精品解析：浙江省余姚中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

余姚中学2023学年第二学期期中检测高二数学试卷 一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先化简集合N,再求并集. 【详解】因为，所以，所以． 故选：A 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】利用存在量词命题的否定为全称量词命题判断即可. 【详解】命题“，”是存在量词命题，其否定是全称量词命题， 所以，的否定为，， 故选：D 3. 若，则p成立的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式得或，选出其必要不充分条件即可. 【详解】p：，即且，解得或， 所以p：或， 对于A，是p的既不充分也不必要条件； 对于B，即或，是p的必要不充分条件； 对于C，即或，是p的充分不必要条件； 对于D，是p的充分不必要条件； 故选：B. 4. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】判断函数的奇偶性，可判断C,D的正误；利用在之间的函数零点的个数即可判断A,B的正误. 【详解】设， 则， 故为奇函数，故C,D错误； 而令时，在之间的函数零点有两个，故B错误， 故选：A 5. 已知正实数满足.则的最小值为（ ） A. 3 B. 9 C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】对不等式变形后利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】a，b均为正实数， ， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：B 6. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若关于的方程恰有4个不相等的实数根，则实数的值是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】将原方程根的问题转化为函数图像交点问题，结合函数性质求解答案即可. 【详解】由于函数是定义在上的奇函数，所以讨论情况如下： 作图像如下图所示， 关于的方程， 解得或， 由于与图像有一个公共点， 则图像与图像有三个公共点，如图所示，， 同理，时，，所以实数的值是. 故选：D 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图像，利用数形结合的方法求解. 7. 若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，，求两个曲线公切线的斜率即可. 【详解】设，，依题意只需求公切线斜率即可. ，，设切点分别，， 则切线方程为，即. ，即. 则，由①得， 代入②得：，则， 故公切线斜率为或，如图，. 故选：C. 8. 设函数，的定义域均为，且函数，均为偶函数.若当时，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由偶函数的性质结合已知可得关于对称，然后由为偶函数，可得关于对称，再利用周期函数的性质计算即可. 【详解】为偶函数，则， 令替换可得， 两边同时求导可得， 可得关于对称； 由为偶函数，可得关于对称； 所以周期， 由，关于对称； 则，而， 故， 故选：C. 【点睛】结论点睛：若，则对称中心为；若，则对称轴为. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 若，给出下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由题知，再结合不等式的性质依次讨论各选项即可得答案. 【详解】因为，所以 ， 故对于A选项，，故A选项正确； 对于B选项，由于，，即：，故B 选项错误； 对于C选项，由于，故，所以，所以，故C选项正确； 对于D选项，由于，所以，所以，故D选项错误. 故选：AC 【点睛】本题考查不等式的性质比较大小，解题的关键在于利用作差法比较大小和结合函数的单调性比较大小，考查运算求解能力，化归转化思想，是中档题. 10. “”表示不大于的最大整数，例如：，，.下列关于的性质的叙述中，正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若函数的解析式为，，则 D. 被3除余数为1 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，由题意得到，变形得到；B选项，举出反例即可；C选项，求出，利用等差数列求和公式即可判断；D选项，分析得到，被3除余数为1，分组求和后得到其被3除余数为1012，而，故D正确. 【详解】对于A，由定义“”表示不大于的最大整数可知，， 故，用代换，即得，故A正确. 对于B，不妨设，，满足，但此时，故B错误. 对于C，由，可得，故，，故C正确. 对于D，对任意自然数，与均不是整数，且， .当时，被3除余1， 上述分析知，将从前至后相邻两项分成一组，可分1012组，每组的和被3除后余数和为1012，而，所以D正确. 故选：ACD. 11. 信息熵是信息论中一个重要概念.设随机变量所有可能的取值为1，2，…，n，且，，定义的信息熵.下列正确的为（ ） A. 若，则 B. 若，则随着的增大而增大 C. 若，则随着的增大而增大 D. 若，随机变量所有可能的取值为1，2，…，m，且，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用给字母赋值来研究ABC选项，化繁为简，它们就是一个简单的问题，对于单调性的研究可用特殊值法来检验和推断，对于D选项，则需要理解题意中的求和公式，对于的信息熵是有项求和，而对于的信息熵是只有项求和，最后它能化归到项的和式，再逐一比较即可得到判断. 【详解】对于A选项，当时，，则，所以A选项正确； 对于B选项，当时，，则，其中，. 当时，；当时，，两者相等，所以B选项错误； 对于C选项，若，则，所以随着的增大而增大，故C选项正确； 对于D选项，若，随机变量所有可能的取值为1，2，…，m，且， ， ， ，，即， 则，所以，故D选项正确. 