期末各名校真题复习（压轴必刷46题19考点）-2023-2024学年七年级数学下学期期中期末考点归纳满分攻略讲练（浙教版）

期末各名校真题复习（压轴必刷46题19考点） 一．同底数幂的除法（共1小题） 1．已知25a•52b＝56，4b÷4c＝4，则代数式a2+ab+3c值是　 　． 二．多项式乘多项式（共2小题） 2．若（x2+ax+2）（2x﹣4）的结果中不含x2项，则a的值为（　　） A．0 B．2 C． D．﹣2 3．如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼一个长为（2a+3b），宽为（a+2b）的大长方形，则需要A类、B类和C类卡片的张数分别为（　　） A．2，8，5 B．3，8，6 C．3，7，5 D．2，6，7 三．完全平方公式（共3小题） 4．已知（x﹣2021）2+（x﹣2025）2＝34，则（x﹣2023）2的值是（　　） A．5 B．9 C．13 D．17 5．已知：x+＝3，则x2+＝　 　． 6．阅读理解： 若x满足（30﹣x）（x﹣10）＝160，求（30﹣x）2+（x﹣10）2的值． 解：设30﹣x＝a，x﹣10＝b，则（30﹣x）（x﹣10）＝ab＝160，a+b＝（30﹣x）+（x﹣10）＝20，（30﹣x）2+（x﹣10）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝202﹣2×160＝80 解决问题： （1）若x满足（2020﹣x）（x﹣2016）＝2．则（2020﹣x）2+（x﹣2016）2＝　 　； （2）若x满足（2021﹣x）2+（x﹣2018）2＝2020，求（2021﹣x）（x﹣2018）的值； （3）如图，在长方形ABCD中，AB＝20，BC＝12，点E．F是BC、CD上的点，且BE＝DF＝x，分别以FC、CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CEMN，若长方形CEPF的面积为160平方单位，则图中阴影部分的面积和为 　 　平方单位． 四．完全平方公式的几何背景（共3小题） 7．现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为AE的中点，连接DH、FH，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图2的阴影部分面积为6，则图1的阴影部分面积为（　　） A．3 B．19 C．21 D．28 8．请认真观察图形，解答下列问题： （1）根据图中条件，用两种方法表示两个阴影图形的面积的和（只需表示，不必化简）； （2）由（1），你能得到怎样的等量关系？请用等式表示； （3）如果图中的a，b（a＞b）满足a2+b2＝53，ab＝14，求： ①a+b的值； ②a4﹣b4的值． 9．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2． （1）用含a、b的代数式分别表示S1、S2； （2）若a+b＝10，ab＝23，求S1+S2的值； （3）当S1+S2＝29时，求出图3中阴影部分的面积S3． 五．平方差公式（共1小题） 10．2×（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）+1的计算结果是（　　） A．332+1 B．332﹣1 C．331 D．332 六．整式的混合运算（共1小题） 11．如图，长方形ABCD的边BC＝13，E是边BC上的一点，且BE＝BA＝10．F，G分别是线段AB，CD上的动点，且BF＝DG，现以BE，BF为边作长方形BEHF，以DG为边作正方形DGIJ，点H，I均在长方形ABCD内部．记图中的阴影部分面积分别为S1，S2，长方形BEHF和正方形DGIJ的重叠部分是四边形KILH，当四边形KILH的邻边比为3：4时，S1+S2的值为　 　． 七．整式的混合运算—化简求值（共1小题） 12．已知（a﹣4）（a﹣2）＝3，则（a﹣4）2+（a﹣2）2的值为　 　． 八．因式分解的应用（共3小题） 13．已知a＝2015x+2016，b＝2015x+2017，c＝2015x+2015，则多项式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 14．“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，如图1所示，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，现将﹣4，﹣2，﹣1，2，3，4，6，7填入如图2所示的“幻方”中，部分数据已填入，则（d﹣c）a+b的值为 　 　． 15．上数学课时，王老师在讲完乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式x2+4x+5的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1 ∵（x+2）2≥0， ∴当x＝﹣2时，（x+2）2的值最小，最小值是0， ∴（x+2）2+1≥1 ∴当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1， ∴x2+4x+5的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题 （1）知识再现：当x＝　 　时，代数式x2﹣6x+12的最小值是 　 　； （2）知识运用：若y＝﹣x2+2x﹣3，当x＝　 　时，y有最 　 　值（填“大”或“小”），这个值是 　 　； （3）知识拓展：若﹣x2+3x+y+5＝0，求y+x的最小值． 九．分式的化简求值（共1小题） 16．若分式，则分式的值等于（　　） A．﹣ B． C．﹣ D． 一十．二元一次方程组的解（共2小题） 17．若关于x、y的二元一次方程组的解是，则关于a、b的二元一次方程组的解是 　 　． 18．已知关于x，y的方程组 （1）请直接写出方程x+2y﹣6＝0的所有正整数解； （2）若方程组的解满足x+y＝0，求m的值； （3）无论实数m取何值，方程x﹣2y+mx+5＝0总有一个固定的解，请直接写出这个解？ （4）若方程组的解中x恰为整数，m也为整数，求m的值． 一十一．解二元一次方程组（共1小题） 19．已知方程组的解满足x﹣y＝m﹣1，则m的值为（　　） A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2 一十二．二元一次方程组的应用（共1小题） 20．利用两块完全一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按图①所示的方式放置，再交换两木块的位置，按图②所示的方式放置．测量的数据如图，则桌子的高度等于（　　） A．80cm B．75cm C．70cm D．65cm 一十三．分式方程的解（共2小题） 21．若关于x的分式方程无解，则m的值为（　　） A．﹣3或﹣ B．﹣或﹣ C．﹣3或﹣或﹣ D．﹣3或﹣ 22．若关于x的方程＝+1无解，则a的值是　 　． 一十四．分式方程的增根（共1小题） 23．若分式方程有增根，则增根是（　　） A．4 B．1 C．﹣1 D．﹣3 一十五．分式方程的应用（共1小题） 24．某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求，商家又用28800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元． （1）该商家购进的第一批衬衫是多少件？ （2）若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完后利润率不低于25%（不考虑其他因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元？ 一十六．平行线的判定（共3小题） 25．若将一副三角板按如图所示的方式放置，则下列结论正确的是（　　） A．∠1＝∠2 B．如果∠2＝30°，则有AC∥DE C．如果∠2＝45°，则有∠4＝∠D D．如果∠2＝50°，则有BC∥AE 26．如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1＝85°，∠2＝50°，要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是（　　） A．15° B．25° C．35° D．50° 27．如图，Rt△AOB和Rt△COD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠B＝40°，∠C＝60°，点D在边OA上，将图中的△COD绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第　 　秒时，边CD恰好与边AB平行． 一十七．平行线的性质（共13小题） 28．如图，AB∥CD，F为AB上一点，FD∥EH，且FE平分∠AFG，过点F作FG⊥EH于点G，且∠AFG＝2∠D，则下列结论： ①∠D＝40°； ②2∠D+∠EHC＝90°； ③FD平分∠HFB； ④FH平分∠GFD． 其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 29．如图，矩形纸片ABCD沿EF折叠，A，D两点分别与A′，D′对应，若∠1＝2∠2，则∠AEF的度数为（　　） A．60° B．65° C．72° D．75° 30．如图，已知a∥b，直角三角形的直角顶点在直线a上，若∠1＝60°，则∠2等于（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 31．如图，AB∥EF，设∠C＝90°，那么x、y和z的关系是（　　） A．y＝x+z B．x+y﹣z＝90° C．x+y+z＝180° D．y+z﹣x＝90° 32．如图，已知直线AB、CD被直线AC所截，AB∥CD，E是平面内任意一点（点E不在直线AB、CD、AC上），设∠BAE＝α，∠DCE＝β．下列各式：①α+β，②α﹣β，③β﹣α，④360°﹣α﹣β，∠AEC的度数可能是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 33．如图，已知AB∥DF，DE和AC分别平分∠CDF和∠BAE，若∠DEA＝46°，∠ACD＝56°，则∠CDF的度数为（　　） A．22° B．33° C．44° D．55° 34． 如图，AB∥CD，P2E平分∠P1EB，P2F平分∠P1FD，若设∠P1EB＝x°，∠P1FD＝y°则∠P1＝　 　度（用x，y的代数式表示），若P3E平分∠P2EB，P3F平分∠P2FD，可得∠P3，P4E平分∠P3EB，P4F平分∠P3FD，可得∠P4…，依次平分下去， 则∠Pn＝　 　度． 35．如图，已知AB∥CD，∠BAC＝120°，点M为射线AB上一动点，连接MC，作CP平分∠ACM交直线AB于点P在直线AB上取点N，连接NC，使∠ANC＝2∠AMC，当∠PCN＝∠PNC时，∠PCM＝　 　． 36．如图，AB∥CD，E为AB上一点，且EF⊥CD垂足为F，CE⊥DE，CE平分∠AEG，且∠CGE＝α，则下列结论： ①∠EDG＝α； ②∠CEB＝2α； ③∠CEF＝90°； ④∠FED+∠DCE+∠FGE＝180°；其中正确的有 　 　．（请填写序号） 37．如图，AD∥BC，∠BAD的平分线交BC于点G，∠BCD＝90°． （1）试说明：∠BAG＝∠BGA； （2）如图1，点F在AG的反向延长线上，连接CF交AD于点E，若∠BAG﹣∠F＝45°，求证：CF平分∠BCD． （3）如图2，线段AG上有点P，满足∠ABP＝3∠PBG，过点C作CH∥AG．若在直线AG上取一点M，使∠PBM＝∠DCH，求的值． 38．如图，已知直线AB∥射线CD，∠CEB＝100°．P是射线EB上一动点，过点P作PQ∥EC交射线CD于点Q，连接CP．作∠PCF＝∠PCQ，交直线AB于点F，CG平分∠ECF． （1）若点P，F，G都在点E的右侧． ①求∠PCG的度数； ②若∠EGC﹣∠ECG＝40°，求∠CPQ的度数． （2）在点P的运动过程中，是否存在这样的情形，使？若存在，求出∠CPQ的度数；若不存在，请说明理由． 39．如图，AB∥CD，∠ABE＝120°． （1）如图①，写出∠BED与∠D的数量关系，并证明你的结论； （2）如图②，∠DEF＝2∠BEF，∠CDF＝∠CDE，EF与DF交于点F，求∠EFD的度数； （3）如图③，过B作BG⊥AB于G点，∠CDE＝4∠GDE，求的值． 40．已知：如图，直线PQ∥MN，点C是PQ，MN之间（不在直线PQ，MN上）的一个动点． （1）若∠1与∠2都是锐角，如图1，请直接写出∠C与∠1，∠2之间的数量关系． （2）若小明把一块三角板（∠A＝30°，∠C＝90°）如图2放置，点D，E，F是三角板的边与平行线的交点，若∠AEN＝∠A，求∠BDF的度数． （3）将图2中的三角板进行适当转动，如图3，直角顶点C始终在两条平行线之间，点G在线段CD上，连接EG，且有∠CEG＝∠CEM，给出下列两个结论： ①的值不变； ②∠GEN﹣∠BDF的值不变． 其中只有一个是正确的，你认为哪个是正确的？并求出不变的值是多少． 一十八．平行线的判定与性质（共4小题） 41．如图，PQ∥MN，A，B分别为直线MN、PQ上两点，且∠BAN＝45°，若射线AM绕点A顺时针旋转至AN后立即回转，射线BQ绕点B逆时针旋转至BP后立即回转，两射线分别绕点A、点B不停地旋转，若射线AM转动的速度是a°/秒，射线BQ转动的速度是b°/秒，且a、b满足|a﹣5|+（b﹣1）2＝0．若射线AM绕点A顺时针先转动18秒，射线BQ才开始绕点B逆时针旋转，在射线BQ到达BA之前，问射线AM再转动　 　秒时，射线AM与射线BQ互相平行． 42．如图，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，AB∥CD，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，EP与CD交于点G，点H是MN上一点，且GH⊥EG，连接PH，K是GH上一点使∠PHK＝∠HPK，作PQ平分∠EPK，交MN于点Q，∠HPQ：∠QFP＝3：2，则∠EHG＝　 　． 43．如图1，已知点A，B分别是直线MN，PQ上的点，∠BAN＝45°，且PQ∥MN． （1）∠PBA的度数为 　 　． （2）如图2，射线AC以每秒3°的速度绕点A从AM开始顺时针旋转，射线BD以每秒1°的速度绕点B从BP开始顺时针旋转，当射线AC旋转到与AN重合时，两条射线同时停止旋转． ①当0＜t＜45，是否存在t，使得AC∥BD？请说明理由． ②如图3，当t＞45时，射线AC和射线BD交于点G，用含t的代数式表示∠AGB的度数． ③在②的条件上，过点G作GH⊥AG交PQ于点H，在转动过程中，∠BAG与∠BGH的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由． 44．