专题二 全等三角形的基本模型- 【通城学典】2024八年级数学暑期升级训练（冀教版）

32 专题二　全等三角形的基本模型 全等三角形的判定是初中数学证明题最基础的内容,寻找条件证明三角形全等时,可以借助 常见基本模型,如对称模型、平移模型、一线三等角模型、“手拉手”模型、半角模型等,根据基本模 型,可以很快确定全等三角形,从而完成证明. 类型一 对称模型 1. 如图,AD 是△ABC 的中线,E,F 分别是 AD 和AD 延长线上的点,且DE=DF,连 接BF,CE.有 下 列 说 法:① △ABD 和 △ACD 面积相等;② ∠BAD=∠CAD; ③ △BDF≌△CDE;④ BF∥CE;⑤ CE= AE.其中,正确的是 ( ) 第1题 A. ①② B. ③⑤ C. ①③④ D. ①④⑤ 2. 如图,B 是AC 的中点,∠A=∠C,∠1= ∠2.求证:△ABE≌△CBF. 第2题 3. 如图,在Rt△ABC 中,∠C=90°,将△ABC 沿AB 向下翻折后,再绕点A 按顺时针方向 旋转,且∠1<∠BAC,得到Rt△ADE.其中 斜边AE 交BC 于点F,直角边DE 分别交 AB,BC 于点G,H.求证:△AFB≌△AGE. 第3题 类型二 平移模型 4. 如图,∠B=∠E,BF=EC,AC∥DF.求证: △ABC≌△DEF. 第4题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(冀教版)八年级 33 5. (衢州中考)如图,在△ABC 和△DEF 中, 点B,E,C,F 在同一条直线上.有下列四个 条件:① AB=DE;② AC=DF;③ BE= CF;④ ∠ABC=∠DEF. (1) 请选择其中的三个条件,使得△ABC≌ △DEF(写出一种情况即可); (2) 在(1)的条件下,求证:△ABC≌△DEF. 第5题 类型三 一线三等角模型 6. 如图,∠BCA=α,CA=CB,C,E,F 分别是 直线CD 上的三点,且∠BEC=∠CFA=α, 请提出对EF,BE,AF 三条线段之间数量关 系的合理猜想,并说明理由. 第6题 7. ★如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,AC= BC,直线 MN 经过点C,且AD⊥MN 于 点D,BE⊥MN 于点E. (1) 当直线MN 绕点C 旋转到图①的位置 时,求证: ① △ADC≌△CEB; ② DE=AD+BE. (2) 当直线MN 绕点C 旋转到图②的位置 时,求证:DE=AD-BE. (3) 当直线MN 绕点C 旋转到图③的位置 时,试问DE,AD,BE 具有怎样的数量关 系? 请直接写出这个数量关系. 第7题 类型四 “手拉手”模型 8. 如图,在△AOB 和△COD 中,OA=OB, OC=OD,∠AOB=∠COD,AC,BD 交于 点 M.现 有 以 下 结 论:① AC =BD; ② ∠CMD>∠COD.下列判断中,正确的是 ( ) 第8题 A. 结论①对,结论②错 B. 结论①错,结论②对 C. 结论①②都对 D. 结论①②都错 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2整合提优 34 答案讲解 9. ★(1) 问题发现:如图①,△ABC 和 △EDC 都是等边三角形,点B,D, E 在同一条直线上,连接AE. ① ∠AEC 的度数为 ; ② 线 段 AE,BD 之 间 的 数 量 关 系 为 . (2) 拓展探究:如图②,△ABC 和△EDC 都 是等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°, 点B,D,E 在同一条直线上,CM 为△EDC 中DE 边上的高,连接AE.试求∠AEB 的 度数及判断线段CM,AE,BM 之间的数量 关系,并说明理由. (3) 解决问题:如图③,△ABC 和△EDC 都 是等腰三角形,∠ACB=∠DCE=36°,点B, D,E 在同一条直线上,连接AE.请写出 ∠EAB+∠ECB 的度数. 第9题 类型五 半角模型 答案讲解 10. 如 图,在 正 方 形 ABCD 中, ∠MAN=45°,它的两边分别交 线段CB,DC 于点M,N. (1) 当∠MAN 绕点A 旋转到BM=DN 时(如图①),求证:BM+DN=MN; (2) 当∠MAN 绕点A 旋转到BM≠DN 时(如图②),试判断线段BM,DN 和MN 之间有怎样的数量关系,并说明理由. 第10题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(冀教版)八年级 11 9. (1) 设3x=2y=5z=30k(k≠0),则x=10k,y=15k, z=6k.∴ 原式=10k+30k+18k10k-15k+6k = 58k k =58. (2) 设 b+c a = c+a b = a+b c =m ,则b+c=am,c+a=bm,a+ b=cm.