浙江省七下期末真题必刷压轴50题（14个考点专练）-2023-2024学年七年级数学下学期考试满分全攻略高频考点+重难点讲练与测试（浙教版）

浙江省七下期末真题必刷压轴50题（14个考点专练） 一．完全平方公式的几何背景（共1小题） 1．（2023春•鄞州区期末）如图，将几个小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形． （1）若用不同的方法计算这个边长为的正方形面积，就可以得到一个等式，这个等式可以为 　　（只要写出一个即可）； （2）请利用（1）中的等式解答下列问题： ①若三个实数，，满足，，求的值； ②若三个实数，，满足，，求的值． 二．整式的混合运算（共2小题） 2．（2022春•宁波期末）如图，将两张长为，宽为的长方形纸片按图1，图2两种方式放置，图1和图2中两张长方形纸片重叠部分分别记为①和②，正方形中未被这两张长方形纸片覆盖部分用阴影表示，图1和图2中阴影部分的面积分别记为和．若知道下列条件，仍不能求值的是　　 A．长方形纸片长和宽的差 B．长方形纸片的周长和面积 C．①和②的面积差 D．长方形纸片和①的面积差 3．（2020春•义乌市期末）如图，长方形的边，是边上的一点，且．，分别是线段，上的动点，且，现以，为边作长方形，以为边作正方形，点，均在长方形内部．记图中的阴影部分面积分别为，，长方形和正方形的重叠部分是四边形，当四边形的邻边比为时，的值为　　． 三．因式分解的应用（共2小题） 4．（2022春•金东区期末）通常情况下，不一定等于，观察下列几个式子： 第1个：； 第2个：； 第3个： 我们把符合的两个数叫做“和积数对”． （1）写出第4个式子． （2）写出第个式子，并检验． （3）若，是一对“和积数对”，求代数式的值． 5．（2021春•婺城区校级期末）小刚同学动手剪了如图①所示的正方形与长方形纸片若干张． （1）他用1张1号、1张2号和2张3号卡片拼出一个新的图形（如图②．根据这个图形的面积关系写出一个你所熟悉的乘法公式，这个乘法公式是　　； （2）如果要拼成一个长为，宽为的大长方形，则需要2号卡片　　张，3号卡片　　张； （3）当他拼成如图③所示的长方形，根据6张小纸片的面积和等于大纸片（长方形）的面积可以把多项式分解因式，其结果是　　； （4）动手操作，请你依照小刚的方法，利用拼图分解因式　　画出拼图． 四．分式的定义（共1小题） 6．（2021春•奉化区校级期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”． 如，， 则和都是“和谐分式”． （1）下列各式中，属于“和谐分式”的是：　　（填序号）； ①；②；③；④ （2）将“和谐分式化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为： 　　． （3）应用：已知方程组有正整数解，求整数的值． 五．二元一次方程的解（共1小题） 7．（2023春•吴江区期末）定义：关于，的二元一次方程（其中中的常数项与未知数系数，之一互换，得到的方程叫“交换系数方程”，例如： 的交换系数方程为或． （1）方程 与它的“交换系数方程”组成的方程组的解为 　　； （2）已知关于，的二元一次方程的系数满足，且与它的“交换系数方程”组成的方程组的解恰好是关于，的二元一次方程的一个解，求代数式的值； （3）已知整数，，满足条件，并且是关于，的二元一次方程的“交换系数方程”，求的值． 六．二元一次方程组的解（共4小题） 8．（2022春•井研县期末）阅读下列材料，解答下面的问题： 我们知道方程有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解． 例：由，得：、为正整数）．要使为正整数，则为正整数，可知：为3的倍数，从而，代入．所以的正整数解为． 问题： （1）请你直接写出方程的正整数解 ． （2）若为自然数，则满足条件的正整数的值有 ． ．3个 ．4个 ．5个 ．6个 （3）关于，的二元一次方程组的解是正整数，求整数的值． 9．（2023春•黄石港区期末）已知关于，的方程组 （1）请直接写出方程的所有正整数解； （2）若方程组的解满足，求的值； （3）无论实数取何值，方程总有一个固定的解，请直接写出这个解？ （4）若方程组的解中恰为整数，也为整数，求的值． 10．（2022春•范县期末）阅读下列解方程组的方法，然后回答问题． 解方程组 解：由①②得即③， ③得④， ②④得， 解得： 把代入③得： 解得： 方程组的解是 （1）请你仿照上面的解法解方程组； （2）猜测关于，的方程组的解是什么，并通过解这个方程组加以验证． 11．（2022春•泉州期末）已知是关于，的二元一次方程组． （1）求方程组的解（用含的代数式表示）； （2）若，求的值； （3）若，之间（不含，有且只有一个整数，求的取值范围． 七．解二元一次方程组（共3小题） 12．（2022春•广陵区期末）汛期即将来临，防汛指挥部在某水域一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看河水及两岸河堤的情况．如图，灯射出的光束自顺时针旋转至便立即回转，灯射出的光束自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯射出的光束转动的速度是秒，灯射出的光束转动的速度是秒，且、满足．假定这一带水域两岸河堤是平行的，即，且． （1）求、的值； （2）如图2，两灯同时转动，在灯射出的光束到达之前，若两灯射出的光束交于点，过作交于点，若，求的度数； （3）若灯射线先转动30秒，灯射出的光束才开始转动，在灯射出的光束到达之前，灯转动几秒，两灯的光束互相平行？ 13．（2021春•金乡县期末）阅读材料并回答下列问题： 当，都是实数，且满足，就称点为“爱心点”． （1）判断点，哪个点为“爱心点”，并说明理由； （2）若点也是“爱心点”，请求出的值； （3）已知，为有理数，且关于，的方程组解为坐标的点是“爱心点”，求，的值． 14．（2021春•姑苏区期末）阅读以下内容： 已知实数，满足，且求的值， 三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路： 甲同学：先解关于，的方程组，再求的值、 乙同学：将原方程组中的两个方程相加，再求的值 丙同学：先解方程组，再求的值 （1）试选择其中一名同学的思路，解答此题 （2）试说明在关于、的方程组中，不论取什么实数，的值始终不变． 八．二元一次方程组的应用（共11小题） 15．（2023春•盘山县期末）某中学新建了一栋4层的教学大楼，每层楼有8间教室，进出这栋大楼共有4道门，其中两道正门大小相同，两道侧门大小也相同．安全检查中，对4道门进行了测试：当同时开启一扇正门和两扇侧门，1分钟内可以通过280名学生；当同时开启一扇正门和一扇侧门时，4分钟内可通过800名学生． （1）求平均每分钟一道正门的一道侧门各可以通过多少名学生？ （2）检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门的效率降低．安全检查规定，在紧急情况下全大楼的学生应在5分钟内通过这4道门安全撤离．假设这栋教学大楼每间教室最多有45名学生，则建造的这4道门是否符合安全规定？请你说明理由． 16．（2023春•隆回县期末）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的一部分信息：（水价计费自来水销售费用污水处理费用） 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元吨 单价：元吨 17吨及以下 0.80 超过17吨不超过30吨的部分 0.80 超过30吨的部分 6.00 0.80 已知小王家2012年4月份用水20吨，交水费66元；5月份用水25吨，交水费91元． （1）求，的值． （2）小王家6月份交水费184元，则小王家6月份用水多少吨？ 17．（2023春•围场县期末）宁波杨梅季，本地慈溪杨梅在宁波人的心中是一种家乡的味道．今年是杨梅大年，菜杨梅种植大户为了能让居民品尝到物美价廉的杨梅，对1000斤的杨梅进行打包方式优惠出售．打包方式及售价如下：圆篮每篮8斤，售价160元；方篮每篮18斤，售价270元．假如用这两种打包方式恰好全部装完这1000斤杨梅． （1）若销售篮圆篮和篮方篮共收入8600元，求的值； （2）当销售总收入为16760元时， ①若这批杨梅全部售完，请问圆篮共包装了多少篮，方篮共包装了多少篮； ②若杨梅大户留下篮圆篮送人，其余的杨梅全部售出，求的值． 18．（2023春•兖州区期末）如图，欣欣食品加工厂与湖州、杭州两地有公路、铁路相连，该食品加工厂从湖州收购一批每吨2000元的枇杷运回工厂加工，制成每吨8000元的枇杷干运到杭州销售，已知公路运价为0.8元（吨千米），铁路运价为0.5元（吨千米），且这次运输共支出公路运输费960元，铁路运输费1900元． 求：（1）该工厂从湖州购买了多少吨枇杷？制成运往杭州的枇杷干多少吨？ （2）这批枇杷干的销售款比购买枇杷费用与运输费用的和多多少元？ 19．（2023春•新邵县期末）一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付给两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付给两组费用共3480元，问： （1）甲、乙两组单独工作一天，商店应各付多少元？ （2）已知甲组单独完成需要12天，乙组单独完成需要24天，若装修完后，商店每天可盈利200元，你认为如何安排施工有利于商店经营？说说你的理由．（提示：三种施工方式：方式一甲单独完成；方式二乙组单独完成；方式三甲、乙两个装修组同时施工． 20．（2023春•永川区期末）小文在甲、乙两家超市发现他看中的篮球的单价相同，书包单价也相同，一个篮球和三个书包的总费用是400元．两个篮球和一个书包的总费用也是400元． （1）求小文看中的篮球和书包单价各是多少元？ （2）某一天小文上街，恰好赶上商家促销，超市甲所有商品打九折销售，超市乙全场购物满100元返30元购物券（不足100元不返券，购物券全场通用），如果他只能在同一家超市购买他看中的篮球和书包各一个，应选择哪一家超市购买更省钱？ 21．（2023春•黄梅县期末）某服装店用4400元购进，两种新式服装，按标价售出后可获得毛利润2800元（毛利润售价进价），这两种服装的进价，标价如表所示． 类型价格 型 型 进价（元件） 60 100 标价（元件） 100 160 请利用二元一次方程组求这两种服装各购进的件数． 22．（2023春•兰陵县期末）学校捐资购买了一批物资120吨打算支援山区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（吨辆） 5 8 10 汽车运费（元辆） 400 500 600 （1）若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？ （2）为了节省运费，该学校打算用甲、乙、丙三种车型同时参与运送，已知它们的总辆数为14辆，你能分别求出三种车型的辆数吗？此时的运费又是多少元？ 23．