故选：ACD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数为偶函数，当时，，则当时的解析式______. 【答案】 【解析】 【分析】利用偶函数的性质可得到，再由对称性，即可计算出结果. 【详解】由是偶函数可得：，即， 所以当时，则， 即， 故答案为：. 13. 已知函数，对于任意的，都存在，使得成立，则实数m的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】双变量问题，转化为取值范围的包含关系，列不等式组求解 【详解】， ， 由题意得 故答案为： 14. 已知函数.若函数对一切均成立，则实数的取值范围______. 【答案】 【解析】 【分析】分和两种情况去掉绝对值讨论，再通过求式子的最值可求得实数的取值范围. 【详解】 （1）当，即时， ， ，得 ①当，即时， 则，得或， 所以或恒成立， 所以或， ②当，即或时，则 恒成立， 所以或， 所以或恒成立， 因为当或时，无最小值，无最大值， 所以不合题意， （2）当，即， ， 得，解得或， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上递减，在递增， 因为， 所以， 所以，得， 得恒成立， 因为在无最大值，所以不等式无解， 综上或，即实数的取值范围为 故答案为： 【点睛】关键点点睛：关键是在（2）中，讨论时，不能简单认为，而应该是去绝对值，分类讨论，由此即可顺利得解. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知集合，. （1）当时，求； （2）若命题“”是命题“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出集合，利用集合基本运算即可得到结论. （2）根据充分条件和必要条件的定义结合集合之间的关系即可得到结论. 【小问1详解】 当时，， ， 则. 【小问2详解】 若命题“”是命题“”的充分不必要条件，则， 对应方程的两个根为或， 已知，此时 若满足AB，则，解得. 故实数的取值范围为. 16. 某校工会为弘扬体育精神推动乒乓球运动的发展，现组织、两团体运动员进行比赛.其中团体的运动员3名，其中种子选手2名；团体的运动员5名，其中种子选手名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛. （1）已知，若选出的4名运动员中恰有2名种子选手，求这2名种子选手来自团体的概率； （2）已知，设为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量的分布列及其期望. 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据古典概型的概率公式及条件概率公式求解即可； （2）写出随机变量得所有可能取值，求出对应概率，即可得出分布列，再根据期望公式求期望即可. 【小问1详解】 设“选出4名运动员中恰有2名种子选手”为事件A， ， 设“选出的4名运动员中恰有2名种子选手来自团体”为事件， 则团体选择非种子选手， ， 故选出的4名运动员中恰有2名种子选手，这2名种子选手来自团体的概率为； 【小问2详解】 由于，所以共有3名种子选手，可取的值为0，1，2，3， ，， ，， 随机变量的分布列如下： 0 1 2 3 17. 已知函数是定义在上的奇函数. （1）求实数的值； （2）判断在定义域上的单调性，并用单调性定义证明； （3），使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）2 （2）增函数，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用“奇函数在原点上有定义，则”即可求解. （2）根据单调性定义即可证明. （3）先将不等式化为，再利用换元法结合函数单调性求出的最小值即可得解. 【小问1详解】 因为，,定义域关于原点对称， 令，所以，故， 则，， 所以为定义在上的奇函数，故. 【小问2详解】 是上的增函数. 证明：任取，且， ， 所以，所以，，， 所以， ， 所以，即， 所以是上的增函数. 【小问3详解】 当时，不等式即， 故， 则令，由题意可知，， 因为函数，为上的增函数， 故在上单调递增， 故， 所以. 18. 已知函数，. （1）讨论的单调性； （2）若，求证：当时，. 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）依题意，的定义域为，，分类讨论可求的单调性； （2）当时，要证明，即证， 只需证明. 设，利用导数研究其性质，即可证明 【小问1详解】 依题意，的定义域为，， ①当时，，在单调递减； ②当时，当时，；当时，； 所以在单调递减，在单调递增； ③当时，当时，；当时，； 所以在单调递增，在单调递减； 综上，当时，在单调递减； 当时，在单调递减，在单调递增； 当时，在单调递增，在单调递减. 【小问2详解】 当时，要证明， 即证明， 因为，所以只需证明， 只需证明. 设， 则， 设，则， 所以当时，；当时，； 所以在单调递减，在单调递增； 所以， 所以当时，；当时，； 所以在单调递减，在单调递增； 所以， 所以当时，. 【点睛】本小题考查导数与函数的单调性、不等式等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想，分类与整合思想等． 19. 某制药公司研制了一款针对某种病毒的新疫苗.该病毒一般通过病鼠与白鼠之间的接触传染，现有只白鼠，每只白鼠在接触病鼠后被感染的概率为，被感染的白鼠数用随机变量X表示，假设每只白鼠是否被感染之间相互独立 （1）若，求数学期望； （2）接种疫苗后的白鼠被病鼠感染的概率为，现有两个不同的研究团队理论研究发现概率与参数的取值有关.团队A提出函数模型为，团队B提出函数模型为.现将100只接种疫苗后的白鼠分成10组，每组10只，进行实验，随机变量表示第组被感染的白鼠数，将随机变量的实验结果绘制成频数分布图，如图所示. （i）试写出事件“”发生的概率表达式（用表示，组合数不必计算）； （ⅱ）在统计学中，若参数时使得概率最大，称是的最大似然估计.