已知：AB∥CD，E、G是AB上的点，F、H是CD上的点，∠1＝∠2． （1）如图1，求证：EF∥GH； （2）如图2，过F点作FM⊥GH交GH延长线于点M，作∠BEF、∠DFM的角平分线交于点N，EN交GH于点P，求证：∠N＝45°； （3）如图3，在（2）的条件下，作∠AGH的角平分线交CD于点Q，若3∠FEN＝4∠HFM，直接写出的值． 一十九．平移的性质（共2小题） 45．如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A′B′C′的位置．已知△ABC的面积为16，阴影部分三角形的面积9．若AA′＝1，则A′D等于（　　） A．2 B．3 C．4 D． 46．如图，∠1＝70°，直线a平移后得到直线b，则∠2﹣∠3＝（　　） A．70° B．180° C．110° D．80° 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末各名校真题复习（压轴必刷46题19考点） 一．同底数幂的除法（共1小题） 1．已知25a•52b＝56，4b÷4c＝4，则代数式a2+ab+3c值是　6　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵25a•52b＝56，4b÷4c＝4， ∴52a+2b＝56，4b﹣c＝4， ∴a+b＝3，b﹣c＝1， 两式相减，可得a+c＝2， ∴a2+ab+3c＝a（a+b）+3c＝3a+3c＝3×2＝6， 故答案为：6． 二．多项式乘多项式（共2小题） 2．若（x2+ax+2）（2x﹣4）的结果中不含x2项，则a的值为（　　） A．0 B．2 C． D．﹣2 【答案】B 【解答】解：（x2+ax+2）（2x﹣4） ＝2x3+2ax2+4x﹣4x2﹣4ax﹣8 ＝2x3+（﹣4+2a）x2+（﹣4a+4）x﹣8， ∵（x2+ax+2）（2x﹣4）的结果中不含x2项， ∴﹣4+2a＝0， 解得：a＝2． 故选：B． 3．如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼一个长为（2a+3b），宽为（a+2b）的大长方形，则需要A类、B类和C类卡片的张数分别为（　　） A．2，8，5 B．3，8，6 C．3，7，5 D．2，6，7 【答案】D 【解答】解：长为（2a+3b），宽为（a+2b）的大长方形的面积为：（2a+3b）×（a+2b）＝2a2+7ab+6b2， ∵A类卡片的面积为a2，B类卡片的面积为b2，C类卡片的面积为ab， ∴需要A类卡片2张，B类卡片6张，C类卡片7张． 故选：D． 三．完全平方公式（共3小题） 4．已知（x﹣2021）2+（x﹣2025）2＝34，则（x﹣2023）2的值是（　　） A．5 B．9 C．13 D．17 【答案】C 【解答】解：令t＝x﹣2023，则原式可化简为（t﹣2）2+（t+2）2＝34，则t2﹣4t+4+t2+4t+4＝34， 解得：t2＝13，即（x﹣2023）2＝13． 故选：C． 5．已知：x+＝3，则x2+＝　7　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵x+＝3， ∴（x+）2＝x2+2+＝9， ∴x2+＝7， 故答案为：7． 6．阅读理解： 若x满足（30﹣x）（x﹣10）＝160，求（30﹣x）2+（x﹣10）2的值． 解：设30﹣x＝a，x﹣10＝b，则（30﹣x）（x﹣10）＝ab＝160，a+b＝（30﹣x）+（x﹣10）＝20，（30﹣x）2+（x﹣10）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝202﹣2×160＝80 解决问题： （1）若x满足（2020﹣x）（x﹣2016）＝2．则（2020﹣x）2+（x﹣2016）2＝　12　； （2）若x满足（2021﹣x）2+（x﹣2018）2＝2020，求（2021﹣x）（x﹣2018）的值； （3）如图，在长方形ABCD中，AB＝20，BC＝12，点E．F是BC、CD上的点，且BE＝DF＝x，分别以FC、CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CEMN，若长方形CEPF的面积为160平方单位，则图中阴影部分的面积和为 　384　平方单位． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设2020﹣x＝a，x﹣2016＝b，则（2020﹣x）（x﹣2016）＝ab＝2，a+b＝（2020﹣x）+（x﹣2016）＝4， 所以（2020﹣x）2+（x﹣2016）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝42﹣2×2＝12； 故答案为：12； （2）设2021﹣x＝a，x﹣2018＝b，则（2021﹣x）2+（x﹣2018）2＝a2+b2＝2020，a+b＝（2021﹣x）+（x﹣2018）＝3， 所以（2021﹣x）（x﹣2018）＝ab＝[（a+b）2﹣（a2+b2）]＝×（32﹣2020）＝﹣； 答：（2021﹣x）（x﹣2018）的值为﹣； （3）由题意得，FC＝（20﹣x），EC＝（12﹣x）， ∵长方形CEPF的面积为160， ∴（20﹣x）（12﹣x）＝160， ∴（20﹣x）（x﹣12）＝﹣160， ∴阴影部分的面积为（20﹣x）2+（12﹣x）2， 设20﹣x＝a，x﹣12＝b，则（20﹣x）（x﹣12）＝ab＝﹣160，a+b＝（20﹣x）+（x﹣12）＝8， 所以（20﹣x）2+（x﹣12）2＝（20﹣x）2+（12﹣x）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝82﹣2×（﹣160）＝384； 故答案为：384． 四．完全平方公式的几何背景（共3小题） 7．现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为AE的中点，连接DH、FH，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图2的阴影部分面积为6，则图1的阴影部分面积为（　　） A．3 B．19 C．21 D．28 【答案】B 【解答】解：设甲正方形边长为x，乙正方形边长为y，则AD＝x，EF＝y，AE＝x+y＝8， ∴（x+y）2＝64， ∴x2+y2+2xy＝64， ∵点H为AE的中点， ∴AH＝EH＝4， ∵图2的阴影部分面积＝（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝6， ∴（x+y）2+（x﹣y）2＝64+6， ∴x2+y2＝35， ∴图1的阴影部分面积＝x2+y2﹣×4•x﹣×4•y ＝x2+y2﹣2（x+y） ＝35﹣2×8 ＝19， 故选：B． 8．请认真观察图形，解答下列问题： （1）根据图中条件，用两种方法表示两个阴影图形的面积的和（只需表示，不必化简）； （2）由（1），你能得到怎样的等量关系？请用等式表示； （3）如果图中的a，b（a＞b）满足a2+b2＝53，ab＝14，求： ①a+b的值； ②a4﹣b4的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）两个阴影图形的面积和可表示为： a2+b2或 （a+b）2﹣2ab； （2）a2+b2＝（a+b）2﹣2ab； （3）∵a，b（a＞b）满足a2+b2＝53，ab＝14， ∴①（a+b）2＝a2+b2+2ab ＝53+2×14＝81 ∴a+b＝±9， 又∵a＞0，b＞0，∴a+b＝9． ②∵a4﹣b4＝（a2+b2）（a+b）（a﹣b）， 且∴a﹣b＝±5 又∵a＞b＞0， ∴a﹣b＝5， ∴a4﹣b4＝（a2+b2）（a+b）（a﹣b）＝53×9×5＝2385． 