（2023春•邻水县期末）某电器超市销售每台进价分别为200元、170元的、两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 种型号 种型号 第一周 3台 5台 1800元 第二周 4台 10台 3100元 （进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本） （1）求、两种型号的电风扇的销售单价； （2）若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，求种型号的电风扇最多能采购多少台？ （3）在（2）的条件下，超市销售完这30台电风扇能否实现利润为1400元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 24．（2022秋•包河区期末）我市某包装生产企业承接了一批上海世博会的礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下型与型两种板材．如图甲，（单位： （1）列出方程（组，求出图甲中与的值； （2）在试生产阶段，若将30张标准板材用裁法一裁剪，4张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的型与型板材做侧面和底面，做成图乙的竖式与横式两种礼品盒． ①两种裁法共产生型板材 　　张，型板材 　　张； ②已知①中的型板材和型板材恰好做成竖式有盖礼品盒个，横式无盖礼品盒的个，求、的值． 25．（2022春•固始县期末）一批货物要运往某地，货主准备租用汽车运输公司的甲、乙两种货车．已知过去两次租用这两种货车的情况如表： 第一次 第二次 甲种货车辆数（单位：辆） 2 5 乙种货车辆数（单位：辆） 3 6 累计货运吨数（单位：吨） 15.5 35 现租用该公司3辆甲种货车及5辆乙种货车一次刚好运完这批货，如果按每吨付运费30元计算．问：货主应付费多少元？ 九．三元一次方程组的应用（共3小题） 26．（2022春•江北区期末）响应国家号召，某区推进新型农村建设，强村富民．村民小红家准备将一块良田分成、、三个区域来种植三种畅销型农作物．爸爸计划好三个区域的占地面积后，小红主动承担起实地划分的任务．划分完毕后，爸爸发现粗心的小红将区的面积划分给了区，而原区的面积错划分给了区，区面积未出错，造成现区的面积占、两区面积和的比例达到了．为了协调三个区域的面积占比，爸爸只好将区面积的分成两部分划分给现在的区和区．爸爸划分完后，、、三个区域的面积比变为，那么爸爸从区划分给区的面积与良田总面积的比为　　． 27．（2022春•丰都县期末）全球棉花看中国，中国棉花看新疆．新疆长绒棉花是世界顶级棉花，品质优，产量大，常年供不应求．綦江区某超市为了支持新疆棉花，在“五一节”进行促销活动，将新疆棉制成、、三种品牌毛巾混装成甲、乙、丙三种礼包销售，其中甲礼包含1条品牌毛巾、2条品牌毛巾；乙礼包含2条品牌毛巾、2条品牌毛巾，3条品牌毛巾；丙礼包含2条品牌毛巾、4条品牌毛巾，每个礼包的售价等于礼包各条毛巾售价之和，5月1日当天，超市对、、三个品牌毛巾的售价分别打8折、7折、5折销售，5月2日恢复原价，小明发现5月1日一个甲礼包的售价等于5月2日一个乙礼包售价的，5月1日一个乙礼包的售价比5月2日一个丙礼包售价少0.8元，若、、三个品牌的毛巾原价都是正整数，且品牌毛巾的原价不超过11元，则小明在5月1日购买的一个甲礼包和一个乙礼包，应该付 　　元． 28．（2023春•德化县期末）在中国进出口商品交易会上，某陶瓷企业出售了，，三种产品．已知出售1件产品和2件产品共收入900元，出售2件产品和3件产品共收入1600元． （1）求产品和产品的单价； （2）若出售，两种产品（均有销售）共收入2400元，则出售，两种产品各几件？ （3）为推广产品，该企业开展促销活动：每出售一件产品，赠送2件产品．某客户欲购买，，三种产品共50件，并要求产品的件数是产品的1.5倍，产品至少10件．企业赠送的产品不能满足客户的需求，客户还需要另行购买部分产品，若产品单价为100元，求客户支付的总金额． 一十．解分式方程（共1小题） 29．（2022春•宁波期末）我们把形如，不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”． 例如为十字分式方程，可化为，，． 再如为十字分式方程，可化为，，． 应用上面的结论解答下列问题： （1）若为十字分式方程，则　　，　　． （2）若十字分式方程的两个解分别为，，求的值． （3）若关于的十字分式方程的两个解分别为，，求的值． 一十一．分式方程的应用（共3小题） 30．（2021春•婺城区校级期末）某工厂承接了一批纸箱加工任务，用如图1所示的长方形和正方形纸板（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图所示的竖式与横式两种无盖的长方形纸箱．（加工时接缝材料不计） （1）该工厂原计划用若干天加工纸箱200个，后来由于对方急需要货，实际加工时每天加工速度是原计划的1.5倍，这样提前2天超额完成了任务，且总共比原计划多加工40个，问原计划每天加工纸箱多少个； （2）若该厂购进正方形纸板1000张，长方形纸板2000张．问竖式纸盒，横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完； （3）该工厂某一天使用的材料清单上显示，这天一共使用正方形纸板50张，长方形纸板张，全部加工成上述两种纸盒，且，试求在这一天加工两种纸盒时，的所有可能值． 31．（2021春•婺城区校级期末）“十一”期间，某商场举行促销活动，活动期间规定：商场内所有商品按标价的出售；同时，当顾客在该商场消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券： 消费金额（元的范围 获得奖券金额（元 30 60 100 130 根据上述促销方法，顾客在该商场购物可获得双重优惠．例如，购买标价为450元的商品，则消费金额为（元，获得优惠额为：（元．设购买商品的优惠率．试问： （1）购买一件标价为800元的商品，顾客得到的优惠率是多少？ （2）若一顾客购买了一套西装，得到的优惠率为，已知该套西装的标价高于700元，低于850元，该套西装的标价是多少元？ 32．（2021春•奉化区校级期末）某服装店购进一批甲、乙两种款型时尚恤衫，甲种款型共用了7800元，乙种款型共用了6400元，甲种款型的件数是乙种款型件数的1.5倍，甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少30元． （1）甲、乙两种款型的恤衫各购进多少件？ （2）商店进价提高标价销售，销售一段时间后，甲款型全部售完，乙款型剩余一半，商店决定对乙款型按标价的五折降价销售，很快全部售完，求售完这批恤衫商店共获利多少元？ 一十二．平行线的性质（共12小题） 33．（2021春•奉化区校级期末）如图，已知直线射线，．是射线上一动点，过点作交射线于点，连接．作，交直线于点，平分． （1）若点，，都在点的右侧． ①求的度数； ②若，求的度数． （2）在点的运动过程中，是否存在这样的情形，使？若存在，求出的度数；若不存在，请说明理由． 34．（2021春•镇海区校级期末）已知：直线，点，在直线上，点，在直线上， （1）连接，，平分，平分，且，所在的直线交于点． ①如图1，若，，则的度数为 　　； ②如图2，设，，则的度数为 　　（用含有，的式子表示）． （2）如图3，平分，平分，，则和的数量关系是 　　． （3）如图4，若，，且平分，平分，猜想的结果并且证明你的结论； 35．（2021春•慈溪市期末）如图，直线，点，分别在直线，上（自左至右分别为，，和，，，．射线自射线的位置开始，绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转，同时，射线自射线开始以每秒的速度绕点沿顺时针方向旋转，当射线旋转到的位置时，两者停止运动．设旋转时间为秒． （1）如图1，直接写出下列答案： ①的度数； ②射线过点时的的值． （2）如图2，求当时的的值． （3）若两条射线和所在的直线交于点． ①如图3，若在与之间，且，求的值． ②若，求的度数（直接写出用含的代数式表示的结果）． 36．（2020春•奉化区期末）已知． （1）如图1，求的大小，并说明理由． （2）如图2，与的角平分线相交于点． ①若，，则　　． ②试探究与的数量关系，并说明你的理由． （3）如图3，与的角平分线相交于点，过点作交于点，若，求的度数． 37．（2023春•江北区校级期末）如图，已知，直线交于点，交于点．点是线段上一点，，分别在射线，上，连接，，平分，平分． （1）如图1，若，，则　　，　　； （2）如图2，求与之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，当时，若，，过点作交的延长线于点．将直线绕点顺时针旋转，速度为每秒，直线旋转后的对应直线为，同时绕点逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为△，当直线首次落到上时，整个运动停止．在此运动过程中，经过秒后，直线恰好平行于△的一条边，请直接写出所有满足条件的的值． 38．（2022春•婺城区期末）如图，已知，直线交于点，交于点．点是线段上一点，，分别在射线，上，连接，，平分，平分． （1）如图1，若，，则　　，　　． （2）如图2，求与之间的数量关系，并说明理由． （3）如图3，当时，若，，过点作交的延长线于点．将直线绕点顺时针旋转，速度为每秒，直线旋转后的对应直线为，同时绕点逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为△，当直线首次落到上时，整个运动停止．在此运动过程中，经过秒后，直线恰好平行于△的一条边，请直接写出所有满足条件的的值． 39．（2021春•镇海区期末）已知直线． （1）如图1，直接写出、、的数量关系为　　； （2）如图2，与的角平分线所在的直线相交于点，试探究与之间的数量关系，并证明你的结论； （3）如图3，，，直线、交于点，则　　． 40．（2021春•奉化区校级期末）如图，已知直线，且和、分别交于、两点，点在直线上． （1）、、之间的关系为 　　； （2）如果点在、两点之间运动时，、、之间的关系为 　　； （3）如果点（点和、不重合）在、两点外侧运动时，、、之间关系为 　　． 41．（2023春•镇海区期末）已知，，点为射线上一点． （1）如图1，若，，则　　； （2）如图2，当点在延长线上时，此时与交于点，则、、之间满足怎样的关系，请说明你的结论： （3）如图3，平分，交于点，交于点，且，，求的度数． 42．（2021春•奉化区校级期末）已知，直线，点为平面上一点，连接与． （1）如图1，点在直线、之间，当，时，求． （2）如图2，点在直线、之间，与的角平分线相交于点，写出与之间的数量关系，并说明理由． （3）如图3，点落在外，与的角平分线相交于点，与有何数量关系？并说明理由． 43．（2021春•越城区期末）如图1，已知直线，点、分别在直线与上．为两平行线间一点． （1）求证； （2）利用（1）的结论解答： ①如图2，、分别平分、，请你直接写出与的数量关系是 　　． ②如图3，、分别平分、，若，则的度数是 　　． 