期末复习（易错题60题30个考点）-2023-2024学年七年级数学下学期期中期末考点归纳满分攻略讲练（浙教版）

期末复习（易错题60题30个考点） 一．同底数幂的乘法（共1小题） 1．已知2a＝3，2b＝5，2c＝30，那么a、b、c之间满足的等量关系是 　 　． 二．幂的乘方与积的乘方（共4小题） 2．若（ambn）3＝a9b15，则m、n的值分别为（　　） A．9；5 B．3；5 C．5；3 D．6；12 3．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 4．若a2n＝5，b2n＝16，则（ab）n＝　 　． 5．若am＝2，an＝3，则a2m+n＝　 　． 三．多项式乘多项式（共3小题） 6．已知（x﹣3）（x2+mx+n）的乘积项中不含x2和x项，则m，n的值分别为（　　） A．m＝3，n＝9 B．m＝3，n＝6 C．m＝﹣3，n＝﹣9 D．m＝﹣3，n＝9 7．观察下列两个多项式相乘的运算过程： 根据你发现的规律，若（x+a）（x+b）＝x2﹣7x+12，则a，b的值可能分别是（　　） A．﹣3，﹣4 B．﹣3，4 C．3，﹣4 D．3，4 8．如图是三种不同类型的地砖，若现有A类4块，B类2块，C类1块，若要拼成一个正方形到还需B类地砖　 　块． 四．完全平方公式（共3小题） 9．若a+b＝10，ab＝11，则代数式a2﹣ab+b2的值是（　　） A．89 B．﹣89 C．67 D．﹣67 10．已知a+＝5，则a2+的值是 　 　． 11．已知a+b＝5，ab＝6．求下列各式的值： （1）a2+b2 （2）（a﹣b）2． 五．完全平方公式的几何背景（共6小题） 12．如图，点C是线段BG上的一点，以BC，CG为边向两边作正方形，面积分别是S1和S2，两正方形的面积和S1+S2＝40，已知BG＝8，则图中阴影部分面积为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 13．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如利用图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，那么利用图2所得到的数学等式是（　　） A．（a+b+c）2＝a2+b2+c2 B．（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc C．（a+b+c）2＝a2+b2+b2+ab+ac+bc D．（a+b+c）2＝2a+2b+2c 14．如图，两个正方形边长分别为a、b，且满足a+b＝10，ab＝12，图中阴影部分的面积为　 　． 15．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，请解答下列问题： （1）写出图2中所表示的数学等式　 　． （2）根据整式乘法的运算法则，通过计算验证上述等式． （3）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题： 若a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，则a2+b2+c2＝　 　． （4）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形z张边长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（5a+7b）（9a+4b）长方形，则x+y+z＝　 　． 16．乘法公式的探究及应用． 图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． （1）请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积． 方法1：　 　 方法2：　 　 （2）观察图2请你写出下列三个代数式：（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系． 　 　； （3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：a﹣b＝5，ab＝﹣6，求：a2+b2＝　 　，（a+b）2＝　 　 ②已知的值． 17．数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形，拼成了一个如图2所示的正方形． （1）请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和． 方法1：　 　； 方法2：　 　． （2）请你直接写出三个代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系． （3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知m+n＝5，m2+n2＝20，求mn和（m﹣n）2的值； ②已知（x﹣2021）2+（x﹣2023）2＝34，求（x﹣2022）2的值． 六．完全平方式（共1小题） 18．如果x2+2mx+9是一个完全平方式，则m的值是（　　） A．3 B．±3 C．6 D．±6 七．平方差公式（共1小题） 19．计算：20192﹣2017×2021＝　 　． 八．因式分解的意义（共1小题） 20．若多项式x2﹣ax﹣1可分解为（x﹣2）（x+b），则a+b的值为（　　） A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣1 九．提公因式法与公式法的综合运用（共1小题） 21．因式分解：ax3y﹣axy3＝　 　． 一十．分式的值为零的条件（共2小题） 22．如果分式的值为0，那么x的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣1或1 D．1或0 23．若分式的值为零，则a的值是（　　） A．±2 B．2 C．﹣2 D．0 一十一．分式的值（共1小题） 24．若1＜x＜2，则的值是（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．2 D．1 一十二．分式的基本性质（共2小题） 25．若把分式中的x和y都变为原来的3倍，那么分式的值（　　） A．变为原来的3倍 B．变为原来的 C．变为原来的 D．不变 26．若＝2，则＝　 　． 一十三．分式的加减法（共1小题） 27．如图，若x为正整数，则表示﹣的值的点落在（　　） A．段① B．段② C．段③ D．段④ 一十四．二元一次方程的解（共1小题） 28．若是方程2x+y＝0的解，则6a+3b+2＝　 　． 一十五．解二元一次方程（共1小题） 29．二元一次方程x+3y＝10的非负整数解共有（　　）对． A．1 B．2 C．3 D．4 一十六．二元一次方程组的解（共4小题） 30．若关于x，y的方程组有非负整数解，则正整数m为（　　） A．0，1 B．1，3，7 C．0，1，3 D．1，3 31．若方程组的解满足x+y＝2020，则k等于（　　） A．2018 B．2019 C．2020 D．2021 32． 已知方程组与有相同的解，则m+n＝　 　． 