9．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2． （1）用含a、b的代数式分别表示S1、S2； （2）若a+b＝10，ab＝23，求S1+S2的值； （3）当S1+S2＝29时，求出图3中阴影部分的面积S3． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由图可得，S1＝a2﹣b2，S2＝2b2﹣ab； （2）S1+S2＝a2﹣b2+2b2﹣ab＝a2+b2﹣ab， ∵a+b＝10，ab＝23， ∴S1+S2＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣3ab＝100﹣3×23＝31； （3）由图可得，S3＝a2+b2﹣b（a+b）﹣a2＝（a2+b2﹣ab）， ∵S1+S2＝a2+b2﹣ab＝29， ∴S3＝×29＝． 五．平方差公式（共1小题） 10．2×（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）+1的计算结果是（　　） A．332+1 B．332﹣1 C．331 D．332 【答案】D 【解答】解：2×（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）+1 ＝（3﹣1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）+1 ＝（32﹣1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）+1 ＝（34﹣1）（34+1）（38+1）（316+1）+1 ＝（38﹣1）（38+1）（316+1）+1 ＝（316﹣1）（316+1）+1 ＝332﹣1+1 ＝332， 故选：D． 六．整式的混合运算（共1小题） 11．如图，长方形ABCD的边BC＝13，E是边BC上的一点，且BE＝BA＝10．F，G分别是线段AB，CD上的动点，且BF＝DG，现以BE，BF为边作长方形BEHF，以DG为边作正方形DGIJ，点H，I均在长方形ABCD内部．记图中的阴影部分面积分别为S1，S2，长方形BEHF和正方形DGIJ的重叠部分是四边形KILH，当四边形KILH的邻边比为3：4时，S1+S2的值为　7或　． 【答案】7或． 【解答】解：在矩形ABCD中，AB＝CD＝10，AD＝BC＝13． ∵四边形DGIJ为正方形，四边形BFHE为矩形，BF＝DG， ∴四边形KILH为矩形，KI＝HL＝2DG﹣AB＝2DG﹣10． ∵BE＝BA＝10， ∴LG＝EC＝3， ∴KH＝IL＝DG﹣LG＝DG﹣3． 当矩形KILH的邻边的比为3：4时，（DG﹣3）：（2DG﹣10）＝3：4，或（2DG﹣10）：（DG﹣3）＝3：4， 解得DG＝9或． 当DG＝9时，AF＝CG＝1，AJ＝4， ∴S1+S2＝AF•AJ+CE•CG＝1×4+1×3＝7； 当DG＝时，AF＝CG＝，AJ＝， ∴S1+S2＝AF•AJ+CE•CG ＝ ＝． 故答案为7或． 七．整式的混合运算—化简求值（共1小题） 12．已知（a﹣4）（a﹣2）＝3，则（a﹣4）2+（a﹣2）2的值为　10　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵（a﹣4）（a﹣2）＝3， ∴[（a﹣4）﹣（a﹣2）]2 ＝（a﹣4）2﹣2（a﹣4）（a﹣2）+（a﹣2）2 ＝（a﹣4）2+（a﹣2）2﹣2×3 ＝4， ∴（a﹣4）2+（a﹣2）2＝10． 故答案为：10． 八．因式分解的应用（共3小题） 13．已知a＝2015x+2016，b＝2015x+2017，c＝2015x+2015，则多项式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解答】解：原式＝（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac） ＝[（a2﹣2ab+b2）+（a2﹣2ac+c2）+（b2﹣2bc+c2）] ＝[（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2]， ∵a＝2015x+2016，b＝2015x+2017，c＝2015x+2015， ∴a﹣b＝﹣1，a﹣c＝1，b﹣c＝2， ∴原式＝（1+1+4）＝3， 故选：D． 14．“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，如图1所示，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，现将﹣4，﹣2，﹣1，2，3，4，6，7填入如图2所示的“幻方”中，部分数据已填入，则（d﹣c）a+b的值为 　﹣32768　． 【答案】﹣32768 【解答】解：由题意得，a+c﹣4＝a+d+4，即d﹣c＝﹣8， ∵﹣4﹣2﹣1+2+3+4+6+7＝15， ∴四个三角形的三个顶点上的数字之和减去正方形四个顶点的数字之和为15， ∵每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等， ∴a+b+4﹣4＝＝5，即a+b＝5， ∴（d﹣c）（a+b）＝（﹣8）5＝﹣32768， 故答案为﹣32768． 15．上数学课时，王老师在讲完乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式x2+4x+5的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1 ∵（x+2）2≥0， ∴当x＝﹣2时，（x+2）2的值最小，最小值是0， ∴（x+2）2+1≥1 ∴当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1， ∴x2+4x+5的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题 （1）知识再现：当x＝　3　时，代数式x2﹣6x+12的最小值是 　3　； （2）知识运用：若y＝﹣x2+2x﹣3，当x＝　1　时，y有最 　大　值（填“大”或“小”），这个值是 　﹣2　； （3）知识拓展：若﹣x2+3x+y+5＝0，求y+x的最小值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵x2﹣6x+12＝（x﹣3）2+3， ∴当x＝3时，有最小值3； 故答案为3，3． （2）∵y＝﹣x2+2x﹣3＝﹣（x﹣1）2﹣2， ∴当x＝1时有最大值﹣2； 故答案为1，大，﹣2． （3）∵﹣x2+3x+y+5＝0， ∴x+y＝x2﹣2x﹣5＝（x﹣1）2﹣6， ∵（x﹣1）2≥0， ∴（x﹣1）2﹣6≥﹣6， ∴当x＝1时，y+x的最小值为﹣6． 九．分式的化简求值（共1小题） 16．若分式，则分式的值等于（　　） A．﹣ B． C．﹣ D． 【答案】B 【解答】解：整理已知条件得y﹣x＝2xy； ∴x﹣y＝﹣2xy 将x﹣y＝﹣2xy整体代入分式得 ＝ ＝ ＝ ＝． 故选：B． 一十．二元一次方程组的解（共2小题） 17．若关于x、y的二元一次方程组的解是，则关于a、b的二元一次方程组的解是 　　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：方法一： ∵关于x、y的二元一次方程组的解是， ∴将解代入方程组 可得m＝﹣1，n＝2 ∴关于a、b的二元一次方程组可整理为： 解得： 方法二： 关于x、y的二元一次方程组的解是， 由关于a、b的二元一次方程组可知 解得： 故答案为： 18．