北师大七年级下学期期末真题必刷压轴60题（13个考点专练）-2023-2024学年七年级数学下学期考试满分全攻略高频考点+重难点讲练与测试（北师大版）

北师大七年级下学期期末真题必刷压轴60题（13个考点专练） 一．多项式乘多项式（共4小题） 1．（2023春•全椒县期末）已知甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示为正整数），甲、乙的面积分别为，． （1）与的大小关系为：　　（填“”“ ”或“” ； （2）若满足的整数有且只有2个，则的值是 　　． 2．（2023春•济南期末）观察以下等式： （1）按以上等式的规律，填空：　　； （2）利用多项式的乘法法则，说明（1）中的等式成立； （3）利用（1）中的公式化简：． 3．（2022春•槐荫区期末）（1）填空： 　　； 　　； 　　； 　　． （2）猜想： 　　（其中为正整数，且． （3）利用（2）中猜想的结论计算：． 4．（2021春•太原期末）阅读下列材料，解决相应问题： “友好数对” 已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个与原两个两位数均不同的新数，若这两个两位数的乘积与交换位置后两个新两位数的乘积相等，则称这样的两个两位数为“友好数对”．例如，所以43和68与34和86都是“友好数对”． （1）36和84 　　“友好数对”．（填“是”或“不是” （2）为探究“友好数对”的本质，可设“友好数对”中一个数的十位数字为，个位数字为，且；另一个数的十位数字为，个位数字为，且，则，，，之间存在一个等量关系，其探究和说理过程如下，请你将其补充完整． 解：根据题意，“友好数对”中的两个数分别表示为和，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后两个数依次表示为 　　和 　　． 因为它们是友好数对，所以　　． 即，，，的等量关系为：　　． （3）请从下面、两题中任选一题作答，我选择 　　题． ．请再写出一对“友好数对”，与本题已给的“友好数对”不同． ．若有一个两位数，十位数字为，个位数字为，另一个两位数，十位数字为，个位数字为．且这两个数为“友好数对”，直接写出这两个两位数． 二．完全平方公式的几何背景（共2小题） 5．（2023秋•无为市期末）两个边长分别为和的正方形如图放置（图，其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为的小正方形（如图，两个小正方形叠合部分（阴影）面积为． （1）用含、的代数式分别表示、； （2）若，，求的值； （3）当时，求出图3中阴影部分的面积． 6．（2023春•鄞州区期末）如图，将几个小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形． （1）若用不同的方法计算这个边长为的正方形面积，就可以得到一个等式，这个等式可以为 　　（只要写出一个即可）； （2）请利用（1）中的等式解答下列问题： ①若三个实数，，满足，，求的值； ②若三个实数，，满足，，求的值． 三．平方差公式的几何背景（共2小题） 7．（2023秋•沈丘县期末）（1）如图1，已知正方形的边长为，正方形的边长为，长方形和为阴影部分，则阴影部分的面积是　 　（写成平方差的形式） （2）将图1中的长方形和剪下来，拼成图2所示的长方形，则长方形的面积是　 　（写成多项式相乘的形式） （3）比较图1与图2的阴影部分的面积，可得乘法公式　 　． （4）利用所得公式计算：． 8．（2023秋•林州市期末）（1）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式　　（用式子表达）． （2）运用你所得到的公式，计算． 四．函数关系式（共1小题） 9．（2023春•余江区期末）一辆汽车油箱内有油56升，从某地出发，每行驶1千米，耗油0.08升，如果设油箱内剩油量为（升，行驶路程为（千米），则随的变化而变化 （1）在上述变化过程中，自变量是　　；因变量是　　． （2）用表格表示汽车从出发地行驶100千米、200千米、300千米、400千米时的剩油量． 请将表格补充完整： 行驶路程（千米） 100 200 300 400 油箱内剩油量（升 　　 40 　　 24 （3）试写出与的关系式　　． （4）这辆汽车行驶350千米时剩油多少升？汽车剩油8升时，行驶了多少千米？ 五．函数的图象（共6小题） 10．（2023春•市南区校级期末）如图（1），地在地的正东方向，某一时刻，乙车从地开往地，1小时后，甲车从地开往地，当甲车到达地的同时乙车也到达地． 如图（2），横轴（小时）表示两车的行驶时间（从乙车出发的时刻开始计时），纵轴（千米）表示两车与地的距离． 问题： （1）、两地相距多少千米？ （2）和两段线分别表示两车距地的距离（千米）与行驶时间（小时）之间的关系，请问哪一段表示甲车，哪一段表示乙车？ （3）请问两车相遇时距地多少千米？ 11．（2023春•祥符区期末）某地区一天的气温变化较大，如图表示该地区一天24小时的气温变化情况． ①上图描述的两个变量中自变量是什么？因变量是什么？ ②一天中哪个时间气温最高或最低，分别是多少？ ③在什么时间范围内气温上升，什么时间范围内气温下降？ ④该地区一天的温差是多少？若该地区是一旅游景点，你应向该地旅游的游客提出怎样的合理化建议？ 12．（2023春•管城区期末）2016年全国中小学生“安全教育日”主题：“强化安全意识，提升安全素养”，小刚骑单车上学，当他骑了一段，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的新华书店，买到书后继续去学校．以下是他本次所用的时间与路程的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题： （1）小刚家到学校的路程是　　米；小刚在书店停留了　　分钟； （2）本次上学途中，小刚一共行驶了　　米；一共用了　　分钟； （3）我们认为骑单车的速度超过300米分就超过了安全限度．问：在整个上学的途中哪个时间段小刚骑车速度最快，速度在安全限度内吗？请给小刚提一条合理化建议． 13．（2023春•宣汉县校级期末）周末，小明坐公交车到滨海公园游玩，他从家出发0.8小时后达到中心书城，逗留一段时间后继续坐公交车到滨海公园，小明离家一段时间后，爸爸驾车沿相同的路线前往滨海公园．如图是他们离家路程与小明离家时间的关系图，请根据图回答下列问题： （1）图中自变量是　　，因变量是　　； （2）小明家到滨海公园的路程为　　，小明在中心书城逗留的时间为　　； （3）小明出发　　小时后爸爸驾车出发； （4）图中点表示　　； （5）小明从中心书城到滨海公园的平均速度为　　，小明爸爸驾车的平均速度为　　；（补充：爸爸驾车经过　　追上小明； （6）小明从家到中心书城时，他离家路程与坐车时间之间的关系式为　　． 14．（2023春•大竹县校级期末）如图，某校学习小组在做实验中发现弹簧挂上物体后会伸长，在弹簧限度内测得这个弹簧的长度与悬挂的物体的质量间有下面的关系： 物体的质量 0 1 2 3 4 5 弹簧的长度 10 12 14 16 18 20 （1）上表变量之间的关系中自变量是 　　，因变量是 　　； （2）弹簧不悬挂重物时的长度为 　　；物体质量每增加，弹簧长度增加 　　； （3）当所挂物体质量是时，弹簧的长度是 　　； （4）直接写出与的关系式：　　． 15．（2023春•渠县校级期末）如图所示，、两地相距50千米，甲于某日下午1时骑自行车从地出发驶往地，乙也于同日下午骑摩托车按同路从地出发驶往地，如图所示，图中的折线和线段分别表示甲、乙所行驶的路程与该日下午时间之间的关系． 根据图象回答下列问题： （1）甲和乙哪一个出发更早？早出发多长时间？ （2）甲和乙哪一个更早到达城，早多长时间？ （3）乙出发大约用多长时间就追上甲？ （4）描述一下甲的运动情况． （5）请你根据图象上的数据，分别求出乙骑摩托车的速度和甲骑自行车在全程的平均速度． 六．动点问题的函数图象（共2小题） 16．（2023春•城关区校级期末）如图①，四边形中，，． （1）动点从出发，以每秒1个单位的速度沿路线运动到点停止．设运动时间为，的面积为，关于的函数图象如图②所示，求、的长． （2）如图③，动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿路线运动到点停止．同时，动点从点出发，以每秒5个单位的速度沿路线运动到点停止．设运动时间为，当点运动到边上时，连接、、，当的面积为8时，求的值． 17．（2023春•大竹县校级期末）如图1，，是直线上的一点，且，是直线上的一动点，是的中点，直线且与交于点，设，． （1）在图2中，当时，　　； 在图3中，当时，　　； （2）研究表明：与之间关系的图象如图4所示不存在时，用空心点表示，请你根据图象直接估计当时，　　． （3）探究：当　　时，点与点重合； （4）探究：当时，求与之间的关系式． 七．平行线的性质（共26小题） 18．（2023春•怀化期末）已知：如图，直线，点是，之间（不在直线，上）的一个动点． （1）若与都是锐角，如图1，请直接写出与，之间的数量关系． （2）若小明把一块三角板如图2放置，点，，是三角板的边与平行线的交点，若，求的度数． （3）将图2中的三角板进行适当转动，如图3，直角顶点始终在两条平行线之间，点在线段上，连接，且有，给出下列两个结论： ①的值不变； ②的值不变． 其中只有一个是正确的，你认为哪个是正确的？并求出不变的值是多少． 19．（2022秋•内江期末）（1）【问题】 如图1，若，，．求的度数； （2）【问题迁移】 如图2，，点在的上方，问，，之间有何数量关系？请说明理由； （3）【联想拓展】 如图3所示，在（2）的条件下，已知，的平分线和的平分线交于点，用含有的式子表示的度数． 20．（2023春•房山区期末）如图，线段，交于点．为直线上一点（不与点，重合）．过点在的右侧作射线，过点作直线，交于点与不重合）． （1）如图1，若点在线段上，且为钝角． ①按要求补全图形； ②判断与的数量关系，并证明． （2）若点在线段的延长线上，请直接写出与的数量关系． 21． （2023春•广宁县期末）如图1，，点位于，之间，为钝角，，垂足为点． （1）若，则　 　； （2）如图2，过点作，交的延长线于点，求证：； （3）如图3，在（2）问的条件下，平分交于点，若，求的度数． 22．（2023春•安徽期末）如图，已知，，点是射线上一动点（与点不重合），，分别平分和，分别交射线于点，． （1）求的度数； （2）当点运动时，的比值是否随之变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请找出变化规律； （3）当点运动到某处时，，求此时的度数． 23．（2023春•新干县期末）如图，已知直线，、和、分别交于点、、、，点在直线或上且不与点、、、重合．记，，． （1）若点在图（1）位置时，求证：； （2）若点在图（2）位置时，请直接写出、、之间的关系； （3）若点在图（3）位置时，写出、、之间的关系并给予证明． 24．（2023春•牟平区期末）问题情境 在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线，和一块含角的直角三角尺”为主题开展数学活动． 操作发现 （1）如图（1），小明把三角尺的角的顶点放在上，若，求的度数； （2）如图（2），小颖把三角尺的两个锐角的顶点、分别放在和上，请你探索并说明与之间的数量关系； 结论应用 （3）如图（3），小亮把三角尺的直角顶点放在上，角的顶点落在上．若，则等于　　（用含的式子表示）． 25．（2023春•扎赉特旗期末）已知． （1）填空：如图1所示，则，，之间的数量关系为 　　； （2）如图2所示，写出，，之间的数量关系并说明理由； （3）填空：如图3，设，，，请直接写出的大小：　　；（用含，，的式子表示）． （4）如图4，请直接写出的度数． 