82° B．78° C．68° D．62° 4．（22-23八年级上·江苏南京·期中）关于全等图形的描述，下列说法正确的是（    ） A．形状相同的图形 B．面积相等的图形 C．能够完全重合的图形 D．周长相等的图形 5．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）下列说法中，正确的有(　　) ①形状相同的两个图形是全等形；②面积相等的两个图形是全等形；③全等三角形的周长相等，面积相等；④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图，，，，，则的度数为(   ) A．20° B．25° C．30° D．50° 7．（23-24八年级上·江苏无锡·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．形状相同的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等 C．完全重合的两个三角形全等 D．全等三角形的周长和面积不相等 8．（2023八年级上·江苏·专题练习）已知与全等，，，则的度数是（　　） A． B． C．或 D．或 9．（23-24八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，且，下列结论不正确的是（　　） A． B． C． D． 10．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）如图，如果，的周长是，则（    ）． A． B． C． D． 二、填空题 11．（23-24八年级上·江苏连云港·阶段练习）若，且的周长为20，，则 ． 12．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，若，四个点B、E、C、F在同一直线上，，，则的长是 ． 13．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，若，则 °． 14．（22-23八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，已知AB=AC，D为∠BAC的角平分线上的一点，连接BD，CD；如图2，已知AB=AC，D、E为∠BAC的角平分线上的两点，连接BD，CD，BE，CE；如图3，已知AB=AC，D、E、F为∠BAC的角平分线上的三点，连接BD，CD，BE，CE，BF，CF；…，依次规律，第5个图形中有全等三角形的对数是 ． 15．（20-21八年级上·北京西城·阶段练习）如图，在中，，，，D是坐标平面上一点，若以A，B，D为顶点的三角形与全等，则点D的坐标是 ． 16．（八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC边翻折180°形成的.若∠BAC＝145°，则∠α＝ . 17．（八年级上·江苏南京·期中）如图，一块三角形玻璃裂成①②两块，现需配一块同样的玻璃，为方便起见，只需带上碎片 即可 18．（23-24八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，在中，，，，点在直线上．点从点出发，在三角形边上沿的路径向终点运动；点从点出发，在三角形边上沿的路径向终点运动．点和分别以单位秒和单位秒的速度同时开始运动，在运动过程中，若有一点先到达终点时，该点停止运动，另一个点要继续运动，直到两点都到达相应的终点时整个运动才能停止．在某时刻，分别过和作于点，于点，则点的运动时间等于 秒时，与全等． 三、解答题 19．（23-24八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，点A、D、C、F在同一直线上，． (1)若，求的度数． (2)若，求的长． 20．（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，，垂足为点，射线，垂足为点，，．动点从点出发以的速度沿射线运动，动点在射线上，随着点运动而运动，始终保持．若点的运动时间为，则当等于几秒时，与全等．    21．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，中，，，，点P从A点出发沿路径向终点运动，终点为B点；点Q从B点出发沿路径向终点运动，终点为A点，点P和Q分别以每秒1和3的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作于E、作于F，当点P运动多少秒时，以P、E、C为顶点的三角形和以Q、F、C为顶点的三角形全等．    22．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）如图，已知，点在上，与相交于点．    (1)当，时，线段的长为________； (2)已知，，求的度数． 23．（23-24八年级上·江苏连云港·期中）如图，在等腰中，，点从点出发，以的速度沿向点运动，设点的运动时间为．    (1)______．（用的代数式表示） (2)当点从点开始运动，同时，点从点出发，以的速度沿向点运动，是否存在这样的值，使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 24．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，已知在中，，点为的中点．如果点在线段上以的速度由出发向点运动，同时点在线段上由点出发向A点运动．设运动时间为． (1)第时，______，______．（用含的代数式表示） (2)当和恰好是以点和为对应点的全等三角形时，求的值． 25．（23-24八年级上·江苏南京·期中）两个全等的直角三角板和直角三角板，顶点F在边上，顶点C、D重合，连接．设交于点G．， ，．