已知关于x，y的方程组 （1）请直接写出方程x+2y﹣6＝0的所有正整数解； （2）若方程组的解满足x+y＝0，求m的值； （3）无论实数m取何值，方程x﹣2y+mx+5＝0总有一个固定的解，请直接写出这个解？ （4）若方程组的解中x恰为整数，m也为整数，求m的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）方程x+2y﹣6＝0，x+2y＝6， 解得：x＝6﹣2y， 当y＝1时，x＝4；当y＝2时，x＝2， 方程x+2y﹣6＝0的所有正整数解为：，； （2）由题意得：，解得， 把代入x﹣2y+mx+5＝0，解得m＝﹣； （3）x﹣2y+mx+5＝0， （1+m）x﹣2y＝﹣5， ∴当x＝0时，y＝2.5， 即固定的解为：， （4）， ①+②得：2x﹣6+mx+5＝0， （2+m）x＝1， x＝， ∵x恰为整数，m也为整数， ∴2+m是1的约数， 2+m＝1或﹣1， m＝﹣1或﹣3． 一十一．解二元一次方程组（共1小题） 19．已知方程组的解满足x﹣y＝m﹣1，则m的值为（　　） A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2 【答案】A 【解答】解：方法1：， 解得， ∵满足x﹣y＝m﹣1， ∴﹣﹣＝m﹣1， 解得m＝﹣1； 方法2：， ②﹣①得36x﹣36y＝﹣72 则x﹣y＝﹣2 所以m﹣1＝﹣2 所以m＝﹣1． 故选：A． 一十二．二元一次方程组的应用（共1小题） 20．利用两块完全一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按图①所示的方式放置，再交换两木块的位置，按图②所示的方式放置．测量的数据如图，则桌子的高度等于（　　） A．80cm B．75cm C．70cm D．65cm 【答案】B 【解答】解：设长方体木块长x cm、宽y cm，桌子的高为a cm， 由题意得：， 两式相加得：2a＝150， 解得：a＝75， 故选：B． 一十三．分式方程的解（共2小题） 21．若关于x的分式方程无解，则m的值为（　　） A．﹣3或﹣ B．﹣或﹣ C．﹣3或﹣或﹣ D．﹣3或﹣ 【答案】C 【解答】解：当（x+3）（x﹣3）＝0时，x1＝3或x2＝﹣3， 原分式方程可化为：＝1﹣， 去分母，得x（x+3）＝（x+3）（x﹣3）﹣（mx﹣2）， 整理得（3+m）x＝﹣7， ∵分式方程无解， ∴3+m＝0， ∴m＝﹣3， 把x1＝3或x2＝﹣3，分别代入（3+m）x＝﹣7， 得m＝﹣或m＝﹣， 综上所述：m的值为m＝﹣或m＝﹣或m＝﹣3， 故选：C． 22．若关于x的方程＝+1无解，则a的值是　3或1　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：去分母，得：ax＝3+x﹣1， 整理，得：（a﹣1）x＝2， 当x＝1时，分式方程无解， 则a﹣1＝2， 解得：a＝3； 当整式方程无解时，a＝1， 故答案为：3或1． 一十四．分式方程的增根（共1小题） 23．若分式方程有增根，则增根是（　　） A．4 B．1 C．﹣1 D．﹣3 【答案】A 【解答】解：∵使得分式方程无意义时的根为方程得增根， ∴x﹣4＝0， ∴x＝4为方程增根， 故选：A． 一十五．分式方程的应用（共1小题） 24．某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求，商家又用28800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元． （1）该商家购进的第一批衬衫是多少件？ （2）若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完后利润率不低于25%（不考虑其他因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设该商家购进的第一批衬衫是x件，则购进第二批这种衬衫是2x件，依题意有 +10＝， 解得x＝120， 经检验，x＝120是原方程的解，且符合题意． 答：该商家购进的第一批衬衫是120件． （2）3x＝3×120＝360， 设每件衬衫的标价y元，依题意有 （360﹣50）y+50×0.8y≥（13200+28800）×（1+25%）， 解得y≥150． 答：每件衬衫的标价至少是150元． 一十六．平行线的判定（共3小题） 25．若将一副三角板按如图所示的方式放置，则下列结论正确的是（　　） A．∠1＝∠2 B．如果∠2＝30°，则有AC∥DE C．如果∠2＝45°，则有∠4＝∠D D．如果∠2＝50°，则有BC∥AE 【答案】B 【解答】解：∵∠CAB＝∠DAE＝90°， ∴∠1＝∠3，故A错误． ∵∠2＝30°， ∴∠1＝∠3＝60° ∴∠CAE＝90°+60°＝150°， ∴∠E+∠CAE＝180°， ∴AC∥DE，故B正确， ∵∠2＝45°， ∴∠1＝∠2＝∠3＝45°， ∵∠E+∠3＝∠B+∠4， ∴∠4＝30°， ∵∠D＝60°， ∴∠4≠∠D，故C错误， ∵∠2＝50°， ∴∠3＝40°， ∴∠B≠∠3， ∴BC不平行AE，故D错误． 故选：B． 26．如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1＝85°，∠2＝50°，要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是（　　） A．15° B．25° C．35° D．50° 【答案】C 【解答】解：∵∠AOC＝∠2＝50°时，OA∥b， ∴要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是85°﹣50°＝35°． 故选：C． 27．如图，Rt△AOB和Rt△COD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠B＝40°，∠C＝60°，点D在边OA上，将图中的△COD绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第　10或28　秒时，边CD恰好与边AB平行． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：①两三角形在点O的同侧时，如图1，设CD与OB相交于点E， ∵AB∥CD， ∴∠CEO＝∠B＝40°， ∵∠C＝60°，∠COD＝90°， ∴∠D＝90°﹣60°＝30°， ∴∠DOE＝∠CEO﹣∠D＝40°﹣30°＝10°， ∴旋转角∠AOD＝∠AOB+∠DOE＝90°+10°＝100°， ∵每秒旋转10°， ∴时间为100°÷10°＝10秒； ②两三角形在点O的异侧时，如图2，延长BO与CD相交于点E， ∵AB∥CD， ∴∠CEO＝∠B＝40°， ∵∠C＝60°，∠COD＝90°， ∴∠D＝90°﹣60°＝30°， ∴∠DOE＝∠CEO﹣∠D＝40°﹣30°＝10°， ∴旋转角为270°+10°＝280°， ∵每秒旋转10°， ∴时间为280°÷10°＝28秒； 综上所述，在第10或28秒时，边CD恰好与边AB平行． 故答案为：10或28． 一十七．平行线的性质（共13小题） 28．如图，AB∥CD，F为AB上一点，FD∥EH，且FE平分∠AFG，过点F作FG⊥EH于点G，且∠AFG＝2∠D，则下列结论： ①∠D＝40°； ②2∠D+∠EHC＝90°； ③FD平分∠HFB； ④FH平分∠GFD． 