26．（2023春•寻乌县期末）问题情境1：如图1，，是、内部一点，在的右侧，我们称这种模型为“铅笔模型”，探究，，之间的关系，小明的思路是：如图2，过作，通过平行线性质，可得，，之间的关系是 　　； 问题情境2：如图3，，是，内部一点，在的左侧，我们称这种模型为“猪脚模型”，仿照问题1的思路可得，，之间的关系是 　　； 问题迁移：请合理利用上面的结论解决以下问题： 已知，与两个角的角平分线相交于点． （1）如图4，若，求的度数； （2）如图5中，，，探究与之间的数量关系； （3）如图5中，若，，设，用含有，的代数式直接写出　　． 27．（2023春•隆回县期末）如图，已知直线，直线和直线、交于点和，在、之间有一点，是上的一点，是上的一点． （1）如果点在、之间运动时，如图（1）问，，之间有何关系，并说明理由． （2）若点在、两点的外侧运动时点与点、不重合），在图（2），图（3）中画出图形并探索，，之间的关系又是如何？并选择其中一种情况说明理由． 28．（2023春•金平区期末）如图1，已知，直线交于点，交于点．点是右侧一点，连接，，平分，平分． （1）若，，则　　，　　． （2）写出与之间的数量关系，并说明理由． （3）如图2，当时，若，过点作于．将射线绕点以每秒的速度顺时针旋转一周，经过秒后，射线恰好平行于，请直接写出所有满足条件的的值． 29．（2023春•福清市期末）如图，直线，点、分别在直线、上，点在和之间，且满足，，点为线段上一点（端点除外），的平分线与的平分线交于点． （1）当时，求； （2）请用等式表示与的数量关系； （3）若时，判断线段与的大小关系，并说明理由． 30．（2023春•青山区期末）如图，． （1）如图1，请探索，，三个角之间的数量关系，并说明理由； （2）已知． ①如图2，若，求的度数； ②如图3，若和的平分线交于点，请直接写出与的数量关系． 31．（2023春•铜梁区期末）如图1，已知点是外一点，连接，．求的度数． （1）阅读并补充下面推理过程： 解：过点作， 所以　　，　　． 又因为， 所以． （2）从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，， “凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 如图2，已知，试说明． （3）如图3，已知，平分，平分，若，则的度数为 　　； （4）如图4，已知，平分，平分，平分，平分，平分，平分，若，则的度数为 　　；（用含的代数式表示） 32．（2023春•富顺县校级期末）已知直线，直线与、分别交于、两点，点是直线上的一动点，如图①，若动点在线段之间运动（不与、两点重合），问在点的运动过程中是否始终具有这一相等关系？试说明理由； 如图②，当动点在线段之外且在的上方运动（不与、两点重合），则上述结论是否仍成立？若不成立，试写出新的结论，并说明理由． 33．（2023春•正阳县期末）对于平面内的和，若存在一个常数，使得，则称为的系补周角．如若，，则为的6系补周角． （1）若，则的4系补周角的度数为　　 （2）在平面内，点是平面内一点，连接，． ①如图1，，若是的3系补周角，求的度数． ②如图2，和均为钝角，点在点的右侧，且满足，（其中为常数且，点是角平分线上的一个动点，在点运动过程中，请你确定一个点的位置，使得是的系补周角，并直接写出此时的值（用含的式子表示）． 34．（2023春•江北区校级期末）如图，已知，直线交于点，交于点．点是线段上一点，，分别在射线，上，连接，，平分，平分． （1）如图1，若，，则　　，　　； （2）如图2，求与之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，当时，若，，过点作交的延长线于点．将直线绕点顺时针旋转，速度为每秒，直线旋转后的对应直线为，同时绕点逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为△，当直线首次落到上时，整个运动停止．在此运动过程中，经过秒后，直线恰好平行于△的一条边，请直接写出所有满足条件的的值． 35．（2023春•汉川市期末）已知，点、分别是、上的两点，点在、之间，连接、． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，点是下方一点，平分，平分．若，求的度数； （3）如图3，点是上方一点，连接、，且的延长线平分，平分．若，则的度数为 　　． 36．（2023春•广陵区校级期末）【探究结论】 （1）如图1，，为形内一点，连结、得到，则、、的关系是 　　（直接写出结论，不需要证明） 【探究应用】利用（1）中结论解决下面问题： （2）如图2，，直线分别交、于点、，和为内满足的两条线，分别与的平分线交于点和，求证：． （3）如图3，已知，为上一点，，，若，的度数为整数，则的度数为 　　． 37．（2023春•阳新县期末）如图1，．为、之间一点． （1）若平分，平分．求证：； （2）如图2．若，，且的延长线交的角平分线于点，的延长线交的角平分线于点，猜想的结果并且证明你的结论； （3）如图3，若点是射线之间一动点，平分，平分，过点作于点，请猜想与的关系；并证明你的结论． 38．（2023春•巴南区期末）已知直线，点和点分别在直线和上． （1）如图1，射线平分交于点，若，求 的度数； （2）如图2，射线平分，点是射线上一点（不包括端点，点为的平分线上一点（不包括端点，连接，，延长交射线于点，猜想与的关系，并说明理由； （3）在（1）的条件下，若绕点以每秒转动的速度逆时针旋转一周，同时绕点以每秒转动的速度逆时针旋转，设转动时间为秒，当转动结束时也随即停止转动，在整个转动过程中，当和互相平行时，请直接写出此时的值． 39．（2023春•沙坪坝区校级期末）如图1，直线，直线分别交、于、点，，点在线段上（不在端点处），点在直线上，点在直线上，连接、． （1）如图1，点在线段上，若，，则的度数为 　　； （2）如图2，点在线段上，点为直线与之间区域的一点，点在线段上（不与端点重合），连、．若，，，求的度数； （3）如图3，于点，，点在射线上运动不与重合），与的角平分线所在直线交于点，与的角平分线所在直线交于点，与的角平分线交于点，直接写出、与的数量关系． 40．（2023春•连城县期末）如图，由线段，，，组成的图形像，称为“形”． （1）如图1，形中，若，，则　　； （2）如图2，连接形中，两点，若，，试猜想与的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，当点在线段的延长线上从上向下移动的过程中，请直接写出与所有可能的数量关系． 41．（2023春•镇海区期末）已知，，点为射线上一点． （1）如图1，若，，则　　； （2）如图2，当点在延长线上时，此时与交于点，则、、之间满足怎样的关系，请说明你的结论： （3）如图3，平分，交于点，交于点，且，，求的度数． 42．（2023春•武宣县期末）已知：直线，点和点是直线上的点，点和点是直线上的点，连接，，设直线和交于点． （1）在如图1所示的情形下，若，求的度数（提示：可过点作； （2）在如图2所示的情形下，若平分，平分，且与交于点，当，时，求的度数． （3）如图3，当点在点的右侧时，若平分，平分，且，交于点，设，，用含有，的代数式表示的补角．（直接写出结果即可） 43．（2023春•富川县期末）如图，已知，．点是射线上一动点（与点不重合），、分别平分和，分别交射线于点，． （1）求的度数； （2）当点运动时，与之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律． （3）当点运动到使时，的度数是 ． 八．三角形内角和定理（共5小题） 44．（2023春•沛县期末）已知：在中，．过边上的点作，垂足为点．为的一条角平分线，为的平分线． （1）如图1，若，点在边上且不与点重合． ①判断与的数量关系，并说明理由； ②判断与的位置关系，并说明理由； （2）如图2，若，点在边上，与的延长线交于点，用含的代数式表示，并说明理由； （3）如图3，若，点在边上，与交于点，用含的代数式表示，则　　． 45．（2023春•侯马市期末）问题情景 如图1，中，有一块直角三角板放置在上点在内），使三角板的两条直角边、恰好分别经过点和点． 试问与是否存在某种确定的数量关系？ （1）特殊探究：若，则　　度，　　度，　　度； （2）类比探索：请探究与的关系． （3）类比延伸：如图2，改变直角三角板的位置；使点在外，三角板的两条直角边、仍然分别经过点和点，（2）中的结论是否仍然成立？若不成立，请直接写出你的结论． 46．（2023春•鼓楼区期末）中，平分线与相交于点，，垂足为． （1）如图1，若，则　　； （2）如图2，若是锐角三角形．过点作，交于点．依题意补全图2，用等式表示，与之间的数量关系并证明； （3）若是钝角三角形，其中．过点作，交直线延长线于点，直接写出，与之间的数量关系． 47．（2023春•丰泽区期末）在在中，，点在边上． （1）如图①，点在线段上，若，证明：； （2）如图②，平分，点在线段上，交延长线于点，设与的角平分线交于点，求与的度数之比． 48．（2023春•仓山区校级期末）如图1至图2，在中，，点在边上，作垂直于直线，垂足为点，为的角平分线，的平分线交直线于点． 特例感悟： （1）如图1，延长交于点，若，． 解决问题： ①　　； ②求证：． 深入探究： （2）如图2，当，与反向延长线交于点，用含的代数式表示，并说明理由； 拓展延伸： （3）当点在边上移动时，若射线与线段相交，设交点为，则与的关系式是 　　． 九．全等三角形的判定（共2小题） 49．（2023春•碑林区校级期末）如图，的两条高与交于点，，． （1）求的长； （2）是射线上一点，且，动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，当点到达点时，，两点同时停止运动，设运动时间为秒，当与全等时，求的值． 50．（2023春•鄠邑区期末）如图（1），，，，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．它们运动的时间为． （1）若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，与是否全等，并判断此时线段和线段的位置关系，请分别说明理由； （2）如图（2），将图（1）中的“，”改为“”，其他条件不变．设点的运动速度为，是否存在实数，使得与全等？若存在，求出相应的、的值；若不存在，请说明理由． 一十．全等三角形的判定与性质（共7小题） 51．（2023春•梅州期末）如图，在中，，，点在线段上运动（点不与点、重合），连接，作，交线段于点． （1）当时，　　，　　； （2）若，试说明； （3）在点的运动过程中，的形状可以是以为腰的等腰三角形吗？若可以，求的度数；若不可以，请说明理由． 52．（2023春•甘州区校级期末）已知，点、分别为线段、上两点，连接、交于点． （1）若，，如图1所示，　　度； （2）若平分，平分，如图2所示，试说明此时与的数量关系； （3）在（2）的条件下，若，试说明：． 53．（2023春•扶风县期末）（1）如图①，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系：　　； （2）如图②，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； （3）在四边形中，，，，分别是边，所在直线上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系：　　． 54．（2023春•宣汉县校级期末）已知：，，，，垂足分别为，， （1）如图1，把下面的解答过程补充完整，并在括号内注明理由． ①线段和的数量关系是：； ②请写出线段，，之间的数量关系并证明． 解：①结论：． 