请回答以下问题：    (1)填空：　　°，　　； (2)请用两种方法计算四边形的面积，并以此为基础证明勾股定理． 26．（23-24八年级上·江苏连云港·期中）如图①，在中，，，，，现有一动点P从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为． (1)如图①，当时，________cm； (2)如图①，当________时，的面积等于面积的一半； (3)如图②，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点Q的运动速度． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 全等三角形 （1个知识点+2种经典题型+习题试卷） 本节知识导图 知识点合集 知识点.全等三角形的性质 （1）性质1：全等三角形的对应边相等 性质2：全等三角形的对应角相等 说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等 ②全等三角形的周长相等，面积相等 ③平移、翻折、旋转前后的图形全等 （2）关于全等三角形的性质应注意 ①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边． ②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角． 【例1】（2023秋•泗阳县期末）如图，若，四个点、、、在同一直线上，，，则的长是　　 A．2 B．3 C．5 D．7 【分析】根据全等三角形的对应边相等得到，计算即可． 【解答】解：， ， 又， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键． 【变式1】（2023秋•姜堰区期末）如图，点、在上，且．若，，则的长为 　2　． 【分析】根据得到，从而得到，最后求得答案即可． 【解答】解：， ， ， 即：， ，， ， 故答案为：2． 【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，正确得出是解题关键． 【变式2】（2023秋•射阳县期末）如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则等于　　 A． B． C． D． 【分析】先根据全等三角形的性质，判断，再根据三角形内角和定理，求得的度数，即可得出． 【解答】解：根据图形可知，两个全等三角形中，，的夹角为对应角 又 故选：． 【点评】本题主要考查了全等三角形的性质以及三角形内角和定理，解题时注意：全等三角形的对应角相等． 【变式3】（2023秋•泗阳县期末）如图，已知，点在上，与相交于点． （1）当，时，线段的长为 　4　； （2）已知，，求的度数． 【分析】（1）由，可得，，从而可得答案； （2）由，，，可得，，再利用三角形的外角的性质求解，，从而可得答案． 【解答】解：（1），，， ，， ． 故答案为：4． （2），，， ，， ， ， ． 【点评】本题考查的是全等三角形的性质，三角形的外角的性质，掌握以上知识是解题的关键． 【变式4】（2023秋•丹徒区期末）如图，已知．求证：． 【分析】根据全等三角形的性质和等式的性质解答即可． 【解答】证明：， ，，， ， 即， 在和中， ， ， ． 【点评】此题考查全等三角形的性质，关键是根据全等三角形的性质解答． 经典题型汇编 题型一.全等三角形的概念 1．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）下列说法正确的是（　　） A．形状相同的两个三角形全等 B．周长相等的两个三角形全等 C．面积相等的两个三角形全等 D．形状、大小相同的两个三角形全等 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的定义，根据两个三角形全等的定义即可判断．理解定义是判断的关键． 【详解】解：A、形状相同的两个三角形不一定全等，说法错误，不符合题意； B、周长相等的两个三角形不一定全等，说法错误，不符合题意； C、面积相等的两个三角形不一定全等，说法错误，不符合题意； D、形状、大小相同的两个三角形全等，正确，符合题意． 故选：D． 2．（21-22八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线经过点E，交AD于F，∠ACB＝∠AED＝105°，∠CAD＝10°，∠B＝50°，则∠AFE＝ °． 【答案】85 【分析】利用三角形内角和定理求出∠BAC＝25°，再根据三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：在△ABC中，∵∠B＝50°，∠ACB＝105°， ∴∠BAC＝25°， ∵∠CAD＝10°，∠B＝50°， ∴∠AFE＝∠BAD+∠B＝∠BAC+∠CAD+∠B＝25°+10°+50°＝85°， 故答案为：85． 【点睛】本题考查了全等三角形的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和是解题的关键． 3．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）如图是的正方形网格，的顶点都在小正方形的顶点上，像这样的三角形叫做格点三角形，画与只有一条公共边且全等的格点三角形，在该网格中这样的格点三角形（不与重合）最多可以画出 个． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形、格点三角形的定义，可以以为公共边和以为公共边分别画出个三角形，以为公共边不可以画出三角形，即可得出答案，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：如图所示： ， 以为公共边可以画出、、三个三角形， 以为公共边可以画出、、三个三角形， 故可以画出个， 故答案为：． 4．