5.2.2 函数的和、差、积、商的导数 基础练习-2023-2024学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

5．2.2　函数的和、差、积、商的导数 一、 单项选择题 1 (2023重庆联考)已知函数f(x)＝x3＋mx2＋5，且f′(－1)＝f(1)，则f′(1)的值为(　　) A. 0 B. 1 C. 2 D. －1 2 下列式子中，不正确的是(　　) A. (3x2＋cos x)′＝6x－sin x B. (ln x－2x)′＝－2x ln 2 C. (2sin 2x)′＝2cos 2x D. ′＝ 3 (2023盐城阜宁中学期中)已知函数f(x)＝2x3－mex(m∈R)，则曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线经过定点(　　) A. (－1，0) B. (0，0) C. (1，0) D. (2，0) 4 已知函数f(x)＝＋ax，若f′(0)＝2，则f(2)的值为(　　) A. B. 2 C. D. 3 5 (2023阜新第二高级中学期末)若直线x＋y＋2a＝0与曲线y＝x－2ln x相切，则实数a的值为(　　) A. －1 B. 0 C. －3 D. －2 6 (2023安徽期中)抛物线y＝－x2－2x－2与y＝x2－6x＋12的两条公切线(同时与两条曲线相切的直线叫作两曲线的公切线)的交点坐标为(　　) A. (2，1) B. (2，－1) C. (1，1) D. (1，2) 二、 多项选择题 7 (2024临沂期末)下列求导运算中，正确的是(　　) A. [cos (－x)]′＝sin x B. ′＝ C. ()′＝x D. (1－x3)′＝1－3x2 8 (2023北京房山期末)给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x)＝(f′(x))′.若f″(x)<0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数．下列函数中，在区间上是凸函数的是　(　　) A. f(x)＝cos x＋sin x B. f(x)＝ln x＋3x C. f(x)＝－x3＋4x－8 D. f(x)＝xex 三、 填空题 9 (2023揭阳三校期中联考)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b，曲线f(x)在点P(3，1)的切线与直线x＋3y＝0垂直，则a＋b＝________． 10 (2023安康江南中学期中)函数f(x)＝f′sin x－cos x的最大值为________． 11 (2023绵阳期中)若函数f(x)＝ln x＋2x2＋bx＋1图象上任意一点的切线的斜率都大于0，则实数b的取值范围为________． 四、 解答题 12 求下列函数的导数： (1) y＝x cos x－(ln x)sin x； (2) y＝＋. 13 已知a为实数，函数f(x)＝(x－a). (1) 若f′(1)＝0，求实数a的值； (2) 若a＝3，求函数f(x)的图象在x＝4处的切线方程． 【答案解析】 5．2.2　函数的和、差、积、商的导数 1. B　由f(x)＝x3＋mx2＋5，得f′(x)＝3x2＋2mx.由f′(－1)＝f(1)，得3－2m＝1＋m＋5，解得 m＝－1，故f′(1)＝3＋2m＝3－2＝1. 2. C　(3x2＋cos x)′＝6x－sin x，(ln x－2x)′＝－2x ln 2，(2sin 2x)′＝(4sin x cos x)′＝4(cos2x－sin2x)＝4cos2x，′＝. 3. A　因为f(x)＝2x3－mex，所以f′(x)＝6x2－mex，则f′(0)＝－m.