精品解析：2024年江苏省扬州市广陵区九年级中考第二次模拟考试数学试题

2024年江苏省扬州市广陵区九年级中考第二次模拟考试数学试题 说明： 1.本试卷共6页，包含选择题（第1题～第8题，共8题）、非选择题（第9题～第28题，共20题）两部分．本卷满分150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置上，同时务必在试卷的装订线内将本人的姓名、准考证号、毕业学校填写好，在试卷第一面的右下角写好座位号． 3.所有的试题都必须在专用的“答题卡”上作答，选择题用2B铅笔作答，非选择题在指定位置用0.5毫米的黑色笔作答．在试卷或草稿纸上答题无效． 4.如有作图需要，请用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．如果规定收入为正，那么支出负，收入3元记作元，支出5元记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正数和负数的表示方法．收入3元和支出5元是一对相反意义的量，收入3元记作元，支出5元记作元． 【详解】解：收入3元记作元，支出5元记作元． 故选：A． 2. 下列计算正确的是（　　）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数的计算法则计算即可. 【详解】解：A、不能合并，错误； B、，错误； C、，正确； D、，错误； 故选C． 【点睛】本题主要考查指数的计算法则，是考试的重点，应当熟练的掌握. 3. 古代名著《孙子算经》中有一题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？设有车辆，则根据题意，可列出方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】抓住总人数不变的等量关系，根据两种乘车情况分别表示总人数即可列出方程． 【详解】解：设有车辆， 第一种情况：三人共车，二车空，实际乘坐人的车辆为辆，因此总人数为， 第二种情况：二人共车，九人步，有9人需要步行，因此总人数为， ∵两种情况总人数相等， ∴可得方程． 4. 杆秤是中国最古老也是现今人们仍然使用的衡量工具，由秤杆、秤砣、秤盘三个部分组成.秤砣、秤杆分别叫做“权”和“衡”，指的是做任何事都要权衡轻重.如图是常见的一种秤砣，则它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三视图，解题关键是掌握三视图的确定方法，根据从正面看到的图形确定即可． 【详解】解：这个常见的一种秤砣的主视图是 故选A． 5. 如图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线的反向延长线交于主光轴上一点P．若，则的度数是（　　） A. 20° B. 30° C. 50° D. 70° 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，首先求出和，再根据平行线的性质求出和即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 6. 一个不透明的袋子中只有4个黑球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中一次摸出3个球，下列事件是必然事件的是( ) A. 3个球都是黑球 B. 3个球都是白球 C. 3个球中有黑球 D. 3个球中有白球 【答案】C 【解析】 【分析】根据袋子中球的个数以及每样球的个数对摸出的3个球的颜色进行分析即可． 【详解】解：袋中一共6个球，有4个黑球和2个白球，从中一次摸出3个球，可能3个都是黑球，也可能2个黑球1个白球，也可能2个白球1个黑球，不可能3个都是白球， 因此3个球都是黑球、3个球中有白球是随机事件，3个球都是白球是不可能事件，3个球中有黑球是必然事件，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了确定事件及随机事件，解题的关键是熟练掌握事件的分类，事件分为随机事件和确定事件，而确定事件又分为必然事件和不可能事件． 7. 已知点都在反比例函数的图象上．下列结论正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．根据反比例函数图象上点的坐标特征逐项分析判断即可． 【详解】解：反比例函数的图象分布在第二四象限，在每个象限内，随增大而增大； A、反比例函数图象是关于原点的中心对称图形，若，则，故原说法错误，不符合题意； B、反比例函数图象是关于原点的中心对称图形，若，则，正确，符合题意； C、两点不在同一象限时，若，不成立，原说法错误，不符合题意； D、两点在同一象限时若，，不成立，原说法错误，不符合题意； 故选：B． 8. 若从甲、乙、丙、丁、戊五位老师中任选两位一起帮图书馆整理书籍，所需的时间如下表：如果选一个人单独去整理，花时间最少的是 合作方式 甲、乙 乙、丙 丙、丁 丁、戊 戊、甲 所需时间（h） 13 9 10 12 8 A. 甲 B. 戊 C. 丁 D. 丙 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了实际问题的最值，解题时，利用了对比的方法进行解答．根据图中的数据通过两两对比进行分析解答． 【详解】解：根据甲、乙与乙、丙合作所需时间进行对比知，所需的时间是甲丙； 根据丙、丁与乙、丙合作所需时间进行对比知，所需的时间是丁乙； 根据丙、丁与丁、戊合作所需时间进行对比知，所需的时间是戊丙； 根据戊、甲与丁、戊合作所需时间进行对比知，所需的时间是丁甲； 根据甲、乙与戊、甲合作所需时间进行对比知，所需的时间是乙戊； 综上所述，所需时间的大小关系为：丁甲乙戊丙． 所以，花时间最少的是丙． 故选：D． 