15.2023年桓台县学业水平第二次模拟试题-【3年真题·2年模拟·1年预测】2024年山东省淄博市中考数学

— 85 — — 86 — — 87 — 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 第Ⅰ卷　 (选择题　 共 40 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分) 1. 下列实数中最大的是 (　 　 ) A. 3 2 B. π C. 15 D. | -4 | 2. 如图,数轴上 A,B 两点所表示的数分别是-4 和 2,C 是 AB 的中点,则点 C 所表示的数是 (　 　 ) A. -1 B. 1 C. 1 2 D. - 1 2 3. 如图所示的几何体的左视图为 (　 　 ) A B C D 4. 从小到大的一组数据:-1,1,2,x,6,8 的中位数为 2,则这组数据的众数和极差分别是 (　 　 ) A. 2,-1 B. 1,8 C. 2,9 D. 1,7 5. 按一定规律排列的单项式:a,-a2,a3,-a4,a5,-a6,…,第 n 个单项式是 (　 　 ) A. an B. -an C. ( -1) n+1an D. ( -1) nan 6. 如图,已知点 D,E 分别在△ABC 的边 AB,AC 上,DE∥BC,AD ∶ BD= 1 ∶ 3,那么 S△CDE ∶ S△CBD 等于 (　 　 ) A. 1 ∶ 2 B. 1 ∶ 3 C. 2 ∶ 3 D. 1 ∶ 4 第 6 题图 　 　 　 　 　 　 　 第 8 题图 7. 设 x1 为一元二次方程 2x2 -4x= 2 较小的根,则 (　 　 ) A. 0<x1 <1 B. -1<x1 <0 C. -2<x1 <-1 D. -5<x1 <-4 8. 如图,某数学兴趣小组将边长为 2 的正五边形铁丝框 ABCDE 变形为以点 A 为圆心,AB 为半径的扇形 (忽略铁丝的粗细),则所得的扇形 ABE 的面积为 (　 　 ) A. 2π B. 3π C. 6 D. 8 9. 一个装有进水管和出水管的容器,开始时,先打开进水管注水,3 分钟时,再打开出水管排水,8 分钟 时,关闭进水管,直至容器中的水全部排完。 在整个过程中,容器中的水量 y(升)与时间 x(分)之间 的函数关系如图所示,则图中 a 的值为 (　 　 ) A. 29 3 B. 9 C. 25 3 D. 10 第 9 题图 　 　 　 　 　 　 　 第 10 题图 10. 如图,在△ABC 中,AB=AC,AD 平分∠BAC 与 BC 相交于点 D,E 是 AB 的中点,F 是 DC 的中点,连接 EF 交 AD 于点 P。 若△ABC 的面积是 24,PD= 1. 5,则 PE 的长是 (　 　 ) A. 2. 5 B. 2 C. 3. 5 D. 3 第Ⅱ卷　 (非选择题　 共 110 分) 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分) 11. 因式分解:8x3y-2xy= 　 　 　 　 　 　 　 。 12. 如图,如果将△ABC 的顶点 A 先向下平移 3 个单位长度,再向左平移 1 个单位长度到达点 A′,连接 A′B,则线段 A′B 与线段 AC 的关系是　 　 　 　 　 　 　 　 。 第 12 题图 　 　 　 　 　 　 　 　 第 15 题图 13. 代数式 9- 3-x的值最大时,则 x 的值为　 　 　 　 。 14. 若关于 x 的分式方程x -2 x-1 = mx 1-x 有正整数解,则整数 m 为　 　 　 　 。 15. 如图,在矩形 ABCD 中,DC= 3,AD= 3DC,P 是 AD 上的一个动点,过点 P 作 PG⊥AC,垂足为 G,连接 BP,取 BP 的中点 E,连接 EG,则线段 EG 的最小值为　 　 　 　 。 三、解答题(本大题共 8 小题,共 90 分) 16. (10 分)(1)计算:( 3 -3) 0 -3tan 30°+ 1- 3 + ( 1 2 ) -2 ; (2)先化简,再求值: ( x +1 x2 -4 - 1 x+2 ) ÷ 3 x-2 ,其中 x= 5 -2。 