33． 解方程组时，甲同学因看错a符号，从而求得解为，乙因看漏c，从而求得解为，试求a，b，c的值． 一十七．解二元一次方程组（共1小题） 34．已知二元一次方程组无解，则a的值是（　　） A．a＝2 B．a＝6 C．a＝﹣2 D．a＝﹣6 一十八．由实际问题抽象出二元一次方程组（共1小题） 35．中国古代人民在生产生活中发现了许多数学问题，在《孙子算经》中记载了这样一个问题，大意为：有若干人乘车，若每车乘坐3人，则2辆车无人乘坐；若每车乘坐2人，则9人无车可乘，问共有多少辆车，多少人，设共有x辆车，y人，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 一十九．二元一次方程组的应用（共1小题） 36．某铁件加工厂用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图2的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器．（加工时接缝材料不计） （1）如果加工竖式铁容器与横式铁容器各1个，则共需要长方形铁片 　 　张，正方形铁片 　 　张； （2）现有长方形铁片2014张，正方形铁片1176张，如果加工成这两种铁容器，刚好铁片全部用完，那加工的竖式铁容器、横式铁容器各有多少个？ （3）把长方体铁容器加盖可以加工成为铁盒．现用35张铁板做成长方形铁片和正方形铁片，已知每张铁板可做成3个长方形铁片或4个正方形铁片，也可以将一张铁板裁出1个长方形铁片和2个正方形铁片．该如何充分利用这些铁板加工成铁盒，最多可以加工成多少个铁盒？ 二十．分式方程的解（共2小题） 37．若方程的根为正数，则k的取值范围是（　　） A．k＜2 B．﹣3＜k＜2 C．k≠﹣3 D．k＜2且 k≠﹣3 38．若关于x的分式方程﹣1＝无解，则m的值　 　． 二十一．解分式方程（共1小题） 39．解分式方程：＝﹣． 二十二．由实际问题抽象出分式方程（共1小题） 40．A地在河的上游，B地在河的下游，若船从A地开往B地的速度为V1，从B地返回A地的速度为V2，则A，B两地间往返一次的平均速度为（　　） A． B． C． D．无法计算 二十三．角的计算（共1小题） 41．一个问题解决往往经历发现猜想﹣﹣探索归纳﹣﹣问题解决的过程，下面结合一道几何题来体验一下． 【发现猜想】 如图①，已知∠AOB＝70°，∠AOD＝100°，OC为∠BOD的角平分线，则∠AOC的度数为　 　； 【探索归纳】 如图①，∠AOB＝m，∠AOD＝n，OC为∠BOD的角平分线．猜想∠AOC的度数（用含m、n的代数式表示），并说明理由． 【问题解决】 如图②，若∠AOB＝20°，∠AOC＝90°，∠AOD＝120°．若射线OB绕点O以每秒20°逆时针旋转，射线OC绕点O以每秒10°顺时针旋转，射线OD绕点O每秒30°顺时针旋转，三条射线同时旋转，当一条射线与直线OA重合时，三条射线同时停止运动．运动几秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的角平分线？ 二十四．相交线（共1小题） 42．观察下列图形，并阅读图形下面的相关文字． 则n条直线最多有　 　个交点． 二十五．点到直线的距离（共1小题） 43．若点A到直线l的距离为7cm，点B到直线l的距离为3cm，则线段AB的长度为（　　） A．10cm B．4cm C．10cm或4cm D．至少4cm 二十六．同位角、内错角、同旁内角（共1小题） 44．下列所示的四个图形中，∠1和∠2是同位角的是（　　） A．②③ B．①②③ C．①②④ D．①④ 二十七．平行线的性质（共12小题） 45．如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少30°，那么这两个角是（　　） A．42°、138° B．都是10° C．42°、138°或10°、10° D．以上都不对 46．如图，AB∥CD，有图中α，β，γ三角之间的关系是（　　） A．α+β+γ＝180° B．α﹣β+γ＝180° C．α+β﹣γ＝180° D．α+β+γ＝360° 47．如图，已知直线AB、CD被直线AC所截，AB∥CD，E是平面内任意一点（点E不在直线AB、CD、AC上），设∠BAE＝α，∠DCE＝β．下列各式：①α+β，②α﹣β，③β﹣α，④360°﹣α﹣β，∠AEC的度数可能是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 48．如图，DH∥EG∥BC，且DC∥EF，那么图中和∠1相等的角有（　　）个． A．2 B．4 C．5 D．6 49．一个人驱车前进时，两次拐弯后，按原来的相反方向前进，这两次拐弯的角度可能是（　　） A．向右拐85°，再向右拐95° B．向右拐85°，再向左拐85° C．向右拐85°，再向右拐85° D．向右拐85°，再向左拐95° 50．如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，若第一次拐角∠A＝130°，第二次拐角∠B＝150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C为（　　） A．170° B．160° C．150° D．140° 51．如图1的长方形纸带中∠DEF＝25°，将纸带沿EF折叠成图2，再沿BF折叠成图3，则图3中∠CFE度数是（　　） A．105° B．120° C．130° D．145° 52．如图，AB∥CD，∠DCE的角平分线CG的反向延长线和∠ABE的角平分线BF交于点F，∠E﹣∠F＝33°，则∠E＝　 　． 53．已知∠1的两边分别平行于∠2的两边，若∠1＝40°，则∠2的度数为 　 　． 54．已知AB∥CD，点M、N分别是AB、CD上两点，点G在AB、CD之间，连接MG、NG． （1）如图1，若GM⊥GN，求∠AMG+∠CNG的度数； （2）如图2，若点P是CD下方一点，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，已知∠BMG＝30°，求∠MGN+∠MPN的度数； （3）如图3，若点E是AB上方一点，连接EM、EN，且GM的延长线MF平分∠AME，NE平分∠CNG，2∠MEN+∠MGN＝105°，求∠AME的度数． 55．如图①，直线l1∥l2，直线EF和直线l1、l2分别交于C、D两点，点A、B分别在直线l1、l2上，点P在直线EF上，连接PA、PB． 猜想：如图①，若点P在线段CD上，∠PAC＝15°，∠PBD＝40°，则∠APB的大小为 　 　度． 探究：如图①，若点P在线段CD上，直接写出∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系． 拓展：如图②，若点P在射线CE上或在射线DF上时，直接写出∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系． 56．如图，点D、点E分别在△ABC边AB，AC上，∠CBD＝∠CDB，DE∥BC，∠CDE的平分线交AC于F点． （1）求证：∠DBF+∠DFB＝90°； （2）如图②，如果∠ACD的平分线与AB交于G点，∠BGC＝50°，求∠DEC的度数． （3）如图③，如果H点是BC边上的一个动点（不与B、C重合），AH交DC于M点，∠CAH的平分线AI交DF于N点，当H点在BC上运动时，的值是否发生变化？