∴ b+c+c+a+a+b=am+bm+cm.∴ 2(a+ b+c)=m(a+b+c),即(a+b+c)(2-m)=0.∴ a+ b+c=0或 m=2.由a+b+c=0,得 m=b+ca = -aa=-1 ,∴ m=2或m=-1.∵ 原式= abcabcm3= 1 m3 , ∴ 原式=18 或-1. 10. C 11. (1) 设被墨水污染的部分是A.由题意,得x-4x2-9÷ A x-3= 1 x+3 ,解得A=x-4.故被墨水污染的部分为x- 4.(2) 不能.若 1x+3= 1 7 ,则x=4.由分式x-4x2-9÷ x-4 x-3= x-4 x2-9 ·x-3 x-4 ,可知当x=4时,原分式无意义, ∴ 原分式的值不能等于1 7. 12. (1) ①③④. (2) a-1;2a-1. 解析:a 2-2a+3 a-1 = a2-2a+1+2 a-1 = (a-1)2+2 a-1 =a-1+ 2 a-1. (3) 原式=3x+6x+1- x-1 x · x(x+2)(x+1)(x-1)= 3x+6 x+1- x+2 x+1= 2x+4 x+1= 2(x+1)+2 x+1 =2+ 2 x+1. 当x+1= ±1或x+1=±2时,分式的值为整数,此时x=0或 x=-2或x=1或x=-3.∵ 原分式有意义时,x≠0, x≠±1且x≠-2,∴ x=-3.∴ x 取-3时,该式的值 为整数. 13. (1) ∵ 住宅窗户面积为3平方米,地板面积为15平 方米,∴ 窗户面积 地板面积= 3 15=0.2.∵ 窗户面积和地板面积同 时增加1平方米,∴ 窗户面积 地板面积= 3+1 15+1=0.25.∵ 0.25> 0.2,∴ 窗户面积和地板面积同时增加1平方米,住宅的 采光条件会变好.(2) 如果窗户面积和地板面积同时增加 1平方米,那么住宅的采光条件会变好.理由:∵ 住宅窗 户 面 积 为 x 平 方 米,地 板 面 积 为 y 平 方 米, ∴ 窗户面积 地板面积= x y .∵ 窗户面积和地板面积同时增加1平 方米,∴ 窗户面积 地板面积= x+1 y+1.∵ x+1 y+1- x y = y(x+1) y(y+1)- x(y+1) y(y+1)= y(x+1)-x(y+1) y(y+1) = xy+y-xy-x y(y+1) = y-x y(y+1) ,又∵ y>x>0,∴ y-x>0,y(y+1)>0. ∴ y-x y(y+1)>0.∴ x+1 y+1> x y .∴ 如果窗户面积和地板面 积同时增加1平方米,那么住宅的采光条件会变好. 专题二　全等三角形的基本模型 1. C 2. ∵ B 是AC 的中点,∴ AB=CB.∵ ∠1=∠2, ∴ ∠1+∠EBF=∠2+∠EBF,即∠ABE=∠CBF.在 △ABE 和△CBF 中, ∠A=∠C, AB=CB, ∠ABE=∠CBF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABE≌ △CBF(ASA). 3. ∵ 将△ABC沿AB 向下翻折后,再绕点A 按顺时针方 向旋转,且∠1<∠BAC,得到Rt△ADE,∴ AE=AB, ∠E=∠ABF.在△AFB和△AGE中, ∠FAB=∠GAE, AB=AE, ∠ABF=∠E, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AFB≌△AGE(ASA). 4. ∵ AC∥DF,∴ ∠ACB=∠DFE.∵ BF=CE, ∴ BF+FC=CE+FC,即BC=EF.在△ABC 和△DEF 中, ∠B=∠E, BC=EF, ∠ACB=∠DFE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABC≌△DEF(ASA). 5. 答案不唯一,如(1) 选择①②③.(2) ∵ BE=CF, ∴ BE+EC=CF+EC,即BC=EF.在△ABC和△DEF 中, AB=DE, BC=EF, AC=DF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABC≌△DEF(SSS). 6. EF=BE+AF.理 由:∵ ∠BEC=∠CFA=α, ∠BCA=α,∠BCA+∠BCE+∠ACF=180°,∠CFA+ ∠CAF+∠ACF=180°,∴ ∠BCE=∠CAF.在△BCE 和 △CAF 中, ∠BEC=∠CFA, ∠BCE=∠CAF, CB=AC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △BCE≌△CAF(AAS). 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 12 ∴ BE=CF,EC=FA.∴ EF=CF+EC=BE+AF. 7. (1) ① ∵ AD ⊥MN,BE⊥MN,∴ ∠ADC= ∠CEB=90°.