（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）作图题：        (1)如图，在图1所给方格纸中，每个小正方形边长都是1，标号为①②③的三个三角形均为格点三角形（顶点在方格顶点处），请按要求将图2中的指定图形分割成三个三角形，使它们与标号为①②③的三个三角形分别对应全等．（分割线画成实线） (2)如图3，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上． ①在图中画出与关于直线l成轴对称的； ②请直线l上找到一点P，使得的距离之和最小． ③的面积是________． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②见解析；③ 【分析】（1）根据全等三角形的性质即可作图； （2）①先画出点A、B、C的对应点，再依次连接即可；②连接交直线l于点P，点P即为所求；③用割补法求解即可． 【详解】（1）解：如图所示： 连接， 与①对应的三角形全等， 与②对应的三角形全等， 与③对应的三角形全等，    （2）解：①如图，即为所求； ②连接交直线l于点P，点P即为所求； 连接， ∵和关于l对称， ∴， ∴，此时最小， 故点P即为所求． ③ ． 故答案为：．    【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，轴对称的作图，解题的关键是掌握全等三角形对应边相等，对应角相等；以及轴对称的作图方法． 题型二.全等三角形的性质 5．（23-24八年级上·江苏徐州·期末）若，，，则的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，三角形内角和，依据全等三角形的对应角相等求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 又， ∴， 故选：A． 6．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知图中的两个三角形全等，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形对应角相等，由全等三角形对应角相等可知是边的夹角，然后写出即可． 【详解】解：∵两个三角形全等， ∴边a所对的角是对应角 则的度数是． 故选：A． 7．（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）一个三角形的三边为、、，另一个三角形的三边为、、，若这两个三角形全等，则 ． 【答案】 【分析】 本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等．由全等三角形的对应边相等，得到，，即可求出． 【详解】 解：两个三角形全等， ，， ． 故答案为：． 8．（23-24八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，直线，平分，过点B作交于点C．动点E，D同时从点A出发，其中动点E以的速度沿射线运动，动点D以的速度在直线上运动．已知，设动点D，E的运动时间为． (1)的度数为 ； (2)当点D沿射线运动时，若，求t的值； (3)当动点D在直线上运动时，若与全等，则t的值为 ． 【答案】(1) (2)或4 (3)或 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识： （1）根据角平分线的定义、直角三角形的锐角互余即可解决问题； （2）作于H，于G．由平分，推出，由，可得，解方程即可解决问题． （3）存在．由，可知当时，，列出方程即可解决问题． 【详解】（1）解：如图1中， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：如图2中， ①当E在线段上时，作于H，于G． ∵平分， ∴， ∵ ∴， ∴. ②当点E运动到延长线上，同法可得时，也满足条件， ∴当或时，满足． 故答案为：或； （3）解：∵， ∴当时，， ∴ ∴ ∴时，． 当D在延长线上时，， 综上所述，满足条件的t的值为2或6， 故答案为：或． 练习试卷 一、单选题 1．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）已知，则F的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质：对应角相等，熟记定理内容即可． 【详解】解：∵ ∴， ∵， ∴ 故选：D 2．（20-21八年级上·全国·单元测试）下列说法中正确的有（     ） ①形状相同的两个图形是全等图形 ②对应角相等的两个三角形是全等三角形 ③全等三角形的面积相等 ④若则. A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据全等形的定义，全等三角形的判定与性质对各小题分析判断后即可解答． 【详解】解：①形状相同，大小相等的两个图形是全等形，故本小题错误； ②三角形全等必须有边的参与，所以对应角相等的两个三角形是全等三角形错误，正确的说法：对应角相等的两个三角形不一定是全等三角形，故本小题错误； ③全等三角形能够完全重合，所以面积相等，故本小题正确； ④若△ABC≌△DEF，△DEF≌△MNP，则三个三角形都能够完全重合，故，故本小题正确； 综上所述，说法正确的是③④共2个． 故选：C． 【点睛】本题考查了全等形的定义，全等三角形的判定与性质，是基础题，需要特别注意，三角形全等的条件，必须有边的参与． 3．（19-20八年级上·江苏连云港·期末）如图所示的两个三角形全等，图中的字母表示三角形的边长，则的度数为（    ）    A．82° B．78° C．68° D．62° 【答案】B 【分析】直接利用全等三角形的性质得出∠1＝∠2进而得出答案． 【详解】∵如图是两个全等三角形， ∴∠1＝∠2＝180°−40°−62°＝78°． 故选：B．    