理由：，， ， ，， 　　 在和中，　　 ，　　 ． ②结论：． 理由：， 　　 ， ． （2）如图2，上述结论②还成立吗？如果不成立，请写出线段，，之间的数量关系．并说明理由． 55．（2022秋•临汾期末）在直线上依次取互不重合的三个点，，，在直线上方有，且满足． （1）如图1，当时，猜想线段，，之间的数量关系是 　　； （2）如图2，当时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由； （3）拓展与应用：如图3，当时，点为平分线上的一点，且，分别连接，，，，试判断的形状，并说明理由． 56．（2023春•榆次区校级期末）如图，中，为的中点，厘米，，厘米． （1）若点在线段上以3厘米秒的速度从点向终点运动，同时点在线段上从点向终点运动， ①若点的速度与点的速度相等，经1秒钟后，请说明； ②点的速度与点的速度不相等，当点的速度为多少时，能够使； （2）若点以3厘米秒的速度从点向点运动，同时点以5厘米秒的速度从点向点运动，它们都依次沿三边运动，则经过多长时间，点第一次在的哪条边上追上点？ 57．（2023春•达州期末）在中，，为边上的一点，连接，为上的一点，连接，，过点作，垂足．交于点． （1）判断与之间的数量关系，并说明理由； （2）如图2，若，为的中点，与相等吗？为什么？ 一十一．角平分线的性质（共1小题） 58．（2023春•高新区期末）如图，在中，为边上的高，是的角平分线，点为上一点，连接，． （1）求证：平分； （2）连接交于点，若，求证：； （3）在（2）的条件下，当，时，求线段的长． 一十二．等腰三角形的性质（共1小题） 59．（2023春•渠县期末）探究与发现：如图①，在中，，，点在底边上，，连接． （1）当时，求的度数； （2）当点在（点、除外）上运动时，试猜想并探究与的数量关系； （3）深入探究：若，试就图②探究与的数量关系． 一十三．翻折变换（折叠问题）（共1小题） 60．（2023春•普宁市期末）如图①，将笔记本活页一角折过去，使角的顶点落在处，为折痕 （1）图①中，若，求的度数； （2）如果又将活页的另一角斜折过去，使边与重合，折痕为，如图②所示，，求以及的度数； （3）如果在图②中改变的大小，则的位置也随之改变，那么问题（2）中的大小是否改变？请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北师大七年级下学期期末真题必刷压轴60题（13个考点专练） 一．多项式乘多项式（共4小题） 1．（2023春•全椒县期末）已知甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示为正整数），甲、乙的面积分别为，． （1）与的大小关系为：　　（填“”“ ”或“” ； （2）若满足的整数有且只有2个，则的值是 　　． 【分析】（1）先分别计算出面积，作差与0比较大小即可； （2）先计算出，根据整数有且只有4个，列出不等式，根据为正整数求得的值． 【解答】解：（1）， ， ， 为正整数， ， ， ， 故答案为：． （2）， 的整数有且只有2个， 这四个整数解为2021，2020， ， 解得：， ． 故答案为：1010． 【点评】本题考查了多项式乘以多项式法则，能够作差比较大小是解题的关键． 2．（2023春•济南期末）观察以下等式： （1）按以上等式的规律，填空：　　； （2）利用多项式的乘法法则，说明（1）中的等式成立； （3）利用（1）中的公式化简：． 【分析】（1）根据等式的规律填空即可； （2）利用多项式的乘法法则，进行计算即可得出（1）中的等式成立； （3）利用（1）中的公式进行计算、合并即可． 【解答】解：（1）； 故答案为：； （2）； （3）原式． 【点评】本题主要考查多项式乘以多项式的法则．注意不要漏项，漏字母，有同类项的合并同类项． 3．（2022春•槐荫区期末）（1）填空： 　　； 　　； 　　； 　　． （2）猜想： 　　（其中为正整数，且． （3）利用（2）中猜想的结论计算：． 【分析】（1）利用多项式乘以多项式的运算法则计算前面简单的式子，观察规律可得结论； （2）利用（1）中的规律直接得出结论即可； （3）将式子乘以，并将式子适当变形，利用（2）中猜想的结论运算即可． 【解答】解：（1）， ， ， ， 故答案为：，，，； （2）由（1）的运算结论猜想： （其中为正整数，且． 故答案为：； （3） ． 【点评】本题主要考查了多项式乘以多项式，利用运算中的规律性解答是解题的关键． 4．（2021春•太原期末）阅读下列材料，解决相应问题： “友好数对” 已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个与原两个两位数均不同的新数，若这两个两位数的乘积与交换位置后两个新两位数的乘积相等，则称这样的两个两位数为“友好数对”．例如，所以43和68与34和86都是“友好数对”． （1）36和84 　是　“友好数对”．（填“是”或“不是” （2）为探究“友好数对”的本质，可设“友好数对”中一个数的十位数字为，个位数字为，且；另一个数的十位数字为，个位数字为，且，则，，，之间存在一个等量关系，其探究和说理过程如下，请你将其补充完整． 解：根据题意，“友好数对”中的两个数分别表示为和，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后两个数依次表示为 　　和 　　． 因为它们是友好数对，所以　　． 即，，，的等量关系为：　　． （3）请从下面、两题中任选一题作答，我选择 　　题． ．请再写出一对“友好数对”，与本题已给的“友好数对”不同． ．若有一个两位数，十位数字为，个位数字为，另一个两位数，十位数字为，个位数字为．且这两个数为“友好数对”，直接写出这两个两位数． 【分析】（1）计算和，根据定义判断； （2）利用“十位数字个位数字”表达出交换后的两位数，结合友好数对的的定义列出等量关系，并化简； （3）、结合（2）中的等量关系写出新的“友好数对”； 、根据“”得，解方程得到，写出两个两位数． 【解答】解：（1），， ， 和84是友好数对． 故答案为：是． （2）一个数的十位数字为，个位数字为；另一个数的十位数字为，个位数字为， 交换后十位数字为，个位数字为，另一个的十位数字为，个位数字为， 两个数依次表示为，， 这两个数是友好数对， ， 化简得：． 故答案为：，，，． （3）选，根据，可列举31和39，13和93，12和42，21和24， 只要满足十位数字之积等于个位数字之积，且同一个数的个位与十位不同即可，答案不唯一． 选，由（2）得：， 解得：， 两个两位数为：31和39． 选或选都可以，只要满足“友好数对”的定义即可． 故答案为：或． 【点评】本题以新定义为背景，考查了学生对于数的表示、整式的运算——多项式乘以多项式、解一元一次方程．本题解题的关键是用代数式表达两位数和交换个位和十位后的两位数，然后根据新定义列出方程． 二．完全平方公式的几何背景（共2小题） 5．（2023秋•无为市期末）两个边长分别为和的正方形如图放置（图，其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为的小正方形（如图，两个小正方形叠合部分（阴影）面积为． （1）用含、的代数式分别表示、； （2）若，，求的值； （3）当时，求出图3中阴影部分的面积． 【分析】（1）根据正方形的面积之间的关系，即可用含、的代数式分别表示、； （2）根据，将，代入进行计算即可； （3）根据，，即可得到阴影部分的面积． 【解答】解：（1）由图可得，，； （2）， ，， ； （3）由图可得，， ， ． 【点评】本题主要考查了完全平方公式的几何背景的应用，解决问题的关键是根据图形之间的面积关系进行推导计算． 6．（2023春•鄞州区期末）如图，将几个小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形． （1）若用不同的方法计算这个边长为的正方形面积，就可以得到一个等式，这个等式可以为 　　（只要写出一个即可）； （2）请利用（1）中的等式解答下列问题： ①若三个实数，，满足，，求的值； ②若三个实数，，满足，，求的值． 【分析】（1）根据图形得出等式即可； （2）①先根据公式进行变形，再代入求出即可； ②先求出，再根据求出即可． 【解答】解：（1）， 故答案为：； （2）①，，， ； ②， ， ， ， ，， ， ． 【点评】本题考查了完全平方公式的应用，能灵活运用公式进行变形是解此题的关键． 三．平方差公式的几何背景（共2小题） 7．（2023秋•沈丘县期末）（1）如图1，已知正方形的边长为，正方形的边长为，长方形和为阴影部分，则阴影部分的面积是　　（写成平方差的形式） （2）将图1中的长方形和剪下来，拼成图2所示的长方形，则长方形的面积是　 　（写成多项式相乘的形式） （3）比较图1与图2的阴影部分的面积，可得乘法公式　 　． （4）利用所得公式计算：． 【分析】（1）根据图1确定出阴影部分面积即可； （2）根据图2确定出长方形面积即可； （3）根据两图形面积相等得到乘法公式； （4）利用得出的平方差公式计算即可得到结果． 【解答】解：（1）根据题意得：阴影部分面积为； （2）根据题意得：阴影部分面积为； （3）可得； （4）原式 ． 故答案为：（1）；（2）；（3） 【点评】此题考查了平方差公式的几何背景，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 8．（2023秋•林州市期末）（1）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式　　（用式子表达）． （2）运用你所得到的公式，计算． 【分析】（1）首先利用平行四边形与正方形面积求解方法表示出两个图形中的阴影部分的面积，又由两图形阴影面积相等，即可得到答案． （2）利用平方差公式就可简单的计算．注意将看作一个整体． 【解答】解：（1）； 故答案为：． （2）， ， ， ． 【点评】本题主要考查了平方差公式的几何表示，表示出图形阴影部分面积是解题的关键．注意可以从第2个图形得出平行四边形的高． 四．函数关系式（共1小题） 9．（2023春•余江区期末）一辆汽车油箱内有油56升，从某地出发，每行驶1千米，耗油0.08升，如果设油箱内剩油量为（升，行驶路程为（千米），则随的变化而变化 （1）在上述变化过程中，自变量是　汽车行驶路程　；因变量是　　． （2）用表格表示汽车从出发地行驶100千米、200千米、300千米、400千米时的剩油量． 请将表格补充完整： 行驶路程（千米） 100 200 300 400 油箱内剩油量（升 　　 40 　　 24 （3）试写出与的关系式　　． （4）这辆汽车行驶350千米时剩油多少升？汽车剩油8升时，行驶了多少千米？ 【分析】（1）根据已知得出即可； （2）根据题意列出算式，即可求出答案； （3）根据题意得出即可； （4）把和分别代入，即可求出答案． 【解答】解：（1）在上述变化过程中，自变量是汽车行驶路程；因变量是油箱内剩油量， 故答案为：汽车行驶路程，油箱内剩油量； （2），， （3）与的关系式是， 故答案为：； （4）当时，， 所以汽车行驶350千米时剩油28升； 当时，， 解得：， 所以汽车行驶600千米时剩油8升． 【点评】本题考查了函数关系式，常量和变量等知识点，能根据题意列出函数关系式是解此题的关键． 五．函数的图象（共6小题） 10．（2023春•市南区校级期末）如图（1），地在地的正东方向，某一时刻，乙车从地开往地，1小时后，甲车从地开往地，当甲车到达地的同时乙车也到达地． 如图（2），横轴（小时）表示两车的行驶时间（从乙车出发的时刻开始计时），纵轴（千米）表示两车与地的距离． 问题： （1）、两地相距多少千米？ （2）和两段线分别表示两车距地的距离（千米）与行驶时间（小时）之间的关系，请问哪一段表示甲车，哪一段表示乙车？ （3）请问两车相遇时距地多少千米？ 【分析】（1）由图象可知，两地的距离； （2）由图象可以得到结论； （3）根据图象可以分别设出甲乙两车对应的函数解析式并求出它们各自的函数解析式，联立方程组即可解答本题． 【解答】解：（1）由图象可知，，两地的距离是400千米； （2）由图象可知，表示甲车，表示乙车； 两甲车行驶4小时，行驶的路程是400千米，故甲车的速度是：千米时， 由图象可知，乙车行驶5个小时，行驶的路程是400千米，故乙车的速度是：千米时， 即甲、乙两车的速度分别是：100千米时，80千米时； （3）设乙车行驶的路程在坐标系中的对应的函数解析式是：， 点，在上， ， 解得，． 即， 设甲车行驶的路程在坐标系中的对应的函数解析式是：， 点，在上， ， 解得，， 即， 解得， 乙车出发小时与甲车相遇， 由图象可知，乙车行驶5个小时，行驶的路程是400千米，故乙车的速度是：千米时， 两车相遇时距地千米． 【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是明确题意，由数形结合的思想入手，找出所求问题需要的条件． 11．（2023春•祥符区期末）某地区一天的气温变化较大，如图表示该地区一天24小时的气温变化情况． ①上图描述的两个变量中自变量是什么？因变量是什么？ ②一天中哪个时间气温最高或最低，分别是多少？ ③在什么时间范围内气温上升，什么时间范围内气温下降？ ④该地区一天的温差是多少？若该地区是一旅游景点，你应向该地旅游的游客提出怎样的合理化建议？ 【分析】直接根据图象信息回答即可． 【解答】解：①图象反映了气温变化和时间之间的关系，其中时间是自变量，气温是因变量； ②一天中0时和24时的气温最低，是；15时的气温最高，是； ③在和时，气温上升； 在和时，气温下降； ④该地区一天的温差是：．该地区的一天内的气温变化比较大，建议旅客选择时外出观光． 【点评】本题考查了函数的图象的读图能力，正确根据图象的性质和数据进行分析，读出实际意义． 12．（2023春•管城区期末）2016年全国中小学生“安全教育日”主题：“强化安全意识，提升安全素养”，小刚骑单车上学，当他骑了一段，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的新华书店，买到书后继续去学校．以下是他本次所用的时间与路程的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题： （1）小刚家到学校的路程是　1500　米；小刚在书店停留了　　分钟； （2）本次上学途中，小刚一共行驶了　　米；一共用了　　分钟； （3）我们认为骑单车的速度超过300米分就超过了安全限度．问：在整个上学的途中哪个时间段小刚骑车速度最快，速度在安全限度内吗？请给小刚提一条合理化建议． 【分析】（1）根据函数图象的纵坐标，可得答案，根据函数图象的横坐标，可得到达书店时间，离开书店时间，根据有理数的减法，可得答案； （2）根据函数图象的纵坐标，可得相应的路程，根据有理数的加法，可得答案； （3）根据函数图象的纵坐标，可得路程，根据函数图象的横坐标，可得时间，根据路程与时间的关系，可得速度． 【解答】解：（1）根据图象，学校的纵坐标为1500，小明家的纵坐标为0， 故小刚家到学校的路程是1500米； 根据题意，小刚在书店停留的时间为从（8分）到（12分）， 故小刚在书店停留了4分钟． 故答案为：1500，4； （2）一共行驶的总路程 米； 共用了14分钟． 故答案为：2700，14； （3）由图象可知：分钟时，平均速度米分， 分钟时，平均速度米分， 分钟时，平均速度米分， 所以，分钟时速度最快，不在安全限度内， “珍重生命，注意安全！”同学们在上下学途中一定要注意骑车安全． 【点评】本题考查了函数图象，观察函数图象的纵坐标得出路程，观察函数图象的横坐标得出时间，又利用了路程与时间的关系． 13．（2023春•宣汉县校级期末）周末，小明坐公交车到滨海公园游玩，他从家出发0.8小时后达到中心书城，逗留一段时间后继续坐公交车到滨海公园，小明离家一段时间后，爸爸驾车沿相同的路线前往滨海公园．如图是他们离家路程与小明离家时间的关系图，请根据图回答下列问题： （1）图中自变量是　　，因变量是　　； （2）小明家到滨海公园的路程为　　，小明在中心书城逗留的时间为　　； （3）小明出发　　小时后爸爸驾车出发； （4）图中点表示　　； （5）小明从中心书城到滨海公园的平均速度为　　，小明爸爸驾车的平均速度为　　；（补充：爸爸驾车经过　　追上小明； （6）小明从家到中心书城时，他离家路程与坐车时间之间的关系式为　　． 【分析】（1）根据图象进行判断，即可得出自变量与因变量； （2）根据图象中数据进行计算，即可得到路程与时间； （3）根据梯形即可得到爸爸驾车出发的时间； （4）根据点的坐标即可得到点的实际意义； （5）根据相应的路程除以时间，即可得出速度； （6）根据小明从家到中心书城时的速度，即可得到离家路程与坐车时间之间的关系式． 【解答】解：（1）由图可得，自变量是，因变量是， 故答案为：，； （2）由图可得，小明家到滨海公园的路程为，小明在中心书城逗留的时间为； 故答案为：30，1.7； （3）由图可得，小明出发2.5小时后爸爸驾车出发； 故答案为：2.5； （4）由图可得，点表示2.5小时后小明继续坐公交车到滨海公园； 故答案为：2.5小时后小明继续坐公交车到滨海公园； （5）小明从中心书城到滨海公园的平均速度为， 小明爸爸驾车的平均速度为； 爸爸驾车经过追上小明； 故答案为：12，30，； （6）小明从家到中心书城时，他的速度为， 他离家路程与坐车时间之间的关系式为， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了函数图象，以及行程问题的数量关系的运用，解答时理解清楚函数图象的意义是解答此题的关键． 14．（2023春•大竹县校级期末）如图，某校学习小组在做实验中发现弹簧挂上物体后会伸长，在弹簧限度内测得这个弹簧的长度与悬挂的物体的质量间有下面的关系： 物体的质量 0 1 2 3 4 5 弹簧的长度 10 12 14 16 18 20 （1）上表变量之间的关系中自变量是 　悬挂的物体的质量　，因变量是 　　； （2）弹簧不悬挂重物时的长度为 　　；物体质量每增加，弹簧长度增加 　　； （3）当所挂物体质量是时，弹簧的长度是 　　； （4）直接写出与的关系式：　　． 【分析】（1）根据变量的含义可得； （2）由时的值可得不挂物体的长度，由表格中数据的变化可得； （3）根据（2）中结论可得； （4）利用（3）中计算所用相等关系可得． 【解答】解：（1）上表变量之间的关系中自变量是悬挂的物体的质量，因变量是弹簧的长度， 故答案为：悬挂的物体的质量、弹簧的长度； （2）弹簧不悬挂重物时的长度为；物体质量每增加，弹簧长度增加， 故答案为：10、2； （3）当所挂物体质量是时，弹簧的长度是， 故答案为：26； （4）与的关系式为：， 故答案为：． 【点评】本题考查了函数关系的确认，常量与变量的确定，读懂图表数据，并从表格数据得出正确结论是解题的关键，是基础题，难度不大． 15．（2023春•渠县校级期末）如图所示，、两地相距50千米，甲于某日下午1时骑自行车从地出发驶往地，乙也于同日下午骑摩托车按同路从地出发驶往地，如图所示，图中的折线和线段分别表示甲、乙所行驶的路程与该日下午时间之间的关系． 根据图象回答下列问题： （1）甲和乙哪一个出发更早？早出发多长时间？ （2）甲和乙哪一个更早到达城，早多长时间？ （3）乙出发大约用多长时间就追上甲？ （4）描述一下甲的运动情况． （5）请你根据图象上的数据，分别求出乙骑摩托车的速度和甲骑自行车在全程的平均速度． 【分析】（1）时间应看横轴，在前面的就是早出发的． （2）路程应看轴． （3）相遇时间看甲和乙的函数图象交点处的时间即可． （4）函数图象的走势较陡的应该是速度较快． （5）让各自的总路程各自的总时间 【解答】解：（1）甲比乙出发更早，要早小时； （2）乙比甲早到城，早了个小时； （3）由图可知：，，， 设直线的函数表达式为，直线的函数表达式为， 将各点坐标代入对应的表达式，得： ， ， ，， 联立两式可得直线、的交点的坐标为 所以乙出发半小时后追上甲； （4）甲开始以较快的速度骑自行车前进，2点后速度减慢，但仍保持这一速度于下午5时抵达城； （5）乙的速度为千米时，甲的平均速度为千米时． 【点评】本题应首先看清横轴和纵轴表示的量，注意相遇时间看甲和乙的函数图象交点处的时间即可．以及平均速度的算法． 六．动点问题的函数图象（共2小题） 16．（2023春•城关区校级期末）如图①，四边形中，，． （1）动点从出发，以每秒1个单位的速度沿路线运动到点停止．设运动时间为，的面积为，关于的函数图象如图②所示，求、的长． （2）如图③，动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿路线运动到点停止．同时，动点从点出发，以每秒5个单位的速度沿路线运动到点停止．设运动时间为，当点运动到边上时，连接、、，当的面积为8时，求的值． 【分析】（1）由函数图象可知，，此时，解得，即可求解； （2）由题意得，当运动到停止的时间为，而点运动到的时间为，故只能有点、都在边上，此时有以为底边，为高的三角形，再分按点在上方、点在点下方两种情况，分别求解即可． 【解答】解：（1）由函数图象可知，， 此时，解得：， ，； （2）由题意得，当运动到停止的时间为，而点运动到的时间为， 当点、都在边上，此时有以为底边，为高的三角形， 设运动的时间为，则，，而， 当点在上方时，则， 的面积，解得：（满足条件）； 当点在点下方时，， 的面积，解得：（满足条件）； 当点在上时，点运动到时，，解得， 综上，或或． 【点评】本题考查的是四边形动点问题与一次函数结合，熟悉掌握四边形动点问题的解决办法和一次函数图象的相关性质，运用数形结合的思想是解题的关键． 17．（2023春•大竹县校级期末）如图1，，是直线上的一点，且，是直线上的一动点，是的中点，直线且与交于点，设，． （1）在图2中，当时，　　； 在图3中，当时，　　； （2）研究表明：与之间关系的图象如图4所示不存在时，用空心点表示，请你根据图象直接估计当时，　　． （3）探究：当　　时，点与点重合； （4）探究：当时，求与之间的关系式． 【分析】（1）当时，根据三角形外角的性质可：； 当，根据直角三角形两锐角互余可得结论； （2）由图象直接得出结论； （3）分两种情况：①在的左侧，②在的右侧，根据平行线的性质和中垂线的性质可得结论； （4）如图7，根据三角形外角和为列式可得结论． 【解答】解：（1）如图2，， ， ， ， ， 当时，； 即， 如图3中，当时，， ， 故答案为：，； （2）如图2，当时，， 此时，时，，， 由图4可知：时，还有， 当时，或170， 故答案为：10或170； （3）①在的左侧时，当与重合时，如图5，， 是的中垂线， ， ， ， ， ②在的右侧时，当与重合时，如图6， ， ， 同理得：， ， ， ， 综上所述，当或105时，点与点重合； 故答案为：15或105； （4）当时，如图7， ， ， ，， ， ， 即． 【点评】本题考查了平行线的性质、等腰三角形三线合一的性质、中垂线的性质、三角形外角定理、一次函数，属于动点问题的函数图象，有难度，并采用了分类讨论，数形结合思想解决问题． 七．平行线的性质（共26小题） 18．（2023春•怀化期末）已知：如图，直线，点是，之间（不在直线，上）的一个动点． （1）若与都是锐角，如图1，请直接写出与，之间的数量关系． （2）若小明把一块三角板如图2放置，点，，是三角板的边与平行线的交点，若，求的度数． （3）将图2中的三角板进行适当转动，如图3，直角顶点始终在两条平行线之间，点在线段上，连接，且有，给出下列两个结论： ①的值不变； ②的值不变． 其中只有一个是正确的，你认为哪个是正确的？并求出不变的值是多少． 【分析】（1）过作，依据平行线的性质，即可得出； （2）根据（1）中的结论可得，，再根据对顶角相等即可得出结论； （3）设，得到，再根据（1）中的结论可得，再根据对顶角相等即可得出，据此可得的值不变． 【解答】解：（1）． 理由：如图1，过作， ， ， ，， ． （2）， ， 由（1）可得，， ， ； （3）结论①的值不变是正确的， 设，则， 由（1）可得，， ， ， （定值）， 即的值不变，值为2． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，以及角平分线的定义的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，依据两直线平行，内错角相等进行求解． 19．（2022秋•内江期末）（1）【问题】 如图1，若，，．求的度数； （2）【问题迁移】 如图2，，点在的上方，问，，之间有何数量关系？请说明理由； （3）【联想拓展】 如图3所示，在（2）的条件下，已知，的平分线和的平分线交于点，用含有的式子表示的度数． 【分析】（1）过点作，根据平行线的性质可得，，进而可求解； （2）过点作，则，根据平行线的性质可得，即可得，结合可求解； （3）过点作的平行线．由平行线的性质可得，，结合角平分线的定义，利用角的和差可求解． 【解答】解：（1）如图1，过点作， ，， ． ， 又， ， ； （2）， 理由：如图2，过点作，则， ， ， ， ， ， ，即； （3）如图3，过点作的平行线． ，， ， ，， 又的平分线和的平分线交于点， ，， 同（1）易得，， ， ． 【点评】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，灵活运用平行线的性质是解题的关键． 20．（2023春•房山区期末）如图，线段，交于点．为直线上一点（不与点，重合）．过点在的右侧作射线，过点作直线，交于点与不重合）． （1）如图1，若点在线段上，且为钝角． ①按要求补全图形； ②判断与的数量关系，并证明． （2）若点在线段的延长线上，请直接写出与的数量关系． 【分析】（1）①依据过点在的右侧作射线，过点作直线，交于点，画出图形即可；②根据平行线的性质即可得到，再根据平行线的性质，即可得出，进而得出． （2）过点作，根据平行线的性质可得，再根据平行线的性质即可得到，进而得出． 【解答】解：（1）①补全图形如图： ②判断：． 证明：过点作， （两直线平行，内错角相等）． （已知）， （平行于同一直线的两直线平行）． （两直线平行，同旁内角互补）． （已知）， （垂直的定义）． ， 即． （2）． 理由：如图，过点作， ， （已知）， （平行于同一直线的两直线平行）． ， 又， ， ， 即． 【点评】本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． 21．（2023春•广宁县期末）如图1，，点位于，之间，为钝角，，垂足为点． （1）若，则　　； （2）如图2，过点作，交的延长线于点，求证：； （3）如图3，在（2）问的条件下，平分交于点，若，求的度数． 【分析】（1）过点作，则，再由平行线的性质即可得出结论； （2）过点作，则，再由，可得出，再由平行线的性质即可得出结论； （3）设，由（2）可得，由可得出，过点作，根据平行线的性质可得出．再由平分可知，据此可得出的值． 【解答】（1）解：过点作，则， ，， ． ， ， ． ， ， ． 故答案为：； （2）证明：如图2，过点作，则． ， ． ，． 又， ． ． ， ， ． ． （3）解：设，由（2）可得， ， ． 过点作，如图3， ，． ． ． 平分， ，即，解得． 的度数为． 【点评】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线，利用平行线的性质求解是解答此题的关键． 22．（2023春•安徽期末）如图，已知，，点是射线上一动点（与点不重合），，分别平分和，分别交射线于点，． （1）求的度数； （2）当点运动时，的比值是否随之变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请找出变化规律； （3）当点运动到某处时，，求此时的度数． 【分析】（1）根据角平分线的定义只要证明即可； （2）不变．可以证明，； （3）想办法证明即可解决问题； 【解答】解：（1）， ， 又，分别平分和， ． （2）不变．理由如下： ， ，， 又平分， ，即． （3）， ， 又， ， ， ， ． 【点评】本题考查平行线的性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 23．（2023春•新干县期末）如图，已知直线，、和、分别交于点、、、，点在直线或上且不与点、、、重合．记，，． （1）若点在图（1）位置时，求证：； （2）若点在图（2）位置时，请直接写出、、之间的关系； （3）若点在图（3）位置时，写出、、之间的关系并给予证明． 【分析】此题三个小题的解题思路是一致的，过作直线、的平行线，利用平行线的性质得到和、相等的角，然后结合这些等角和的位置关系，来得出、、的数量关系． 【解答】证明：（1）过作， ， ， 由两直线平行，内错角相等，可得： 、； ， ． （2）关系：； 过作直线， ， ， 则：、； ， ． （3）关系：． 过作， ， ， 同（1）可证得：； ，， ， 即． 【点评】此题主要考查的是平行线的性质，能够正确地作出辅助线，是解决问题的关键． 24．（2023春•牟平区期末）问题情境 在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线，和一块含角的直角三角尺”为主题开展数学活动． 操作发现 （1）如图（1），小明把三角尺的角的顶点放在上，若，求的度数； （2）如图（2），小颖把三角尺的两个锐角的顶点、分别放在和上，请你探索并说明与之间的数量关系； 结论应用 （3）如图（3），小亮把三角尺的直角顶点放在上，角的顶点落在上．若，则等于　　（用含的式子表示）． 【分析】（1）依据，可得，再根据，，即可得出，进而得到； （2）根据，可得，再根据，即可得到； （3）依据，可得，再根据，，，即可得到． 【解答】解：（1）如图1，， ， 又， ， 又， ， ； （2）如图2，， ， 即， 又， ； （3）如图3，， ， 即， 又，，， ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了平行线的性质的运用，解决问题的关键是掌握：两直线平行，同旁内角互补． 25．（2023春•扎赉特旗期末）已知． （1）填空：如图1所示，则，，之间的数量关系为 　　； （2）如图2所示，写出，，之间的数量关系并说明理由； （3）填空：如图3，设，，，请直接写出的大小：　　；（用含，，的式子表示）． （4）如图4，请直接写出的度数． 【分析】（1）过点作，延长到，延长到，由平行线的性质得出，由，，推出，得出，则，即可得出结果； （2）根据平行线的性质得出，由，，推出，得出，推出，即可得出结论； （3）过作，过作，根据平行线的判定和性质定理即可得到结论； （4）如图4，根据平行线模型锯齿模型定理，朝向左边的角的和朝向右边的角的和，根据邻补角的定义，角的邻补角为，所以可列，求出即可得出答案． 【解答】解：（1）； 过点作，延长到，延长到，如图2所示： ， ，， ， ， ， ． 故答案为：； （2）．理由如下： 过点作． ， ，， （平行于同一直线的两直线平行）， ， ， 即； （3）如图3，过作，过作， 则， ， ， ，， ，， ， ， ， ； 故答案为：； （4）由（3）知，， 解得． 【点评】本题考查了平行线的判定与性质等知识，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键． 26．（2023春•寻乌县期末）问题情境1：如图1，，是、内部一点，在的右侧，我们称这种模型为“铅笔模型”，探究，，之间的关系，小明的思路是：如图2，过作，通过平行线性质，可得，，之间的关系是 　　； 问题情境2：如图3，，是，内部一点，在的左侧，我们称这种模型为“猪脚模型”，仿照问题1的思路可得，，之间的关系是 　　； 问题迁移：请合理利用上面的结论解决以下问题： 已知，与两个角的角平分线相交于点． （1）如图4，若，求的度数； （2）如图5中，，，探究与之间的数量关系； （3）如图5中，若，，设，用含有，的代数式直接写出　　． 【分析】问题情境1：过点作，根据平行线的性质，得到，，进而得出：； 问题情境2：过点作，再由平行线的性质即可得出结论； ②，③根据①中的方法可得出结论； 问题迁移： （1）如图4，根据角平分线定义得：，，由问题情境1得：，再根据四边形的内角和可得结论； （2）设，，则，，，，根据问题情境和四边形内角和得等式可得结论； （3）同（2）将3倍换为倍，同理可得结论． 【解答】解：问题情境 如图2，，理由是： 过作， ，， ， ，， ， 即， 故答案为：； 问题情境 如图3，，理由是： 过点作， ， ， ，， ， 即； 故答案为：； 问题迁移： （1）如图4，、分别是和的平分线， ，， 由问题情境1得：， ， ， ， ； （2）如图5，，理由是： 设，，则，，，， 由问题情境1得：， ， ， ， ， ， ； （3）如图5，设，， 则，，，， 由问题情境1得：， ， ， ， ， ； 故答案为：． 【点评】本题主要考查了平行线的性质和角平分线、等分线及四边形的内角和的运用，解决问题的关键是作辅助线构造同旁内角以及内错角，依据平行线的性质进行推导计算，解题时注意类比思想的运用． 27．（2023春•隆回县期末）如图，已知直线，直线和直线、交于点和，在、之间有一点，是上的一点，是上的一点． （1）如果点在、之间运动时，如图（1）问，，之间有何关系，并说明理由． （2）若点在、两点的外侧运动时点与点、不重合），在图（2），图（3）中画出图形并探索，，之间的关系又是如何？并选择其中一种情况说明理由． 【分析】（1）当点在、之间运动时，首先过点作，由，可得，根据两直线平行，内错角相等，即可求得：． （2）当点在、两点的外侧运动时，由直线，根据两直线平行，同位角相等与三角形外角的性质，即可求得：． 【解答】解：（1）如图1，当点在、之间运动时，． 理由如下：过点作， ， ，， ； （2）如图2，当点在、两点的外侧运动，且在下方时，． 理由如下：， ， ， ． 如图3，当点在、两点的外侧运动，且在上方时，． 理由如下：， ， ， ． 【点评】本题主要考查平行线的性质与三角形外角的性质．解题的关键是掌握：两直线平行，内错角相等与两直线平行，同位角相等，注意辅助线的作法． 28．（2023春•金平区期末）如图1，已知，直线交于点，交于点．点是右侧一点，连接，，平分，平分． （1）若，，则　70　，　　． （2）写出与之间的数量关系，并说明理由． （3）如图2，当时，若，过点作于．将射线绕点以每秒的速度顺时针旋转一周，经过秒后，射线恰好平行于，请直接写出所有满足条件的的值． 【分析】（1）过点作，过点作，可得，，由即可求解，再由平角的定义求出，由角平分线的定义求出，，由平分线的性质求出，，即可求出， （2）根据（1）中的结论先求出，，再由得出结论， （3）过点作直线，平行于，求出的度数，从而求出的度数，分两种情况讨论，当若时，可求出旋转了，当时，可求出旋转了，即可求解． 【解答】解：（1）如图（1）所示： 过点作，过点作， ， ， ，， ，， ， ， ， 平分， ， 平分， ， 由，得， 由，得， ， （2）， 理由如下：由（1）得．， ， ， ， ， （3）如图（2）所示： 的初始位置为，当旋转至，处时平行于， ， ， 且由（1）知， ， 平分， ， ， ， ， ①若时，， ， 故此时，，解得， ②若时，则，解得， 综上所述，当的值为31或67秒时，与平行． 【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，平角的定义，直角的定义等知识，是一个综合性较强的题目，解决问题的关键是对平行线性质的灵活运用． 29．（2023春•福清市期末）如图，直线，点、分别在直线、上，点在和之间，且满足，，点为线段上一点（端点除外），的平分线与的平分线交于点． （1）当时，求； （2）请用等式表示与的数量关系； （3）若时，判断线段与的大小关系，并说明理由． 【分析】（1）过作，得，根据平行线的性质即可解决问题； （2）设，，则，，过作，过作，则，根据平行线的性质即可解决问题； （3）结合（2）得，证明，进而可以解决问题． 【解答】解：（1）如图，过作， ， ， ，， ， ， ； （2）．（或，理由如下： 设，， 则，， 平分， ， 如图2，过作，过作，则， ， ， 又平分， ， ， ， ．（或； （3）．理由如下： 由（2）知，， ， ，得， 则， ， ． 【点评】本题考查平行线的性质及应用，解题的关键是作平行线，构造内错角、同旁内角转化角． 30．（2023春•青山区期末）如图，． （1）如图1，请探索，，三个角之间的数量关系，并说明理由； （2）已知． ①如图2，若，求的度数； ②如图3，若和的平分线交于点，请直接写出与的数量关系． 【分析】（1）过点作，由平行线的性质得，，据此可得出，，三个角之间的数量关系； （2）过点作，由平行线的性质得，再由（1）得，据此可得出，然后将，代入计算可得出答案； （3）首先根据角平分线的定义得，，由四边形的内角和等于得，再由（2）得，据此可得出与的数量关系． 【解答】解：（1），，三个角之间的数量关系是：． 理由如下： 过点作， ， ， ，， ， 即：， （2）过点作， ， ， ， ， 由（1）得：， ， ， 即：， ，， ， （3）与的数量关系是：． 理由如下： 为的平分线，为的平分线， ，， 根据四边形的内角和等于得：， 由（2）得：， 即：， ， ， 整理得， ， ． 【点评】此题主要考查了平行线的性质，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的性质：两直线平行同位角相等；两直线平行内错角相等；两直线平行同旁内角互补；平行于同一条直线的两条直线平行． 31．（2023春•铜梁区期末）如图1，已知点是外一点，连接，．求的度数． （1）阅读并补充下面推理过程： 解：过点作， 所以　　，　　． 又因为， 所以． （2）从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，， “凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 如图2，已知，试说明． （3）如图3，已知，平分，平分，若，则的度数为 　　； （4）如图4，已知，平分，平分，平分，平分，平分，平分，若，则的度数为 　　；（用含的代数式表示） 【分析】（1）结合图象根据得，，据此可得出答案； （2）过点作，则，根据平行线的性质得，，据此结合图形可得出结论； （3）根据角平分线的定义得，，再由（2）的结论得，然后根据四边形的内角和等于得，则，据此可求出的度数； （4）根据（2）的结论可知，，据此可得，再由（3）可知，据此得，，同理，，以此类推可得出的度数． 【解答】（1）解：过点作， 所以，． 又因为， 所以． 故答案为：，． （2）证明：过点作， ， ， ，， ， 即：． （3）解：平分，平分， ，， 由（2）可知：， ， 由四边形的内角和等于得： ， 即：， ， ， ， （4）平分，平分， ，， ， 由（2）可知：，， ， 由（3）可知：， 又， ， ， 同理：， ，以此类推，． 【点评】此题主要考查了平行线的性质，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的性质，难点是用类比的思想解决第（3）、（4）小题，以及归纳总结出，，，，之间的规律． 32．（2023春•富顺县校级期末）已知直线，直线与、分别交于、两点，点是直线上的一动点，如图①，若动点在线段之间运动（不与、两点重合），问在点的运动过程中是否始终具有这一相等关系？试说明理由； 如图②，当动点在线段之外且在的上方运动（不与、两点重合），则上述结论是否仍成立？若不成立，试写出新的结论，并说明理由． 【分析】（1）成立，理由如下：过点作，利用两直线平行内错角相等得到，根据，得到，再利用两直线平行内错角相等，根据，等量代换即可得证； （2）不成立，新的结论为，理由为：过作，同理得到，根据，等量代换即可得证． 【解答】解：（1）成立，理由如下： 如图①，过点作， ， ， ， ， ， ； （2）不成立，新的结论为，理由为： 如图②，过作， ， ， ， ， ， ． 【点评】此题考查了平行线的性质：两直线平行内错角相等，解题的关键在于作出正确的辅助线． 33．（2023春•正阳县期末）对于平面内的和，若存在一个常数，使得，则称为的系补周角．如若，，则为的6系补周角． （1）若，则的4系补周角的度数为　60　 （2）在平面内，点是平面内一点，连接，． ①如图1，，若是的3系补周角，求的度数． ②如图2，和均为钝角，点在点的右侧，且满足，（其中为常数且，点是角平分线上的一个动点，在点运动过程中，请你确定一个点的位置，使得是的系补周角，并直接写出此时的值（用含的式子表示）． 【分析】（1）设的4系补周角的度数为，根据新定义列出方程求解便可； （2）①过作，得，再由已知，是的3系补周角，列出的方程，求得便可； ②根据系补周角的定义先确定点的位置，再结合，求解与的关系即可求解． 【解答】解：（1）设的4系补周角的度数为，根据新定义得，， 解得，， 的4系补周角的度数为， 故答案为60； （2）①过作，如图1， ， ， ，， ， ， 即， 是的3系补周角， ， ， ； ②当上的动点为的角平分线与的交点时，满足是的系补周角，此时． 【点评】本题主要考查平行线的性质与判定，角平分线的定义，理解题意是解题的关键． 34．（2023春•江北区校级期末）如图，已知，直线交于点，交于点．点是线段上一点，，分别在射线，上，连接，，平分，平分． （1）如图1，若，，则　27　，　　； （2）如图2，求与之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，当时，若，，过点作交的延长线于点．将直线绕点顺时针旋转，速度为每秒，直线旋转后的对应直线为，同时绕点逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为△，当直线首次落到上时，整个运动停止．在此运动过程中，经过秒后，直线恰好平行于△的一条边，请直接写出所有满足条件的的值． 【分析】（1）延长交于，设，交于点，设，则，根据可表示出，进而根据三角形内角和推论表示出，进而表示出，然后结合和内角和得出关系式，进一步得出结果； （2）类比（1）的方法过程，得出结果； （3）分为△的三边分别与平行，分别画出图形求解即可． 【解答】解：（1）如图1， 延长交于，设，交于点， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 在和中， ，，， ， 即：， ， 故答案为：27；135； （2）如图1，延长交于，设，交于点， 设，则， ， ， ， ， ， 在和中， ，，， ， 即： ； （3）根据题意，需要分三种情况： 如图3（1），当时， ， ； 如图3（2），当时， ， ， 如图3（3），当时， ， ， 如图3（4），当时， ， ， 如图3（5），当时， ， （舍， 如图3（6），当时， ， ， ， ． 综上所述：或或或或． 【点评】本题考查了平行线判定，三角形内角和定理及其推论，旋转的性质，四边形内角和等知识，解决问题的关键是正确分类，并找出相等关系列方程． 35．（2023春•汉川市期末）已知，点、分别是、上的两点，点在、之间，连接、． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，点是下方一点，平分，平分．若，求的度数； （3）如图3，点是上方一点，连接、，且的延长线平分，平分．若，则的度数为 　　． 【分析】（1）过作，依据两直线平行，内错角相等，即可得到的度数； （2）过作，过点作，设，利用平行线的性质以及角平分线的定义，求得，，即可得到； （3）过作，过作，设，，利用平行线的性质以及角平分线的定义，可得，，再根据，即可得到，求得，即可得出． 【解答】解：（1）如图1，过作， ， ， ，， ， ； （2）如图2，过作，过点作，设， ，， ， ， ，， ， 平分，平分， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ，， ； （3）如图3，过作，过作，设，， ，交于，平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，平分， ，， ， ， ， ，， ， ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了平行线的性质与判定的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，利用平行线的性质以及角的和差关系进行推算． 36．（2023春•广陵区校级期末）【探究结论】 （1）如图1，，为形内一点，连结、得到，则、、的关系是 　　（直接写出结论，不需要证明） 【探究应用】利用（1）中结论解决下面问题： （2）如图2，，直线分别交、于点、，和为内满足的两条线，分别与的平分线交于点和，求证：． （3）如图3，已知，为上一点，，，若，的度数为整数，则的度数为 　　． 【分析】（1）过点作，根据平行线的性质可得，，进而可求解； （2）由（1）可知：，由角平分线的定义结合可得，再根据三角形的内角和定理可证明结论； （3）由（1）知：，设，则，可求得，结合度数的取值范围可求解的取值范围，再利用三角形外角的性质可求解． 【解答】（1）解：过点作， ， ，， ， ． ， （等量代换）， 故答案为：； （2）证明：由（1）可知：， 平分， ， ， ， ， ； （3）由（1）知：， 设，则， ， ， ， 又， ， 解得， 又是的外角， ， 的度数为整数， 或， 或， 故答案为：或． 【点评】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理等知识的综合运用，灵活运用平行线的性质求解角的关系是解题的关键． 37．（2023春•阳新县期末）如图1，．为、之间一点． （1）若平分，平分．求证：； （2）如图2．若，，且的延长线交的角平分线于点，的延长线交的角平分线于点，猜想的结果并且证明你的结论； （3）如图3，若点是射线之间一动点，平分，平分，过点作于点，请猜想与的关系；并证明你的结论． 【分析】（1）由平行线的性质可得，再由角平分线的定义得，，从而利用三角形的内角和可求解； （2）过点作，过点作，从而可得到，结合平行线的性质及角平分线的定义可求得的度数； （3）由垂直可得，再由角平分线的定义可求得，再由平行线的性质得，从而可求解． 【解答】（1）证明：， ， 平分，平分， ，， ， ， ； （2）解：， 证明：过点作，过点作，如图2所示： ， ，， ，，，， ，， ，，平分，平分， ，， ，， ； （3）解：， 证明：， ， 平分，平分， ， ， ， ， ． 【点评】本题主要考查平行线的性质，垂线，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系． 38．（2023春•巴南区期末）已知直线，点和点分别在直线和上． （1）如图1，射线平分交于点，若，求 的度数； （2）如图2，射线平分，点是射线上一点（不包括端点，点为的平分线上一点（不包括端点，连接，，延长交射线于点，猜想与的关系，并说明理由； （3）在（1）的条件下，若绕点以每秒转动的速度逆时针旋转一周，同时绕点以每秒转动的速度逆时针旋转，设转动时间为秒，当转动结束时也随即停止转动，在整个转动过程中，当和互相平行时，请直接写出此时的值． 【分析】（1）利用平行线的性质即可求解； （2）利用平行线的性质及各角之间的关系可证明与的关系； （3）当和互相平行时，利用角之间的等量关系即可求出时间． 