44．（2021春•婺城区校级期末）已知直线． （1）如图1，直接写出，和之间的数量关系是　　． （2）如图2，，分别平分，，那么和有怎样的数量关系？请说明理由． （3）如图3，点在直线的右侧，，仍平分，，请直接写出和的数量关系　　． 一十三．平行线的判定与性质（共5小题） 45．（2021春•奉化区校级期末）如图，，，分别为直线、上两点，且，若射线绕点顺时针旋转至后立即回转，射线绕点逆时针旋转至后立即回转，两射线分别绕点、点不停地旋转，若射线转动的速度是秒，射线转动的速度是秒，且、满足．若射线绕点顺时针先转动18秒，射线才开始绕点逆时针旋转，在射线到达之前，问射线再转动　　秒时，射线与射线互相平行． 46．（2021春•奉化区校级期末）课题学习：平行线的“等角转化”功能． 阅读理解： 如图1，已知点是外一点，连接，．求的度数． （1）阅读并补充下面推理过程． 解：过点作，所以　　，　　． 又因为．所以． 解题反思： 从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，， “凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 方法运用： （2）如图2，已知，求的度数． 提示：过点作． 深化拓展： （3）已知，点在点的右侧，，平分，平分，，所在的直线交于点，点在与两条平行线之间． 如图3，点在点的左侧，若，则的度数为　　． 47．（2021春•奉化区校级期末）感知如图①，，，，求的度数．小明想到了以下方法： 解；（1）如图①，过点作， （两直线平行，内错角相等） （已知）， （平行于同一条直线的两直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）． （已知）， （等式的性质）， （等式的性质）． 即（等量代换）． 探究如图②，，，，求的度数． 应用如图③所示，在探究的条件下，的平分线和的平分线交于点，则的度数是　　． 48．（2021春•奉化区校级期末）（1）如图1，已知直线，且和，分别交于，两点，点在线段上，则，，之间的等量关系是　 　；如图2，点在处北偏东方向，在处的北偏西方向，则　 　． （2）如图3，和的平分线交于，交于点，，试说明：；并探究与的数量关系． 49．（2023春•镇海区校级期末）如图1，将三角板与三角板摆放在一起；如图2，其中，，．固定三角板，将三角板绕点按顺时针方向旋转，记旋转角． （1）当为 　　度时，，并在图3中画出相应的图形； （2）在旋转过程中，试探究与之间的关系； （3）当旋转速度为秒时，且它的一边与的某一边平行（不共线）时，直接写出时间的所有值． 一十四．平移的性质（共1小题） 50．（2022春•西湖区校级期末）如图，直线，直线与、分别交于点、，．小安将一个含角的直角三角板按如图①放置，使点、分别在直线、上，且在点、的右侧，，． （1）填空：　　（填“”“ ”或“” ； （2）若的平分线交直线于点，如图②． ①当，时，求的度数； ②小安将三角板保持并向左平移，在平移的过程中求的度数（用含的式子表示）． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 浙江省七下期末真题必刷压轴50题（14个考点专练） 一．完全平方公式的几何背景（共1小题） 1．（2023春•鄞州区期末）如图，将几个小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形． （1）若用不同的方法计算这个边长为的正方形面积，就可以得到一个等式，这个等式可以为 　　（只要写出一个即可）； （2）请利用（1）中的等式解答下列问题： ①若三个实数，，满足，，求的值； ②若三个实数，，满足，，求的值． 【分析】（1）根据图形得出等式即可； （2）①先根据公式进行变形，再代入求出即可； ②先求出，再根据求出即可． 【解答】解：（1）， 故答案为：； （2）①，，， ； ②， ， ， ， ，， ， ． 【点评】本题考查了完全平方公式的应用，能灵活运用公式进行变形是解此题的关键． 二．整式的混合运算（共2小题） 2．（2022春•宁波期末）如图，将两张长为，宽为的长方形纸片按图1，图2两种方式放置，图1和图2中两张长方形纸片重叠部分分别记为①和②，正方形中未被这两张长方形纸片覆盖部分用阴影表示，图1和图2中阴影部分的面积分别记为和．若知道下列条件，仍不能求值的是　　 A．长方形纸片长和宽的差 B．长方形纸片的周长和面积 C．①和②的面积差 D．长方形纸片和①的面积差 【分析】用字母表示长度，列代数式，运用整式的运算进行验证． 【解答】 解：如图，设矩形的两边长分别是、；阴影部分的长分别为下、； 则，即：， ，； ； 矩形的面积是，矩形的周长是； 故、是正确的； 又因为①的面积是②的面积是； ； 故③正确， 故选：． 【点评】本题整式的混合运算的运用，熟记运算法则是解题的关键 3．（2020春•义乌市期末）如图，长方形的边，是边上的一点，且．，分别是线段，上的动点，且，现以，为边作长方形，以为边作正方形，点，均在长方形内部．记图中的阴影部分面积分别为，，长方形和正方形的重叠部分是四边形，当四边形的邻边比为时，的值为　7或　． 【分析】利用矩形及正方形的性质可求解，，根据当矩形的邻边的比为可求解的长，再利用的长分别求解，，的长，进而可求解，注意分类讨论． 【解答】解：在矩形中，，． 四边形为正方形，四边形为矩形，， 四边形为矩形，． ， ， ． 当矩形的邻边的比为时，，或， 解得或． 当时，，， ； 当时，，， ． 故答案为7或． 【点评】本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式混合运算的计算方法． 三．因式分解的应用（共2小题） 4．（2022春•金东区期末）通常情况下，不一定等于，观察下列几个式子： 第1个：； 第2个：； 第3个： 我们把符合的两个数叫做“和积数对”． （1）写出第4个式子． （2）写出第个式子，并检验． （3）若，是一对“和积数对”，求代数式的值． 【分析】（1）、（2）根据已知条件得出的规律，直接写即可． （3），是一对“和积数对”，所以可设，化简式子，代入再化简即可． 【解答】解：（1）第4个式子为； （2）第个式子； 检验：左边右边； （3），是一对“和积数对”， ， 设， 原式； 【点评】本题考查了新定义和化简求值问题，解题关键是读懂题意，根据新定义的规律解决问题． 5．（2021春•婺城区校级期末）小刚同学动手剪了如图①所示的正方形与长方形纸片若干张． （1）他用1张1号、1张2号和2张3号卡片拼出一个新的图形（如图②．根据这个图形的面积关系写出一个你所熟悉的乘法公式，这个乘法公式是　　； （2）如果要拼成一个长为，宽为的大长方形，则需要2号卡片　　张，3号卡片　　张； （3）当他拼成如图③所示的长方形，根据6张小纸片的面积和等于大纸片（长方形）的面积可以把多项式分解因式，其结果是　　； （4）动手操作，请你依照小刚的方法，利用拼图分解因式　　画出拼图． 【分析】（1）利用图②的面积可得出这个乘法公式是， （2）由如图③可得要拼成一个长为，宽为的大长方形，即可得出答案， （3）由图③可知矩形面积为，利用面积得出， （4）先分解因式，再根据边长画图即可． 【解答】解：（1）这个乘法公式是， 故答案为：． （2）由如图③可得要拼成一个长为，宽为的大长方形，则需要2号卡片2张，3号卡片3张； 故答案为：2，3． （3）由图③可知矩形面积为，所以， 故答案为：． （4）， 如图， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是能运用图形的面积计算的不同方法得到多项式的因式分解． 四．分式的定义（共1小题） 6．（2021春•奉化区校级期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”． 如，， 则和都是“和谐分式”． （1）下列各式中，属于“和谐分式”的是：　①③④　（填序号）； ①；②；③；④ （2）将“和谐分式化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为： 　　． （3）应用：已知方程组有正整数解，求整数的值． 【分析】（1）根据“和谐分式”的定义可判定求解； （2）根据分式的性质，结合“和谐分式”的定义进行化简求解； （3）先解方程组，再根据方程组的解为正整数可求解． 【解答】解：（1）①，故是和谐分式； ②，故不是和谐分式； ③，故是和谐分式； ④，故是和谐分式； 故答案为①③④； （2）， 故答案为； （3）解方程组得， 方程组有正整数解， 即且能被5整除， 解得或． 【点评】本题主要考查分式，属于新定义题，理解题意是解题的关键． 五．二元一次方程的解（共1小题） 7．（2023春•吴江区期末）定义：关于，的二元一次方程（其中中的常数项与未知数系数，之一互换，得到的方程叫“交换系数方程”，例如： 的交换系数方程为或． （1）方程 与它的“交换系数方程”组成的方程组的解为 　或　； （2）已知关于，的二元一次方程的系数满足，且与它的“交换系数方程”组成的方程组的解恰好是关于，的二元一次方程的一个解，求代数式的值； （3）已知整数，，满足条件，并且是关于，的二元一次方程的“交换系数方程”，求的值． 【分析】（1）根据“交换系数方程”的定义，得到2个“交换系数方程”，原方程分别与2个“交换系数方程”联立得到2个方程组，分别解这两个方程组即可； （2）根据“交换系数方程”的定义，得到的2个“交换系数方程”，分别与原方程联立得到2个方程组，分别解这两个方程组，将解分别代入二元一次方程，求出、、之间的关系，进而出求出的值； （3）首先写出的2个“交换系数方程”，其次令的各未知数的系数分别与2个“交换系数方程”的对应系数相等，得到2个方程组，最后求出符合条件的值即可． 【解答】解：（1）方程的“交换系数方程”为或， 方程 与它的“交换系数方程”组成的方程组为①或②． 方程组①的解为，方程组②的解为． 故答案为：或． （2）方程与它的“交换系数方程”组成的方程组为①或②． 方程组①的解为．当时，方程组①的解为； 方程组②的解为．当时，方程组②的解为． 方程与它的“交换系数方程”组成的方程组解为． 将代入，得． ． （3）的“交换系数方程”为或． 是关于，的二元一次方程的“交换系数方程”， 各系数与各系数对应相等，得①， 各系数与各系数对应相等，得②． 解方程组①得． ， ，解得为整数）． ， 若为整数，必须有，此时． ． 当时，． ． 解方程组②得（不是整数）， 方程组②的解不符合题意，需舍去． 综上，． 【点评】本题考查二元一次方程的解法，过程非常复杂，需要极强的计算能力和耐心． 六．二元一次方程组的解（共4小题） 8．（2022春•井研县期末）阅读下列材料，解答下面的问题： 我们知道方程有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解． 例：由，得：、为正整数）．要使为正整数，则为正整数，可知：为3的倍数，从而，代入．所以的正整数解为． 问题： （1）请你直接写出方程的正整数解． （2）若为自然数，则满足条件的正整数的值有 ． ．3个 ．4个 ．5个 ．6个 （3）关于，的二元一次方程组的解是正整数，求整数的值． 【分析】（1）根据二元一次方程的解得定义求出即可； （2）根据题意得出或3或2或1，求出即可； （3）先求出的值，即可求出的值． 【解答】解：（1）方程的正整数解为， 故答案为； （2）正整数有9，6，5，4，共4个， 故选； （3） ①②得：， 解得：， ，是正整数，是整数， ，2，4，8， ，2，0，， 但时，不是正整数，故，0，． 【点评】本题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解的应用，能灵活运用知识点求出特殊解是解此题的关键． 9．（2023春•黄石港区期末）已知关于，的方程组 （1）请直接写出方程的所有正整数解； （2）若方程组的解满足，求的值； （3）无论实数取何值，方程总有一个固定的解，请直接写出这个解？ （4）若方程组的解中恰为整数，也为整数，求的值． 【分析】（1）将做已知数求出，即可确定出方程的正整数解． （2）将与原方程组中的第一个方程组成新的方程组，可得、的值，再代入第二个方程中可得的值； （3）当含项为零时，取，代入可得固定的解； （4）求出方程组中的值，根据恰为整数，也为整数，确定的值． 【解答】解：（1）方程，， 解得：， 当时，；当时，， 方程的所有正整数解为：，； （2）由题意得：，解得， 把代入，解得； （3）， ， 当时，， 即固定的解为：， （4）， ①②得：， ， ， 恰为整数，也为整数， 是1的约数， 或， 或． 【点评】此题考查了解二元一次方程的整数解和二元一次方程组的解，熟练掌握运算法则和求方程组的解是本题的关键． 10．（2022春•范县期末）阅读下列解方程组的方法，然后回答问题． 解方程组 解：由①②得即③， ③得④， ②④得， 解得： 把代入③得： 解得： 方程组的解是 （1）请你仿照上面的解法解方程组； （2）猜测关于，的方程组的解是什么，并通过解这个方程组加以验证． 【分析】（1）①②得出③，②③得出，求出，再把代入③求出即可； （2）①②得出，求出③，①③得出，求出，再把代入③求出即可． 【解答】解：（1）， ①②，得③， ②③得出， 解得：， 把代入③，得， 解得；， 所以原方程组的解是； （2）， ①②得出， ③， ①③得出， 解得：， 把代入③，得， 解得；， 所以原方程组的解是． 【点评】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，能求出是解此题的关键． 11．（2022春•泉州期末）已知是关于，的二元一次方程组． （1）求方程组的解（用含的代数式表示）； （2）若，求的值； （3）若，之间（不含，有且只有一个整数，求的取值范围． 【分析】（1）①②得到③，①③求得，②③求得； （2）将方程组的解代入，可求的值； （3）分两种情况，根据，之间（不含，有且只有一个整数，列出不等式组求解即可． 【解答】解：（1）， ①②得：， ③， ①③得：， ②③得：， 方程组的解为， （2）， ， ． （3）①当时，， 即， ； ②当时，， 即， ； 综上，且． 【点评】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，根据，之间（不含，有且只有一个整数，列出不等式组是解题的关键． 七．解二元一次方程组（共3小题） 12．（2022春•广陵区期末）汛期即将来临，防汛指挥部在某水域一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看河水及两岸河堤的情况．如图，灯射出的光束自顺时针旋转至便立即回转，灯射出的光束自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯射出的光束转动的速度是秒，灯射出的光束转动的速度是秒，且、满足．假定这一带水域两岸河堤是平行的，即，且． （1）求、的值； （2）如图2，两灯同时转动，在灯射出的光束到达之前，若两灯射出的光束交于点，过作交于点，若，求的度数； （3）若灯射线先转动30秒，灯射出的光束才开始转动，在灯射出的光束到达之前，灯转动几秒，两灯的光束互相平行？ 【分析】（1）根据，可得，且，进而得出、的值； （2）设灯射线转动时间为秒，根据可得的值，根据可得； （3）设灯转动秒，两灯的光束互相平行，分两种情况进行讨论：①在灯射线转到之前，②在灯射线转到之后，分别求得的值即可． 【解答】解：（1）． 又，． ，； （2）设灯转动时间为秒， 又， ， ， ， ， ， ； （3）设灯转动秒，两灯的光束互相平行． 依题意得 ①当时，， 解得； ②当时，， 解得； ③当时，， 解得（不合题意） 综上所述，当秒或82.5秒时，两灯的光束互相平行． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，非负数的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：若两个非负数的和为0，则这两个非负数均等于0． 13．（2021春•金乡县期末）阅读材料并回答下列问题： 当，都是实数，且满足，就称点为“爱心点”． （1）判断点，哪个点为“爱心点”，并说明理由； （2）若点也是“爱心点”，请求出的值； （3）已知，为有理数，且关于，的方程组解为坐标的点是“爱心点”，求，的值． 【分析】（1）根据“爱心点”的定义，列出方程组计算即可求解； （2）根据“爱心点”的定义，可得方程组，先求得，再求得，进一步得到的值； （3）解方程组用和表示和，代入，得到关于和的等式，再根据，为有理数，求出，的值． 【解答】解：（1）点是爱心点，点不是爱心点，理由如下： ， ， ， 点是爱心点； ， ， ， 点不是爱心点； （2）点为爱心点， ， ， 又， ， 解得， ，即； （3）解方程组得， 又点是爱心点满足：， ， ， ， 整理得：2 ， ，是有理数， ，， ，． 【点评】本题主要考查了解二元一次方程组，考查了阅读理解能力及迁移运用能力，根据爱心点的定义列出方程组是解题的关键． 14．（2021春•姑苏区期末）阅读以下内容： 已知实数，满足，且求的值， 三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路： 甲同学：先解关于，的方程组，再求的值、 乙同学：将原方程组中的两个方程相加，再求的值 丙同学：先解方程组，再求的值 （1）试选择其中一名同学的思路，解答此题 （2）试说明在关于、的方程组中，不论取什么实数，的值始终不变． 【分析】（1）①②可得，因为，整体代入求出即可； （2）①②消去即可判断； 【解答】解：（1）， ①②得到，， ， 解得． （2） ①②得到：， ， 不论取什么实数，的值始终不变． 【点评】本题考查二元一次方程组，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用整体的思想考虑问题，属于中考常考题型． 八．二元一次方程组的应用（共11小题） 15．（2023春•盘山县期末）某中学新建了一栋4层的教学大楼，每层楼有8间教室，进出这栋大楼共有4道门，其中两道正门大小相同，两道侧门大小也相同．安全检查中，对4道门进行了测试：当同时开启一扇正门和两扇侧门，1分钟内可以通过280名学生；当同时开启一扇正门和一扇侧门时，4分钟内可通过800名学生． （1）求平均每分钟一道正门的一道侧门各可以通过多少名学生？ （2）检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门的效率降低．安全检查规定，在紧急情况下全大楼的学生应在5分钟内通过这4道门安全撤离．假设这栋教学大楼每间教室最多有45名学生，则建造的这4道门是否符合安全规定？请你说明理由． 【分析】（1）设平均每分钟一道正门可以通过名学生，一道侧门可以通过名学生，根据当同时开启一道正门和两道侧门时，每分钟可以通过280名学生；当同时开启一道正门和一道侧门时，每分钟可以通过200名学生．两个关系列方程组求解． （2）根据（1）的数据，可以求出拥挤时5分钟四道门可通过的学生人数，与这栋楼学生数比较得出答案． 【解答】解：（1）设一个正门平均每分钟通过名学生，一个侧门平均每分钟通过名学生， 由题意，得 ， 解得：． 答：一个正门平均每分钟通过120名学生，一个侧门平均每分钟通过80名学生． （2）共有学生：， 在拥挤的状态下5分钟通过：， ． 建造的这4道门是符合安全规定． 【点评】此题考查的知识点是二元一次方程组的应用，关键是现根据已知列方程组求解，然后计算拥挤时，5分钟内4道门能通过的学生数与现有学生数比较． 16．（2023春•隆回县期末）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的一部分信息：（水价计费自来水销售费用污水处理费用） 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元吨 单价：元吨 17吨及以下 0.80 超过17吨不超过30吨的部分 0.80 超过30吨的部分 6.00 0.80 已知小王家2012年4月份用水20吨，交水费66元；5月份用水25吨，交水费91元． （1）求，的值． （2）小王家6月份交水费184元，则小王家6月份用水多少吨？ 【分析】（1）根据题意和表格可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求出、的值； （2）根据题意可以列出相应的方程，从而可以求得小王家本月用水量为多少吨． 【解答】解：（1）根据题意可得， ， 解得，， 即的值是2.2，的值是4.2； （2）设小王家6月份用水吨， 根据题意知，30吨的水费为：， ， 小王家6月份计划用水超过了30吨 ， 解得， 即小王家6月份用水量40吨． 【点评】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的方程组． 17．（2023春•围场县期末）宁波杨梅季，本地慈溪杨梅在宁波人的心中是一种家乡的味道．今年是杨梅大年，菜杨梅种植大户为了能让居民品尝到物美价廉的杨梅，对1000斤的杨梅进行打包方式优惠出售．打包方式及售价如下：圆篮每篮8斤，售价160元；方篮每篮18斤，售价270元．假如用这两种打包方式恰好全部装完这1000斤杨梅． （1）若销售篮圆篮和篮方篮共收入8600元，求的值； （2）当销售总收入为16760元时， ①若这批杨梅全部售完，请问圆篮共包装了多少篮，方篮共包装了多少篮； ②若杨梅大户留下篮圆篮送人，其余的杨梅全部售出，求的值． 【分析】（1）根据收入共8600元，可得出一元一次方程，解出即可； （2）①设圆篮共包装了篮，则方篮共包装 篮，根据等量关系可得出方程组，解出即可； ②设此时出售了篮圆篮，篮方篮杨梅，根据等量关系可得出关于和的方程组，根据为正整数，可以求出的大致范围以及为9的倍数，从而得到的值． 【解答】解：（1）由题意，得， 解得：， 答：的值为20． （2）①设圆篮共包装了篮，则方篮共包装 篮， 由题意，得， 解得：， 答：圆篮共包装了44篮，则方篮共包装36 篮． ②设此时出售了篮圆篮，篮方篮杨梅， 则， 解这个关于和的方程组，可得： ， 为正整数， ，且应为9的倍数， 解得：， 又， 的值为9或18． 答：的值为9或18． 【点评】本题考查了二元一次方程组及二元一次方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，理解题目所述的意思，转化为方程思想求解，难度一般． 18．（2023春•兖州区期末）如图，欣欣食品加工厂与湖州、杭州两地有公路、铁路相连，该食品加工厂从湖州收购一批每吨2000元的枇杷运回工厂加工，制成每吨8000元的枇杷干运到杭州销售，已知公路运价为0.8元（吨千米），铁路运价为0.5元（吨千米），且这次运输共支出公路运输费960元，铁路运输费1900元． 求：（1）该工厂从湖州购买了多少吨枇杷？制成运往杭州的枇杷干多少吨？ （2）这批枇杷干的销售款比购买枇杷费用与运输费用的和多多少元？ 【分析】（1）设该工厂从湖州购买了吨枇杷，制成运往杭州的枇杷干吨，根据运费每吨每千米的运费运输重量结合这次运输共支出公路运输费960元、铁路运输费1900元，即可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据利润销售收入成本运费，即可得出结论． 【解答】解：（1）设该工厂从湖州购买了吨枇杷，制成运往杭州的枇杷干吨， 根据题意得：， 解得：． 答：该工厂从湖州购买了50吨枇杷，制成运往杭州的枇杷干20吨． （2）（元． 答：这批枇杷干的销售款比购买枇杷费用与运输费用的和多57140元． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据利润销售收入成本运费，列式计算． 19．（2023春•新邵县期末）一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付给两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付给两组费用共3480元，问： （1）甲、乙两组单独工作一天，商店应各付多少元？ （2）已知甲组单独完成需要12天，乙组单独完成需要24天，若装修完后，商店每天可盈利200元，你认为如何安排施工有利于商店经营？说说你的理由．（提示：三种施工方式：方式一甲单独完成；方式二乙组单独完成；方式三甲、乙两个装修组同时施工． 【分析】（1）设甲组单独工作一天需要元，乙组单独工作一天商店需付元，根据两组合作8天需付3520元，甲组单独做6天，乙组单独做12天，需付费用共3480元，据此列方程组求解； （2）本题可将每种施工方法的施工费加上施工期间商店损失的费用，然后将不同方案计算出的结果进行比较，损失最少的方案就是最有利商店的方案． 【解答】解：（1）设甲组单独工作一天需要元，乙组单独工作一天商店需付元， 由题意得，， 解得：． 答：甲组单独工作一天需要300元，乙组单独工作一天商店需付140元； （2）单独请甲组，需费用元，少盈利元，相当于损失6000元； 单独请乙组，需费用元，少盈利元，相当于损失8160元； 甲、乙两个装修组同时施工：（元，少盈利（元，相当于损失5120元； ， 甲、乙两个装修组同时施工更有利于商店经营． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解． 20．（2023春•永川区期末）小文在甲、乙两家超市发现他看中的篮球的单价相同，书包单价也相同，一个篮球和三个书包的总费用是400元．两个篮球和一个书包的总费用也是400元． （1）求小文看中的篮球和书包单价各是多少元？ （2）某一天小文上街，恰好赶上商家促销，超市甲所有商品打九折销售，超市乙全场购物满100元返30元购物券（不足100元不返券，购物券全场通用），如果他只能在同一家超市购买他看中的篮球和书包各一个，应选择哪一家超市购买更省钱？ 【分析】（1）设篮球的单价为元，书包的单价为元．根据一个篮球和三个书包的总费用是400元，得方程；根据两个篮球和一个书包的总费用是400元，得方程．联立解方程组即可求解； （2）根据（1）知两件商品单价之和是240元，首先计算超市甲，打九折的价格是216元；再根据超市乙全场购物满100元返30元购物券（不足100元不返券，购物券全场通用），则先拿160元购买篮球，返还30元购物券，再拿50元现金即可购买，共花钱210元．然后比较两个超市的价钱，进行判断． 【解答】解：设篮球的单价为元，书包的单价为元．根据题意得 ， 解得． 答：小文看中的篮球单价为160元，书包单价为80元． （2）在超市甲购买一个篮球与一个书包共需花费现金：（元 在超市乙可先花费现金160元购买篮球，再利用得到的30元返券，加上50元现金购买书包，总计共需花费现金： （元 因为， 所以在超市乙购买更省钱． 【点评】考查了二元一次方程组的应用．根据实际问题中的条件列方程组时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组．同时在（2）中，要理解透彻两个超市的优惠政策． 21．（2023春•黄梅县期末）某服装店用4400元购进，两种新式服装，按标价售出后可获得毛利润2800元（毛利润售价进价），这两种服装的进价，标价如表所示． 类型价格 型 型 进价（元件） 60 100 标价（元件） 100 160 请利用二元一次方程组求这两种服装各购进的件数． 【分析】设种服装购进件，种服装购进件，根据用4400元购进、两种新式服装，按标价售出后获得毛利润2800元，列方程组求解． 【解答】解：设种服装购进件，种服装购进件， 由题意，得， 解得：． 答：种服装购进40件，种服装购进20件． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解． 22．（2023春•兰陵县期末）学校捐资购买了一批物资120吨打算支援山区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（吨辆） 5 8 10 汽车运费（元辆） 400 500 600 （1）若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？ （2）为了节省运费，该学校打算用甲、乙、丙三种车型同时参与运送，已知它们的总辆数为14辆，你能分别求出三种车型的辆数吗？此时的运费又是多少元？ 【分析】（1）设需甲车辆，乙车辆列出方程组即可． （2）设甲车有辆，乙车有辆，则丙车有辆，列出等式． 【解答】解：（1）设需甲车辆，乙车辆，根据题意得 ， 解得． 答：需甲种车型为8辆，乙种车型为10辆． （2）设甲车有辆，乙车有辆，则丙车有辆，由题意得 ， 化简得， 即， 、、均为正整数， 只能等于5，从而，， 甲车2辆，乙车5辆，丙车7辆， 需运费（元． 答：甲车2辆，乙车5辆，丙车7辆，需运费7500元． 【点评】本题考查二元一次方程组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出方程即可求解．利用整体思想和未知数的实际意义通过筛选法可得到未知数的具体解，这种方法要掌握． 23．（2023春•邻水县期末）某电器超市销售每台进价分别为200元、170元的、两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 种型号 种型号 第一周 3台 5台 1800元 第二周 4台 10台 3100元 （进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本） （1）求、两种型号的电风扇的销售单价； （2）若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，求种型号的电风扇最多能采购多少台？ （3）在（2）的条件下，超市销售完这30台电风扇能否实现利润为1400元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【分析】（1）设、两种型号电风扇的销售单价分别为元、元，根据3台型号5台型号的电扇收入1800元，4台型号10台型号的电扇收入3100元，列方程组求解； （2）设采购种型号电风扇台，则采购种型号电风扇台，根据金额不多余5400元，列不等式求解； （3）设利润为1400元，列方程求出的值为20，不符合（2）的条件，可知不能实现目标． 【解答】解：（1）设、两种型号电风扇的销售单价分别为元、元， 依题意得：， 解得：， 答：、两种型号电风扇的销售单价分别为250元、210元； （2）设采购种型号电风扇台，则采购种型号电风扇台． 依题意得：， 解得：． 答：超市最多采购种型号电风扇10台时，采购金额不多于5400元； （3）依题意有：， 解得：， ， 在（2）的条件下超市不能实现利润1400元的目标． 【点评】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解． 24．（2022秋•包河区期末）我市某包装生产企业承接了一批上海世博会的礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下型与型两种板材．如图甲，（单位： （1）列出方程（组，求出图甲中与的值； （2）在试生产阶段，若将30张标准板材用裁法一裁剪，4张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的型与型板材做侧面和底面，做成图乙的竖式与横式两种礼品盒． ①两种裁法共产生型板材 　64　张，型板材 　　张； ②已知①中的型板材和型板材恰好做成竖式有盖礼品盒个，横式无盖礼品盒的个，求、的值． 【分析】（1）由图示利用板材的长列出关于、的二元一次方程组求解； （2）①根据已知和图示计算出两种裁法共产生型板材和型板材的张数； ②根据竖式与横式礼品盒所需要的、两种型号板材的张数列出关于、的二元一次方程组，然后求解即可． 【解答】解：（1）由题意得：， 解得：， 答：图甲中与的值分别为：60、40； （2）①由图示裁法一产生型板材为：，裁法二产生型板材为：， 所以两种裁法共产生型板材为（张， 由图示裁法一产生型板材为：，裁法二产生型板材为：， 所以两种裁法共产生型板材为（张， 故答案为：64，38； ②根据题意竖式有盖礼品盒的个，横式无盖礼品盒的个， 则型板材需要个，型板材需要个， 所以， 解得． 【点评】本题考查的知识点是二元一次方程组的应用，关键是根据已知先列出二元一次方程组求出、的值，根据图示列出算式以及关于、的二元一次方程组． 25．（2022春•固始县期末）一批货物要运往某地，货主准备租用汽车运输公司的甲、乙两种货车．已知过去两次租用这两种货车的情况如表： 第一次 第二次 甲种货车辆数（单位：辆） 2 5 乙种货车辆数（单位：辆） 3 6 累计货运吨数（单位：吨） 15.5 35 现租用该公司3辆甲种货车及5辆乙种货车一次刚好运完这批货，如果按每吨付运费30元计算．问：货主应付费多少元？ 【分析】先设甲种货车每辆车运吨，乙种货车每辆车运吨，根据已知列方程组，求出两种车的运贷的吨数，再根据“现租用该公司3辆甲种货车及5辆乙种货车”计算本次运贷的总吨数，并计算运费． 【解答】解：设甲种货车每辆车运吨，乙种货车每辆车运吨， 根据题意得：， 解得：， （元， 答：货主应付费735元． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，恰当设未知数，列方程组是本题的关键，主要弄清甲种货车及乙种货车每辆车装的吨数． 九．三元一次方程组的应用（共3小题） 26．（2022春•江北区期末）响应国家号召，某区推进新型农村建设，强村富民．村民小红家准备将一块良田分成、、三个区域来种植三种畅销型农作物．爸爸计划好三个区域的占地面积后，小红主动承担起实地划分的任务．划分完毕后，爸爸发现粗心的小红将区的面积划分给了区，而原区的面积错划分给了区，区面积未出错，造成现区的面积占、两区面积和的比例达到了．为了协调三个区域的面积占比，爸爸只好将区面积的分成两部分划分给现在的区和区．爸爸划分完后，、、三个区域的面积比变为，那么爸爸从区划分给区的面积与良田总面积的比为　　． 【分析】本题属于三元一次方程的综合应用题，根据、、三个区域分别设未知数，根据题干找到等量关系列出方程找出比例即可． 【解答】解：设爸爸计划、、三个区域的面积分别为、、． 则由小红将区的面积划分给了区，而原区的面积错划分给了区，造成现区的面积占、两区面积和的比例达到了， 可列方程：， 解得：， 则此时，区：， 区：， 区：， 由爸爸只好将区面积的分成两部分划分给现在的区和区．爸爸划分完后，、、三个区域的面积比变为， 可列方程：， 解得：， 设将区面积的分成两部分划分给现在的区为，则区为．由三个区域的面积比变为可列方程： 解得：， 爸爸从区划分给区的面积为：， 则爸爸从区划分给区的面积与良田总面积的比为：， 故答案为：． 【点评】本题考查三元一次方程的综合应用题，根据、、三个区域分别设未知数，根据题干找到等量关系列出方程找出比值即可． 27．（2022春•丰都县期末）全球棉花看中国，中国棉花看新疆．新疆长绒棉花是世界顶级棉花，品质优，产量大，常年供不应求．綦江区某超市为了支持新疆棉花，在“五一节”进行促销活动，将新疆棉制成、、三种品牌毛巾混装成甲、乙、丙三种礼包销售，其中甲礼包含1条品牌毛巾、2条品牌毛巾；乙礼包含2条品牌毛巾、2条品牌毛巾，3条品牌毛巾；丙礼包含2条品牌毛巾、4条品牌毛巾，每个礼包的售价等于礼包各条毛巾售价之和，5月1日当天，超市对、、三个品牌毛巾的售价分别打8折、7折、5折销售，5月2日恢复原价，小明发现5月1日一个甲礼包的售价等于5月2日一个乙礼包售价的，5月1日一个乙礼包的售价比5月2日一个丙礼包售价少0.8元，若、、三个品牌的毛巾原价都是正整数，且品牌毛巾的原价不超过11元，则小明在5月1日购买的一个甲礼包和一个乙礼包，应该付 　40.4　元． 【分析】根据题意可设品牌毛巾原售价为元，品牌毛巾原售价为元，品牌毛巾原售价为元，同时可得出5月1日各品牌毛巾打折后的价格，根据题意，可列出关于，，的两个三元一次方程，经过化简，可得到三者之间的关系，然后利用品牌毛巾售价不超过11元，且各毛巾是价格均为整数，可得三种品牌毛巾的价格，代入5月1日打折后的礼包价格求解即可． 【解答】解：设品牌毛巾原售价为元，品牌毛巾原售价为元，品牌毛巾原售价为元，则5月1日，品牌毛巾售价为元，品牌毛巾售价为元，品牌毛巾原售价为元． 则5月1日打折后礼包售价分别为： 甲礼包：元； 乙礼包：元； 丙礼包：元； 5月2日礼包恢复原价后售价分别为： 甲礼包：元； 乙礼包：元； 丙礼包：元； 根据题意可得： ， 化简得：， 将①代入②可得：， 综上可得：，， 品牌毛巾售价不超过11元，且各毛巾是价格均为整数， ， ， ， 只能取4， 则，， ， 则5月1日购买甲、乙礼包花费为： ， 代入可得：（元， 故答案为：40.4． 【点评】本题主要考查三元一次方程应用及根据不等式关系确定未知数的取值，对三元一次方程组的化简及利用不等式求解是题目难点． 28．（2023春•德化县期末）在中国进出口商品交易会上，某陶瓷企业出售了，，三种产品．已知出售1件产品和2件产品共收入900元，出售2件产品和3件产品共收入1600元． （1）求产品和产品的单价； （2）若出售，两种产品（均有销售）共收入2400元，则出售，两种产品各几件？ （3）为推广产品，该企业开展促销活动：每出售一件产品，赠送2件产品．某客户欲购买，，三种产品共50件，并要求产品的件数是产品的1.5倍，产品至少10件．企业赠送的产品不能满足客户的需求，客户还需要另行购买部分产品，若产品单价为100元，求客户支付的总金额． 【分析】（1）设产品的单价元，产品的单价元，根据出售1件产品和2件产品共收入900元，出售2件产品和3件产品共收入1600元列方程组，解方程组可求解，值即可求解； （2）设出售产品件，则出售产品件，根据出售，两种产品（均有销售）共收入2400元列方程，结合，的取值范围可求解，的值； （3）设该客户支付的总金额为元，购买产品件，则产品件，产品件，根据三种产品支付金额的和可列式，再根据的取值可确定取值，代入计算可求解． 【解答】解：（1）设产品的单价元，产品的单价元， 由题意得，， 解得， 答：产品的单价500元，产品的单价200元； （2）设出售产品件，则出售产品件， 由题意得， 化简得， ，为正整数， 或， 答：出售产品2件，产品7件或出售产品4件，产品2件； （3）设该客户支付的总金额为元，购买产品件，则产品件，产品件， 由题意得： ， ，， ， 为正整数，也是正整数， ， 当时，（元． 答：客户支付的总金额为8500元． 【点评】本题主要考查二元一次方程（组的应用，找准等量关系是解题的关键． 一十．解分式方程（共1小题） 29．（2022春•宁波期末）我们把形如，不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”． 例如为十字分式方程，可化为，，． 再如为十字分式方程，可化为，，． 应用上面的结论解答下列问题： （1）若为十字分式方程，则　　，　　． （2）若十字分式方程的两个解分别为，，求的值． （3）若关于的十字分式方程的两个解分别为，，求的值． 【分析】（1）类比题目中“十字方程”的答题方法即可求解． （2）结合运用“十字方程”并代数运算即可求解 （3）善于观察并分析方程，代入运算即可求解． 【解答】解：（1）可化为， ，． （2）由已知得，， ． （3）原方程变为， ，， ． 【点评】本题考查根与系数的关系，分式方程；理解“十字方程”的定义以及题目中的答题方法，能够将所求分式方程转化为二元一次方程组求解是解题的关键． 一十一．分式方程的应用（共3小题） 30．（2021春•婺城区校级期末）某工厂承接了一批纸箱加工任务，用如图1所示的长方形和正方形纸板（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图所示的竖式与横式两种无盖的长方形纸箱．（加工时接缝材料不计） （1）该工厂原计划用若干天加工纸箱200个，后来由于对方急需要货，实际加工时每天加工速度是原计划的1.5倍，这样提前2天超额完成了任务，且总共比原计划多加工40个，问原计划每天加工纸箱多少个； （2）若该厂购进正方形纸板1000张，长方形纸板2000张．问竖式纸盒，横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完； （3）该工厂某一天使用的材料清单上显示，这天一共使用正方形纸板50张，长方形纸板张，全部加工成上述两种纸盒，且，试求在这一天加工两种纸盒时，的所有可能值． 【分析】（1）设原计划每天加工纸箱个，则现在每天加工个，根据题意列出分式方程解答即可； （2）折竖式纸盒，横式纸盒各加工、个，根据购进正方形纸板1000张，长方形纸板2000张，恰好能将购进的纸板全部用完列出方程组解答即可； （2）设个竖式需要正方形纸板张，长方形纸板横张；个横式需要正方形纸板张，长方形纸板横张，可列出方程组，再根据的取值范围求出的取值范围即可． 【解答】解：（1）设原计划每天加工纸箱个，则现在每天加工个，由题意得 解得 经检验是原分式方程的解， 答：原计划每天加工纸箱20个． （2）设加工竖式纸盒个，加工横式纸盒个， 依题意，得 解得： 答：加工竖式纸盒200个，加工横式纸盒400个； （3）设加工竖式纸盒个，加工横式纸盒个， 依题意得： ， 、为正整数， 为5的倍数， 满足条件的为：125，130，135． 当时，，； 当时，，； 当时，，据符合题意， 所有可能的值是125，130，135 【点评】本题考查分式方程、二元一次方程组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题找出等量关系式解答即可． 31．（2021春•婺城区校级期末）“十一”期间，某商场举行促销活动，活动期间规定：商场内所有商品按标价的出售；同时，当顾客在该商场消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券： 消费金额（元的范围 获得奖券金额（元 30 60 100 130 根据上述促销方法，顾客在该商场购物可获得双重优惠．例如，购买标价为450元的商品，则消费金额为（元，获得优惠额为：（元．设购买商品的优惠率．试问： （1）购买一件标价为800元的商品，顾客得到的优惠率是多少？ （2）若一顾客购买了一套西装，得到的优惠率为，已知该套西装的标价高于700元，低于850元，该套西装的标价是多少元？ 【分析】（1）由800元得出消费金额，再根据表中规定应享受100元优惠．则根据题目提供的优惠计算方法即可求出优惠额，从而得到优惠率； （2）因为西服标价高于700元，低于850，所以其消费额最小为（元，最大为（元，，因此获得的奖券金额为100元，设西服标价元，根据题意可列出方程，解方程即可． 【解答】解：（1）消费金额为（元， 获得优惠额为：（元， 所以优惠率为：； （2）因为西服标价高于700元，低于850，所以其消费额最小为（元，最大为（元，， 设西服标价元，根据题意得 ， 解得， 经检验，是原方程的根． 答：该套西装的标价为750元． 【点评】列分式方程解应用题与所有列方程解应用题一样，重点在于准确地找出相等关系，这是列方程的依据．要注意题中给出的判断条件．此题关键是套用优惠率的公式． 32．（2021春•奉化区校级期末）某服装店购进一批甲、乙两种款型时尚恤衫，甲种款型共用了7800元，乙种款型共用了6400元，甲种款型的件数是乙种款型件数的1.5倍，甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少30元． （1）甲、乙两种款型的恤衫各购进多少件？ （2）商店进价提高标价销售，销售一段时间后，甲款型全部售完，乙款型剩余一半，商店决定对乙款型按标价的五折降价销售，很快全部售完，求售完这批恤衫商店共获利多少元？ 【分析】（1）可设乙种款型的恤衫购进件，则甲种款型的恤衫购进件，根据甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少30元，列出方程即可求解； （2）先求出甲款型的利润，乙款型前面销售一半的利润，后面销售一半的亏损，再相加即可求解． 【解答】解：（1）设乙种款型的恤衫购进件，则甲种款型的恤衫购进件，依题意有 ， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ． 答：甲种款型的恤衫购进60件，乙种款型的恤衫购进40件； （2）， （元， （元 答：售完这批恤衫商店共获利5960元． 【点评】本题考查了列分式方程解实际问题的运用，分式方程的解法的运用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 一十二．平行线的性质（共12小题） 33．（2021春•奉化区校级期末）如图，已知直线射线，．是射线上一动点，过点作交射线于点，连接．作，交直线于点，平分． （1）若点，，都在点的右侧． ①求的度数； ②若，求的度数． （2）在点的运动过程中，是否存在这样的情形，使？若存在，求出的度数；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）①依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到的度数； ②依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到，再根据，即可得出； （2）设，，则，分两种情况讨论：①当点、在点的右侧时，②当点、在点的左侧时，依据等量关系列方程求解即可． 【解答】解：（1）①，， ， ，平分， ； ② ，， 又， ， ，， ， ； （2）设，，则， ①当点、在点的右侧时， 则， ， ， 解得， ； ②当点、在点的左侧时， 则， ，， ， 解得， ， ， ． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等． 34．（2021春•镇海区校级期末）已知：直线，点，在直线上，点，在直线上， （1）连接，，平分，平分，且，所在的直线交于点． ①如图1，若，，则的度数为 　　； ②如图2，设，，则的度数为 　　（用含有，的式子表示）． （2）如图3，平分，平分，，则和的数量关系是 　　． （3）如图4，若，，且平分，平分，猜想的结果并且证明你的结论； 【分析】（1）①过点作，根据平行线的性质和角平分线的定义求解； ②过点作，根据平行线的性质和角平分线的定义求解； （2）根据（1）的结论，再利用角平分线的定义求解； （3）根据（1）的结论，再利用等式的性质求解求解． 【解答】解：（1）①如图：过点作，则有， ， ， ， ，即， 平分，平分， ，， ； 故答案为：； ②过点作，如图： 则， ， ， ， ， ，即， 平分，平分， ，， ； 故答案为：； （2）平分，平分， ，， ， ， 由（1）中的结论得： ， ， 故答案为：； （3）平分，平分， ，， 由（1）的结论得： ①， ②， ①②得： ． 【点评】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义及等式的性质，添加辅助线是解题的关键． 35．（2021春•慈溪市期末）如图，直线，点，分别在直线，上（自左至右分别为，，和，，，．射线自射线的位置开始，绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转，同时，射线自射线开始以每秒的速度绕点沿顺时针方向旋转，当射线旋转到的位置时，两者停止运动．设旋转时间为秒． （1）如图1，直接写出下列答案： ①的度数； ②射线过点时的的值． （2）如图2，求当时的的值． （3）若两条射线和所在的直线交于点． ①如图3，若在与之间，且，求的值． ②若，求的度数（直接写出用含的代数式表示的结果）． 【分析】（1）①由，，可得：，故． ②当射线旋转到所在直线时，则射线过点．那么，射线旋转的角度为120，故．从而推断出． （2）当时，，故．那么，． （3）①由题意可得：，，，故．由，故． ②如图，由，射线始终在内部．此时，在的下方．由题意可得：，，故．又由，故． 【解答】解：（1）①，， ． ． ②当射线旋转到的位置时，两者停止运动， 当时，两者停止运动． 此时，射线在的内部． 由题意知：． ， ． 当射线旋转到所在直线时，则射线过点． 射线旋转的角度为120． ． （符合题意）． （2）当时，． ． ． （符合题意）． （3）①若在与之间，则． 由题意可得：，，． ． 又， ． （符合题意）． ②如图4，当时，， 如图5，当时，． 【点评】本题主要考查平行线的性质、三角形内角和定理以及三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质、三角形内角和定理以及三角形外角的性质是解决本题的关键． 36．（2020春•奉化区期末）已知． （1）如图1，求的大小，并说明理由． （2）如图2，与的角平分线相交于点． ①若，，则　　． ②试探究与的数量关系，并说明你的理由． （3）如图3，与的角平分线相交于点，过点作交于点，若，求的度数． 【分析】（1）过作，判定，根据平行线的性质可求解； （2）①由（1）的结论可求解，利用角平分线的定义可求，，再结合平行线段的性质可求解；②可采用①的解题方法换算求解； （3）设，则，根据列方程，解方程即可求解． 【解答】解：（1）过作， ， ， ， ， ， ； （2）①由（1）知， ，， ， 与的角平分线相交于点， ，， ， ， ， 故答案为； ②由（1）知， ， 与的角平分线相交于点， ，， ， ， ， 即； （3）设，则， 由题意得， 解得， 答：的度数为． 【点评】本题主要考查平行线的性质与判定，角平分线的定义，三角形的内角和定理，注意方程思想的应用． 37．（2023春•江北区校级期末）如图，已知，直线交于点，交于点．点是线段上一点，，分别在射线，上，连接，，平分，平分． （1）如图1，若，，则　27　，　　； （2）如图2，求与之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，当时，若，，过点作交的延长线于点．将直线绕点顺时针旋转，速度为每秒，直线旋转后的对应直线为，同时绕点逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为△，当直线首次落到上时，整个运动停止．在此运动过程中，经过秒后，直线恰好平行于△的一条边，请直接写出所有满足条件的的值． 【分析】（1）延长交于，设，交于点，设，则，根据可表示出，进而根据三角形内角和推论表示出，进而表示出，然后结合和内角和得出关系式，进一步得出结果； （2）类比（1）的方法过程，得出结果； （3）分为△的三边分别与平行，分别画出图形求解即可． 【解答】解：（1）如图1， 延长交于，设，交于点， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 在和中， ，，， ， 即：， ， 故答案为：27；135； （2）如图1，延长交于，设，交于点， 设，则， ， ， ， ， ， 在和中， ，，， ， 即： ； （3）根据题意，需要分三种情况： 如图3（1），当时， ， ； 如图3（2），当时， ， ， 如图3（3），当时， ， ， 如图3（4），当时， ， ， 如图3（5），当时， ， （舍， 如图3（6），当时， ， ， ， ． 综上所述：或或或或． 【点评】本题考查了平行线判定，三角形内角和定理及其推论，旋转的性质，四边形内角和等知识，解决问题的关键是正确分类，并找出相等关系列方程． 38．（2022春•婺城区期末）如图，已知，直线交于点，交于点．点是线段上一点，，分别在射线，上，连接，，平分，平分． （1）如图1，若，，则　26　，　　． （2）如图2，求与之间的数量关系，并说明理由． （3）如图3，当时，若，，过点作交的延长线于点．将直线绕点顺时针旋转，速度为每秒，直线旋转后的对应直线为，同时绕点逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为△，当直线首次落到上时，整个运动停止．在此运动过程中，经过秒后，直线恰好平行于△的一条边，请直接写出所有满足条件的的值． 【分析】（1）延长交于，设，交于点，设，则，根据可表示出，进而根据三角形内角和推论表示出，进而表示出，然后结合和内角和得出关系式，进一步得出结果； （2）类比（1）的方法过程，得出结果； （3）分为△的三边分别与平行，分别画出图形求解即可． 【解答】解：（1）如图1， 延长交于，设，交于点， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 在和中， ，，， ， 即：， ， 故答案为：26；135； （2）如图1，延长交于，设，交于点， 设，则， ， ， ， ， ， 在和中， ，，， ， 即： ； （3）根据题意，需要分三种情况： 如图3（1），当时， ， ， 如图3（2），当时， ， ， 如图3（3），当时， ， ， 如图3（4），当时， ， ， 如图3（5），当时， ， （舍， 如图3（6），当时， ， ， 综上所述：或或或或． 【点评】本题考查了平行线判定，三角形内角和定理及其推论，旋转的性质，四边形内角和等知识，解决问题的关键是正确分类，并找出相等关系列方程． 39．（2021春•镇海区期末）已知直线． （1）如图1，直接写出、、的数量关系为　　； （2）如图2，与的角平分线所在的直线相交于点，试探究与之间的数量关系，并证明你的结论； （3）如图3，，，直线、交于点，则　　． 【分析】（1）由，即可得到，再根据是的外角，即可得出； （2）由平行线的性质以及三角形外角性质，即可得到，再根据三角形内角和定理，即可得到，即，即可得到； （3）延长交于，延长交于，由平行线的性质以及三角形外角性质，即可得到；依据是的外角，即可得到，进而得出． 【解答】解：（1）如图1，， ， 是的外角， ， 故答案为：； （2）如图2，， ， 是的外角， ， 平分，平分， ，， ， ， 中，， ， 即， ； （3）如图3，延长交于，延长交于， ， ， 是的外角， ，① ，， ，， 是的外角， ，② 由①代入②，可得， 即． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了平行线的性质和角平分线的定义、三角形内角和的运用，解决问题的关键是作辅助线构造同位角以及内错角，依据平行线的性质及三角形外角性质进行推导计算． 40．（2021春•奉化区校级期末）如图，已知直线，且和、分别交于、两点，点在直线上． （1）、、之间的关系为 　　； （2）如果点在、两点之间运动时，、、之间的关系为 　　； （3）如果点（点和、不重合）在、两点外侧运动时，、、之间关系为 　　． 【分析】（1）作，如图1，由于，则，根据平行线的性质得，，所以； （2）由（1）中的证明过程，可知、、之间的关系不发生变化； （3）根据题意，画出图形，利用平行线的性质可推出、、之间的关系． 【解答】证明：（1）如图1，过点作， ， （两直线平行，内错角相等）， ，（已知）， （平行于同一条直线的两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）， ， （等量代换）； 故答案为：； （2）、、之间的关系不发生变化； 故答案为：； （3）或． 故答案为：或． 【点评】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等． 41．（2023春•镇海区期末）已知，，点为射线上一点． （1）如图1，若，，则　75　； （2）如图2，当点在延长线上时，此时与交于点，则、、之间满足怎样的关系，请说明你的结论： （3）如图3，平分，交于点，交于点，且，，求的度数． 【分析】（1）延长交于，依据平行线的性质，可得，再根据是的外角，即可得到； （2）依据，可得，再根据是的外角，即可得到，即； （3）设，则，进而得出，依据，可得，求得，即可得出的度数． 【解答】解：（1）如图，延长交于， ， ， 是的外角， ， 故答案为：75； （2）． 理由：， ， 是的外角， ， ； （3）， 设，则， ，，， 又，， ， 平分， ， ， ， 即， 解得， ， 在中，． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角性质以及三角形内角和定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，运用三角形外角性质进行计算求解．解题时注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 42．（2021春•奉化区校级期末）已知，直线，点为平面上一点，连接与． （1）如图1，点在直线、之间，当，时，求． （2）如图2，点在直线、之间，与的角平分线相交于点，写出与之间的数量关系，并说明理由． （3）如图3，点落在外，与的角平分线相交于点，与有何数量关系？并说明理由． 【分析】（1）先过作，根据平行线的性质即可得到，，再根据进行计算即可； （2）过作，根据，可得，，进而得到，同理可得，，再根据角平分线的定义，得出，进而得到； （3）过作，根据，可得，，进而得到，同理可得，，再根据角平分线的定义，得出，进而得到． 【解答】解：（1）如图1，过作， ， ， ，， ； （2）． 理由：如图2，过作， ， ， ，， ， 过作， 同理可得，， 与的角平分线相交于点， ， ； （3）． 理由：如图3，过作， ， ， ，， ， 过作， 同理可得，， 与的角平分线相交于点， ， ． 【点评】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解决问题的关键是作平行线构造内错角，依据两直线平行，内错角相等进行计算． 43．（2021春•越城区期末）如图1，已知直线，点、分别在直线与上．为两平行线间一点． （1）求证； （2）利用（1）的结论解答： ①如图2，、分别平分、，请你直接写出与的数量关系是 　　． ②如图3，、分别平分、，若，则的度数是 　　． 【分析】（1）过作，根据两直线平行，内错角相等可得，再根据平行公理求出然后根据两直线平行，内错角相等可得，最后根据等量代换即可得证； （2）①根据（1）的规律和角平分线定义解答； ②根据①的规律可得，，然后根据角平分线的定义和平角等于列式整理即可得解． 【解答】（1）证明：过作， ．（两直线平行，内错角相等）， （已知）， （平行于同一条直线的两条直线互相平行）， ．（两直线平行，内错角相等）， ．（等式性质） 即； （2）①结论：； 理由：由（1）可知：，， ，， ． 故答案为：； ②由①得，， 、分别平分、， ，， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟记性质与概念是解题的关键，此类题目，难点在于过拐点作平行线． 44．（2021春•婺城区校级期末）已知直线． （1）如图1，直接写出，和之间的数量关系是　　． （2）如图2，，分别平分，，那么和有怎样的数量关系？请说明理由． （3）如图3，点在直线的右侧，，仍平分，，请直接写出和的数量关系　　． 【分析】（1）首先作，根据直线，可得，所以，，据此推得即可． （2）首先根据，分别平分，，推得；然后由（1），可得，，据此推得． （3）首先过点作，再根据，，推得，所以，，据此推得；然后根据，以及，分别平分，，推得即可． 【解答】解：（1）． 理由：如图1，作， 直线， ， ，， ， 即． 故答案为：． （2）． 理由：如图2，，分别平分，， ，， ， 由（1），可得 ， ． （3）． 理由：如图3，过点作，， ，， ， ，， ， 由（1）知，， 又，分别平分，， ，， ， ． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了平行线的性质和应用，解答此题的关键是要明确：①定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．②定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．③定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等． 一十三．平行线的判定与性质（共5小题） 45．（2021春•奉化区校级期末）如图，，，分别为直线、上两点，且，若射线绕点顺时针旋转至后立即回转，射线绕点逆时针旋转至后立即回转，两射线分别绕点、点不停地旋转，若射线转动的速度是秒，射线转动的速度是秒，且、满足．若射线绕点顺时针先转动18秒，射线才开始绕点逆时针旋转，在射线到达之前，问射线再转动　15或22.5　秒时，射线与射线互相平行． 【分析】分两种情况讨论，依据时，，列出方程即可得到射线、射线互相平行时的时间． 【解答】解：设射线再转动秒时，射线、射线互相平行． 如图，射线绕点顺时针先转动18秒后，转动至的位置，， 分两种情况： ①当时，，， ， ，， 当时，， 此时，， 解得； ②当时，，，， ， ，， 当时，， 此时，， 解得； 综上所述，射线再转动15秒或22.5秒时，射线、射线互相平行． 故答案为15或22.5． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，非负数的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：若两个非负数的和为0，则这两个非负数均等于0． 46．（2021春•奉化区校级期末）课题学习：平行线的“等角转化”功能． 阅读理解： 如图1，已知点是外一点，连接，．求的度数． （1）阅读并补充下面推理过程． 解：过点作，所以　　，　　． 又因为．所以． 解题反思： 从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，， “凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 方法运用： （2）如图2，已知，求的度数． 提示：过点作． 深化拓展： （3）已知，点在点的右侧，，平分，平分，，所在的直线交于点，点在与两条平行线之间． 如图3，点在点的左侧，若，则的度数为　　． 【分析】（1）根据平行线的性质即可得到结论； （2）过作根据平行线的性质得到，，然后根据已知条件即可得到结论； （3）过点作，然后根据两直线平行内错角相等，即可求的度数． 【解答】解：（1）过点作， ，， 又， ． （2）过点作， ， ， ，， ． （3）如图，过点作， ， ， ，， 平分，平分，，， ，， 故答案为：65； 【点评】此题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是正确添加辅助线，利用平行线的性质进行推算． 47．（2021春•奉化区校级期末）感知如图①，，，，求的度数．小明想到了以下方法： 解；（1）如图①，过点作， （两直线平行，内错角相等） （已知）， （平行于同一条直线的两直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）． （已知）， （等式的性质）， （等式的性质）． 即（等量代换）． 探究如图②，，，，求的度数． 应用如图③所示，在探究的条件下，的平分线和的平分线交于点，则的度数是　35　． 【分析】探究过点作，根据，，进而根据平行线的性质即可求的度数． 应用如图③所示，在探究的条件下，根据的平分线和的平分线交于点，可得的度数． 【解答】探究如图②，过点作， （两直线平行，内错角相等） （已知）， （平行于同一条直线的两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）． （等式的性质）． 应用如图③所示， 是的平分线，是的平分线， ，， 过点作， （两直线平行，内错角相等） （已知）， （平行于同一条直线的两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）． ． 故答案为：35． 【点评】本题考查了平行线的判定与性质、平行公理及推论，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质． 48．（2021春•奉化区校级期末）（1）如图1，已知直线，且和，分别交于，两点，点在线段上，则，，之间的等量关系是　　；如图2，点在处北偏东方向，在处的北偏西方向，则　 　． （2）如图3，和的平分线交于，交于点，，试说明：；并探究与的数量关系． 【分析】（1）在图1中，作，利用平行线性质即可证明；利用①结论即可求得的度数． （2）根据、平分、，且，可得，根据同旁内角互补，可得两直线平行．根据，即；那么，将等角代换，即可得出与的数量关系． 【解答】解：（1）如图1中，作， ， ， ，， ． 由题可知：， ，， ． 故答案为：，． （2）证明：、平分、， ，； ， ； ；（同旁内角互补，两直线平行） 平分， ； ， ； ； ． 【点评】此题主要考查了角平分线的性质以及平行线的判定，正确添加辅助线是解决问题的关键． 49．（2023春•镇海区校级期末）如图1，将三角板与三角板摆放在一起；如图2，其中，，．固定三角板，将三角板绕点按顺时针方向旋转，记旋转角． （1）当为 　15　度时，，并在图3中画出相应的图形； （2）在旋转过程中，试探究与之间的关系； （3）当旋转速度为秒时，且它的一边与的某一边平行（不共线）时，直接写出时间的所有值． 【分析】（1）通过画图，即可求解； （2）分①当，、时3种情况，画图计算即可； （3）分、、、，五种情况，分别求解即可． 【解答】解：（1）当时，， 图形如下： 故答案为15； （2）设：，， ①如图，当时， ，， 故； ②当时， 同理可得：， ③当时， 同理可得：； （3）①当时，，； ②当时，，； ③当时，，； ④当时，，； ⑤当时，，； 综上，或9或21或27或30． 【点评】解答此题的关键是通过画图，确定旋转后的位置，还注意分类求解，避免遗漏． 一十四．平移的性质（共1小题） 50．（2022春•西湖区校级期末）如图，直线，直线与、分别交于点、，．小安将一个含角的直角三角板按如图①放置，使点、分别在直线、上，且在点、的右侧，，． （1）填空：　　（填“”“ ”或“” ； （2）若的平分线交直线于点，如图②． ①当，时，求的度数； ②小安将三角板保持并向左平移，在平移的过程中求的度数（用含的式子表示）． 【分析】（1）过点作，根据平行线的性质可得，，进而可求解； （2）①由平行线的性质可得，结合角平分线的定义可得，再利用平行线的性质可求解； ②利用平行线的性质及角平分线的定义计算可求解． 【解答】解：（1）过点作， ， ， ， ， ， 故答案为： （2）①，， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ； ②点在的右侧时，如图②， ，， ， ， ， ， 平分， ， ， ， 点在的左侧时，如图， ，， ， ， ， ，， 平分， ， ， 综上所述，的度数为或． 综上所述，的度数为或． 【点评】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，分类讨论是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$