∵ ∠ACB=90°,∴ ∠ACD+∠ECB=90°, ∠DAC+∠ACD=90°.∴ ∠DAC=∠ECB.在△ADC 和△CEB 中, ∠ADC=∠CEB, ∠DAC=∠ECB, AC=CB, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ADC≌△CEB (AAS).② 由(1)知,△ADC≌△CEB,∴ AD=CE, CD=BE.∵ CD+CE=DE,∴ DE=AD +BE. (2) ∵ BE⊥MN,AD⊥MN,∴ ∠ADC=∠CEB= 90°.∴ ∠CBE + ∠ECB =90°.∵ ∠ACB =90°, ∴ ∠ECB+ ∠ACE =90°.∴ ∠ACD = ∠CBE.在 △ADC 和△CEB 中, ∠ADC=∠CEB, ∠ACD=∠CBE, AC=CB, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ADC≌ △CEB(AAS).∴ AD=CE,CD=BE.∵ DE=CE- CD,∴ DE=AD-BE. (3) DE=BE-AD. 解析:∵ BE⊥MN,AD⊥MN, ∴ ∠ADC=∠CEB=90°.∴ ∠CBE+∠ECB=90°.∵ ∠ACB= 90°,∴ ∠ECB+∠ACE=90°.∴ ∠ACD=∠CBE.在△ADC 和△CEB 中, ∠ADC=∠CEB, ∠ACD=∠CBE, AC=CB, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ADC≌△CEB (AAS).∴ AD=CE,CD=BE.∵ DE=CD-CE, ∴ DE=BE-AD. 一线三等角模型 一般通过一线三等角找等角或进行角度转换,证 明三角形全等时还需要有一组边相等这个条件. 8. A 9. (1) ① 120°. 解析:∵ △ABC和△EDC都是等边三角 形,∴ CE=CD,CA=CB,∠CDE=∠ECD=∠ACB= 60°.∴ ∠ECD-∠ACD=∠ACB-∠ACD,即∠ECA= ∠DCB.在 △ECA 和 △DCB 中, CE=CD, ∠ECA=∠DCB, CA=CB, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ECA≌△DCB(SAS).∴ ∠AEC=∠BDC=180°- ∠CDE=120°. ② AE=BD. (2) ∠AEB=90°,CM+AE=BM.理由:∵ △ABC 和 △EDC都是等腰直角三角形,∴ EC=DC,CA=CB, ∠CED= ∠CDE =45°.∵ ∠ECD = ∠ACB =90°, ∴ ∠ACD+∠ECA=∠ACD+∠DCB=90°.∴ ∠ECA= ∠DCB.在 △ECA 和 △DCB 中, EC=DC, ∠ECA=∠DCB, CA=CB, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ECA≌△DCB(SAS).∴ ∠CEA=∠CDB=180°- ∠CDE=135°,AE=BD.∵ ∠CED=45°,∴ ∠AEB= ∠CEA-∠CEB=90°.∵ △EDC 是等腰直角三角形, CM 为△EDC 中DE 边上的高,∴ CM=EM=MD. ∵ MD+BD=BM,∴ CM+AE=BM.(3) ∵ △EDC 是 等腰三角形,∠DCE=36°,∴ ∠CDE=180°-∠DCE2 = 72°.∴ ∠CDB=180°- ∠CDE=108°.同(2),易 知 △ECA≌△DCB,∴ ∠CEA=∠CDB=108°.∴ ∠EAC+ ∠ECA=72°.∵ △ABC 是等腰三角形,∠ACB=36°, ∴ ∠CAB=180°-∠ACB2 =72°.∴ ∠EAB+∠ECB= ∠EAC+ ∠CAB + ∠ECA + ∠ACB = (∠EAC + ∠ECA)+∠CAB+∠ACB=72°+72°+36°=180°. “手拉手”模型 有公共顶点的一对全等图形,称为“手拉手”模 型.运用该模型证明三角形全等的关键:(1) 共顶点,加 (减)共顶点的公共角得一组对应角相等;(2) 利用已知 两组边相等或者等腰三角形、等边三角形、正方形、菱 形等得到两组对应边相等. 10. (1) 如图①,过点A 作AP⊥MN 于点P.∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ AB=AD,∠D=∠B=∠BAD= 90°.∵ ∠MAN=45°,∴ ∠BAM+∠DAN=90°-45°= 45°.在△ABM 和△ADN 中, AB=AD, ∠B=∠D, BM=DN, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABM≌ △ADN(SAS).∴ AM=AN,∠BAM=∠DAN=12× 45°=22.5°.∵ AM =AN,AP⊥MN,∴ ∠NAP= 1 2∠MAN = 22.5° ,MN = 2PN.