精品解析：辽宁省沈阳市法库县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

2023～2024学年度第二学期八年级期中考试 数学试题 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域作答，在本试卷上作答无效 一、选择题（下列各题备选答案中，只有一个答案是正确的，每小题3分，共30分） 1. 以下五家银行行标中，既是中心对称图形又是轴对称图形有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 如图，在的网格中，把平移后得到，平移方法正确的是（ ） A. 左平移4个单位，再下平移1个单位 B. 左平移1个单位，再下平移4个单位 C. 右平移4个单位，再上平移1个单位 D. 右平移4个单位，再下平移1个单位 3. 下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的为（ ） A. B. C. D. 4. 在数轴上表示不等式的解集，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若分式值为0，则x的值为（ ） A. 3 B. 3或 C. D. 0 6. 下列各式中不能用平方差公式分解的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A＇OB＇，若∠AOB=15°，则∠AOB＇的度数是（ ） A. 25° B. 30° C. 35° D. 40° 8. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，∠B＝30°，点P是BC边上一动点，连接AP，则AP的长度不可能是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 9. 如图，中，，垂直平分腰，交于点，交于点E，若，则的度数为（ ） A B. C. D. 10. 平面直角坐标系中，点在第二象限，则x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若关于x的二次三项式是完全平方式，则m的值为____________． 12. 若的解集为，则的取值范围是________． 13. 如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝25°，D是AB上一点，将Rt△ABC沿CD折叠，使点B落在AC边上的处，则∠ADB′等于_____． 14. 直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为 ______． 15. 如图，将等腰直角沿斜边方向平移得到，若，图中阴影部分面积为2，则线段的长度____________． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 因式分解： （1） （2） 17. 先化简再求值：，请选择适当的a值带入求值，其中且a为整数． 18. 解不等式组：． 19. 已知线段a，h． （1）求作：，使，且，高．（保留作图痕迹，不用写作图过程） （2）若（1）中，，则的周长多少？请直接写出结论． 20. 如图，点是中边上一点，点是线段上一点，且，．求证：． 21. 为了加快教学手段的现代化，某校计划购置一批电脑，已知甲公司的报价是每台元，优惠条件是购买台以上，则从第台开始按报价的计算；乙公司的报价也是每台元，优惠条件是每台均按报价的计算．假如你是学校有关方面负责人，在电脑品牌、质量、售后服务等完全相同的前提下，你如何选择？请说明理由． 22. 如图1，与均为等边三角形，点A，O，D在同一条直线上，连接，，与所在直线交点为E． 【问题发现】 （1）求证：； 问题深究】 （2）猜想的度数，并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图2，在与中，，，，若，，与之间有怎样的数量关系？请直接写出结论． 23. 如图，平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与直线交于点，直线与y轴交于点C，与x轴交于点D． 基础问题】 （1）求m，n的值； 【问题拓展】 （2）若P为直线上一点，当线段长度最小时，求出此时点P的坐标，并求出此时线段长度最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023～2024学年度第二学期八年级期中考试 数学试题 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域作答，在本试卷上作答无效 一、选择题（下列各题备选答案中，只有一个答案是正确的，每小题3分，共30分） 1. 以下五家银行行标中，既是中心对称图形又是轴对称图形的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形以及轴对称图形的定义和各图形的特点即可求解． 【详解】解：既是中心对称图形又是轴对称图形的行标是第一个和第三个， 故选B． 【点睛】掌握好中心对称与轴对称的概念：轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合，中心对称是要寻找对称中心，旋转180度后重合． 2. 如图，在的网格中，把平移后得到，平移方法正确的是（ ） A. 左平移4个单位，再下平移1个单位 B. 左平移1个单位，再下平移4个单位 C. 右平移4个单位，再上平移1个单位 D. 右平移4个单位，再下平移1个单位 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了图形的平移，根据平移后得到的的位置求解即可． 【详解】根据题意可得， 把平移后得到，平移方法正确的是右平移4个单位，再上平移1个单位． 故选：C． 3. 下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，解题的关键在于能够熟练掌握因式分解的定义． 根据因式分解的定义：把一个多项式分解为两个或多个整式积的形式，进行判断即可得到答案． 【详解】解：A、这是因式分解的逆过程，故此选项错误； B、这是因式分解的逆过程，故此选项错误； C、这不是因式分解，故此选项错误； D、这是因式分解，故此选项正确． 故选：D． 4. 在数轴上表示不等式的解集，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式、在数轴上表示一元一次不等式的解．先去括号，移项，再合并同类项，系数化为1即可． 【详解】解： 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得， 将解集表示在数轴上，如图： 故选：A． 5. 若分式的值为0，则x的值为（ ） A. 3 B. 3或 C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义和分式的值为的条件，解题的关键是掌握分式的相关定义．根据分式的值为的条件即可求解． 【详解】解：依据题意得：， ， 解得：， ， ， ， 故选：C． 6. 下列各式中不能用平方差公式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 利用平方差公式结构特征判断即可． 【详解】A．，具备平方差公式的结构特征，故此多项式能用平方差公式分解，不符合题意； B．，具备平方差公式的结构特征，故此多项式能用平方差公式分解，不符合题意； C．，不具备平方差公式的结构特征，故此多项式不能用平方差公式分解，符合题意； D．，具备平方差公式的结构特征，故此多项式能用平方差公式分解，不符合题意． 故选：C． 7. 如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A＇OB＇，若∠AOB=15°，则∠AOB＇的度数是（ ） A. 25° B. 30° C. 35° D. 40° 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′， ∴∠A′OA=45°，∠AOB=∠A′OB′=15°， ∴∠AOB′=∠A′OA-∠A′OB′=45°-15°=30°， 故选B． 8. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，∠B＝30°，点P是BC边上一动点，连接AP，则AP的长度不可能是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据垂线段最短分析AP最小值为2，再由直角三角形的性质得出AB＝4，可知AP最大值为4，即可得出结论． 【详解】解：根据垂线段最短，可知AP的最小值为2． ∵△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，∠B＝30°， ∴AB＝4， ∴AP的最大值为4． 故选：D． 【点睛】本题考查了线段的最值，解答此题的关键是正确理解题意，结合类比的方法运用垂线段最短和直角三角形的性质求出线段AP的最值． 9. 如图，中，，垂直平分腰，交于点，交于点E，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质．线段垂直平分线的性质，根据题意，先求，，再求其差值即可． 详解】解：， 垂直平分腰 ． 故选：A． 10. 平面直角坐标系中，点在第二象限，则x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，熟练掌握点在各个象限时的坐标特征是关键．根据点在第二象限时的坐标特征解得即可． 【详解】解：点．在第二象限， ，解得． 故选：C． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若关于x的二次三项式是完全平方式，则m的值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 根据完全平方公式的结构特征列式解答． 【详解】∵关于x的二次三项式是完全平方式， ∴ ∴． 故答案为：． 12. 若的解集为，则的取值范围是________． 【答案】． 【解析】 【分析】根据不等式的性质2，可得答案． 【详解】解：∵不等式的解集是， ∴， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了不等式的性质：不等式的两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变． 13. 如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝25°，D是AB上一点，将Rt△ABC沿CD折叠，使点B落在AC边上的处，则∠ADB′等于_____． 【答案】40° 【解析】 【分析】根据翻折变换的性质得出∠ACD＝∠BCD，∠CDB＝∠CD，进而利用三角形内角和定理得出∠BDC＝∠DC，再利用平角的定义，即可得出答案． 【详解】解：∵将Rt△ABC沿CD折叠，使点B落在AC边上的处， ∴∠ACD＝∠BCD，∠CDB＝∠CD， ∵∠ACB＝90°，∠A＝25°， ∴∠ACD＝∠BCD＝45°，∠B＝90°﹣25°＝65°， ∴∠BDC＝∠DC＝180°﹣45°﹣65°＝70°， ∴∠AD＝180°﹣70°﹣70°＝40°． 故答案为：40°． 【点睛】此题主要考查了翻折变换的性质以及三角形内角和定理，得出∠BDC和∠DC的度数是解题关键． 14. 直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为 ______． 【答案】 【解析】 【分析】根据图象，找直线在上方部分的x的取值范围即可． 【详解】解：由图可知：两条直线的交点坐标为， ∵， ∴， ∴，即直线在直线的上方， ∵当时，直线在直线的上方， ∴解集为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，根据不等式的问题转化为比较函数值大小的问题是解答本题的关键． 15. 如图，将等腰直角沿斜边方向平移得到，若，图中阴影部分面积为2，则线段的长度____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了图形的平移问题，勾股定理，等腰直角三角形的性质．根据平移的性质可得，从而得到是等腰直角三角形，进而得到，即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵是等腰直角三角形， ∴平移后， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴， 解得， ∴ ∵，等腰直角三角形 ∴ ∴ ∴． 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 因式分解： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查因式分解，提公因式法、平方差公式因式分解、完全平方公式因式分解的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）先提公因式、再用平方差公式因式分解即可． （2）先去括号，再提公因式、最后直接利用完全平方公式因式分解即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 17. 先化简再求值：，请选择适当的a值带入求值，其中且a为整数． 【答案】，当时，原式；当时，原式 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把除法变成乘法后约分化简，再根据已知条件和分式有意义的条件确定a的值，最后代值计算即可． 【详解】解： ∵且a为整数， ∴a值为，，或0， ∵分式要有意义， ∴， ∴且， ∴或 当时，原式； 当时，原式． 18. 解不等式组：． 【答案】x≤1． 【解析】 【分析】先解不等式组中的每一个不等式，再求出它们的公共解即可． 【详解】解：． 由①得x≤1； 由②得x＜4； 所以原不等式组的解集为：x≤1． 【点睛】本题考查解一元一次不等式组． 19. 已知线段a，h． （1）求作：，使，且，高．（保留作图痕迹，不用写作图过程） （2）若（1）中，，则的周长多少？请直接写出结论． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题考查了作图﹣复杂作图，勾股定理，等腰三角形三线合一性质．解题的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． （1）先作线段，再作的垂直平分线，垂足为，再在上截取，然后连接、，则即为所求； （2）首先根据等腰三角形三线合一性质得到，然后利用勾股定理求出，进而求解即可． 【小问1详解】 如图，为所作． 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴的周长． 20. 如图，点是中边上一点，点是线段上一点，且，．求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质．根据等腰三角形的性质得到，继而得到，根据等腰三角形的判定得，证明，由全等的性质即可得到结论．解题的关键是掌握：三条边对应相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等． 【详解】证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 21. 为了加快教学手段的现代化，某校计划购置一批电脑，已知甲公司的报价是每台元，优惠条件是购买台以上，则从第台开始按报价的计算；乙公司的报价也是每台元，优惠条件是每台均按报价的计算．假如你是学校有关方面负责人，在电脑品牌、质量、售后服务等完全相同的前提下，你如何选择？请说明理由． 【答案】购置电脑少于台时，选乙公司较优惠；购置电脑正好台时，甲、乙两公司均可；购置电脑多于台时，选甲公司较优惠 【解析】 【分析】本题考查一次函数应用，根据题意分超过台与不超过台两类，结合费用小的更优惠列不等求解即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， 当购买电脑不超过台时， ∵不超过台，乙公司有优惠，而甲公司没优惠， ∴选择乙公司， 当购买电脑多于台，设学校需购置电脑x台，由题意可得， 到甲公司购买需付元， 到乙公司购买需付元， 当甲公司优惠大时， ， 解得， 当乙公司优惠大时， ， 解得， 当两公司优惠一样， ， 解得， 答：购置电脑少于台时，选乙公司较优惠；购置电脑正好台时，甲、乙两公司均可；购置电脑多于台时，选甲公司较优惠． 22. 如图1，与均为等边三角形，点A，O，D在同一条直线上，连接，，与所在直线交点为E． 【问题发现】 （1）求证：； 【问题深究】 （2）猜想的度数，并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图2，在与中，，，，若，，与之间有怎样的数量关系？请直接写出结论． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3） 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，关键是利用三角形的内角和外角找出找出所求角的关系． （1）用证明即可． （2）利用全等可得，，可得出的度数． （3）仿造（1）证明，可得，再利用三角形内角和等于，可得出角的关系． 【详解】（1）证明：与均为等边三角形， ，，， ， ， ． （2）解：． 由（1）知， ． 点，，在同一条直线上， ， ， ． （3）解：． ，，， ， ， ． ． ， ， ， ， ， ， ， ． 23. 如图，平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与直线交于点，直线与y轴交于点C，与x轴交于点D． 【基础问题】 （1）求m，n的值； 【问题拓展】 （2）若P为直线上一点，当线段长度最小时，求出此时点P的坐标，并求出此时线段长度最小值． 【答案】（1），；（2）， 【解析】 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质等知识，数形结合是解题的关键． （1）根据点B在直线上，求出n值，得到点B的坐标，把点B的坐标D代入即可求出m的值； （2）过点A作直线的垂线，垂足为P，此时线段最短，过点P作y轴的垂线，垂足为M．求出，，根据勾股定理即可求出答案． 【详解】解：∵点在直线上， ∴ ∴， ∴ ∵点在直线上上， ∴ ∴． （2）过点A作直线的垂线，垂足为P，此时线段最短，过点P作y轴的垂线，垂足为M． ∴， 由直线知，时， 时， ∴点，点 ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ 由直线知，当时，， 即直线与y轴交点， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴． ∴ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$