如果变化，说明理由；如果不变，试求出其值． 二十八．平行线的判定与性质（共2小题） 57．将一副三角板按如图放置，则下列结论：①如果∠2＝30°，则有AC∥DE；②∠BAE+∠CAD＝180°；③如果BC∥AD，则有∠2＝30°；④如果∠CAD＝150°，必有∠4＝∠C；正确的有（　　） A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 58．已知：如图，BC∥OA，∠B＝∠A＝100°，试回答下列问题： （1）如图①所示，求证：OB∥AC．（注意证明过程要写依据） （2）如图②，若点E、F在BC上，且满足∠FOC＝∠AOC，并且OE平分∠BOF． （ⅰ）求∠EOC的度数； （ⅱ）求∠OCB：∠OFB的比值； （ⅲ）如图③，若∠OEB＝∠OCA．此时∠OCA度数等于　 　．（在横线上填上答案即可） 二十九．平移的性质（共1小题） 59．如图：直角△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，则内部五个小直角三角形的周长为　 　． 三十．扇形统计图（共1小题） 60．某校图书管理员清理课外书籍时，将其中甲、乙、丙三类书籍的有关数据制成如图不完整的统计图，已知乙类书有90本，则丙类书的本数是（　　） A．80 B．144 C．200 D．90 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末复习（易错题60题30个考点） 一．同底数幂的乘法（共1小题） 1．已知2a＝3，2b＝5，2c＝30，那么a、b、c之间满足的等量关系是 　a+b+1＝c　． 【答案】a+b+1＝c． 【解答】解：∵2a＝3，2b＝5，2c＝30， ∴2a•2b×2＝3×5×2＝30＝2c， ∴a+b+1＝c． 故答案为：a+b+1＝c． 二．幂的乘方与积的乘方（共4小题） 2．若（ambn）3＝a9b15，则m、n的值分别为（　　） A．9；5 B．3；5 C．5；3 D．6；12 【答案】B 【解答】解：∵（ambn）3＝a9b15， ∴a3mb3n＝a9b15， ∴3m＝9，3n＝15， ∴m＝3，n＝5， 故选：B． 3．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解： ＝•• ＝• ＝1× ＝． 故选：A． 4．若a2n＝5，b2n＝16，则（ab）n＝　　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵a2n＝5，b2n＝16， ∴（an）2＝5，（bn）2＝16， ∴， ∴， 故答案为：． 5．若am＝2，an＝3，则a2m+n＝　12　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵am＝2，an＝3， ∴a2m+n＝a2m•an＝（am）2•an＝22×3＝12． 故答案为：12． 三．多项式乘多项式（共3小题） 6．已知（x﹣3）（x2+mx+n）的乘积项中不含x2和x项，则m，n的值分别为（　　） A．m＝3，n＝9 B．m＝3，n＝6 C．m＝﹣3，n＝﹣9 D．m＝﹣3，n＝9 【答案】A 【解答】解：∵原式＝x3+（m﹣3）x2+（n﹣3m）x﹣3n， 又∵乘积项中不含x2和x项， ∴（m﹣3）＝0，（n﹣3m）＝0， 解得，m＝3，n＝9． 故选：A． 7．观察下列两个多项式相乘的运算过程： 根据你发现的规律，若（x+a）（x+b）＝x2﹣7x+12，则a，b的值可能分别是（　　） A．﹣3，﹣4 B．﹣3，4 C．3，﹣4 D．3，4 【答案】A 【解答】解：根据题意，知：a+b＝﹣7，ab＝12， ∴a，b的值可能分别是﹣3，﹣4， 故选：A． 8．如图是三种不同类型的地砖，若现有A类4块，B类2块，C类1块，若要拼成一个正方形到还需B类地砖　2　块． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：4块A的面积为：4×m×m＝4m2； 2块B的面积为：2×m×n＝2mn； 1块C的面积为n×n＝n2； 那么这三种类型的砖的总面积应该是： 4m2+2mn+n2＝4m2+4mn+n2﹣2mn＝（2m+n）2﹣2mn， 因此，少2块B型地砖， 故答案为：2． 四．完全平方公式（共3小题） 9．若a+b＝10，ab＝11，则代数式a2﹣ab+b2的值是（　　） A．89 B．﹣89 C．67 D．﹣67 【答案】C 【解答】解：把a+b＝10两边平方得： （a+b）2＝a2+b2+2ab＝100， 把ab＝11代入得： a2+b2＝78， ∴原式＝78﹣11＝67， 故选：C． 10．已知a+＝5，则a2+的值是 　23　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：a2+＝． 故答案为：23． 11．已知a+b＝5，ab＝6．求下列各式的值： （1）a2+b2 （2）（a﹣b）2． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）{a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×6a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×6＝25﹣12＝13． （2）（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝52﹣4×6＝25﹣24＝1． 五．完全平方公式的几何背景（共6小题） 12．如图，点C是线段BG上的一点，以BC，CG为边向两边作正方形，面积分别是S1和S2，两正方形的面积和S1+S2＝40，已知BG＝8，则图中阴影部分面积为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【解答】解：设BC＝a，CG＝b，则S1＝a2，S2＝b2，a+b＝BG＝8． ∴a2+b2＝40． ∵（a+b）2＝a2+b2+2ab＝64， ∴2ab＝64﹣40＝24， ∴ab＝12， ∴阴影部分的面积等于ab＝×12＝6． 故选：A． 13．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如利用图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，那么利用图2所得到的数学等式是（　　） A．（a+b+c）2＝a2+b2+c2 B．（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc C．（a+b+c）2＝a2+b2+b2+ab+ac+bc D．（a+b+c）2＝2a+2b+2c 【答案】B 【解答】解：∵正方形的面积＝（a+b+c）2；正方形的面积＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc． ∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc． 