17. (10 分)一只不透明的袋子中装有 1 个白球和 3 个红球,这些球除颜色外都相同。 (1)搅匀后从中任意摸出 1 个球,这个球是白球的概率为　 　 　 　 ; (2)搅匀后从中任意摸出 1 个球,记录颜色后放回、搅匀,再从中任意摸出 1 个球,求 2 次摸到的球恰 好是 1 个白球和 1 个红球的概率。 (请用画树状图或列表等方法说明理由) 18. (10 分)如图,在平面直角坐标系中,▱OABC 的边 OC 在 x 轴上,对角线 AC,OB 交于点 D,函数 y= k x (x>0)的图象经过点 A(3,4)和 D。 (1)求点 D 的坐标; (2)求▱OABC 的面积。 19. (10 分)如图,以 AB 为直径的半圆 O 中,D 为半圆上不与点 A,B 重合的一个动点,AC 平分∠BAD 交 半圆 O 于点 C,过点 C 作半圆 O 的切线 CE,交射线 AD 于点 E。 (1)求证:∠E= 90°; (2)若 AE= 4,AB= 6,求 AC 的长。 15 2023 年桓台县学业水平第二次模拟试题 (时间:120 分钟　 总分:150 分) — 88 — — 89 — — 90 — 20. (12 分)某校举办以 2022 年北京冬奥会为主题的知识竞赛,从七年级和八年级各随机抽取了 50 名 学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析,部分信息如下: a:七年级抽取成绩的频数分布直方图如图。 (数据分成 5 组,50≤x<60,60≤x<70,70≤x<80,80≤x <90,90≤x≤100) b:七年级抽取成绩在 70≤x<80 这一组的是 70,72,73,73,75,75,75,76,77,77,78,78,79,79,79,79。 c:七、八年级抽取成绩的平均数、中位数如下: 年级 平均数 中位数 七年级 76. 5 m 八年级 78. 2 79 请结合以上信息完成下列问题: (1)七年级抽取成绩在 60≤x<90 的人数是　 　 　 　 ,并补全频数分布直方图; (2)表中 m 的值为　 　 　 　 ; (3)七年级学生甲和八年级学生乙的竞赛成绩都是 78,则　 　 　 　 (填“甲”或“乙”)的成绩在本年 级抽取成绩中排名更靠前; (4)七年级的学生共有 400 人,请你估计七年级竞赛成绩 90 分及以上的学生人数。 21. (12 分)在一次数学课外实践活动中,某小组要测量一幢大楼 MN 的高度,如图,在山坡的坡脚 A 处 测得大楼顶部 M 的仰角是 58°,沿着山坡向上走 75 米到达 B 处。 在 B 处测得大楼顶部 M 的仰角是 22°,已知斜坡 AB 的坡度 i= 3 ∶ 4(坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比),求大楼 MN 的高度。 (图中的点 A,B,M,N,C 均在同一平面内,N,A,C 在同一水平线上,参考数据:tan 22°≈0. 4,tan 58° ≈1. 60) 22. (13 分)(1)如图 1,在△ABC 中,∠ACB= 2∠B,CD 平分∠ACB 交 AB 于点 D,DE∥AC 交 BC 于点 E。 ①若 DE= 1,BD= 3 2 ,求 BC 的长; ②试探究AB AD -BE DE 是否为定值。 如果是,请求出这个定值;如果不是,请说明理由。 (2)如图 2,∠CBG 和∠BCF 是△ABC 的 2 个外角,∠BCF= 2∠CBG,CD 平分∠BCF,交 AB 的延长线 于点 D,DE∥AC 交 CB 的延长线于点 E。 记△ACD 的面积为 S1,△CDE 的面积为 S2,△BDE 的面积 为 S3。 若 S1S3 = 9 16 S22,求 cos∠CBD 的值。 图 1 　 　 图 2 23. (13 分)如图 1,抛物线 y= x2 +bx+c(b,c 是常数)的顶点为 C,与 x 轴交于 A,B 两点,点 A(1,0),AB = 4,P 为线段 AB 上的动点,过点 P 作 PQ∥BC,交 AC 于点 Q。 (1)求抛物线的表达式; (2)求△CPQ 面积的最大值,并求此时点 P 的坐标; (3)如图 2,过点 Q 作 DQ∥x 轴,交 BC 于点 D,连接 DP。 