【解答】（1）解：，， ． 又射线平分， ， ， ． （2）猜想：． 证明：，，， ． 又， 将以上两式左右两边分别相加，得． 又，， ． （3）解：①假设时刻转到如图所示位置：转到了，转到了，与直线交于点．此时，． ， 又，， ， ． ②继续旋转，假设时刻转到如图所示位置：转到了，转到了．此时，． 直线，， ． 又，， ， ． 综上所述：的值为25或115． 【点评】本题考查平行线的性质及解一元一次方程，比较简单，但过程复杂，需要认真、细心． 39．（2023春•沙坪坝区校级期末）如图1，直线，直线分别交、于、点，，点在线段上（不在端点处），点在直线上，点在直线上，连接、． （1）如图1，点在线段上，若，，则的度数为 　　； （2）如图2，点在线段上，点为直线与之间区域的一点，点在线段上（不与端点重合），连、．若，，，求的度数； （3）如图3，于点，，点在射线上运动不与重合），与的角平分线所在直线交于点，与的角平分线所在直线交于点，与的角平分线交于点，直接写出、与的数量关系． 【分析】（1）设延长线交于点，根据平行线的性质得出，再根据余角得出的度数即可； （2）过点作交于点，设，，根据平行线的性质得出，根据四边形内角和为求出的值即可； （3）过点作交于点，根据角平分线的性质和平行线的性质得出角的关系即可． 【解答】解：（1）设延长线交于点， ，， ， ， 是直角三角形， ， 故答案为：； （2）过点作交于点， ，， 设，， ，，， ，， ，， ， 即， 的度数为； （3）过点作交于点， 在四边形中，， 与的角平分线所在直线交于点，与的角平分线所在直线交于点，与的角平分线交于点， ，， ， ， 在四边形中，， ， 即， ， 即． 【点评】本题主要考查平行线的性质，垂线的性质等知识，熟练掌握平行线的性质和垂线的性质是解得关键． 40．（2023春•连城县期末）如图，由线段，，，组成的图形像，称为“形”． （1）如图1，形中，若，，则　60　； （2）如图2，连接形中，两点，若，，试猜想与的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，当点在线段的延长线上从上向下移动的过程中，请直接写出与所有可能的数量关系． 【分析】（1）过作，利用平行线的性质计算可求求解； （2）过点作交于点，利用平行线的性质及三角形的内角和定理可求得，结合（1）的结论可求解； （3）可分两种情况：当，位于两侧时，当，位于同侧时，利用平行线的性质及三角形外角的性质可分别计算求解． 【解答】解：（1）过作， ， ， ，， ， 故答案为：； （2）． 理由：过点作交于点， ， ，， ， 由（1）可得， ， ， ； （3）如图，当，位于两侧时， ，， ， ，，， ， 即； 当，，三点共线时，， ； 当，位于同侧时， ，， ， ，，， ， 即． 综上，或． 【点评】本题主要考查平行线的性质，三角形外角的性质，三角形的内角和定理，掌握平行线的性质是解题的关键． 41．（2023春•镇海区期末）已知，，点为射线上一点． （1）如图1，若，，则　75　； （2）如图2，当点在延长线上时，此时与交于点，则、、之间满足怎样的关系，请说明你的结论： （3）如图3，平分，交于点，交于点，且，，求的度数． 【分析】（1）延长交于，依据平行线的性质，可得，再根据是的外角，即可得到； （2）依据，可得，再根据是的外角，即可得到，即； （3）设，则，进而得出，依据，可得，求得，即可得出的度数． 【解答】解：（1）如图，延长交于， ， ， 是的外角， ， 故答案为：75； （2）． 理由：， ， 是的外角， ， ； （3）， 设，则， ，，， 又，， ， 平分， ， ， ， 即， 解得， ， 在中，． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角性质以及三角形内角和定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，运用三角形外角性质进行计算求解．解题时注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 42．（2023春•武宣县期末）已知：直线，点和点是直线上的点，点和点是直线上的点，连接，，设直线和交于点． （1）在如图1所示的情形下，若，求的度数（提示：可过点作； （2）在如图2所示的情形下，若平分，平分，且与交于点，当，时，求的度数． （3）如图3，当点在点的右侧时，若平分，平分，且，交于点，设，，用含有，的代数式表示的补角．（直接写出结果即可） 【分析】（1）过点作，根据，可得，得； （2）过点作，结合（1）的方法，根据平分，平分，即可求的度数； （3）过点作，结合（1）的方法，根据平分，平分，设，，即可用含有，的代数式表示的补角． 【解答】解：（1）过点作， ， ， ，， ， ， ； （2）如图，过点作， ， ， ，， ， 平分，平分，，， ，， ； （3）如图，过点作， ， ， ，， 平分，平分，，， ，， ， 的补角． 【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线定义，解决本题的关键是掌握平行线的性质． 43．（2023春•富川县期末）如图，已知，．点是射线上一动点（与点不重合），、分别平分和，分别交射线于点，． （1）求的度数； （2）当点运动时，与之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律． （3）当点运动到使时，的度数是． 【分析】（1）先根据平行线的性质，得出，再根据、分别平分和，即可得出的度数； （2）根据平行线的性质得出，，再根据平分，即可得到进而得出； （3）根据，，得出，进而得到，根据，，可求得的度数． 【解答】解：（1）， ， ， ， 、分别平分和， ，， ； （2）不变化，． 证明：， ， ， 又平分， ， ； （3）， ， 又， ， ， 由（1）可得，，， ， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质的运用，解决问题的关键是掌握：两直线平行，内错角相等． 八．三角形内角和定理（共5小题） 44．（2023春•沛县期末）已知：在中，．过边上的点作，垂足为点．为的一条角平分线，为的平分线． （1）如图1，若，点在边上且不与点重合． ①判断与的数量关系，并说明理由； ②判断与的位置关系，并说明理由； （2）如图2，若，点在边上，与的延长线交于点，用含的代数式表示，并说明理由； （3）如图3，若，点在边上，与交于点，用含的代数式表示，则　　． 【分析】（1）①利用角平分线的性质及三角形内角和定理即可解答，②利用角的关系可证明与的位置关系； （2）和（3）均利用角平分线的性质及三角形内角和定理找到各角之间的等量关系求解即可． 【解答】（1）解：①，， ． 又， ，即， ． ②，， ， ． （2）． 证明：，， ， ． ，，， ． 又，， ， 整理得， ．将之代入， 得． （3）， ． 又，，， ， ．将之代入， 得． 故答案为：． 【点评】本题考查三角形内角和定理，知识点比较简单，但解题过程非常复杂．解答本题的关键是找到各相关角之间的等量关系，然后利用三角形内角和定理列出等式即可． 45．（2023春•侯马市期末）问题情景 如图1，中，有一块直角三角板放置在上点在内），使三角板的两条直角边、恰好分别经过点和点． 试问与是否存在某种确定的数量关系？ （1）特殊探究：若，则　130　度，　　度，　　度； （2）类比探索：请探究与的关系． （3）类比延伸：如图2，改变直角三角板的位置；使点在外，三角板的两条直角边、仍然分别经过点和点，（2）中的结论是否仍然成立？若不成立，请直接写出你的结论． 【分析】（1）已知，根据三角形内角和定理易求的度数．已知，根据三角形内角和定理易求的度数，进而得到的度数； （2）由（1）中的度数，的度数，相减即可得到与的关系． （3）由于在中，，同理在中，，相减即可得到． 【解答】解：（1）， ， ， ， ． 故答案为：130，90，40； （2）结论：． 证明：， ， ． （3）不成立； 存在． 理由：中，， ， ， ， 即， ． 【点评】本题考查的是三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于．注意运用整体法计算，解决问题的关键是求出，的度数． 46．（2023春•鼓楼区期末）中，平分线与相交于点，，垂足为． （1）如图1，若，则　45　； （2）如图2，若是锐角三角形．过点作，交于点．依题意补全图2，用等式表示，与之间的数量关系并证明； （3）若是钝角三角形，其中．过点作，交直线延长线于点，直接写出，与之间的数量关系． 【分析】（1）根据平行线的性质即可求解； （2）根据平行线的性质，利用各角之间的关系，列出关于这三个角之间的等式关系即可； （3）根据平行线的性质和三角形内角和定理，利用各角之间的关系，即可列出关于这三个角之间的等式关系． 【解答】（1）解：， ， ． 故答案为：45． （2）过点作，交于点． ，与之间的数量关系为：． 证明：， ． 又， ， 整理得． （3），与之间的数量关系为：． 证明：， ． 又， ， 整理得：． 【点评】本题通过求角及各角之间的关系，间接考查三角形内角和定理．该知识点一定要牢固掌握，灵活运用． 47．（2023春•丰泽区期末）在在中，，点在边上． （1）如图①，点在线段上，若，证明：； （2）如图②，平分，点在线段上，交延长线于点，设与的角平分线交于点，求与的度数之比． 【分析】（1）根据三角形的内角和定理得出，，由三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和可得，从而可以得到结论成立． （2）如图2中，延长交于．设，．构建方程组解决问题即可． 【解答】（1）证明：如图1中， ， 在中，， ， ； （2）解：如图2中，延长交于．设，． ，， ，， ， ， ， ， ， ， ． 与的度数之比为：． 【点评】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考常考题型． 48．（2023春•仓山区校级期末）如图1至图2，在中，，点在边上，作垂直于直线，垂足为点，为的角平分线，的平分线交直线于点． 特例感悟： （1）如图1，延长交于点，若，． 解决问题： ①　60　； ②求证：． 深入探究： （2）如图2，当，与反向延长线交于点，用含的代数式表示，并说明理由； 拓展延伸： （3）当点在边上移动时，若射线与线段相交，设交点为，则与的关系式是 　　． 【分析】（1）①根据平行线的性质和角平分线的定义可得答案； ②根据平行线的性质得，再根据垂直的定义和角平分线的定义可得结论； （2）由八字模型可得，和中，，再整理可得答案； （3）画出对应图形，再根据四边形的内角和定理计算可求解． 【解答】解：（1）①， ， 为的角平分线， ， 故答案为：； ②证明：由①得，， ， ， ， ， 平分， ， ， ； （2）． 理由：由八字模型可得，和中， ． 故答案为：； （3）如图， 当是锐角时， 由四边形的内角和得， ． 当是钝角时， 平分，平分， ，， ． 综上，的度数为或， 故答案为：或． 【点评】本题考查三角形的内角和定理和平行线的性质，熟练掌握平行线的性质和三角形的内角和是解题关键． 九．全等三角形的判定（共2小题） 49．（2023春•碑林区校级期末）如图，的两条高与交于点，，． （1）求的长； （2）是射线上一点，且，动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，当点到达点时，，两点同时停止运动，设运动时间为秒，当与全等时，求的值． 【分析】（1）由证明，根据对应边相等求得的长； （2）分情况讨论点分别在延长线上或在之间时，根据对应边相等求得值． 【解答】解：（1），， ， ． 