故选：B． 14．如图，两个正方形边长分别为a、b，且满足a+b＝10，ab＝12，图中阴影部分的面积为　32　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：将a+b＝10两边平方得：（a+b）2＝a2+b2+2ab＝100， 将ab＝12代入得：a2+b2+24＝100，即a2+b2＝76， 则两个正方形面积之和为76； 如图，S阴影＝S两正方形﹣S△ABD﹣S△BFG＝a2+b2﹣a2﹣b（a+b）＝（a2+b2﹣ab）＝×（76﹣12）＝32． 故答案为：32． 15．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，请解答下列问题： （1）写出图2中所表示的数学等式　（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc　． （2）根据整式乘法的运算法则，通过计算验证上述等式． （3）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题： 若a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，则a2+b2+c2＝　30　． （4）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形z张边长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（5a+7b）（9a+4b）长方形，则x+y+z＝　156　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵正方形的面积＝（a+b+c）2；正方形的面积＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc． ∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc． 故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc． （2）证明：（a+b+c）（a+b+c）， ＝a2+ab+ac+ab+b2+bc+ac+bc+c2， ＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc． （3）a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2ab﹣2ac﹣2bc， ＝102﹣2（ab+ac+bc）， ＝100﹣2×35， ＝30． 故答案为：30； （4）由题可知，所拼图形的面积为：xa2+yb2+zab， ∵（5a+7b）（9a+4b）， ＝45a2+20ab+63ab+28b2， ＝45a2+28b2+83ab， ∴x＝45，y＝28，z＝83． ∴x+y+z＝45+28+83＝156． 故答案为：156． 16．乘法公式的探究及应用． 图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． （1）请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积． 方法1：　（m﹣n）2　 方法2：　（m+n）2﹣4mn　 （2）观察图2请你写出下列三个代数式：（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系． 　（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab　； （3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：a﹣b＝5，ab＝﹣6，求：a2+b2＝　13　，（a+b）2＝　1　 ②已知的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）阴影部分是正方形，正方形的边长是m﹣n，即阴影部分的面积是（m﹣n）2， 又∵阴影部分的面积S＝（m+n）2﹣4mn， 故答案为：（m﹣n）2，（m+n）2﹣4mn． （2）（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab， 故答案为：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab． （3）①∵a﹣b＝5，ab＝﹣6， ∴（a﹣b）2＝52 ∴a2﹣2ab+b2＝25， a2+b2＝25+2ab＝25﹣12＝13， 故答案为：13． （a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝52+4×（﹣6）＝1． 故答案为：1． ＝ ＝ ＝（32﹣2）2﹣2 ＝47． 17．数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形，拼成了一个如图2所示的正方形． （1）请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和． 方法1：　a2+b2　； 方法2：　（a+b）2﹣2ab　． （2）请你直接写出三个代数式：（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系． （3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知m+n＝5，m2+n2＝20，求mn和（m﹣n）2的值； ②已知（x﹣2021）2+（x﹣2023）2＝34，求（x﹣2022）2的值． 【答案】（1）a2+b2，（a+b）2﹣2ab； （2）a2+b2＝（a+b）2﹣2ab； （3）①mn＝，（m﹣n）2＝15；②16． 【解答】解：（1）阴影两部分求和为a2+b2，用总面积减去空白部分面积为（a+b）2﹣2ab， 故答案为：a2+b2，（a+b）2﹣2ab； （2）由题意得，a2+b2＝（a+b）2﹣2ab； （3）①由（2）题结论a2+b2＝（a+b）2﹣2ab可得ab＝， ∴m+n＝5，m2+n2＝20时， mn＝ ＝ ＝， （m﹣n）2 ＝m2﹣2mn+n2； ＝20﹣2× ＝20﹣5 ＝15； ②设a＝x﹣2021，b＝x﹣2023， 可得a+b＝2（x﹣2022）， ∴x﹣2022＝， （x﹣2022）2＝（）2＝， 又∵（a﹣b）2＝[（x﹣2021）﹣（x﹣2023）]2＝22＝4， 且由（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，可得2ab＝（a2+b2）﹣（a﹣b）2＝（x﹣2021）2+（x﹣2023）2﹣[（x﹣2021）﹣（x﹣2023）]2＝34﹣4＝30， ∴（x﹣2022）2＝（）2＝＝＝＝16． 六．完全平方式（共1小题） 18．如果x2+2mx+9是一个完全平方式，则m的值是（　　） A．3 B．±3 C．6 D．±6 【答案】B 【解答】解：∵x2+2mx+9是一个完全平方式， ∴2m＝±6， ∴m＝±3， 故选：B． 七．