【点睛】此题主要考查了全等三角形的性质，正确得出对应角是解题关键． 4．（22-23八年级上·江苏南京·期中）关于全等图形的描述，下列说法正确的是（    ） A．形状相同的图形 B．面积相等的图形 C．能够完全重合的图形 D．周长相等的图形 【答案】C 【分析】根据全等图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】A.形状相同的两个图形大小不一定相等，所以不是全等图形，故本选项错误． B.面积相等的两个图形形状、大小都不一定相同，所以，不是全等图形，故本选项错误． C.能够完全重合的两个图形是全等图形，故本选项正确． D.周长相等的两个图形形状、大小都不一定相同，所以，不是全等图形，故本选项错误． 故选C． 【点睛】本题考查的是全等形的识别：熟记全等形是能够完全重合的两个图形是解题关键． 5．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）下列说法中，正确的有(　　) ①形状相同的两个图形是全等形；②面积相等的两个图形是全等形；③全等三角形的周长相等，面积相等；④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据全等形的定义，全等三角形的判定与性质，即可判断． 【详解】解：能够完全重合的两个图形叫做全等形，即形状和大小相同的两个图形是全等形，故①②说法错误； 全等三角形能够完全重合，所以全等三角形的周长相等，面积相等，故③说法正确； 若，的对应角为，所以，故④说法正确； 说法正确的有③④，共2个． 故选：B． 【点睛】本题考查全等形，理解能够完全重合的两个图形叫做全等形是解题关键． 6．（23-24八年级上·江苏南京·期中）如图，，，，，则的度数为(   ) A．20° B．25° C．30° D．50° 【答案】C 【分析】此题主要考查了全等三角形的性质，直接利用全等三角形的性质得出，，进而结合三角形内角和定理得出的度数，进而得出答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 7．（23-24八年级上·江苏无锡·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．形状相同的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等 C．完全重合的两个三角形全等 D．全等三角形的周长和面积不相等 【答案】C 【分析】根据全等的概念，逐一判断即可解答． 【详解】解：形状相同且大小相同的两个三角形全等，故A错误； 面积相等的两个三角形不一定全等，故B错误； 完全重合的两个三角形全等，故C正确； 全等三角形的周长和面积相等，故D错误， 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的概念，全等三角形的形状和大小相同，熟知全等图像的概念是解题的关键． 8．（2023八年级上·江苏·专题练习）已知与全等，，，则的度数是（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，根据全等三角形对应角相等以及三角形的内角和是180度，即可解答． 【详解】解：在中，． ∵与全等， ∴当时，， 当时，． 的度数是或． 故选：D． 9．（23-24八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，且，下列结论不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，全等三角形的对应角相等，对应边相等，根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴，，，， ∴，即， 不能得出， 故选：D． 10．（23-24八年级上·江苏泰州·期末）如图，如果，的周长是，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 此题主要考查了全等三角形的性质．利用全等三角形的性质得出对应边的值，进而求出即可． 【详解】 解：∵，的周长是， ∴， ∴． 故选：A． 二、填空题 11．（23-24八年级上·江苏连云港·阶段练习）若，且的周长为20，，则 ． 【答案】7 【分析】此题考查了全等三角形的性质，先根据周长和已知边长求出的长，再根据全等三角形对应边相等即可得到答案． 【详解】∵的周长为20，， ∴， ∵， ∴， 答案为：7 12．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，若，四个点B、E、C、F在同一直线上，，，则的长是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了全等三角形的性质； 根据全等三角形的性质可得，然后根据计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：2． 13．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，若，则 °． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理．熟练掌握全等三角形的性质，三角形内角和定理是解题的关键． 由题意知，，计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 14．（22-23八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，已知AB=AC，D为∠BAC的角平分线上的一点，连接BD，CD；如图2，已知AB=AC，D、E为∠BAC的角平分线上的两点，连接BD，CD，BE，CE；如图3，已知AB=AC，D、E、F为∠BAC的角平分线上的三点，连接BD，CD，BE，CE，BF，CF；…，依次规律，第5个图形中有全等三角形的对数是 ． 