其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【解答】解：延长FG，交CH于I． ∵AB∥CD， ∴∠BFD＝∠D，∠AFI＝∠FIH， ∵FD∥EH， ∴∠EHC＝∠D， ∵FE平分∠AFG， ∴∠FIH＝2∠AFE＝2∠EHC， ∴3∠EHC＝90°， ∴∠EHC＝30°， ∴∠D＝30°， ∴2∠D+∠EHC＝2×30°+30°＝90°， ∴①∠D＝40°错误；②2∠D+∠EHC＝90°正确， ∵FE平分∠AFG， ∴∠AFI＝30°×2＝60°， ∵∠BFD＝30°， ∴∠GFD＝90°， ∴∠GFH+∠HFD＝90°， 可见，∠HFD的值未必为30°，∠GFH未必为45°，只要和为90°即可， ∴③FD平分∠HFB，④FH平分∠GFD不一定正确． 故选：A． 29．如图，矩形纸片ABCD沿EF折叠，A，D两点分别与A′，D′对应，若∠1＝2∠2，则∠AEF的度数为（　　） A．60° B．65° C．72° D．75° 【答案】C 【解答】解：∵AB∥DC， ∴∠1＝∠AEF， 由折叠的性质得出∠AEF＝∠FEA′， ∵∠1＝2∠2， ∴∠AEF＝∠FEA′＝2∠2， ∵∠AEF+∠FEA′+∠2＝180°， ∴2∠2+2∠2+∠2＝180°， 解得∠2＝36°． ∴∠AEF＝72°． 故选：C． 30．如图，已知a∥b，直角三角形的直角顶点在直线a上，若∠1＝60°，则∠2等于（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 【答案】A 【解答】解：∵a∥b，∠1＝60°， ∴∠3＝∠1＝60°， ∴∠2＝90°﹣∠3＝90°﹣60°＝30°． 故选：A． 31．如图，AB∥EF，设∠C＝90°，那么x、y和z的关系是（　　） A．y＝x+z B．x+y﹣z＝90° C．x+y+z＝180° D．y+z﹣x＝90° 【答案】B 【解答】解：过C作CM∥AB，延长CD交EF于N， 则∠CDE＝∠E+∠CNE， 即∠CNE＝y﹣z ∵CM∥AB，AB∥EF， ∴CM∥AB∥EF， ∴∠ABC＝x＝∠1，∠2＝∠CNE， ∵∠BCD＝90°， ∴∠1+∠2＝90°， ∴x+y﹣z＝90°． 故选：B． 32．如图，已知直线AB、CD被直线AC所截，AB∥CD，E是平面内任意一点（点E不在直线AB、CD、AC上），设∠BAE＝α，∠DCE＝β．下列各式：①α+β，②α﹣β，③β﹣α，④360°﹣α﹣β，∠AEC的度数可能是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【解答】解：（1）如图，由AB∥CD，可得∠AOC＝∠DCE1＝β， ∵∠AOC＝∠BAE1+∠AE1C， ∴∠AE1C＝β﹣α． （2）如图，过E2作AB平行线，则由AB∥CD，可得∠1＝∠BAE2＝α，∠2＝∠DCE2＝β， ∴∠AE2C＝α+β． （3）如图，由AB∥CD，可得∠BOE3＝∠DCE3＝β， ∵∠BAE3＝∠BOE3+∠AE3C， ∴∠AE3C＝α﹣β． （4）如图，由AB∥CD，可得∠BAE4+∠AE4C+∠DCE4＝360°， ∴∠AE4C＝360°﹣α﹣β． ∴∠AEC的度数可能为β﹣α，α+β，α﹣β，360°﹣α﹣β． （5）当点E在CD的下方时，同理可得，∠AEC＝α﹣β或β﹣α． 故选：D． 33．如图，已知AB∥DF，DE和AC分别平分∠CDF和∠BAE，若∠DEA＝46°，∠ACD＝56°，则∠CDF的度数为（　　） A．22° B．33° C．44° D．55° 【答案】C 【解答】解：过点C作CN∥AB，过点E作EM∥AB， ∵FD∥AB，CN∥AB，EM∥AB， ∴AB∥CN∥EM∥FD ∴∠BAC＝∠NCA，∠NCD＝∠FDC，∠FDE＝∠DEM，∠MEA＝∠EAB． ∴∠DEA＝∠FDE+∠EAB， ∠ACD＝∠BAC+∠FDC． 又∵DE和AC分别平分∠CDF和∠BAE， ∴∠FDC＝2∠FDE＝2∠EDC，∠BAE＝2∠BAC＝2∠EAC， ∴56°＝∠BAC+2∠FDE①， 46°＝∠FDE+2∠BAC②． ①+②，得3（∠BAC+∠FDE）＝102°， ∴∠BAC+∠FDE＝34°③． ①﹣③，得∠FDE＝22°． ∴∠CDF＝2∠FDE＝44°． 故选：C． 34．如图，AB∥CD，P2E平分∠P1EB，P2F平分∠P1FD，若设∠P1EB＝x°，∠P1FD＝y°则∠P1＝　（x+y）　度（用x，y的代数式表示），若P3E平分∠P2EB，P3F平分∠P2FD，可得∠P3，P4E平分∠P3EB，P4F平分∠P3FD，可得∠P4…，依次平分下去，则∠Pn＝　（）n﹣1（x+y）　度． 【答案】（1）（x+y）；（2）（）n﹣1（x+y）． 【解答】解：（1）如图，分别过点P1、P2作直线MN∥AB，GH∥AB， ∴∠P1EB＝∠MP1E＝x°． 又∵AB∥CD， ∴MN∥CD． ∴∠P1FD＝∠FP1M＝y°． ∴∠EP1F＝∠EP1M+∠FP1M＝x°+y°． （2）∵P2E平分∠BEP1，P2F平分∠DFP1， ∴＝． ． 以此类推：，，...，． 故答案为：（x+y），（）n﹣1（x+y）． 35．如图，已知AB∥CD，∠BAC＝120°，点M为射线AB上一动点，连接MC，作CP平分∠ACM交直线AB于点P在直线AB上取点N，连接NC，使∠ANC＝2∠AMC，当∠PCN＝∠PNC时，∠PCM＝　22.5°或5°　． 【答案】22.5°或5°． 【解答】解：①设∠PCN＝α， ∵∠PCN＝∠PNC， ∴∠PNC＝4α， ∵∠ANC＝2∠AMC，∠ANC＝∠AMC+∠NCM， ∴∠AMC＝∠NCM＝2α， ∴∠PCM＝∠PCN+∠NCM＝3α， ∵CP平分∠ACM， ∴∠PCM＝∠ACP＝3α， ∴∠ACD＝2∠ACP+∠MCD＝6α+2α＝8α， ∵AB∥CD，∠BAC＝120°， ∴∠ACD＝180°﹣120°＝60°， ∴8α＝60°， ∴α＝， ∴∠PCM＝3α＝22.5°． ②当点N在点A的左侧时， 设∠PCN＝α，∠ACP＝β， ∵CP平分∠ACM， ∴∠PCM＝∠ACP＝β， ∴∠ACN＝∠PCN﹣∠ACP＝α﹣β， ∴∠PNC＝4∠PCN＝4α，∠NMC＝2α， ∵AP∥CD，∠BAC＝120°， ∴∠NMC＝∠MCD＝2α，∠ACD＝180°﹣∠BAC＝60°， ∴∠MCD＝∠ACD﹣∠ACP＝60°﹣2β， ∴2α＝60°﹣2β，即：α＝30°﹣β， ∵∠CAB＝∠PNC+∠ACN， ∴120°＝4α+α﹣β， ∴5α﹣β＝120°， 将α＝30°﹣β代入上式解得：β＝5°， ∴∠PCM＝β＝5°； ③当点N在A，P之间时， 设∠PCN＝α，∠ACN＝β，则∠ACP＝α+β， ∵CP平分∠ACM， ∴∠ACP＝∠PCM＝α+β，∠ACM＝2（α+β）， ∴∠MCD＝60°﹣∠ACM＝60°﹣2（α+β）， 由已知得：∠PNC＝4∠PCN＝4α， ∴∠ANC＝180°﹣∠PNC＝180°﹣4α， ∵∠ANC＝2∠NMC， ∴∠NMC＝90°﹣2α， ∵∠NMC＝∠MCD， ∴90°﹣2α＝60°﹣2（α+β）， ∴β＝﹣15°，不合题意，此种情况不存在． 综上所述：∠PCM的度数为22.5°或5°． 故答案为：22.5°或5°． 36．如图，AB∥CD，E为AB上一点，且EF⊥CD垂足为F，CE⊥DE，CE平分∠AEG，且∠CGE＝α，则下列结论： ①∠EDG＝α； ②∠CEB＝2α； ③∠CEF＝90°； ④∠FED+∠DCE+∠FGE＝180°；其中正确的有 　①④　．（请填写序号） 【答案】①④． 【解答】解：∵∠CGE＝α，AB∥CD， ∴∠CGE＝∠GEB＝α，∠EDG＝∠DEB ∴∠AEG＝180°﹣α， ∵CE平分∠AEG， ∴∠AEC＝∠CEG＝∠AEG＝90°﹣α， ∵∠CED＝90°， ∴∠AEC+∠DEB＝90°， ∴∠DEB＝α＝∠GEB， 即DE平分∠GEB， ∴∠CEB＝2α， 故①正确，②错误； ∵EF⊥CD，AB∥CD， ∴∠AEF＝90°， ∴∠AEC+∠CEF＝90°， ∴∠CEF＝α， 故③错误； ∵∠GED＝∠GEB﹣∠DEB＝α， ∴∠CEF＝∠GED， ∵∠FED＝90°﹣∠BED＝90°﹣α，∠BEC＝180°﹣∠AEC＝90°﹣α， ∠FGE＝α， ∴∠FED+∠DCE+∠FGE＝180°， 故④正确； 综上所述，正确的有①④， 故答案为：①④． 37．如图，AD∥BC，∠BAD的平分线交BC于点G，∠BCD＝90°． （1）试说明：∠BAG＝∠BGA； （2）如图1，点F在AG的反向延长线上，连接CF交AD于点E，若∠BAG﹣∠F＝45°，求证：CF平分∠BCD． （3）如图2，线段AG上有点P，满足∠ABP＝3∠PBG，过点C作CH∥AG．若在直线AG上取一点M，使∠PBM＝∠DCH，求的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵AD∥BC， ∴∠GAD＝∠BGA， ∵AG平分∠BAD， ∴∠BAG＝∠GAD ∴∠BAG＝∠BGA； （2）解：∵∠BGA＝∠F+∠BCF， ∴∠BGA﹣∠F＝∠BCF， ∵∠BAG＝∠BGA， ∴∠∠BAG﹣∠F＝∠BCF， ∵∠BAG﹣∠F＝45°， ∴∠BCF＝45°， ∵∠BCD＝90°， ∴CF平分∠BCD； （3）解：有两种情况： ①当M在BP的下方时，如图5， 设∠ABC＝4x， ∵∠ABP＝3∠PBG， ∴∠ABP＝3x，∠PBG＝x， ∵AG∥CH， ∴∠BCH＝∠AGB＝＝90°﹣2x， ∵∠BCD＝90°， ∴∠DCH＝∠PBM＝90°﹣（90°﹣2x）＝2x， ∴∠ABM＝∠ABP+∠PBM＝3x+2x＝5x， ∠GBM＝2x﹣x＝x， ∴∠ABM：∠GBM＝5x：x＝5； ②当M在BP的上方时，如图6， 同理得：∠ABM＝∠ABP﹣∠PBM＝3x﹣2x＝x， ∠GBM＝2x+x＝3x， ∴∠ABM：∠GBM＝x：3x＝． 综上，的值是5或． 38．如图，已知直线AB∥射线CD，∠CEB＝100°．P是射线EB上一动点，过点P作PQ∥EC交射线CD于点Q，连接CP．作∠PCF＝∠PCQ，交直线AB于点F，CG平分∠ECF． （1）若点P，F，G都在点E的右侧． ①求∠PCG的度数； ②若∠EGC﹣∠ECG＝40°，求∠CPQ的度数． （2）在点P的运动过程中，是否存在这样的情形，使？若存在，求出∠CPQ的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）①∵∠CEB＝100°，AB∥CD， ∴∠ECQ＝80°， ∵∠PCF＝∠PCQ，CG平分∠ECF， ∴＝∠ECQ＝40°； ②∵AB∥CD ∴∠QCG＝∠EGC，∠QCG+∠ECG＝∠ECQ＝80°， ∴∠EGC+∠ECG＝80° 又∵∠EGC﹣∠ECG＝40°， ∴∠EGC＝60°，∠ECG＝20° ∴∠ECG＝∠GCF＝20°，∠PCF＝∠PCQ＝（80°﹣40°）＝20°， ∵PQ∥CE， ∴∠CPQ＝∠ECP＝60°； （2）设∠EGC＝3x，∠EFC＝2x，则∠GCF＝3x﹣2x＝x， ①当点G、F在点E的右侧时， 则∠ECG＝∠PCF＝∠PCD＝x， ∵∠ECD＝80°， ∴4x＝80°， 解得x＝20°， ∴∠CPQ＝3x＝60°； ②当点G、F在点E的左侧时， 则∠ECG＝∠GCF＝x， ∵∠CGF＝180°﹣3x，∠GCQ＝80°+x， ∴180°﹣3x＝80°+x， 解得x＝25°， ∴∠FCQ＝∠ECF+∠ECQ＝50°+80°＝130°， ∴， ∴∠CPQ＝∠ECP＝65°﹣50°＝15°． 39．如图，AB∥CD，∠ABE＝120°． （1）如图①，写出∠BED与∠D的数量关系，并证明你的结论； （2）如图②，∠DEF＝2∠BEF，∠CDF＝∠CDE，EF与DF交于点F，求∠EFD的度数； （3）如图③，过B作BG⊥AB于G点，∠CDE＝4∠GDE，求的值． 【答案】（1）∠BED+∠D＝120°； （2）100°； （3）＝． 【解答】解：（1）结论：∠BED+∠D＝120°， 证明：如图①，延长AB交DE于点F， ∵AB∥CD， ∴∠BFE＝∠D， ∵∠ABE＝120°， ∴∠BFE+∠BED＝∠ABE＝120°， ∴∠D+∠BED＝120°； （2）如图②， ∵∠DEF＝2∠BEF，∠CDF＝∠CDE， 即∠CDE＝3∠CDF， 设∠BEF＝α，∠CDF＝β， ∴∠DEF＝2α，∠DEB＝3α，∠CDE＝3β，∠EDF＝2β， 由（1）知：∠BED+∠CDE＝120°， ∴3α+3β＝120°， ∴α+β＝40°， ∴2α+2β＝80°， ∴∠EFD＝180°﹣∠DEF﹣∠EDF＝180°﹣（2α+2β）＝180°﹣80°＝100°， 答：∠EFD的度数为100°； （3）如图③， ∵BG⊥AB， ∴∠ABG＝90°， ∵∠ABE＝120°． ∴∠GBE＝∠ABE﹣∠ABG＝30°， ∵∠CDE＝4∠GDE， ∴∠GDE＝∠CDE， ∵∠G+∠GBE＝∠E+∠GDE， ∴∠G+30°＝∠E+∠CDE， 由（1）知：∠BED+∠CDE＝120°， ∴∠CDE＝120°﹣∠E， ∴∠G+30°＝∠E+（120°﹣∠E）， ∴∠G＝∠E， ∴＝． 40．已知：如图，直线PQ∥MN，点C是PQ，MN之间（不在直线PQ，MN上）的一个动点． （1）若∠1与∠2都是锐角，如图1，请直接写出∠C与∠1，∠2之间的数量关系． （2）若小明把一块三角板（∠A＝30°，∠C＝90°）如图2放置，点D，E，F是三角板的边与平行线的交点，若∠AEN＝∠A，求∠BDF的度数． （3）将图2中的三角板进行适当转动，如图3，直角顶点C始终在两条平行线之间，点G在线段CD上，连接EG，且有∠CEG＝∠CEM，给出下列两个结论： ①的值不变； ②∠GEN﹣∠BDF的值不变． 其中只有一个是正确的，你认为哪个是正确的？并求出不变的值是多少． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∠C＝∠1+∠2． 理由：如图1，过C作CD∥PQ， ∵PQ∥MN， ∴CD∥MN， ∴∠1＝∠ACD，∠2＝∠BCD， ∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝∠1+∠2． （2）∵∠AEN＝∠A＝30°， ∴∠MEC＝30°， 由（1）可得，∠C＝∠MEC+∠PDC＝90°， ∴∠PDC＝90°﹣∠MEC＝60°， ∴∠BDF＝∠PDC＝60°； （3）结论①的值不变是正确的， 设∠CEG＝∠CEM＝x，则∠GEN＝180°﹣2x， 由（1）可得，∠C＝∠CEM+∠CDP， ∴∠CDP＝90°﹣∠CEM＝90°﹣x， ∴∠BDF＝90°﹣x， ∴＝＝2（定值）， 即的值不变，值为2． 一十八．平行线的判定与性质（共4小题） 41．如图，PQ∥MN，A，B分别为直线MN、PQ上两点，且∠BAN＝45°，若射线AM绕点A顺时针旋转至AN后立即回转，射线BQ绕点B逆时针旋转至BP后立即回转，两射线分别绕点A、点B不停地旋转，若射线AM转动的速度是a°/秒，射线BQ转动的速度是b°/秒，且a、b满足|a﹣5|+（b﹣1）2＝0．若射线AM绕点A顺时针先转动18秒，射线BQ才开始绕点B逆时针旋转，在射线BQ到达BA之前，问射线AM再转动　15或22.5　秒时，射线AM与射线BQ互相平行． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：设射线AM再转动t秒时，射线AM、射线BQ互相平行． 如图，射线AM绕点A顺时针先转动18秒后，AM转动至AM'的位置，∠MAM'＝18×5＝90°， 分两种情况： ①当9＜t＜18时，∠QBQ'＝t°，∠M'AM″＝5t°， ∵∠BAN＝45°＝∠ABQ， ∴∠ABQ'＝45°﹣t°，∠BAM″＝∠M'AM″﹣∠M'AB＝5t﹣45°， 当∠ABQ'＝∠BAM″时，BQ'∥AM″， 此时，45°﹣t°＝5t﹣45°， 解得t＝15； ②当18＜t＜27时，∠QBQ'＝t°，∠NAM″＝5t°﹣90°，∠BAM″＝45°﹣（5t°﹣90°）＝135°﹣5t°， ∵∠BAN＝45°＝∠ABQ， ∴∠ABQ'＝45°﹣t°，∠BAM″＝45°﹣（5t°﹣90°）＝135°﹣5t°， 当∠ABQ'＝∠BAM″时，BQ'∥AM″， 此时，45°﹣t°＝135°﹣5t， 解得t＝22.5； 综上所述，射线AM再转动15秒或22.5秒时，射线AM、射线BQ互相平行． 故答案为15或22.5． 42．如图，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，AB∥CD，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，EP与CD交于点G，点H是MN上一点，且GH⊥EG，连接PH，K是GH上一点使∠PHK＝∠HPK，作PQ平分∠EPK，交MN于点Q，∠HPQ：∠QFP＝3：2，则∠EHG＝　30°　． 【答案】30°． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠BEF+∠EFD＝180°， ∵∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P， ∴∠PEF＝∠BEF，∠PFE＝∠EFD， ∴∠PEF+∠PFE＝（∠BEF+∠EFD）＝90°， ∵∠EPF＝180°﹣（∠PEF+∠PFE）＝90°， ∵GH⊥EG， ∴∠EGH＝∠EPF＝90°， ∴FP∥HG， ∴∠FPH＝∠PHK，∠QFP＝∠EHG， 设∠PHK＝x°，则∠FPH＝∠HPK＝∠PHK＝x°，∠FPK＝∠FPH+∠HPK＝2x°， ∴∠EPK＝∠EPF+∠FPK＝90°+2x°， ∵PQ平分∠EPK， ∴∠QPK＝∠EPK＝（90°+2x°）＝45°+x°， ∴∠HPQ＝∠QPK﹣∠HPK＝45°， ∵∠HPQ：∠QFP＝3：2， ∴∠QFP＝30°， ∴∠EHG＝∠QFP＝30°； 故答案为：30°． 43．如图1，已知点A，B分别是直线MN，PQ上的点，∠BAN＝45°，且PQ∥MN． （1）∠PBA的度数为 　135°　． （2）如图2，射线AC以每秒3°的速度绕点A从AM开始顺时针旋转，射线BD以每秒1°的速度绕点B从BP开始顺时针旋转，当射线AC旋转到与AN重合时，两条射线同时停止旋转． ①当0＜t＜45，是否存在t，使得AC∥BD？请说明理由． ②如图3，当t＞45时，射线AC和射线BD交于点G，用含t的代数式表示∠AGB的度数． ③在②的条件上，过点G作GH⊥AG交PQ于点H，在转动过程中，∠BAG与∠BGH的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由． 【答案】（1）135°； （2）①不存在t，使得AC∥BD； ②∠AGB＝180°﹣2t； ③． 【解答】（1）解：∵∠BAN＝45°，且PQ∥MN， ∴∠PBA＝180°﹣∠BAN＝135°， 故答案为：135°； （2）解：①不存在t，使得AC∥BD，理由如下： 由题意可得∠MAC＝3t，∠PBD＝t， ∵∠PBA＝135°， ∴∠DBA＝135°﹣t， ∵BAN＝45°， ∴∠BAC＝180°﹣∠MAC﹣∠BAN＝135°﹣3t， ∵要使AC∥BD， ∴∠BAC＝∠ABD，即 35°﹣3t＝135°﹣t， 解得t＝0， ∵0＜t＜45， ∴不存在t，使得AC∥BD； ②过点G作GH∥PQ， ∵∠MAC＝3t，∠MAC+∠GAN＝180°， ∴∠GAN＝180°﹣3t， ∵PQ∥MN，GH∥PQ， ∴PQ∥MN∥GH， ∴∠HGB＝∠PBD＝t，∠HGA＝∠NAC＝180°﹣3t， ∴∠AGB＝∠AGH+∠BGH＝180°﹣3t+t＝180°﹣2t； ③，保持不变，理由如下： ∵GH⊥AG， ∴∠AGH＝90°， ∴∠BGH＝90°﹣∠AGB＝90°﹣（180°﹣2t）＝2t﹣90°， ∵∠BAG＝3t﹣135°， ∴． 44．已知：AB∥CD，E、G是AB上的点，F、H是CD上的点，∠1＝∠2． （1）如图1，求证：EF∥GH； （2）如图2，过F点作FM⊥GH交GH延长线于点M，作∠BEF、∠DFM的角平分线交于点N，EN交GH于点P，求证：∠N＝45°； （3）如图3，在（2）的条件下，作∠AGH的角平分线交CD于点Q，若3∠FEN＝4∠HFM，直接写出的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）证明：∵AB∥CD， ∴∠2＝∠3， 又∵∠1＝∠2， ∴∠1＝∠3， ∴EF∥GH； （2）如图2，过点N作NK∥CD， ∴KN∥CD∥AB， ∴∠KNE＝∠4，∠6＝∠7， 设∠4＝x，∠7＝y， ∵EN、FN分别平分∠BEF、∠DFM， ∴∠ENK＝∠5＝∠4＝x，∠6＝∠8＝∠7＝y， 又∵AB∥CD， ∴∠EFD＝180°﹣（∠4+∠5）＝180°﹣2x， 又∵FM⊥GH， ∴∠EFM＝90°， ∴180°﹣2x+2y＝90°， ∴x﹣y＝45°， ∴∠ENF＝∠ENK﹣∠6＝x﹣y＝45°， （3） ∵3∠FEN＝4∠HFM，即3x＝4×2y， ∴x＝， ∴x﹣y＝﹣y＝45° ∴y＝27°，x＝72°， 又∵EN和GQ是角平分线， ∴GQ⊥EN， ∴∠GQH＝∠EGQ＝180°﹣90°﹣72°＝18°， 又∵∠MPN＝∠FEN＝x＝72°， ∴， 故答案为． 一十九．平移的性质（共2小题） 45．如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A′B′C′的位置．已知△ABC的面积为16，阴影部分三角形的面积9．若AA′＝1，则A′D等于（　　） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】B 【解答】解：设A′B′交BC于E，A′C′交BC于F． ∵S△ABC＝16、S△A′EF＝9，且AD为BC边的中线， ∴S△A′DE＝S△A′EF＝，S△ABD＝S△ABC＝8， ∵将△ABC沿BC边上的中线AD平移得到△A'B'C'， ∴A′E∥AB， ∴△DA′E∽△DAB， 则（）2＝，即（）2＝， 解得A′D＝3或A′D＝﹣（舍）， 故选：B． 46．如图，∠1＝70°，直线a平移后得到直线b，则∠2﹣∠3＝（　　） A．70° B．180° C．110° D．80° 【答案】C 【解答】解：法一：延长直线，如图： ， ∵直线a平移后得到直线b， ∴a∥b， ∴∠5＝180°﹣∠1＝180°﹣70°＝110°， ∵∠2＝∠4+∠5， ∵∠3＝∠4， ∴∠2﹣∠3＝∠5＝110°， 故选：C． 法二：如图，过∠2的顶点作直线c∥b， 得∠3＝∠4， ∴∠2﹣∠3＝∠2﹣∠4， ∵a∥b，b∥c， ∴a∥c， ∴∠2﹣∠4＝180°﹣∠1＝180°﹣70°＝110°， 即∠2﹣∠3＝110°， 故选：C． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$