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 代数式有意义的条件是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件．根据被开方数不小于零的条件进行解题即可． 【详解】解：由题可知， ， 解得． 故答案为：． 10. 2024年3月31日，我市重大城建项目——大运河“十里外滩”综合整治提升项目正式开工建设，预计总投资约82.88亿元，数据82.88亿用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查科学记数法表示较大的数．将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案． 【详解】解：数据82.88亿用科学记数法表示为， 故答案为：． 11. 将甲、乙两组各5个数据绘制成折线统计图（如图），两组数据的平均数都是13，设甲、乙两组数据的方差分别为、，则________（填“”“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了折线统计图，方差的意义，理解数据波动小的方差小是解题的关键． 【详解】解：由折线统计图可得，甲的数据波动较大，则， 故答案为：． 12. 化简的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的加减， 原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果． 【详解】解：原式 ， 故答案为：x． 13. 若圆锥的底面圆半径是1，母线长是3，则它的侧面展开图的圆心角是__________． 【答案】##120度 【解析】 【分析】此题考查了圆锥的有关计算．首先求得圆锥的底面周长，即扇形的弧长，然后根据弧长的计算公式即可求得圆心角的度数． 【详解】解：圆锥的底面周长是：， 设圆心角的度数是，则， 解得：． 故侧面展开图的圆心角的度数是． 故答案是：． 14. 《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水岸，视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么为______米． 【答案】2.6 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用．根据题意可得：，，从而可得，然后证明，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：，， ， ， ， ， ， 解得：， 为2.6米， 故答案为：2.6． 15. 如图，在中，，则的度数为___________． 【答案】##30度 【解析】 【分析】根据垂径定理得到，根据圆周角定理解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是垂径定理和圆周角定理，掌握同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键． 16. 如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以为直径的圆经过点C，D，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，解直角三角形，根据圆周角定理得到，再根据正弦的定义计算即可． 【详解】解：连接，， 由图可得：，，， ∵为直径， ∴， 在中，， 故答案为：． 17. 如图，△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若AB＝12，BC＝9，则EF的长是_____． 【答案】1.5 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理求出DE、DE∥AB，根据平行线的性质、角平分线的定义得到DF＝DB＝4.5，计算即可． 【详解】解：∵D、E分别是BC、AC的中点， ∴DE＝AB＝6，DE∥AB，BD＝BC＝4.5， ∴∠ABF＝∠DFB， ∵BF平分∠ABC， ∴∠ABF＝∠DBF， ∴∠DBF＝∠DFB， ∴DF＝DB＝4.5， ∴EF＝DE﹣DF＝6﹣4.5＝1.5， 故答案为1.5． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、平行线的性质、角平分线的定义，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 18. 如图，在菱形中，，，点E为对角线上一动点，，于点F，连接．在点E运动的过程中，长的最小值为 _____． 【答案】1 【解析】 【分析】先根据菱形的性质说明，可得，再根据“两角相等的两个三角形相似”得，可得点F的位置，即可得出的最小值，再根据含直角三角形的性质得出答案． 【详解】解：连接交于点O，连接， ∵四边形是菱形，， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴． ∵，于点F， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴点F在与夹角为60°且过点O的直线上，当点F运动到边上时有最小值， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴长的最小值为1． 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质和判定，含直角三角形的性质，相似三角形的性质和判定，确定的最小值是解题的关键． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算或化简： （1）； （2）． 