【答案】15 【分析】根据图形得出当有1点D时，有1对全等三角形；当有2点D、E时，有3对全等三角形；当有3点D、E、F时，有6对全等三角形；根据以上结果得出当有n个点时，图中有 个全等三角形，进而即可求解． 【详解】解：当有1点D时，有1对全等三角形； 当有2点D、E时，有3对全等三角形； 当有3点D、E、F时，有6对全等三角形； 当有4点时，有10个全等三角形； … 当有n个点时，图中有个全等三角形． ∴第5个图形中有全等三角形的对数是：． 故答案为：15． 【点睛】本题考查了全等三角形的概念，关键是根据已知图形得出规律，题目比较典型，但有一定的难度． 15．（20-21八年级上·北京西城·阶段练习）如图，在中，，，，D是坐标平面上一点，若以A，B，D为顶点的三角形与全等，则点D的坐标是 ． 【答案】D1（-1，3），D2（4，-1），D3（-1，-1） 【分析】若要，则D点可在AB的上方或下方，分别讨论即可． 【详解】如图，要和全等，且有一边为AB的三角形， D点可为：D1（-1，3），D2（4，-1），D3（-1，-1） 故答案为：D1（-1，3），D2（4，-1），D3（-1，-1）． 【点睛】本题考查判定全等三角形的概念，注意不要遗漏可能的情况是解题关键． 16．（八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC边翻折180°形成的.若∠BAC＝145°，则∠α＝ . 【答案】70° 【详解】∵△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC边翻折180°形成的， ∴∠BAE=∠BAC=145°，∠DAC=∠BAC=145°，∠E=∠ACD=∠ACB， ∴∠DAE=∠BAC+∠BAE+∠DAC-360°=145°+145°+145°-360°=75°， ∴∠EAC=∠DAC-∠DAE=145°-75°=70°， ∵∠E+∠α+∠EMD=180°，∠EAC+∠AMC+∠ACD=180°，∠EMD=∠AMC， ∴∠α=∠EAC=70°， 故答案为70°. 【点睛】本题考查了翻折的性质，三角形的内角和是180度等，掌握翻折前后的两个三角形是全等的，对应角是相等的是解题的关键． 17．（八年级上·江苏南京·期中）如图，一块三角形玻璃裂成①②两块，现需配一块同样的玻璃，为方便起见，只需带上碎片 即可 【答案】② 【分析】此题实际上考查全等三角形的应用，②中两边及其夹角，进而可确定其形状． 【详解】②中满足两边夹一角完整，即可得到一个与原来三角形全等的新三角形，所以只需带②去即可． 故答案是：②． 【点睛】本题考查了三角形全等的应用；能够灵活运用全等三角形的判定，解决一些实际问题，注意认真读图． 18．（23-24八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，在中，，，，点在直线上．点从点出发，在三角形边上沿的路径向终点运动；点从点出发，在三角形边上沿的路径向终点运动．点和分别以单位秒和单位秒的速度同时开始运动，在运动过程中，若有一点先到达终点时，该点停止运动，另一个点要继续运动，直到两点都到达相应的终点时整个运动才能停止．在某时刻，分别过和作于点，于点，则点的运动时间等于 秒时，与全等． 【答案】2或或12 【分析】本题考查了全等三角形的性质，分情况讨论是解题的关键：分四种情况，点在上，点在上；点、都在上；点到上，点在上；点到点，点在上． 【详解】解：与全等， 斜边斜边， 分四种情况： 当点在上，点在上，如图： ， ， ， 当点、都在上时，此时、重合，如图： ， ， ， 当点到上，点在上时，如图： ， ， ，不符合题意， 当点到点，点在上时，如图： ， ， ， 综上所述：点的运动时间等于2或或12秒时，与全等， 故答案为：2或或12． 三、解答题 19．（23-24八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，点A、D、C、F在同一直线上，． (1)若，求的度数． (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质，主要利用了全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等，熟记性质是解题的关键． （1）根据全等三角形对应角相等可得，再根据三角形的内角和定理求出的度数； （2）根据全等三角形对应边相等可得，然后直接计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 在中，； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴ 20．（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，，垂足为点，射线，垂足为点，，．动点从点出发以的速度沿射线运动，动点在射线上，随着点运动而运动，始终保持．若点的运动时间为，则当等于几秒时，与全等．    【答案】或或 【分析】本题考查三角形全等的性质；分两种情况：①当在线段上时，②当在上，再分别分成两种情况，进行计算即可． 【详解】解：①当在线段上，时，   ， ， ， 点 的运动时间为 秒． ②当在上，时， ， ， ． 点 的运动时间为 秒． ③当在上，时， 点的运动时间为 秒 ④当在线段上，时，这时在点未动，因此时间为秒不符合题意． 故答案为：或或． 21．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，中，，，，点P从A点出发沿路径向终点运动，终点为B点；点Q从B点出发沿路径向终点运动，终点为A点，点P和Q分别以每秒1和3的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作于E、作于F，当点P运动多少秒时，以P、E、C为顶点的三角形和以Q、F、C为顶点的三角形全等．    【答案】当点P运动1或或秒时，以P、E、C为顶点的三角形和以Q、F、C为顶点的三角形全等 【分析】根据题意和全等三角形的性质分类讨论：①P在上，Q在上，则，根据，得，根据得，，则，根据得，即，进行计算得；②P在上，Q在上，则，由①知，，则，计算得，当时，，即不符合题意；③当P，Q都在上时，，计算得；④当Q到A点停止，P在上时，，即，；⑤P和Q都在上的情况不存在，因为P的速度是每秒，Q的速度是每秒；综上，即可得． 【详解】解：①如图1，P在上，Q在上，    则， ∵，， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ， ； ②如图2，P在上，Q在上，    则， 由①知，， ， ， 当时，，即不符合题意； ③如图3，当P，Q都在上时，    ， ； ④当Q到A点停止，P在上时，， 即， ； ⑤P和Q都在上的情况不存在，因为P的速度是每秒，Q的速度是每秒； 综上，当点P运动1或或秒时，以P、E、C为顶点的三角形和以Q、F、C为顶点的三角形全等． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点，分类讨论． 22．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）如图，已知，点在上，与相交于点．    (1)当，时，线段的长为________； (2)已知，，求的度数． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握全等三角的性质； （1）根据全等三角形的对应边相等，即可求解； （2）根据全等三角形的对应角相等，以及三角形的内角和为，即可求解． 【详解】（1）解：，≌ ， ， 故答案为：4； （2）解：， ， ， ． 23．（23-24八年级上·江苏连云港·期中）如图，在等腰中，，点从点出发，以的速度沿向点运动，设点的运动时间为．    (1)______．（用的代数式表示） (2)当点从点开始运动，同时，点从点出发，以的速度沿向点运动，是否存在这样的值，使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当或2时与全等． 【分析】此题主要考查了全等三角形的性质． （1）根据P点的运动速度可得的长，再利用即可得到的长； （2）此题主要分两种情况①当，时，；当时，，然后分别计算出t的值，进而得到v的值． 【详解】（1）解：依题意，得 ∴． 故答案为：； （2）解：①当，时，， ∵， ∴， ∴， ， 解得：， ， ， 解得：； ②当时，， ∵， ∴， ， 解得：， ， ， 解得：． 综上所述：当或2时与全等． 24．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，已知在中，，点为的中点．如果点在线段上以的速度由出发向点运动，同时点在线段上由点出发向A点运动．设运动时间为． (1)第时，______，______．（用含的代数式表示） (2)当和恰好是以点和为对应点的全等三角形时，求的值． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查了动点问题在实际生活中的运用，全等三角形的性质的运用，行程问题的数量关系的运用，解答时运用全等三角形的性质求解是关键． （1）根据距离速度时间分别求得、即可； （2）分类讨论，当和时，由全等三角形的性质就可以求出结论． 【详解】（1）解：依题意得：，； （2）解：当时，． ， ， ． 当时，． 点为的中点， ． ， ， ， ， ． 综上所述，当和恰好是以点和为对应点的全等三角形时，或． 25．（23-24八年级上·江苏南京·期中）两个全等的直角三角板和直角三角板，顶点F在边上，顶点C、D重合，连接．设交于点G．， ，．请回答以下问题：    (1)填空：　　°，　　； (2)请用两种方法计算四边形的面积，并以此为基础证明勾股定理． 【答案】(1)； (2)见解析 【分析】本题考查了勾股定理的证明，三角形的面积的计算，全等三角形的性质； （1）根据全等三角形的性质得到，求得，得到，根据垂直的定义得到，根据三角形的面积公式即可得到结论； （2）根据三角形的面积和梯形的面积公式用两种方法求得四边形的面积，于是得到结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ （2）解：∵四边形的面积， 四边形的面积， ∴，即 26．（23-24八年级上·江苏连云港·期中）如图①，在中，，，，，现有一动点P从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为． (1)如图①，当时，________cm； (2)如图①，当________时，的面积等于面积的一半； (3)如图②，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点Q的运动速度． 【答案】(1)6 (2)或 (3)Q运动的速度为或． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的中线的性质，一元一次方程的应用等知识点，清晰的分类讨论思想是解答本题的关键． （1）利用速度乘时间即可求解； （2）根据三角形中线的性质分两种情况讨论即可解答； （3）设点Q的运动速度为，然后分点P在上，点Q在上；点P在上，点Q在上两种情况，分别根据全等三角形的性质列方程解答即可． 【详解】（1）解：当时，， 故答案为：6； （2）解：如图，当P在上，的面积等于面积的一半， ∴， ∴， 当在上时，如图，的面积等于面积的一半， ∴， ∴， 综上：当为或时，的面积等于面积的一半； 故答案为：或； （3）解：设点Q的运动速度为， ①当点P在上，点Q在上，时，， ∴，解得； ②当点P在上，点Q在上，时，，    ∴点P的路程为，点Q的路程为， ∴，解得； ∴Q运动的速度为或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$