根据这一原理和团队A，B提出的函数模型，判断哪个团队的函数模型可以求出的最大似然估计，并求出最大似然估计.参考数据：. 【答案】（1）50 （2）（i）；（ⅱ）团队B可以求出的最大似然估计， 【解析】 【分析】（1）由题意可得，再根据求解即可； （2）（i）设，依题意得，化简即可； （ⅱ）记，求导分析单调性可得最大值，分别在团体A，B中提出函数模型即可得答案． 【小问1详解】 由题知，随机变量服从二项分布，， 由， 即， 得，所以； 【小问2详解】 （i）“”， ， 所以； （ii）记， 则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，取得最大值，即取得最大值， 在团队提出的函数模型，中， 记函数，，， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 当时，取得最大值，则不可以估计， 在团体提出的函数模型中， 记函数，单调递增， 令，解得， 则团队B可以求出的最大似然估计，且是的最大似然估计. 【点睛】求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤： （1）根据题中条件确定随机变量的可能取值； （2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列； （3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望 （在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等， 可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 余姚中学2023学年第二学期期中检测高二数学试卷 一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 设集合，，则（ ） A B. C. D. 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 若，则p成立的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 4. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 5. 已知正实数满足.则的最小值为（ ） A 3 B. 9 C. 4 D. 8 6. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若关于的方程恰有4个不相等的实数根，则实数的值是（ ） A. B. C. 0 D. 7. 若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，的定义域均为，且函数，均为偶函数.若当时，，则的值为（ ） A B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 若，给出下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 10. “”表示不大于的最大整数，例如：，，.下列关于的性质的叙述中，正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若函数的解析式为，，则 D. 被3除余数为1 11. 信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量所有可能的取值为1，2，…，n，且，，定义的信息熵.下列正确的为（ ） A. 若，则 B. 若，则随着的增大而增大 C. 若，则随着的增大而增大 D. 若，随机变量所有可能的取值为1，2，…，m，且，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数为偶函数，当时，，则当时的解析式______. 13. 已知函数，对于任意的，都存在，使得成立，则实数m的取值范围为__________． 14. 已知函数.若函数对一切均成立，则实数的取值范围______. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15 已知集合，. （1）当时，求； （2）若命题“”是命题“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 16. 某校工会为弘扬体育精神推动乒乓球运动发展，现组织、两团体运动员进行比赛.其中团体的运动员3名，其中种子选手2名；团体的运动员5名，其中种子选手名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛. （1）已知，若选出的4名运动员中恰有2名种子选手，求这2名种子选手来自团体的概率； （2）已知，设为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量的分布列及其期望. 17. 已知函数是定义在上的奇函数. （1）求实数的值； （2）判断在定义域上的单调性，并用单调性定义证明； （3），使得成立，求实数的取值范围. 18. 已知函数，. （1）讨论的单调性； （2）若，求证：当时，. 19. 某制药公司研制了一款针对某种病毒的新疫苗.该病毒一般通过病鼠与白鼠之间的接触传染，现有只白鼠，每只白鼠在接触病鼠后被感染的概率为，被感染的白鼠数用随机变量X表示，假设每只白鼠是否被感染之间相互独立 （1）若，求数学期望； （2）接种疫苗后的白鼠被病鼠感染的概率为，现有两个不同的研究团队理论研究发现概率与参数的取值有关.团队A提出函数模型为，团队B提出函数模型为.现将100只接种疫苗后的白鼠分成10组，每组10只，进行实验，随机变量表示第组被感染的白鼠数，将随机变量的实验结果绘制成频数分布图，如图所示. （i）试写出事件“”发生的概率表达式（用表示，组合数不必计算）； （ⅱ）在统计学中，若参数时使得概率最大，称是的最大似然估计.根据这一原理和团队A，B提出的函数模型，判断哪个团队的函数模型可以求出的最大似然估计，并求出最大似然估计.参考数据：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $