精品解析：2024年江苏省淮安市淮安区中考数学二模试题

2024年江苏省淮安市淮安区中考数学二模试卷 一．选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 的倒数是（ ） A. B. 2024 C. D. 2. 下列计算正确的是（　　） A. a3•a2＝a6 B. （﹣3a2b）2＝6a4b2 C. ﹣a2+2a2＝a2 D. （a﹣b）2＝a2﹣b2 3. 第19届亚运会即将在杭州举办，据官网消息杭州奥体中心体育场建筑总面积约为216000平方米，数据216000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体，它的俯视图是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，直线，直角顶点A落在直线上，点B落在直线上，若，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 6. 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示． 成绩/米 人数 2 3 5 4 1 这些运动员成绩的众数和中位数分别为（ ） A. 米，米 B. 米，米 C. 米，米 D. 米，米 7. 如图，四边形内接于，如果的度数为122°，则∠DCE的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图1，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC﹣CD﹣DA运动至点A停止．设点P运动路程为x，△ABP的面积为y，若y关于x的函数图象如图2所示，则y的最大值是（　　） A. 55 B. 30 C. 16 D. 15 二．填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.不需要写出解答过程，请把正确答案直接写在答题卡相应位置上） 9. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是______． 10. 若，且m﹣n＝﹣3，则m+n＝_____． 11. 若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是_______． 12. 有五张看上去无差别的卡片，正面分别写着，，，，0．背面朝上混合后随机抽取一张，取出的卡片正面的数字是无理数的概率是_______． 13. 已知一次函数的图象经过点和，则________________． 14. 若用半径为5的半圆围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为____. 15. 如图所示，在直角坐标系中，点坐标为，的半径为，为轴上一动点，切于点，则最小值是________________． 16. 如图，已知，等边中，，将沿翻折，得到，连接，交于O点，E点在上，且，F是的中点，P是上的一个动点，则的最大值为_______________． 三、解答题（本大题共11小题，共102分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算． （1）； （2）解不等式组，并写出它的所有的整数解． 18. 先化简，再求值：，请在，1，3中选择一个适当的数作为值． 19. 如图，是菱形的对角线． （1）作边的垂直平分线，分别与，交于点，（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，连接，若，求的度数． 20. 为了创设全新的校园文化氛围，进一步组织学生开展课外阅读，让学生在丰富多彩的书海中，扩大知识源，亲近母语，提高文学素养．某校准备开展“与经典为友、与名著为伴”的阅读活动，活动前对本校学生进行了“你最喜欢的图书类型只写一项”的随机抽样调查，相关数据统计如下： 请根据以上信息解答下列问题： （1）该校对______ 名学生进行了抽样调查；图2中科幻部分对应的圆心角为______ ； （2）请将图1补充完整； （3）已知该校共有学生2300人，利用样本数据估计全校学生中最喜欢漫画的人数约为多少人？ 21. 某校计划在某个班向家长展示“双减”背景下的课堂教学活动，参与课堂教学活动展示的备选班级共有5个，其中有2个为八年级班级（分别用A、B表示），3个为九年级班级（分别用C、D、E表示），由于报名参加课堂观摩教学活动的家长较多，学校计划分两周进行，第一周先从这5个备选班级中任意选择一个开展活动，第二周再从剩下的四个备选班级中任意选择一个开展活动． （1）第一周选择八年级班级的概率为 ； （2）请用列表法或画树状图的方法求出两次选中的班级为不同年级班级的概率． 22. 某中学为营造书香校园，计划购进甲乙两种规格的书柜放置新购置的图书，调查发现，若购买甲种书柜5个，乙种书柜2个，共需要资金1380元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元． （1）甲乙两种书柜每个的价格分别是多少元？ （2）若该校计划购进这两种规格的书柜共24个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，问：学校应如何购买花费资金最少，最少资金是多少？ 23. 如图1、图2是某种品牌的篮球架实物图与示意图，已知底座BC＝0.6米，底座BC与支架AC所成的角∠ACB＝75°，支架AF的长为2.5米，篮板顶端F点到篮筐D的距离FD＝1.4米，篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE＝60°，求篮筐D到地面的距离．（精确到0.1米，参考数据：cos75°≈0.3，sin75°≈0.9，tan75°≈3.7，≈1.7，≈1.4） 24. 如图，AB是⊙O的直径，，E是OB的中点，连接CE并延长到点F，使EF=CE．连接AF交⊙O于点D，连接BD，BF． （1）求证：直线BF是⊙O的切线； （2）若OB=2，求BD的长． 25. 如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点P（n，2），与x轴交于点A（-4，0），与y轴交于点C，PB⊥x轴于点B，且AC=BC． （1）求一次函数、反比例函数的解析式； （2）根据图象直接写出kx+b＜x的取值范围； （3）反比例函数图象上是否存在点D，使四边形BCPD为菱形？如果存在，求出点D的坐标；如果不存在，说明理由． 26. 如图1，矩形ABCD的一边BC在直角坐标系中x轴上，折叠边AD，使点D落在x轴上点F处，折痕为AE，已知AB＝8，AD＝10，并设点B坐标为（m，0），其中m＜0． （1）求点E、F坐标（用含m的式子表示）； （2）连接OA，若△OAF是等腰三角形，求m的值； （3）如图2，设抛物线y＝a（x﹣m+6）2+h经过A、E两点，其顶点为M，连接AM，若∠OAM＝90°，求a、h、m值． 27. 如图，⊙O的直径AB＝26，P是AB上(不与点A、B重合)的任一点，点C、D为⊙O上的两点，若∠APD＝∠BPC，则称∠CPD为直径AB的“回旋角”． (1)若∠BPC＝∠DPC＝60°，则∠CPD是直径AB的“回旋角”吗？并说明理由； (2)若的长为π，求“回旋角”∠CPD的度数； (3)若直径AB的“回旋角”为120°，且△PCD的周长为24+13，直接写出AP的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年江苏省淮安市淮安区中考数学二模试卷 一．选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 的倒数是（ ） A. B. 2024 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了倒数定义，根据题意利用倒数定义（互为倒数的两个数乘积为1）即可得出本题答案． 【详解】解： ∴的倒数为， 故选：C． 2. 下列计算正确的是（　　） A. a3•a2＝a6 B. （﹣3a2b）2＝6a4b2 C. ﹣a2+2a2＝a2 D. （a﹣b）2＝a2﹣b2 【答案】C 【解析】 【分析】各项计算得到结果，即可作出判断. 【详解】解：A、原式＝a5,不符合题意; B、原式＝9a4b2,不符合题意; C、原式＝a2,符合题意; D、原式＝a2﹣2ab+b2,不符合题意. 故选：C. 【点睛】本题主要查查了利用幂的运算性质进行化简，准确处理好幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法与同底数幂的除法是关键. 3. 第19届亚运会即将在杭州举办，据官网消息杭州奥体中心体育场建筑总面积约为216000平方米，数据216000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把一个大于10的数记成的形式，其中，n为正整数，这种记数法叫做科学记数法，由此即可得到答案． 【详解】解：根据科学记数法的概念可得， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了用科学记数法表示较大的数，关键是掌握用科学记数法表示数的方法． 4. 下图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体，它的俯视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图即可解答． 【详解】解：从上面看下边是一个矩形，矩形的上边是一个圆， 故选：D． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，掌握从上面看得到的图形是俯视图是解答本题的关键． 5. 如图，直线，的直角顶点A落在直线上，点B落在直线上，若，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两直线平行，同旁内角互补，进行求解即可. 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴. 故选：C 【点睛】此题考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键. 6. 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示． 成绩/米 人数 2 3 5 4 1 这些运动员成绩的众数和中位数分别为（ ） A. 米，米 B. 米，米 C. 米，米 D. 米，米 【答案】A 【解析】 【分析】根据众数的中位数的定义分别进行解答即可． 【详解】解：观察表中可知，出现了5次，次数最多， 运动员的成绩的众数为：米． 将表中的数据按照从小到大的顺序排列如下： ，，，，，，，，，，，，，， 运动员的成绩的中位数是米． 故选：A． 【点睛】此题考查了众数和中位数，解题的关键在于熟练掌握众数（一组数据中出现次数最多的数）和中位数（将一组数据按照从小到大的顺序排列，若这组数据是奇数个，则中位数则是最中间的数，若这组数据是偶数个，则中位数是中间两个数的平均数）的概念． 7. 如图，四边形内接于，如果的度数为122°，则∠DCE的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据圆周角定理求出，然后根据圆内接四边形的性质求出，最后根据邻补角性质求解即可． 【详解】解：， ， ∵四边形内接于， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 8. 如图1，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC﹣CD﹣DA运动至点A停止．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，若y关于x的函数图象如图2所示，则y的最大值是（　　） A. 55 B. 30 C. 16 D. 15 【答案】D 【解析】 【分析】首先结合题意可得当点P运动到点C，D之间时，△ABP的面积不变，则可得当BC=5，CD=6，继而求得答案． 【详解】解：动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止， ∵当点P运动到点C，D之间时，△ABP的面积不变．函数图象上横轴表示点P运动的路程， ∴当5≤x≤11时，y不变，说明BC=5，AB=11-5=6， ∵四边形ABCD为矩形， ∴CD=AB=6， 由图像可知，当点P位于C、D之间时 △ABP的面积最大， ∴y最大为 ． 故选：D． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象．注意解决本题应首先看清横轴和纵轴表示的量，利用数形结合的思想解题，得到BC，CD的具体值． 二．填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.不需要写出解答过程，请把正确答案直接写在答题卡相应位置上） 9. 若代数式有意义，则实数x取值范围是______． 【答案】x＞-1 【解析】 【分析】根据二次根式的性质和分式有意义的条件求解即可 ． 【详解】∵代数式有意义， ∴≠0，x+1≥0， ∴x＞-1， 故答案为：x＞-1． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，熟练掌握条件是解题的关键． 10. 若，且m﹣n＝﹣3，则m+n＝_____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据平方差公式即可求出答案． 【详解】解：∵，m﹣n＝﹣3， ∴﹣3（m+n）＝﹣6， ∴m+n＝2， 故答案为：2 【点睛】本题考查代数式求值，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型． 11. 若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程方程，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题的关键．根据一元二次方程根的判别式，即可求解． 【详解】解：关于的一元二次方程没有实数根， ， 解得：， 故答案为：． 12. 有五张看上去无差别的卡片，正面分别写着，，，，0．背面朝上混合后随机抽取一张，取出的卡片正面的数字是无理数的概率是_______． 【答案】 【解析】 【分析】找出无理数的个数，再根据概率公式计算即可． 【详解】解：在，，，，0中， 无理数有，，共2个， ∴随机抽取一张，取出的卡片正面的数字是无理数的概率是， 故答案为：． 【点睛】本题考查概率的求法与运用，根据概率公式求解即可：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率． 13. 已知一次函数的图象经过点和，则________________． 【答案】 【解析】 【分析】把点和代入，可得，再整体代入求值即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点和， ∴，即， ∴； 故答案为： 【点睛】本题考查的是一次函数的性质，利用待定系数法求解一次函数的解析式，利用平方差公式分解因式，熟练的利用平方差公式求解代数式的值是解本题的关键． 14. 若用半径为5的半圆围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为____. 【答案】2.5 【解析】 【分析】根据弧长公式求出圆锥的底面周长，根据圆的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：设圆锥的底面半径为r， 由题意得，圆锥的底面周长， ， 解得，， 故答案为． 【点睛】本题考查的是圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 15. 如图所示，在直角坐标系中，点坐标为，的半径为，为轴上一动点，切于点，则最小值是________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质、坐标与图形、勾股定理、垂线段最短等知识，解题关键是将问题进行转化，再根据垂线段最短的性质进行分析．连接，，根据切线的性质定理可得，要使最小，只需最小即可，根据垂线段最短，当轴时，取最小值，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接，， 根据切线的性质定理，得． 要使最小，只需最小， 则根据垂线段最短，当轴于时，取最小值， 此时点的坐标是，， 在中，， ∴， 则最小值是． 故答案为：． 16. 如图，已知，等边中，，将沿翻折，得到，连接，交于O点，E点在上，且，F是的中点，P是上的一个动点，则的最大值为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】由折叠可证四边形为菱形，是边上的中线，如图，连接，交于，是边上的中线，的角平分线，则，，，由，可得，则，，，可知当点P运动到点A时，最大，最大为，勾股定理求，则，计算求解即可． 【详解】解：为等边三角形，， ， 将沿翻折，得到， ， 四边形为菱形， ∴，，， ∴是边上的中线， 如图，连接，交于， ∵F是的中点， ∴是边上的中线，的角平分线， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴当点P运动到点A时，最大，最大为， ∵， ∴， 由勾股定理得，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形中线的性质，等边三角形的性质，折叠的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，含的直角三角形等知识．根据题意确定最大值的情况是解题的关键． 三、解答题（本大题共11小题，共102分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算． （1）； （2）解不等式组，并写出它的所有的整数解． 【答案】（1） （2）整数解为、、 【解析】 【分析】（1）先算负指数幂，特殊角的三角函数值、绝对值、零次幂，再进行计算即可； （2）先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，从而即可得解． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：由得， 由得：， 则不等式组的解集为， 所以其整数解为、、． 【点睛】本题主要考查了负指数幂，特殊角的三角函数值、绝对值、零次幂，解一元一次不等式（组），在数轴上表示不等式（组）的解集，能求出不等式或不等式组的解集，是解此题的关键． 18. 先化简，再求值：，请在，1，3中选择一个适当的数作为值． 【答案】，8 【解析】 【分析】根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后从，1，3三个数中选择一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】解： 当，3时，原分式无意义， 故当时 原式 【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 19. 如图，是菱形的对角线． （1）作边的垂直平分线，分别与，交于点，（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，连接，若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，交于点，点，作直线交于点，交于点，连接即可； （2）连接，由菱形的性质得到，，则，由线段的垂直平分线的性质可得，故得到，则． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解：连接， 菱形， ，， ， 垂直平分， ， ， ． 【点睛】本题主要考查基本作图，菱形的性质，等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质．按照要求作出边的垂直平分线是解题的关键． 20. 为了创设全新的校园文化氛围，进一步组织学生开展课外阅读，让学生在丰富多彩的书海中，扩大知识源，亲近母语，提高文学素养．某校准备开展“与经典为友、与名著为伴”的阅读活动，活动前对本校学生进行了“你最喜欢的图书类型只写一项”的随机抽样调查，相关数据统计如下： 请根据以上信息解答下列问题： （1）该校对______ 名学生进行了抽样调查；图2中科幻部分对应的圆心角为______ ； （2）请将图1补充完整； （3）已知该校共有学生2300人，利用样本数据估计全校学生中最喜欢漫画的人数约为多少人？ 【答案】（1）200；108； （2）见解析 （3）估计全校学生中最喜欢漫画人数约为920人 【解析】 【分析】（1）从条形统计图可知喜欢小说型的由40人，从扇形统计图可知喜欢小说型图书占，可求出调查总人数；用总人数分别减去其它三项人数即可得出“喜欢科幻”的学生人数，进而得出扇形统计图中“喜欢科幻”的学生所占百分比；用乘所占百分比即可得出结论； （2）根据(1)的结论即可补全两个统计图； （3）利用样本估计总体，用样本中喜欢漫画所占的百分比估计2300人中喜欢漫画的百分比，进而求出喜欢漫画的人数． 此题主要考查了统计的知识，条形统计图反应各个数据多少，扇形统计图则反应的是各个数据所占整体的百分比，两个统计图联系起来，可求统计图中缺失的数据，并能用样本估计整体的思想方法． 【小问1详解】 调查的人数为：名， 喜欢科幻图书的人数：名， 喜欢科幻图书的人数所占的百分比：， 扇形统计图中小说所对应的圆心角度数：， 故答案为：200；108． 【小问2详解】 补全统计图如图所示： ． 【小问3详解】 （人）， 答：估计全校学生中最喜欢漫画人数约为920人． 21. 某校计划在某个班向家长展示“双减”背景下的课堂教学活动，参与课堂教学活动展示的备选班级共有5个，其中有2个为八年级班级（分别用A、B表示），3个为九年级班级（分别用C、D、E表示），由于报名参加课堂观摩教学活动的家长较多，学校计划分两周进行，第一周先从这5个备选班级中任意选择一个开展活动，第二周再从剩下的四个备选班级中任意选择一个开展活动． （1）第一周选择八年级班级的概率为 ； （2）请用列表法或画树状图的方法求出两次选中的班级为不同年级班级的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，第一周选择八年级班级概率为，解答即可； （2）先画树状图进而即可求解． 本题考查了概率计算，画树状图计算概率，熟练掌握画树状图是解题的关键． 【小问1详解】 根据题意，第一周选择八年级班级的概率为， 故答案为：． 【小问2详解】 画树状图如下： 共有20种等可能的结果，其中两次选中不同年级的班级的有12种等可能性． 故两次选中的班级为不同年级班级的概率． 22. 某中学为营造书香校园，计划购进甲乙两种规格的书柜放置新购置的图书，调查发现，若购买甲种书柜5个，乙种书柜2个，共需要资金1380元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元． （1）甲乙两种书柜每个的价格分别是多少元？ （2）若该校计划购进这两种规格的书柜共24个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，问：学校应如何购买花费资金最少，最少资金是多少？ 【答案】（1）甲种书柜单价为180元，乙种书柜的单价为240元；（2）购买12个甲种书柜，12个乙种书柜时，所需资金最少，最少资金为5040元 【解析】 【分析】（1）设甲种书柜单价为x元，乙种书柜的单价为y元，根据：若购买甲种书柜5个、乙种书柜2个，共需资金1380元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元列出方程求解即可； （2）设甲种书柜购买m个，则乙种书柜购买（24-m）个．根据：所需经费=甲图书柜总费用+乙图书柜总费用、总经费,且乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，求出m的范围，利用一次函数的性质即可求解． 【详解】解：（1）设甲种书柜单价为元，乙种书柜的单价为元，由题意得： 解得 答：甲种书柜单价为180元，乙种书柜的单价为240元． （2）设购买甲种书柜个，则购买乙种书柜个，设所需资金为元． 由题意得：． 解得 ∵，随增大而减小 ∴当时，（元）． 答：当购买12个甲种书柜，12个乙种书柜时，所需资金最少，最少资金为5040元． 【点睛】本题考查二元一次方程组解应用题，一元一次不等式，一次函数性质，掌握二元一次方程组解应用题方法与步骤，一元一次不等式的解法，一次函数的性质是解题关键． 23. 如图1、图2是某种品牌的篮球架实物图与示意图，已知底座BC＝0.6米，底座BC与支架AC所成的角∠ACB＝75°，支架AF的长为2.5米，篮板顶端F点到篮筐D的距离FD＝1.4米，篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE＝60°，求篮筐D到地面的距离．（精确到0.1米，参考数据：cos75°≈0.3，sin75°≈0.9，tan75°≈3.7，≈1.7，≈1.4） 【答案】2.9米 【解析】 【分析】延长FE交CB的延长线于M，过A作AG⊥FM于G，解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：延长FE交CB的延长线于M，过A作AG⊥FM于G， 在Rt△ABC中，tan∠ACB＝， ∴AB＝BC•tan75°＝0.60×3.732＝2.22， ∴GM＝AB＝2.22， 在Rt△AGF中，∵∠FAG＝∠FHE＝60°，sin∠FAG＝， ∴sin60°＝＝， ∴FG＝2.125， ∴DM＝FG+GM﹣DF≈2.9米． 答：篮筐D到地面的距离是2.9米． 【点睛】本题考查解直角三角形、锐角三角函数、解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形，记住锐角三角函数的定义，属于中考常考题型． 24. 如图，AB是⊙O的直径，，E是OB的中点，连接CE并延长到点F，使EF=CE．连接AF交⊙O于点D，连接BD，BF． （1）求证：直线BF是⊙O的切线； （2）若OB=2，求BD的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）BD=． 【解析】 【分析】（1）连接OC，由已知可得∠BOC=90°，根据SAS证明△OCE≌△BFE，根据全等三角形的对应角相等可得∠OBF=∠COE=90°，继而可证明直线BF是⊙O的切线； （2）由（1）的全等可知BF=OC=2，利用勾股定理求出AF的长，然后由S△ABF=，即可求出BD=． 【详解】解：（1）连接OC， ∵AB是⊙O的直径，， ∴∠BOC=90°， ∵E是OB的中点， ∴OE=BE， 在△OCE和△BFE中， ， ∴△OCE≌△BFE（SAS）， ∴∠OBF=∠COE=90°， ∴直线BF是⊙O的切线； （2）∵OB=OC=2，由（1）得：△OCE≌△BFE， ∴BF=OC=2， ∴AF=， ∴S△ABF=， 即4×2=2BD， ∴BD=． 【点睛】本题考查了切线的判定、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积的不同表示方法，熟练掌握相关的性质与定理是解题的关键． 25. 如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点P（n，2），与x轴交于点A（-4，0），与y轴交于点C，PB⊥x轴于点B，且AC=BC． （1）求一次函数、反比例函数的解析式； （2）根据图象直接写出kx+b＜的x的取值范围； （3）反比例函数图象上是否存在点D，使四边形BCPD为菱形？如果存在，求出点D的坐标；如果不存在，说明理由． 【答案】（1）y＝x+1；y＝；（2）0＜x＜4；（3）存在；D（8，1）． 【解析】 【分析】（1）先根据题意得出P点坐标，再将A、P两点的坐标代入y=kx+b求出kb的值，故可得出一次函数的解析式，把点P（4，2）代入反比例函数y=即可得出m的值，进而得出结论； （2）利用图象法，写出反比例函数图象想一次函数图象的上方的自变量的取值范围即可； （3）根据PB为菱形的对角线与PC为菱形的对角线两种情况进行讨论即可． 【详解】（1）∵AC＝BC，CO⊥AB，A（﹣4，0）， ∴O为AB的中点，即OA＝OB＝4， ∴P（4，2），B（4，0）， 将A（﹣4，0）与P（4，2）代入y＝kx+b得：， 解得：， ∴一次函数解析式为y＝x+1， 将P（4，2）代入反比例解析式得：m＝8，即反比例解析式为y＝． （2）观察图象可知，kx+b＜时，x的取值范围0＜x＜4． （3）如图所示， ∵点C（0，1），B（4，0） ∴BC＝，PC＝， ∴以BC、PC为边构造菱形， 当四边形BCPD为菱形时， ∴PB垂直且平分CD， ∵PB⊥x轴，P（4，2）， ∴点D（8，1）． 把点D（8，1）代入y＝，得左边＝右边， ∴点D在反比例函数图象上．， ∵BC≠PB， ∴以BC、PB为边不可能构造菱形， 同理，以PC、PB为边也不可能构造菱形． 综上所述，点D（8，1）． 【点睛】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，坐标与图形性质，等腰三角形的性质，菱形的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 26. 如图1，矩形ABCD的一边BC在直角坐标系中x轴上，折叠边AD，使点D落在x轴上点F处，折痕为AE，已知AB＝8，AD＝10，并设点B坐标为（m，0），其中m＜0． （1）求点E、F的坐标（用含m的式子表示）； （2）连接OA，若△OAF是等腰三角形，求m的值； （3）如图2，设抛物线y＝a（x﹣m+6）2+h经过A、E两点，其顶点为M，连接AM，若∠OAM＝90°，求a、h、m值． 【答案】（1）点E的坐标为（m﹣10，3），点F的坐标为（m﹣6，0）；（2）m＝﹣6或﹣4或﹣；（3）a＝，h＝﹣1，m＝﹣12 【解析】 【分析】（1）根据四边形ABCD是矩形以及由折叠对称性得出AF=AD=10，EF=DE，进而求出BF的长，即可得出E，F点的坐标； （2）分三种情况讨论：若AO=AF，OF=FA，AO=OF，利用等腰三角形性质和勾股定理求出即可； （3）由E（m+10，3），A（m，8），代入二次函数解析式得出M点的坐标，再证△AOB∽△AMG，根据相似三角形性质可求出m的值即可． 【详解】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，AB＝8，AD＝10， ∴AD＝BC＝10，AB＝CD＝8，∠D＝∠DCB＝∠ABC＝90°， 由折叠对称性：AF＝AD＝10，FE＝DE， 在Rt△ABF中，BF＝＝6， ∴FC＝4， 设DE＝x，则CE＝8﹣x， 在Rt△ECF中，42+（8﹣x）2＝x2，得x＝5， ∴CE＝8﹣x＝3， ∵点B的坐标为（m，0）， ∴点E的坐标为（m﹣10，3），点F的坐标为（m﹣6，0）； （2）分三种情形讨论： 若AO＝AF， ∵AB⊥OF，BF＝6， ∴OB＝BF＝6， ∴m＝﹣6； 若OF＝AF，则m﹣6＝﹣10，得m＝﹣4； 若AO＝OF， 在Rt△AOB中，AO2＝OB2+AB2＝m2+64， ∴（m﹣6）2＝m2+64，得m＝﹣； 由上可得，m＝﹣6或﹣4或﹣； （3）由（1）知A（m，8），E（m﹣10，3）， ∵抛物线y＝a（x﹣m+6）2+h经过A、E两点， ∴， 解得，， ∴该抛物线解析式为y＝（x﹣m+6）2﹣1， ∴点M的坐标为（m﹣6，﹣1）， 设对称轴交AD于G， ∴G（m﹣6，8）， ∴AG＝6，GM＝8﹣（﹣1）＝9， ∵∠OAB+∠BAM＝90°，∠BAM+∠MAG＝90°， ∴∠OAB＝∠MAG， 又∵∠ABO＝∠MGA＝90°， ∴△AOB∽△AMG， ∴， 即， 解得，m＝﹣12， 由上可得，a＝，h＝﹣1，m＝﹣12． 【点睛】此题主要考查了二次函数的综合应用以及相似三角形的判定与性质，二次函数的综合应用是初中阶段的重点题型特别注意利用数形结合以及分类讨论思想是这部分考查的重点也是难点同学们应重点掌握． 27. 如图，⊙O的直径AB＝26，P是AB上(不与点A、B重合)的任一点，点C、D为⊙O上的两点，若∠APD＝∠BPC，则称∠CPD为直径AB的“回旋角”． (1)若∠BPC＝∠DPC＝60°，则∠CPD是直径AB的“回旋角”吗？并说明理由； (2)若的长为π，求“回旋角”∠CPD的度数； (3)若直径AB的“回旋角”为120°，且△PCD的周长为24+13，直接写出AP的长． 【答案】(1)∠CPD是直径AB的“回旋角”，理由见解析；(2)“回旋角”∠CPD的度数为45°；(3)满足条件的AP的长为3或23． 【解析】 【分析】（1）由∠CPD、∠BPC得到∠APD，得到∠BPC＝∠APD，所以∠CPD是直径AB的“回旋角”；（2）利用CD弧长公式求出∠COD＝45°，作CE⊥AB交⊙O于E，连接PE，利用∠CPD为直径AB的“回旋角”，得到∠APD＝∠BPC，∠OPE＝∠APD，得到∠OPE+∠CPD+∠BPC＝180°，即点D，P，E三点共线，∠CED＝∠COD＝22.5°， 得到∠OPE＝90°﹣22.5°＝67.5°，则∠APD＝∠BPC＝67.5°，所以∠CPD＝45°；（3）分出情况P在OA上或者OB上的情况，在OA上时，同理（2）的方法得到点D，P，F在同一条直线上，得到△PCF是等边三角形，连接OC，OD，过点O作OG⊥CD于G， 利用sin∠DOG，求得CD，利用周长求得DF，过O作OH⊥DF于H，利用勾股定理求得OP，进而得到AP；在OB上时，同理OA计算方法即可 【详解】∠CPD是直径AB的“回旋角”， 理由：∵∠CPD＝∠BPC＝60°， ∴∠APD＝180°﹣∠CPD﹣∠BPC＝180°﹣60°﹣60°＝60°， ∴∠BPC＝∠APD， ∴∠CPD是直径AB的“回旋角”； (2)如图1，∵AB＝26， ∴OC＝OD＝OA＝13， 设∠COD＝n°， ∵的长为π， ∴ ∴n＝45， ∴∠COD＝45°， 作CE⊥AB交⊙O于E，连接PE， ∴∠BPC＝∠OPE， ∵∠CPD为直径AB的“回旋角”， ∴∠APD＝∠BPC， ∴∠OPE＝∠APD， ∵∠APD+∠CPD+∠BPC＝180°， ∴∠OPE+∠CPD+∠BPC＝180°， ∴点D，P，E三点共线， ∴∠CED＝∠COD＝22.5°， ∴∠OPE＝90°﹣22.5°＝67.5°， ∴∠APD＝∠BPC＝67.5°， ∴∠CPD＝45°， 即：“回旋角”∠CPD的度数为45°， (3)①当点P在半径OA上时，如图2，过点C作CF⊥AB交⊙O于F，连接PF， ∴PF＝PC， 同(2)的方法得，点D，P，F在同一条直线上， ∵直径AB的“回旋角”为120°， ∴∠APD＝∠BPC＝30°， ∴∠CPF＝60°， ∴△PCF是等边三角形， ∴∠CFD＝60°， 连接OC，OD， ∴∠COD＝120°， 过点O作OG⊥CD于G， ∴CD＝2DG，∠DOG＝∠COD＝60°， ∴DG＝ODsin∠DOG＝13×sin60°＝ ∴CD＝， ∵△PCD的周长为24+13， ∴PD+PC＝24， ∵PC＝PF， ∴PD+PF＝DF＝24， 过O作OH⊥DF于H， ∴DH＝DF＝12， 在Rt△OHD中，OH＝ 在Rt△OHP中，∠OPH＝30°， ∴OP＝10， ∴AP＝OA﹣OP＝3； ②当点P在半径OB上时， 同①的方法得，BP＝3， ∴AP＝AB﹣BP＝23， 即：满足条件的AP的长为3或23． 【点睛】 本题是新定义问题，同时涉及到三角函数、勾股定理、等边三角形性质等知识点，综合程度比较高，前两问解题关键在于看懂题目给到的定义，第三问关键在于P点的分类讨论 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$