又，， ， ． （2）①当点在延长线上时：设时刻，、分别运动到如图位置，． ，， 当时，． ，， ，解得． ②当点在之间时：设时刻，、分别运动到如图位置，． ，， 当时，． ，， ，解得． 综上，或2． 【点评】本题考查全等三角形的判定．这部分内容是初中几何中非常重要的内容，一定要深刻理解，做到活学活用． 50．（2023春•鄠邑区期末）如图（1），，，，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．它们运动的时间为． （1）若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，与是否全等，并判断此时线段和线段的位置关系，请分别说明理由； （2）如图（2），将图（1）中的“，”改为“”，其他条件不变．设点的运动速度为，是否存在实数，使得与全等？若存在，求出相应的、的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）利用证得，得出，进一步得出得出结论即可； （2）由，分两种情况：①，，②，，建立方程组求得答案即可． 【解答】解：（1）当时，，， 又， 在和中， ， ． ， ． ， 即线段与线段垂直． （2）存在， 理由：①若， 则，， 则， 解得； ②若， 则，， 则， 解得：； 综上所述，存在或，使得与全等． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．在解题时注意分类讨论思想的运用． 一十．全等三角形的判定与性质（共7小题） 51．（2023春•梅州期末）如图，在中，，，点在线段上运动（点不与点、重合），连接，作，交线段于点． （1）当时，　20　，　　； （2）若，试说明； （3）在点的运动过程中，的形状可以是以为腰的等腰三角形吗？若可以，求的度数；若不可以，请说明理由． 【分析】（1）根据三角形内角和定理得到，根据等腰三角形的性质得到，根据三角形内角和定理计算，得到答案； （2）当时，利用，，得到，根据，证明； （3）分、三种情况，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算． 【解答】解：（1）， ， ，， ， ， 故答案为：20；62； （2）当时，， 理由：，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； （3）当的度数为或时，的形状是等腰三角形， ①当时，， 此时，点与点重合，不合题意； ②当时，， ； 综上所述，当的度数为时，的形状是等腰三角形． 【点评】本题考查的是等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 52．（2023春•甘州区校级期末）已知，点、分别为线段、上两点，连接、交于点． （1）若，，如图1所示，　180　度； （2）若平分，平分，如图2所示，试说明此时与的数量关系； （3）在（2）的条件下，若，试说明：． 【分析】（1）根据余角的性质得到，由于，即可得到结论； （2）根据角平分线的性质得到，，于是得到结论； （3）作的平分线交于，由，得到，求得，根据角平分线的性质得到，推出，根据全等三角形的性质得到，同理，即可得到结论． 【解答】解：（1），， ， ，， ； 故答案为：180． （2）平分，平分， ，，； （3）作的平分线交于， ， ， ， 平分， ， 在与中， ， ， ，同理， ． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，垂直的定义，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 53．（2023春•扶风县期末）（1）如图①，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系：　　； （2）如图②，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； （3）在四边形中，，，，分别是边，所在直线上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系：　　． 【分析】（1）如图1，延长到，使，连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题； （2）如图2，同理可得：； （3）如图3，作辅助线，构建，同理证明和．可得新的结论：． 【解答】解：（1）如图1，延长到，使，连接． 在与中， ， ． ，， ． ． 又， 易证． ． ． （2）（1）中的结论仍然成立． 理由是：如图2，延长到，使，连接． ，， ， 在与中， ， ． ，， ． ． 又， ． ． ． （3）当（1）结论成立， 当图三中，或． 证明：在上截取，使，连接． ，， ． 在与中， ， ． ，． ． ． ， ． ． 同理可得： ． 故答案为：（1）；（2）成立；（3）或或． 【点评】本题是三角形的综合题，利用全等三角形的判定与性质得出是解题关键，再利用全等三角形的判定与性质得出，本题的4个问题运用了类比的方法依次解决问题． 54．（2023春•宣汉县校级期末）已知：，，，，垂足分别为，， （1）如图1，把下面的解答过程补充完整，并在括号内注明理由． ①线段和的数量关系是：； ②请写出线段，，之间的数量关系并证明． 解：①结论：． 理由：，， ， ，， 　　 在和中，　　 ，　　 ． ②结论：． 理由：， 　　 ， ． （2）如图2，上述结论②还成立吗？如果不成立，请写出线段，，之间的数量关系．并说明理由． 【分析】（1）根据同角的余角相等，全等三角形的判定和性质即可解决问题； （2）结论：，只要证明即可解决问题； 【解答】解：（1），， ， ，， 在和中， ， ． ②结论：． 理由：， ， ． 故答案为：，，，． （2）不成立，结论：． 理由：，， ， ，， 在和中， ， ， ，， ． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形的全等条件，灵活运用知识解决问题． 55．（2022秋•临汾期末）在直线上依次取互不重合的三个点，，，在直线上方有，且满足． （1）如图1，当时，猜想线段，，之间的数量关系是 　　； （2）如图2，当时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由； （3）拓展与应用：如图3，当时，点为平分线上的一点，且，分别连接，，，，试判断的形状，并说明理由． 【分析】（1）由得到，进而得到，然后结合得证，最后得到； （2）由得到，进而得到，然后结合得证，最后得到； （3）先由和平分得到，然后结合得到和是等边三角形，然后得到、，然后结合得到、，从而得到，故可证，从而得到、，最后得到，即可得证是等边三角形． 【解答】解：（1），理由如下， ， ， ， ， ， ，， ， 故答案为：． （2）仍然成立，理由如下， ， ， ， ， ， ，， ； （3）是等边三角形，理由如下， ，平分， ， ， 和是等边三角形， ，， 同（2）可得，， ，， ， ， ，， ， 是等边三角形． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，解题的关键是熟练应用一线三等角模型证明三角形全等． 56．（2023春•榆次区校级期末）如图，中，为的中点，厘米，，厘米． （1）若点在线段上以3厘米秒的速度从点向终点运动，同时点在线段上从点向终点运动， ①若点的速度与点的速度相等，经1秒钟后，请说明； ②点的速度与点的速度不相等，当点的速度为多少时，能够使； （2）若点以3厘米秒的速度从点向点运动，同时点以5厘米秒的速度从点向点运动，它们都依次沿三边运动，则经过多长时间，点第一次在的哪条边上追上点？ 【分析】（1）①根据等腰三角形的性质得到，再加上，，则可判断与全等； ②设点的运动速度为，则，，，当，则，；然后分别建立关于和的方程，再解方程即可； （2）设经过秒后，点第一次追上点，由题意得，解方程得到点运动的路程为，得到此时点在边上，于是得到结果． 【解答】解：（1）①，， ， 为的中点， ， ， ， 在与中， ， ； ②设点运动时间为秒，运动速度为， ， ，， ， ； （2）设经过秒后，点第一次追上点，由题意得， 解得：， 点运动的路程为， ， 此时点在边上， 经过10秒，点第一次在边上追上点． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，找准对应边是解题的关键． 57．（2023春•达州期末）在中，，为边上的一点，连接，为上的一点，连接，，过点作，垂足．交于点． （1）判断与之间的数量关系，并说明理由； （2）如图2，若，为的中点，与相等吗？为什么？ 【分析】（1）利用三角形的内角和定理，构建关系式解决问题即可． （2）证明即可解决问题． 【解答】解：（1）结论：． 理由：如图1中， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）结论：． 理由：如图2中， ，，， ， ，， 为的中点， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 一十一．角平分线的性质（共1小题） 58．（2023春•高新区期末）如图，在中，为边上的高，是的角平分线，点为上一点，连接，． （1）求证：平分； （2）连接交于点，若，求证：； （3）在（2）的条件下，当，时，求线段的长． 【分析】（1）先利用是的角平分线得到，再利用三角形外角性质得到，则，接着利用得到，所以； （2）过点作于点，于点，先根据角平分线的性质得到，则根据三角形面积公式得到，接着证明得到，然后利用得到，从而得到； （3）先由得到，再利用等角的余角相等得到，接着证明得到，所以，然后利用得到． 【解答】（1）证明：是的角平分线， ， ， ， ， 为边上的高， ， ， ， 平分； （2）证明：过点作于点，于点， 平分，，， ， ， 即， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了全等三角形的判定与性质． 一十二．等腰三角形的性质（共1小题） 59．（2023春•渠县期末）探究与发现：如图①，在中，，，点在底边上，，连接． （1）当时，求的度数； （2）当点在（点、除外）上运动时，试猜想并探究与的数量关系； （3）深入探究：若，试就图②探究与的数量关系． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，由于，于是得到，根据三角形的内角和即可得到； （2）设，于是得到，根据等腰三角形的性质得到，于是得到结论； （3）设，，由等腰三角形的性质和外角的性质可求解． 【解答】解：（1），， ， ， ， ， ， ； （2）设， ， ， ， ， ； （3）设，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟知三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和是解答此题的关键． 一十三．翻折变换（折叠问题）（共1小题） 60．（2023春•普宁市期末）如图①，将笔记本活页一角折过去，使角的顶点落在处，为折痕 （1）图①中，若，求的度数； （2）如果又将活页的另一角斜折过去，使边与重合，折痕为，如图②所示，，求以及的度数； （3）如果在图②中改变的大小，则的位置也随之改变，那么问题（2）中的大小是否改变？请说明理由． 【分析】（1）根据计算即可． （2）由，，可得， （3）由计算即可． 【解答】解：（1）， ， （2），， ， ． （3）结论：不变． ，，， ． 即． 【点评】本题考查翻折变换，平角的性质等知识，解题的关键是利用法则不变性解决问题，属于基础题，中考常考题型． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$