平方差公式（共1小题） 19．计算：20192﹣2017×2021＝　4　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：20192﹣2017×2021 ＝20192﹣（2019﹣2）（2019+2） ＝20192﹣20192+22 ＝4． 故答案为：4． 八．因式分解的意义（共1小题） 20．若多项式x2﹣ax﹣1可分解为（x﹣2）（x+b），则a+b的值为（　　） A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣1 【答案】A 【解答】解：∵（x﹣2）（x+b）＝x2+bx﹣2x﹣2b＝x2+（b﹣2）x﹣2b＝x2﹣ax﹣1， ∴b﹣2＝﹣a，﹣2b＝﹣1， ∴b＝0.5，a＝1.5， ∴a+b＝2． 故选：A． 九．提公因式法与公式法的综合运用（共1小题） 21．因式分解：ax3y﹣axy3＝　axy（x+y）（x﹣y）　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：ax3y﹣axy3 ＝axy（x2﹣y2） ＝axy（x+y）（x﹣y）． 故答案为：axy（x+y）（x﹣y）． 一十．分式的值为零的条件（共2小题） 22．如果分式的值为0，那么x的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣1或1 D．1或0 【答案】B 【解答】解：根据题意，得 |x|﹣1＝0且x+1≠0， 解得，x＝1． 故选：B． 23．若分式的值为零，则a的值是（　　） A．±2 B．2 C．﹣2 D．0 【答案】B 【解答】解：∵＝0， ∴， ∴a＝2， 故选：B． 一十一．分式的值（共1小题） 24．若1＜x＜2，则的值是（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．2 D．1 【答案】D 【解答】解：∵1＜x＜2， ∴x﹣2＜0，x﹣1＞0，x＞0， ∴原式＝﹣1﹣（﹣1）+1＝1， 故选：D． 一十二．分式的基本性质（共2小题） 25．若把分式中的x和y都变为原来的3倍，那么分式的值（　　） A．变为原来的3倍 B．变为原来的 C．变为原来的 D．不变 【答案】B 【解答】解：用3x和3y代替式子中的x和y得：， 则分式的值变为原来的． 故选：B． 26．若＝2，则＝　　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：由＝2，得x+y＝2xy 则＝＝＝． 故答案为． 一十三．分式的加减法（共1小题） 27．如图，若x为正整数，则表示﹣的值的点落在（　　） A．段① B．段② C．段③ D．段④ 【答案】B 【解答】解∵﹣＝﹣＝1﹣＝ 又∵x为正整数， ∴≤＜1 故表示﹣的值的点落在② 故选：B． 一十四．二元一次方程的解（共1小题） 28．若是方程2x+y＝0的解，则6a+3b+2＝　2　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：把代入方程2x+y＝0，得2a+b＝0， ∴6a+3b+2＝3（2a+b）+2＝2． 故答案为：2． 一十五．解二元一次方程（共1小题） 29．二元一次方程x+3y＝10的非负整数解共有（　　）对． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解答】解：∵x+3y＝10， ∴x＝10﹣3y， ∵x、y都是非负整数， ∴y＝0时，x＝10； y＝1时，x＝7； y＝2时，x＝4； y＝3时，x＝1． ∴二元一次方程x+3y＝10的非负整数解共有4对． 故选：D． 一十六．二元一次方程组的解（共4小题） 30．若关于x，y的方程组有非负整数解，则正整数m为（　　） A．0，1 B．1，3，7 C．0，1，3 D．1，3 【答案】D 【解答】解：， ①+②得，（m+1）x＝8， 解得x＝， 把x＝代入①得，﹣y＝2， 解得y＝， ∵方程组的解是非负整数， ∴， 解不等式①得，m＞﹣1， 解不等式②得，m≤3， 所以，﹣1＜m≤3， ∵x、y是整数， ∴m+1是8的因数， ∴正整数m是1、3． 故选：D． 31．若方程组的解满足x+y＝2020，则k等于（　　） A．2018 B．2019 C．2020 D．2021 【答案】D 【解答】解：， ①+②得，5x+5y＝5k﹣5，即：x+y＝k﹣1， ∵x+y＝2020， ∴k﹣1＝2020， ∴k＝2021， 故选：D． 32．已知方程组与有相同的解，则m+n＝　3　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵与有相同的解， ∴解方程组得， ∴解m、n的方程组得 ∴m+n＝4﹣1＝3． 故答案为：3． 33．解方程组时，甲同学因看错a符号，从而求得解为，乙因看漏c，从而求得解为，试求a，b，c的值． 【答案】a＝4，b＝9，c＝． 【解答】解：∵甲同学因看错a符号， ∴把x＝3，y＝2代入x+cy＝4， 得c＝， ﹣3a+2b＝6． ∵乙因看漏c， ∴把x＝6，y＝﹣2代入ax+by＝6， 得6a﹣2b＝6， 得， 解得，a＝4，b＝9； 综上所述，a＝4，b＝9，c＝． 一十七．解二元一次方程组（共1小题） 34．已知二元一次方程组无解，则a的值是（　　） A．a＝2 B．a＝6 C．a＝﹣2 D．a＝﹣6 【答案】D 【解答】解：， 由②得：y＝2x﹣1③， 把③代入①得：ax+3（2x﹣1）＝2， ∴（a+6）x＝5， ∵方程组无解， ∴a+6＝0， ∴a＝﹣6， 故选：D． 一十八．由实际问题抽象出二元一次方程组（共1小题） 35．中国古代人民在生产生活中发现了许多数学问题，在《孙子算经》中记载了这样一个问题，大意为：有若干人乘车，若每车乘坐3人，则2辆车无人乘坐；若每车乘坐2人，则9人无车可乘，问共有多少辆车，多少人，设共有x辆车，y人，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：根据题意可得： ， 故选：A． 一十九．二元一次方程组的应用（共1小题） 36．某铁件加工厂用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图2的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器．（加工时接缝材料不计） （1）如果加工竖式铁容器与横式铁容器各1个，则共需要长方形铁片 　7　张，正方形铁片 　3　张； （2）现有长方形铁片2014张，正方形铁片1176张，如果加工成这两种铁容器，刚好铁片全部用完，那加工的竖式铁容器、横式铁容器各有多少个？ （3）把长方体铁容器加盖可以加工成为铁盒．现用35张铁板做成长方形铁片和正方形铁片，已知每张铁板可做成3个长方形铁片或4个正方形铁片，也可以将一张铁板裁出1个长方形铁片和2个正方形铁片．该如何充分利用这些铁板加工成铁盒，最多可以加工成多少个铁盒？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如果加工竖式铁容器与横式铁容器各1个，则共需要长方形铁片7张，正方形铁片3张； （2）设加工的竖式铁容器有x个，横式铁容器有y个，根据题意得， 解得 答：竖式铁容器加工100个，横式铁容器加工538个； （3）设做长方形铁片的铁板为m块，做正方形铁片的铁板为n块， 依题意，得：， 解得：． ∵在这35块铁板中，25块做长方形铁片可做25×3＝75（张），9块做正方形铁片可做9×4＝36（张），剩下1块可裁出1张长方形铁片和2张正方形铁片， ∴共做长方形铁片75+1＝76（张），正方形铁片36+2＝38（张）， ∴可做铁盒76÷4＝19（个）． 答：最多可以加工成19个铁盒． 二十．分式方程的解（共2小题） 37．若方程的根为正数，则k的取值范围是（　　） A．k＜2 B．﹣3＜k＜2 C．k≠﹣3 D．k＜2且 k≠﹣3 【答案】A 【解答】解：方程两边都乘以（x+3）（x+k）得：3（x+k）＝2（x+3）， 3x+3k＝2x+6， 3x﹣2x＝6﹣3k， x＝6﹣3k， ∵方程的根为正数， ∴6﹣3k＞0， 解得：k＜2， ∵分式方程的解为正数， x+3≠0，x+k≠0， x≠﹣3，k≠3， 即k的范围是k＜2， 故选：A． 38．若关于x的分式方程﹣1＝无解，则m的值　﹣或﹣　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：方程两边同乘x（x﹣3），得x（2m+x）﹣（x﹣3）x＝2（x﹣3） （2m+1）x＝﹣6 x＝﹣， 当2m+1＝0，方程无解，解得m＝﹣． x＝3时，m＝﹣， x＝0时，m无解． 故答案为：﹣或﹣． 二十一．解分式方程（共1小题） 39．解分式方程：＝﹣． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：原方程即＝﹣， 两边同时乘以（2x+1）（2x﹣1）得：x+1＝3（2x﹣1）﹣2（2x+1）， x+1＝6x﹣3﹣4x﹣2， 解得：x＝6． 经检验：x＝6是原分式方程的解． ∴原方程的解是x＝6． 二十二．由实际问题抽象出分式方程（共1小题） 40．A地在河的上游，B地在河的下游，若船从A地开往B地的速度为V1，从B地返回A地的速度为V2，则A，B两地间往返一次的平均速度为（　　） A． B． C． D．无法计算 【答案】B 【解答】解：本题没有AB两地的单程，可设为1，那么总路程为2，总时间为+．平均速度＝2÷（+）＝2÷＝．故选B． 二十三．角的计算（共1小题） 41．一个问题解决往往经历发现猜想﹣﹣探索归纳﹣﹣问题解决的过程，下面结合一道几何题来体验一下． 【发现猜想】 如图①，已知∠AOB＝70°，∠AOD＝100°，OC为∠BOD的角平分线，则∠AOC的度数为　85°　； 【探索归纳】 如图①，∠AOB＝m，∠AOD＝n，OC为∠BOD的角平分线．猜想∠AOC的度数（用含m、n的代数式表示），并说明理由． 【问题解决】 如图②，若∠AOB＝20°，∠AOC＝90°，∠AOD＝120°．若射线OB绕点O以每秒20°逆时针旋转，射线OC绕点O以每秒10°顺时针旋转，射线OD绕点O每秒30°顺时针旋转，三条射线同时旋转，当一条射线与直线OA重合时，三条射线同时停止运动．运动几秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的角平分线？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：【发现猜想】 ∵∠AOB＝70°，∠AOD＝100°， ∴∠BOD＝∠AOD﹣∠AOB＝30°， ∵OC为∠BOD的角平分线， ∴∠BOC＝∠BOD＝15°， ∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝85° 则∠AOC的度数为85°； 故答案为85°； 【探索归纳】 ∠AOC＝（m+n）．理由如下： ∵∠AOB＝m，∠AOD＝n， ∴∠BOD＝n﹣m， ∵OC为∠BOD的角平分线． ∴∠BOC＝（n﹣m） ∴∠AOC＝（n﹣m）+m＝（m+n）． 答：∠AOC的度数为（m+n）． 【问题解决】 设经过的时间为x秒， ∵∠AOB＝20°，∠AOC＝90°，∠AOD＝120°． ∴∠DOA＝120°﹣30x°， ∠COA＝90°﹣10x°， ∠BOA＝20°+20x°． ①当在x＝之前，OC为OB、OD夹角的角平分线： 30﹣20x＝70﹣30x，解得x＝4（舍去）； ②当x在和2之间，OD为OC、OB夹角的角平分线： ﹣30+20x＝100﹣50x，解得x＝； ③当x在2和之间，OB为OC、OD夹角的角平分线： 70﹣30x＝﹣100+50x，解得x＝； ④当x在和4之间，OC为OB、OD夹角的角平分线： ﹣70+30x＝﹣30+20x，解得x＝4． 答：经过、、4秒时，其中一条射线是另两条射线夹角的平分线． 二十四．相交线（共1小题） 42．观察下列图形，并阅读图形下面的相关文字． 则n条直线最多有　　个交点． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵两条直线相交，最多有1个交点，即1＝， 三条直线两条直线相交，最多有3个交点，即3＝ 四条直线相交，最多有6个交点，即6＝ 5条直线相交，最多有10个交点，即5＝， ∴n条直线相交，最多的交点个数是， 故答案为：． 二十五．点到直线的距离（共1小题） 43．若点A到直线l的距离为7cm，点B到直线l的距离为3cm，则线段AB的长度为（　　） A．10cm B．4cm C．10cm或4cm D．至少4cm 【答案】D 【解答】解：从点A作直线l的垂线，垂足为C点，当A、B、C三点共线时，线段AB的长为7﹣3＝4cm，其它情况下大于4cm， 当A、B在直线l的两侧时，AB＞4cm， 故选：D． 二十六．同位角、内错角、同旁内角（共1小题） 44．下列所示的四个图形中，∠1和∠2是同位角的是（　　） A．②③ B．①②③ C．①②④ D．①④ 【答案】C 【解答】解：图①、②、④中，∠1与∠2在截线的同侧，并且在被截线的同一方，是同位角； 图③中，∠1与∠2的两条边都不在同一条直线上，不是同位角． 故选：C． 二十七．平行线的性质（共12小题） 45．如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少30°，那么这两个角是（　　） A．42°、138° B．都是10° C．42°、138°或10°、10° D．以上都不对 【答案】C 【解答】解：如图1，∵AB∥EF， ∴∠3＝∠2， ∵BC∥DE， ∴∠3＝∠1， ∴∠1＝∠2． 如图2，∵AB∥EF， ∴∠3+∠2＝180°， ∵BC∥DE， ∴∠3＝∠1， ∴∠1+∠2＝180° ∴如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补． 设另一个角为x，则这一个角为4x﹣30°， （1）两个角相等，则x＝4x﹣30°， 解得x＝10°， 4x﹣30°＝4×10°﹣30°＝10°； （2）两个角互补，则x+（4x﹣30°）＝180°， 解得x＝42°， 4x﹣30°＝4×42°﹣30°＝138°． 所以这两个角是42°、138°或10°、10°． 故选：C． 46．如图，AB∥CD，有图中α，β，γ三角之间的关系是（　　） A．α+β+γ＝180° B．α﹣β+γ＝180° C．α+β﹣γ＝180° D．α+β+γ＝360° 【答案】C 【解答】解：如图，延长AE交直线CD于F， ∵AB∥CD， ∴∠α+∠AFD＝180°， ∵∠AFD＝∠β﹣∠γ， ∴∠α+∠β﹣∠γ＝180°， 故选：C． 47．如图，已知直线AB、CD被直线AC所截，AB∥CD，E是平面内任意一点（点E不在直线AB、CD、AC上），设∠BAE＝α，∠DCE＝β．下列各式：①α+β，②α﹣β，③β﹣α，④360°﹣α﹣β，∠AEC的度数可能是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【解答】解：（1）如图，由AB∥CD，可得∠AOC＝∠DCE1＝β， ∵∠AOC＝∠BAE1+∠AE1C， ∴∠AE1C＝β﹣α． （2）如图，过E2作AB平行线，则由AB∥CD，可得∠1＝∠BAE2＝α，∠2＝∠DCE2＝β， ∴∠AE2C＝α+β． （3）如图，由AB∥CD，可得∠BOE3＝∠DCE3＝β， ∵∠BAE3＝∠BOE3+∠AE3C， ∴∠AE3C＝α﹣β． （4）如图，由AB∥CD，可得∠BAE4+∠AE4C+∠DCE4＝360°， ∴∠AE4C＝360°﹣α﹣β． ∴∠AEC的度数可能为β﹣α，α+β，α﹣β，360°﹣α﹣β． （5）当点E在CD的下方时，同理可得，∠AEC＝α﹣β或β﹣α． 故选：D． 48．如图，DH∥EG∥BC，且DC∥EF，那么图中和∠1相等的角有（　　）个． A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解答】解：根据两直线平行，同位角相等、内错角相等，与∠1相等的角有： ∠2、∠3、∠4、∠5、∠6共5个． 故选：C． 49．一个人驱车前进时，两次拐弯后，按原来的相反方向前进，这两次拐弯的角度可能是（　　） A．向右拐85°，再向右拐95° B．向右拐85°，再向左拐85° C．向右拐85°，再向右拐85° D．向右拐85°，再向左拐95° 【答案】A 【解答】解：因为两次拐弯后，按原来的相反方向前进， 所以两次拐弯的方向相同，形成的角是同旁内角，且互补， 故选：A． 50．如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，若第一次拐角∠A＝130°，第二次拐角∠B＝150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C为（　　） A．170° B．160° C．150° D．140° 【答案】B 【解答】解：如图，过点B作BD∥AE， 由已知可得：AE∥CF， ∴AE∥BD∥CF， ∴∠ABD＝∠A＝130°，∠DBC+∠C＝180°， ∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝150°﹣130°＝20°， ∴∠C＝180°﹣∠DBC＝180°﹣20°＝160°． 故选：B． 51．如图1的长方形纸带中∠DEF＝25°，将纸带沿EF折叠成图2，再沿BF折叠成图3，则图3中∠CFE度数是（　　） A．105° B．120° C．130° D．145° 【答案】A 【解答】解：∵四边形ABCD为长方形， ∴AD∥BC， ∴∠BFE＝∠DEF＝25°． 由翻折的性质可知： 图2中，∠EFC＝180°﹣∠BFE＝155°，∠BFC＝∠EFC﹣∠BFE＝130°， 图3中，∠CFE＝∠BFC﹣∠BFE＝105°． 故选：A． 52．如图，AB∥CD，∠DCE的角平分线CG的反向延长线和∠ABE的角平分线BF交于点F，∠E﹣∠F＝33°，则∠E＝　82°　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图，过F作FH∥AB， ∵AB∥CD， ∴FH∥AB∥CD， ∵∠DCE的角平分线CG的反向延长线和∠ABE的角平分线BF交于点F， ∴可设∠ABF＝∠EBF＝α＝∠BFH，∠DCG＝∠ECG＝β＝∠CFH， ∴∠ECF＝180°﹣β，∠BFC＝∠BFH﹣∠CFH＝α﹣β， ∴四边形BFCE中，∠E+∠BFC＝360°﹣α﹣（180°﹣β）＝180°﹣（α﹣β）＝180°﹣∠BFC， 即∠E+2∠BFC＝180°，① 又∵∠E﹣∠BFC＝33°， ∴∠BFC＝∠E﹣33°，② ∴由①②可得，∠E+2（∠E﹣33°）＝180°， 解得∠E＝82°， 故答案为：82°． 53．已知∠1的两边分别平行于∠2的两边，若∠1＝40°，则∠2的度数为 　40°或140°　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：①若∠1与∠2位置如图1所示： ∵AB∥DE， ∴∠1＝∠3， 又∵DC∥EF， ∴∠2＝∠3， ∴∠1＝∠2， 又∵∠1＝40°， ∴∠2＝40°； ②若∠1与∠2位置如图2所示： ∵AB∥DE， ∴∠1＝∠3， 又∵DC∥EF， ∴∠2+∠3＝180°， ∴∠2+∠1＝180°， 又∵∠1＝40° ∴∠2＝180°﹣∠1＝180°﹣40°＝140°， 综合所述：∠2的度数为40°或140°， 故答案为：40°或140°． 54．已知AB∥CD，点M、N分别是AB、CD上两点，点G在AB、CD之间，连接MG、NG． （1）如图1，若GM⊥GN，求∠AMG+∠CNG的度数； （2）如图2，若点P是CD下方一点，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，已知∠BMG＝30°，求∠MGN+∠MPN的度数； （3）如图3，若点E是AB上方一点，连接EM、EN，且GM的延长线MF平分∠AME，NE平分∠CNG，2∠MEN+∠MGN＝105°，求∠AME的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图1，过G作GH∥AB， ∵AB∥CD， ∴GH∥AB∥CD， ∴∠AMG＝∠HGM，∠CNG＝∠HGN， ∵MG⊥NG， ∴∠MGN＝∠MGH+∠NGH＝∠AMG+∠CNG＝90°； （2）如图2，过G作GK∥AB，过点P作PQ∥AB，设∠GND＝α， ∵GK∥AB，AB∥CD， ∴GK∥CD， ∴∠KGN＝∠GND＝α， ∵GK∥AB，∠BMG＝30°， ∴∠MGK＝∠BMG＝30°， ∵MG平分∠BMP，ND平分∠GNP， ∴∠GMP＝∠BMG＝30°， ∴∠BMP＝60°， ∵PQ∥AB， ∴∠MPQ＝∠BMP＝60°， ∵ND平分∠GNP， ∴∠DNP＝∠GND＝α， ∵AB∥CD， ∴PQ∥CD， ∴∠QPN＝∠DNP＝α， ∴∠MGN＝30°+α，∠MPN＝60°﹣α， ∴∠MGN+∠MPN＝30°+α+60°﹣α＝90°； （3）如图3，过G作GK∥AB，过E作ET∥AB，设∠AMF＝x，∠GND＝y， ∵AB，FG交于M，MF平分∠AME， ∴∠FME＝∠FMA＝∠BMG＝x， ∴∠AME＝2x， ∵GK∥AB， ∴∠MGK＝∠BMG＝x， ∵ET∥AB， ∴∠TEM＝∠EMA＝2x， ∵CD∥AB∥KG， ∴GK∥CD， ∴∠KGN＝∠GND＝y， ∴∠MGN＝x+y， ∵∠CND＝180°，NE平分∠CNG， ∴∠CNG＝180°﹣y，∠CNE＝∠CNG＝90°﹣y， ∵ET∥AB∥CD， ∴ET∥CD， ∴∠TEN＝∠CNE＝90°﹣y， ∴∠MEN＝∠TEN﹣∠TEM＝90°﹣y﹣2x，∠MGN＝x+y， ∵2∠MEN+∠G＝105°， ∴2（90°﹣y﹣2x）+x+y＝105°， ∴x＝25°， ∴∠AME＝2x＝50°． 55．如图①，直线l1∥l2，直线EF和直线l1、l2分别交于C、D两点，点A、B分别在直线l1、l2上，点P在直线EF上，连接PA、PB． 猜想：如图①，若点P在线段CD上，∠PAC＝15°，∠PBD＝40°，则∠APB的大小为 　55　度． 探究：如图①，若点P在线段CD上，直接写出∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系． 拓展：如图②，若点P在射线CE上或在射线DF上时，直接写出∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：猜想：如图①，过点P作PG∥l1， ∵l1∥l2， ∴l1∥l2∥PG， ∴∠APG＝∠PAC＝15°，∠BPG＝∠PBD＝40°， ∴∠APB＝∠APG+∠BPG＝∠PAC+∠PBD＝15°+40°＝55°， ∴∠APB的大小为55度， 故答案为：55； 探究：如图①，∠PAC＝∠APB﹣∠PBD，理由如下： ∵l1∥l2∥PG， ∴∠APG＝∠PAC，∠BPG＝∠PBD， ∴∠APB＝∠APG+∠BPG＝∠PAC+∠PBD， ∴∠PAC＝∠APB﹣∠PBD； 拓展：∠PAC＝∠PBD﹣∠APB或∠PAC＝∠APB+∠PBD，理由如下： 如图，当点P在射线CE上时， 过点P作PG∥l1， ∴l1∥l2∥PG， ∴∠APG＝∠PAC，∠BPG＝∠PBD， ∴∠PAC＝∠APG＝∠BPG﹣∠APB， ∴∠PAC＝∠PBD﹣∠APB； 当点P在射线DF上时， 过点P作PG∥l1， ∴l1∥l2∥PG， ∴∠APG＝∠PAC，∠BPG＝∠PBD， ∴∠PAC＝∠APG＝∠APB+∠BPG， ∴∠PAC＝∠APB+∠PBD， 综上所述：当点P在射线CE上或在射线DF上时，∠PAC＝∠PBD﹣∠APB或∠PAC＝∠APB+∠PBD． 56．如图，点D、点E分别在△ABC边AB，AC上，∠CBD＝∠CDB，DE∥BC，∠CDE的平分线交AC于F点． （1）求证：∠DBF+∠DFB＝90°； （2）如图②，如果∠ACD的平分线与AB交于G点，∠BGC＝50°，求∠DEC的度数． （3）如图③，如果H点是BC边上的一个动点（不与B、C重合），AH交DC于M点，∠CAH的平分线AI交DF于N点，当H点在BC上运动时，的值是否发生变化？如果变化，说明理由；如果不变，试求出其值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图1， ∵DE∥BC， ∴∠EDB+∠DBC＝180°， ∴∠EDF+∠FDC+∠CDB+∠DBC＝180°， ∵∠CDB＝∠DBC，∠EDF＝∠FDC， ∴2∠FDC+2∠CDB＝180°， ∴∠FDC+∠CDB＝90°， ∴FD⊥BD， ∴∠DBF+DFB＝90°． （2）如图2， ∵∠BGC＝50°，FD⊥BD， ∴∠DHG＝40°， ∴∠FDC+∠HCD＝40°， ∵DF平分∠EDC，CG平分∠ACD， ∴∠EDC＝2∠FDC，∠ACD＝2∠HCD， ∴∠EDC+∠ACD＝2（∠FDC+∠HCD）＝80°， ∴∠DEC＝180°﹣（∠EDC+∠ACD）＝180°﹣80°＝100°． （3）不变，如图3， ∵∠DMH+∠DEC＝2（∠ADF+∠DAN），∠ANF＝∠ADF+∠DAN， ∴＝＝2． 二十八．平行线的判定与性质（共2小题） 57．将一副三角板按如图放置，则下列结论：①如果∠2＝30°，则有AC∥DE；②∠BAE+∠CAD＝180°；③如果BC∥AD，则有∠2＝30°；④如果∠CAD＝150°，必有∠4＝∠C；正确的有（　　） A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【解答】解：∵∠2＝30°， ∴∠1＝60°， 又∵∠E＝60°， ∴∠1＝∠E， ∴AC∥DE，故①正确； ∵∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°， 即∠BAE+∠CAD＝∠1+∠2+∠2+∠3＝90°+90°＝180°，故②正确； ∵BC∥AD， ∴∠1+∠2+∠3+∠C＝180°， 又∵∠C＝45°，∠1+∠2＝90°， ∴∠3＝45°， ∴∠2＝90°﹣45°＝45°，故③错误； ∵∠D＝30°，∠CAD＝150°， ∴∠CAD+∠D＝180°， ∴AC∥DE， ∴∠4＝∠C，故④正确． 故选：A． 58．已知：如图，BC∥OA，∠B＝∠A＝100°，试回答下列问题： （1）如图①所示，求证：OB∥AC．（注意证明过程要写依据） （2）如图②，若点E、F在BC上，且满足∠FOC＝∠AOC，并且OE平分∠BOF． （ⅰ）求∠EOC的度数； （ⅱ）求∠OCB：∠OFB的比值； （ⅲ）如图③，若∠OEB＝∠OCA．此时∠OCA度数等于　60°　．（在横线上填上答案即可） 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵BC∥OA， ∴∠B+∠O＝180°，（两直线平行，同旁内角互补） ∵∠A＝∠B， ∴∠A+∠O＝180°，（等量代换） ∴OB∥AC．（同旁内角互补，两直线平行） （2）（ⅰ）∵∠A＝∠B＝100°， 由（1）得∠BOA＝180°﹣∠B＝80°； ∵∠FOC＝∠AOC，并且OE平分∠BOF， ∴∠EOF＝∠BOF，∠FOC＝∠FOA， ∴∠EOC＝∠EOF+∠FOC＝（∠BOF+∠FOA）＝∠BOA＝40°． （ⅱ）∵BC∥OA， ∴∠FCO＝∠COA， 又∵∠FOC＝∠AOC， ∴∠FOC＝∠FCO， ∴∠OFB＝∠FOC+∠FCO＝2∠OCB， ∴∠OCB：∠OFB＝1：2． （ⅲ）∵OB∥AC， ∴∠OCA＝∠BOC， 设∠BOE＝∠EOF＝α，∠FOC＝∠COA＝β， ∴∠OCA＝∠BOC＝2α+β， ∠OEB＝∠EOC+∠ECO＝α+β+β＝α+2β， ∵∠OEB＝∠OCA， ∴2α+β＝α+2β， ∴α＝β， ∵∠AOB＝80°， ∴α＝β＝20°， ∴∠OCA＝2α+β＝40°+20°＝60°． 故答案为：60°． 二十九．平移的性质（共1小题） 59．如图：直角△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，则内部五个小直角三角形的周长为　30　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：由图形可以看出：内部小三角形直角边是大三角形直角边平移得到的， 故内部五个小直角三角形的周长为AC+BC+AB＝30． 故答案为：30． 三十．扇形统计图（共1小题） 60．某校图书管理员清理课外书籍时，将其中甲、乙、丙三类书籍的有关数据制成如图不完整的统计图，已知乙类书有90本，则丙类书的本数是（　　） A．80 B．144 C．200 D．90 【答案】A 【解答】解：总数是：90÷45%＝200（本）， 丙类书的本数是：200×（1﹣15%﹣45%）＝200×40%＝80（本） 故选：A． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$