∴ ∠DAN = ∠NAP.∴ AN 为∠DAP 的平分线.∵ AP⊥MN, ∠D=90°,∴ DN=NP,即BM=DN=NP.∴ BM+ DN=MN.(2) 线段BM,DN 和MN 之间的数量关系是 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 13 BM+DN=MN.理由:如图②,延长CB 至点E,使得 BE=DN,连 接 AE.∵ 四 边 形 ABCD 是 正 方 形, ∴ AB=AD,∠D=∠DAB=∠ABC=90°=∠ABE.在 △ABE 和 △ADN 中, AB=AD, ∠ABE=∠D, BE=DN, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABE ≌ △ADN (SAS).∴ ∠BAE = ∠DAN,AE = AN. ∴ ∠EAN=∠BAE+∠BAN=∠DAN+∠BAN= ∠DAB=90°.∵ ∠MAN=45°,∴ ∠EAM=∠EAN- ∠MAN=45°.∴ ∠EAM=∠MAN.∵ 在△EAM 和 △NAM 中, AE=AN, ∠EAM=∠NAM, AM=AM, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △EAM≌△NAM (SAS).∴ ME=MN.∵ ME=BM+BE=BM+DN, ∴ BM+DN=MN. 第10题 专题三　二次根式的性质与运算 1. A 解析:∵ a<b(a,b均为非零实数), -a3b有意 义,∴ -a3b>0.∴ ab<0.∴ a <0,b>0. ∴ -a3b=-a -ab. 2. 13 3. ±3 4. ∵ a,b,c为 △ABC的三边长,∴ a+b+c>0,a-b- c<0,b-a-c<0,c-b-a<0.∴ 原式=|a+b+c|+ |a-b-c|+|b-a-c|-|c-b-a|=a+b+c+b+c- a+a+c-b+c-a-b=4c. 5. 由题图,可得a+b<0,a>0,a-b>0,∴ 原式= -a-b-a-(a-b)+a+b=-a-b-a-a+b+a+ b=-2a+b. 6. 由 m-2025可知,m-2025≥0,∴ m≥2025. ∴ 2024-m<0.∵ |2024-m|+ m-2025=m, ∴ m-2024+ m-2025=m.∴ m-2025= 2024.∴ m-2025=20242.∴ m-20242=2025. 7. A 8. (1) 原式=(3-5)(3+5)+(3+1)2=(3)2- (5)2+3+23+1=3-5+4+23=2+23.(2) 原 式=3+23+1-(8+2 15)(8-2 15)=4+23- (64-60)=4+23-4=23.(3) 原式=[(22-3)· (22+3)]2024(22+3)=(8-9)2024(22+3)=22+ 3.(4) 原式=(23- 6+32)(23- 6-32)= (23-6)2-(32)2=18-122-18=-122. 9. B 10. 原式=2-|a-2|+a2-1=a2+1-|a-2|.当a= 2时,原式=(2)2+1-(2-2)=2+1-2+2=1+2. 11. 原式= abb - 1 ab ·a ab+a-b= abb - ab b + a-b=a-b.当a=3,b=2时,原式=3-2=1. 12. -20 13. ∵ a=2-7,b=-2-7,∴ a+b=-27,a-b= 4,ab=(-7)2-22=3.(1) a2-b2=(a+b)(a-b)= -27×4=-87.(2) a2-ab+b2=(a-b)2+ab= 42+3=19. 14. ∵ x+1x=2+ 3 ,∴ x2+1x2= x+ 1 x 2 -2x· 1 x= (2+3)2-2=4+43+3-2=5+43. 15. (1) 3;14-3.(2) 0.(3) 15;42-5. 16. (1) ∵ x=2- 3,y=2+ 3,∴ xy=(2- 3)(2+ 3)=1,(x-y)2=(2- 3-2- 3)2=(-23)2= 12.∴ x2+y2-3xy=(x-y)2-xy=12-1=11. (2) ∵ 1<3<4,∴ 1< 3<2.∴ 3<2+ 3<4.∴ 2+ 3的整数部分是3.∴ b=3.∵ 1< 3<2,∴-2< -3<-1.∴ 0<2- 3<1.∴ 2- 3的整数部分是0, 小数部分是2- 3-0=2- 3.∴ a=2- 3.∴ ax- by=(2-3)(2-3)-3(2+ 3)=7-43-6-33= 1-73.∴ ax-by的值为1-73. 17. 43-2 18. (1) 2+1.(2) ① 3-2 2;3+2 2.② 原式= 4ab(a-b)=4(3-22)(3+22)(3-22-3-22)= 4×1×(-42)=-162.(3) 原式=2-1+3-2+ 4-3+…+ 10-9= 10-1. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