当∠BDP= 90°时,求点 P 的坐标。 图 1 　 图 2 15 2023 年桓台县学业水平第二次模拟试题 答案速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D A B C C D B C A A 1. D　 【解析】∵ 3 2 <π< 15 < | -4 | = 4,∴ 所给的几个 实数中,最大的是 | -4 | 。 故选 D。 2. A　 【解析】∵ A,B 两点所表示的数分别是-4 和 2, ∴ AB 的中点所表示的数 = 1 2 ×(-4+ 2)= - 1,即点 C 所表示的数是-1。 故选 A。 3. B　 【解析】从左面看易得左视图为“ ”。 故选 B。 4. C　 【解析】∵ -1,1,2,x,6,8 的中位数为 2, ∴ 2 +x 2 = 2。 ∴ x= 2。 ∴ 这组数据中 2 出现的次数最多,最大值与最小值 的差是 8-(-1)= 9。 ∴ 这组数据的众数和极差分别是 2,9。 故选 C。 5. C　 【解析】观察可知次数和序号是一样的,奇数位 置时,系数为 1,偶数位置时,系数为- 1,则有 a, -a2,a3,-a4,a5,-a6,…,(-1) n+1an。 故选 C。 6. D　 【解析】∵ DE∥BC,∴ △ADE∽△ABC。 ∴ DE ∶ BC=AD ∶ AB。 ∵ AD ∶ BD= 1 ∶ 3, ∴ AD ∶ AB= 1 ∶ 4。 ∴ DE ∶ BC= 1 ∶ 4。 ∵ △CDE 和△CBD 的高相同, ∴ S△CDE ∶ S△CBD = 1 ∶ 4。 故选 D。 7. B　 【解析】∵ 2x2 -4x= 2,∴ x2 -2x+1 = 2。 ∴ (x-1) 2 = 2。 ∴ x-1 = ± 2。 ∵ x1 为较小的根,∴ x1 = 1- 2。 ∴ -1<x1 <0。 故选 B。 8. C　 【解析】∵ 正五边形铁丝框 ABCDE 的边长为 2, ∴ 铁丝框的长度为 5×2 = 10。 ∴ 扇形 ABE 的弧长 l= 10-2×2 = 6。 ∴ 扇形 ABE 的面积:S= 1 2 lr= 1 2 ×6×2 = 6。 故选 C。 9. A　 【解析】∵ 3 分钟进水 30 升, ∴ 进水速度为30 3 = 10(升 / 分)。 ∵ 3 分钟时,再打开出水管排水,8 分钟时,关闭进 水管,直至容器中的水全部排完, ∴ 排水速度为8 ×10-20 8-3 = 12(升 / 分)。 ∴ a-8 = 20 12 。 解得 a= 29 3 。 故选 A。 10. A 　 【解析】如图,连接 DE,取 AD 的中点 G,连 接 EG。 ∵ AB=AC,AD 平分∠BAC, ∴ AD⊥BC,BD=CD。 ∴ S△ABD = 1 2 S△ABC = 1 2 × 24 = 12。 ∵ E 是 AB 的中点, ∴ S△AED = 1 2 S△ABD = 1 2 ×12 = 6。 ∵ G 是 AD 的中点, ∴ S△EGD = 1 2 S△AED = 1 2 ×6 = 3。 ∵ E 是 AB 的中点,G 是 AD 的中点, ∴ EG∥BC,EG= 1 2 BD= 1 2 CD。 ∴ ∠EGP= ∠FDP= 90°。 ∵ F 是 CD 的中点,∴ FD= 1 2 CD。 ∴ EG=FD。 ∵ ∠EPG= ∠FPD,∴ △EGP≌△FDP(AAS)。 ∴ GP=PD= 1. 5。 ∴ GD= 3。 ∵ S△EGD = 1 2 GD·EG= 3,即 1 2 EG×3 = 3, ∴ EG= 2。 在 Rt△EGP 中,由勾股定理,得 PE = EG2 +GP2 = 22 +1. 52 = 2. 5。 故选 A。 11. 2xy(2x+1)(2x-1) 　 【解析】原式 = 2xy(4x2 -1)= 2xy(2x+1)(2x-1)。 12. 互相垂直平分　 【解析】如图,将点 A 先向下平移 3 个单位长度,再向左平移 1 个单位长度到达点 A′,连接 A′B,与线段 AC 交于点 O。 由勾股定理可知 A′O=OB= 12 +12 = 2,AO =OC = 22 +22 = 2 2, ∴ 线段 A′B 与线段 AC 互相平分。 ∵ A′O=OD= 12 +12 = 2,A′D= 2, ∴ A′O2 +OD2 =A′D2。 ∴ ∠A′OD= 90°。 ∴ A′B⊥AC。 ∴ 线段 A′B 与线段 AC 互相垂直平分。 13. 3　 【解析】代数式 9- 3-x的值最大时, 3-x = 0,∴ 3-x= 0。 解得 x= 3。 14. 0　 【解析】方程两边同乘 x-1,得 x-2 = -mx。 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —15— 解得 x= 2 m+1 。 ∵ 分式方程有正整数解, ∴ x>0 即 2 m+1 >0。 ∴ m>-1。 ∵ x-1≠0,∴ x≠1,即 2 m+1 ≠1。 ∴ m≠1。 ∴ m= 0。 15. 3 4 　 【解析】如图,取 AP 的中点 F,连接 EF,过点 G 作 GH⊥AD 于点 H,过点 E 作 ET⊥GH 于点 T, 设 AP=m。 ∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ ∠D= 90°,AB=DC= 3。 ∴ tan∠DAC=DC AD = DC 3DC = 3 3 。 ∴ ∠DAC= 30°。 ∵ PG⊥AC, ∴ PG = 1 2 AP = 1 2 m, ∠APG = 90° - ∠DAC = 60°。 ∴ PH=PG·cos∠APG= 1 2 m·cos 60° = 1 4 m, GH=PG·sin∠APG= 1 2 m·sin 60° = 3 4 m。 ∵ E 是 BP 的中点,F 是 AP 的中点, ∴ EF= 1 2 AB= 3 2 ,PF= 1 2 m。 ∴ GT=GH-HT=GH-EF= 3 4 m- 3 2 , ET=FH=PF-PH= 1 2 m- 1 4 m= 1 4 m。 在 Rt △EGT 中,EG2 = GT2 + ET2 = 3 4 m- 3 2( ) 2 + 1 4 m( ) 2 = 1 4 m- 3 3 2( ) 2 + 9 16 , ∴ 当 m= 3 3 2 时,线段 EG 的最小值为 3 4 。 16.解:(1)原式= 1-3× 3 3 + 3 -1+4 = 1- 3 + 3 -1+4 = 4。 (2)原式= 3 x+2( ) x-2( ) ·x -2 3 = 1 x+2 。 当 x= 5 -2 时,原式= 1 5 -2+2 = 5 5 。 17.解:(1)∵ 一只不透明的袋子中装有 1 个白球和 3 个红球,这些球除颜色外都相同, ∴ 搅匀后从中任意摸出 1 个球,这个球是白球的 概率为 1 1+3 = 1 4 。 (2)画树状图如下: 共有 16 种等可能的结果,其中两个球颜色不同的 有 6 种,∴ 2 次摸到的球恰好是 1 个白球和 1 个红 球的概率为 6 16 = 3 8 。 18.解:(1)设点 C( t,0)。 ∵ 函数 y= k x (x>0)的图象经过点 A(3,4), ∴ k= 3×4 = 12。 ∴ 反比例函数的表达式为 y= 12 x (x>0)。 ∵ D 为▱OABC 的对角线的交点, ∴ D 为 AC 的中点, ∴ 点 D ( 3+t2 ,2 ) 。 把点 D ( 3+t2 ,2 )代入 y= 12 x ,得3 +t 2 ×2 = 12。 解得 t= 9。 ∴ 点 D 的坐标为(6,2)。 (2)∵ 点 D 的坐标为(6,2),∴ 点 B(12,4)。 ∵ 点 A(3,4),∴ AB= 9。 ∴ S▱OABC = 9×4 = 36。 19. (1)证明:如图,连接 OC。 ∵ AC 平分∠BAD,∴ ∠BAC= ∠EAC。 ∵ OA=OC,∴ ∠BAC= ∠OCA。 ∴ ∠EAC= ∠OCA。 ∴ OC∥AE。 ∴ ∠E+∠OCE= 180°。 ∵ CE 是半圆 O 的切线, ∴ OC⊥EC。 ∴ ∠OCE= 90°, ∴ ∠E= 180°-∠OCE= 90°。 (2)解:如图,连接 BC。 ∵ AB 为半圆 O 的直径,∴ ∠ACB= 90° = ∠E。 又∵ ∠BAC= ∠CAE, ∴ △BAC∽△CAE。 ∴ AB AC =AC AE 。 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —25— ∵ AE= 4,AB= 6, ∴ AC= AB·AE = 6×4 = 2 6 。 20.解:(1)由题意可得 70≤x<80 这一组有 16 人, ∴ 七年级抽取成绩在 60≤x<90 的人数是 12+16+ 10 = 38,补全频数分布直方图如图所示。 (2)∵ 4+12 = 16<25,4+12+16>25, ∴ 七年级抽取成绩的中位数在 70≤x< 80 这组数 据中。 ∴ 第 25,26 个数据分别为 77,77。 ∴ m= 77 +77 2 = 77。 (3)∵ 七年级抽取成绩的中位数为 77<78,八年级 抽取成绩的中位数为 79>78, ∴ 甲的成绩在本年级抽取成绩中排名更靠前。 (4)400× 8 50 = 64(人)。 答:估计七年级竞赛成绩 90 分及以上的学生人数 为 64。 21.解:如图,过点 B 分别作 BE⊥AC,BF⊥MN,垂足 分别为 E,F。 ∴ ∠BEA= ∠BFN= ∠BFM= ∠MNA= 90°。 ∴ 四边形 BENF 为矩形。 ∴ BE=FN,BF=NE。 设 MN= x。 在 Rt△ABE 中, ∵ 斜坡 AB 的坡度 i= 3 ∶ 4,即BE AE = 3 4 , ∴ sin∠BAE=BE AB = 3 5 。 ∵ AB= 75 米,∴ BE= 45 米,AE= 60 米。 ∴ FN= 45 米。 ∴ MF= (x-45)米。 在 Rt△AMN 中,∵ tan∠MAN=MN AN ,∠MAN= 58°, ∴ tan 58° = x AN ≈1. 6。 ∴ AN≈ 5 8 x 米。 ∴ NE=AN+AE= ( 58 x+60 )米。 在 Rt△BMF 中,∵ tan∠MBF=MF BF ,∠MBF= 22°, ∴ tan 22° = x -45 BF ≈0. 4。 ∴ BF≈ 5 2 (x-45)米。 ∵ BF=NE,∴ 5 8 x+60 = 5 2 (x-45)。 解得 x= 92。 答:大楼 MN 的高度为 92 米。 22.解:(1)①∵ CD 平分∠ACB, ∴ ∠ACD= ∠DCB= 1 2 ∠ACB。 ∵ ∠ACB= 2∠B,∴ ∠ACD= ∠DCB= ∠B。 ∴ CD=BD= 3 2 。 ∵ DE∥AC,∴ ∠ACD= ∠EDC。 ∴ ∠EDC= ∠DCB= ∠B。 ∴ CE=DE= 1。 ∴ △CED∽△CDB。 ∴ CE CD =CD CB 。 ∴ BC= 9 4 。 ②∵ DE∥AC,∴ AB AD =BC CE 。 由①可得 CE=DE,∴ AB AD =BC DE 。 ∴ AB AD -BE DE =BC DE -BE DE =CE DE = 1。 ∴ AB AD -BE DE 是定值,这个定值为 1。 (2)∵ DE∥AC,∴ △BAC∽△BDE。 ∴ BC BE = AB DB = AC DE 。 ∴ S1 S2 = AC DE =BC BE 。 ∵ S3 S2 =BE CE ,∴ S1S3 S22 =BC CE 。 又∵ S1S3 = 9 16 S22 ,∴ BC CE = 9 16 。 设 BC= 9x,则 CE= 16x。 ∵ CD 平分∠BCF,∴ ∠ECD= ∠FCD= 1 2 ∠BCF。 ∵ ∠BCF= 2∠CBG, ∴ ∠ECD= ∠FCD= ∠CBD。 ∴ BD=CD。 ∵ DE∥AC,∴ ∠EDC= ∠FCD。 ∴ ∠EDC= ∠CBD= ∠ECD。 ∴ CE=DE。 ∵ ∠DCB= ∠ECD,∴ △CDB∽△CED。 ∴ CD CE =CB CD 。 ∴ CD2 =CB·CE= 144x2 。 ∴ CD= 12x。 如图,过点 D 作 DH⊥ BC 于点 H。 ∵ BD=CD= 12x, ∴ BH= 1 2 BC= 9 2 x。 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —35— ∴ cos∠CBD=BH BD = 9 2 x 12x = 3 8 。 23.解:(1)抛物线 y= x2 +bx+c(b,c 是常数)与 x 轴交 于 A,B 两点,点 A(1,0),AB= 4, ∴ 点 B(-3,0)。 ∴ 9-3b+c= 0, 1+b+c= 0。{ 解得 b= 2, c= -3。{ ∴ 抛物线的表达式为 y= x2 +2x-3。 (2)如图 1,过点 Q 作 QE⊥x 轴于点 E,过点 C 作 CF⊥x 轴于点 F。 设点 P(m,0),则 PA= 1-m。 ∵ y= x2 +2x-3 = (x+1) 2 -4, ∴ 点 C(-1,-4)。 ∴ CF= 4。 ∵ PQ∥BC,∴ △PQA∽△BCA。 ∴ QE CF =AP AB ,即QE 4 = 1-m 4 。 ∴ QE= 1-m。 ∴ S△CPQ =S△PCA-S△PQA = 1 2 PA·CF- 1 2 PA·QE = 1 2 (1-m)×4- 1 2 (1-m)(1-m) = - 1 2 (m+1) 2 +2。 ∵ -3≤m≤1,∴ 当 m= -1 时,S△CPQ 有最大值 2。 ∴ △CPQ 面积的最大值为 2,此时点 P 的坐标为 (-1,0)。 图 1 　 　 图 2 (3)如图 2,过点 D 作 DH⊥x 轴于点 H,设 BH=a。 由(1) ( 2) 中结论可知点 A ( 1, 0),B ( - 3, 0), C(-1,-4),tan∠ABC=CF BF = 4 2 = 2。 ∵ ∠PDB= 90°, ∴ ∠ABC+∠BDH= 90°,∠PDH+∠BDH= 90°。 ∴ ∠ABC= ∠PDH。 ∴ tan∠ABC=DH BH = 2,tan∠PDH=PH DH = 2。 ∴ DH= 2a,PH= 4a,BP=BH+PH=a+4a= 5a。 设直线 BC 的函数表达式为 y= k1x+b1 。 代入点 B(-3,0),C(-1,-4), 得 -3k1 +b1 = 0, -k1 +b1 = -4。 { 解得 k1 = -2, b1 = -6。 { 故直线 BC 的函数表达式为 y= -2x-6。 设直线 AC 的函数表达式为 y= k2x+b2 。 代入点 A(1,0),C(-1,-4), 得 -k2 +b2 = -4 k2 +b2 = 0。 { 解得 k2 = 2, b2 = -2。 { 故直线 AC 的函数表达式为 y= 2x-2。 设点 D(a-3,-2a)。 ∵ DQ∥AB,PQ∥BD, ∴ 四边形 BDQP 是平行四边形。 ∴ 点 Q(1-a,-2a),DQ= 1-a-a+3 = -2a+4。 ∵ BP=DQ,即-2a+4 = 5a, 解得 a= 4 7 ,∴ BP= 5a= 20 7 。 ∵ 点 B(-3,0),∴ 点 P ( - 17 ,0 ) 。 16 2023 年高青县学业水平第二次模拟试题 答案速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C A B D B A A D B D 1. C　 【解析】该几何体主视图中不存在轮廓,则不用 画虚实线,因此排除 B,D 选项;该几何体的左视图 和俯视图均存在看得见的轮廓,因此要画实线,故 A 选项错误,C 选项正确。 故选 C。 2. A　 【解析】如图, ∵ FB∥AE,∴ ∠3 = ∠1。 ∵ ∠1 = 20°,∴ ∠3 = 20°。 ∵ ∠CBA= 90°-30° = 60°, ∴ ∠2 = ∠CBA-∠3 = 60°-20° = 40°。 故选 A。 3. B　 【解析】由题图可知,在已调节平衡的天平左右 两个盘里,分别放入甲、乙两个实心正方体,天平仍 然保持平衡,说明甲、乙两个实心正方体质量相等, 由于甲的体积大于乙的体积,根据密度公式 ρ = m V 可知,甲的密度小于乙的密度,即 ρ甲 <ρ乙。 故选 B。 4. D　 【解析】根据题图可得 24 岁的队员人数最多, 故众数为 24 岁,根据题图可得人数为 3+1+2+5+1 = 12,故第 6 和 7 名队员年龄的平均值为中位数, 即中位数为 23+24 2 = 23. 5(岁)。 故选 D。 5. B　 【解析】∵ 49<51<64,∴ 7< 51 <8。 ∴ 51的整数部分为 7。 ∴ m= 7。 ∴ m 的算术平方根为 7。 ∵ 2. 52 <7<32,∴ 2. 5< 7 <3。 ∴ 7的值最接近整数 3。 故选 B。 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —45—