又f(0)＝－m，则切线方程为y＋m＝－mx，即y＝－m(x＋1).令x＋1＝0，得y＝0，即切线不受参数m的影响，恒过定点(－1，0). 4. A　f(x)＝＋ax，则f′(x)＝＋a.因为f′(0)＝2，所以f′(0)＝1＋a＝2，解得a＝1，所以f(x)＝＋x，所以f(2)＝＋2＝. 5. A　因为y＝x－2ln x，所以y′＝1－.设直线l与曲线y＝x－2ln x的切点为P(x0，y0)，则直线l的斜率k＝y′|x＝x0＝1－.又直线x＋y＋2a＝0的斜率为－1，则1－＝－1，解得x0＝1，所以y0＝1－2ln 1＝1，即切点P的坐标为(1，1)，所以1＋1＋2a＝0，解得a＝－1. 6. C　设直线与抛物线y＝－x2－2x－2相切的点为P(x1，－x－2x1－2)，与抛物线y＝x2－6x＋12相切的点为Q(x2，x－6x2＋12).由y＝－x2－2x－2，得y′＝－2x－2；由y＝x2－6x＋12，得y′＝2x－6，则抛物线y＝－x2－2x－2在点P处的切线方程为y－(－x－2x1－2)＝(－2x1－2)(x－x1)，即y＝(－2x1－2)x＋x－2；抛物线y＝x2－6x＋12在点Q处的切线方程为y－(x－6x2＋12)＝(2x2－6)(x－x2)，即y＝(2x2－6)x－x＋12.由题意，得解得x1＝1±，所以两条公切线方程分别为y＝(－4－2)x＋5＋2，y＝(－4＋2)x＋5－2.联立解得所以两条公切线的交点坐标为(1，1). 7. BC　对于A，′＝(cos x)′＝－sin x，故A错误；对于B，′＝＝，故B正确；对于C，()′＝(x)′＝x，故C正确；对于D, (1－x3)′＝－3x2，故D错误．故选BC. 8. ABC　对于A，由f(x)＝cos x＋sin x，得f′(x)＝－sin x＋cos x，所以f″(x)＝－cos x－sin x＝－sin .当x∈时，x＋∈，sin >0，f″(x)<0恒成立，故A为凸函数；对于B，由f(x)＝ln x＋3x，得f′(x)＝＋3，所以f″(x)＝－.当x∈时，f″(x)<0恒成立，故B为凸函数；对于C，由f(x)＝－x3＋4x－8，得f′(x)＝－3x2＋4，所以f″(x)＝－6x.当x∈时，f″(x)<0恒成立，故C为凸函数；对于D，由f(x)＝xex，得f′(x)＝(x＋1)ex，所以f″(x)＝(x＋2)ex.当x∈时，f″(x)>0恒成立，故D不是凸函数．故选ABC. 9. 0　设曲线f(x)在点P(3，1)的切线的斜率为k，则－k＝－1，解得k＝3.因为f′(x)＝x2＋2ax，所以f′(3)＝3，即9＋6a＝3，解得a＝－1，所以f(x)＝x3－x2＋b.因为点P(3，1)在曲线上，则f(3)＝1，即×27－9＋b＝1，解得b＝1，所以a＋b＝0. 10. 2　因为f′(x)＝f′cos x＋sin x，所以f′＝f′cos ＋sin ＝f′＋，解得f′＝，所以f(x)＝sin x－cos x＝2sin ，故f(x)的最大值为2. 11. (－4，＋∞)　函数f(x)＝ln x＋2x2＋bx＋1的定义域为(0，＋∞)，求导得f′(x)＝＋4x＋b.由题意，得∀x>0，f′(x)>0.因为＋4x＋b≥2＋b＝4＋b，当且仅当＝4x，即x＝时取等号，所以4＋b>0，解得b>－4，故实数b的取值范围为(－4，＋∞). 12. (1) y′＝cos x＋x(－sin x)－[＋(ln x)cos x]＝cos x(1－ln x)－sin x. (2) y′＝＋＝ ＋＝＋. 13. (1) 由题意，得函数的定义域为[0，＋∞)， f′(x)＝＋＝(x>0). 因为f′(1)＝0，即＝0，所以a＝3. (2) 当a＝3时，f(x)＝(x－3)，f′(x)＝， 所以f′(4)＝，f(4)＝2， 所以函数f(x)的图象在x＝4处的切线方程为 y－2＝(x－4)，即y＝x－7. 学科网（北京）股份有限公司 $$