【答案】（1）5 （2） 【解析】 【分析】本题考查特殊角三角函数、负整数次幂、绝对值、整式的混合运算等： （1）先计算特殊角三角函数、负整数次幂、绝对值，再进行加减运算； （2）先利用平方差公式和单项式乘多项式法则计算，再合并同类项． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 20. 解不等式组：并在数轴上表示出不等式组的解集． 【答案】， 数轴表示如下所示： 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，进而在数轴上表示出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， 21. 甲，乙两个小区各有户居民，为了解两个小区月份用户使用燃气量情况，小明和小丽分别从中随机抽取户进行调查，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． ．甲小区用气量频数分布直方图如下（数据分成组：，，，，） ．甲小区用气量的数据在这一组的是：，，，，，，，，，，， ．甲，乙两小区用气量的平均数、中位数、众数如下： 小区 平均数 中位数 众数 甲 乙 根据以上信息，回答下列问题： （1）直接写出表中的值为________； （2）在甲小区抽取的用户中，记月份用气量高于他们的平均用气量的户数为．在乙小区抽取的用户中，记月份用气量高于他们的平均用气量的户数为．直接比较，的大小关系为_______； （3）计算估计甲小区中用气量超过立方米的户数． 【答案】（1）16 （2） （3）户 【解析】 【分析】本题考查求中位数及其意义，由样本估计总体，解题的关键是理解题意，从表格获取信息，掌握求中位数及其意义，由样本估计总体的方法是解题关键． （1）利用求中位数的方法求解即可； （2）利用中位数和平均数的意义分析即可； （3）根据抽取的30户中用气量超过15立方米的户数所占的比例估算出整体户数． 【小问1详解】 解：甲小区抽取的用户中，中位数为顺序排列后第位和第位数的平均数， 即； 【小问2详解】 解：由题知，（户）， 在乙小区抽取的用户中，中位数为，平均数为， 即最少有户高于他们的平均用气量，即， ； 【小问3详解】 解：由题知，（户）， 答：甲小区中用气量超过立方米的户数为户． 22. 某市开展“弘扬家风家教，创建文明家庭”系列活动，某校团委积极响应，为宣传活动招募学生宣传员，八年级（1）、（2）班共有六名学生报名，其中八（1）班两名男生、一名女生，八（2）班一名男生、两名女生． （1）现从这六名学生中随机抽取一名学生作为宣传员，抽取的学生是女生的概率是______． （2）现从八年级（1）、（2）班各随机抽取一名学生作为宣传员，请用列表法或画树状图法求抽取的两名学生是一男一女的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式， （1）直接利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及抽取的两名学生是一男一女的结果数，再利用概率公式可得出答案． 解题的关键熟练掌握概率公式：一般地，如果在一次试验中，有种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件包含其中的种结果，那么事件发生的概率． 【小问1详解】 解：∵从这六名学生中随机抽取一名学生作为宣传员，共有种等可能的结果，其中抽取的一名学生是女生的结果有种， ∴抽取的学生是女生的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 根据题意，画树状图如下： 由树状图可知共有种等可能的结果，其中抽取的两名学生是一男一女的结果数为种， ∴（抽取的两名学生是一男一女）， ∴抽取的两名学生是一男一女的概率为． 23. 某中学为了丰富学生的课外体育活动，购买了篮球和足球．已知篮球的单价是足球的单价的3倍，购买足球共花费750元，购买篮球共花费900元，购买足球的数量比购买篮球的数量多15个．求足球的单价． 【答案】足球的单价是30元． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用．设足球的单价是元，则篮球的单价是元，根据“篮球的单价是足球的单价的3倍，购买足球共花费750元，购买篮球共花费900元，购买足球的数量比购买篮球的数量多15个”，列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：设足球的单价是元，则篮球的单价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：足球的单价是30元． 24. 如图，已知，点C在射线上，点D，E在射线上，其中，四边形是平行四边形． （1）请只用无刻度的直尺画出菱形，并说明理由． （2）作出（1）中菱形后，若，，求的长． 【答案】（1） 如图，连接，相交于点G，连接并延长，交的延长线于点N，连接，则四边形是菱形，即菱形为所求． 理由：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴为等腰三角形， ∵， ∴， 即， ∴四边形是菱形． （2）6 【解析】 【分析】本题考查作图—复杂作图、平行四边形的性质、菱形的判定与性质： （1）连接，相交于点G，连接并延长，交的延长线于点N，连接，则四边形即为所求；结合平行四边形的性质以及全等三角形的判定证明，可得，结合可得四边形是平行四边形，再由等腰三角形的性质可得，即四边形CODN是菱形． （2）由菱形的性质可得，．在中，，则． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴． ∵， ∴． 在中，，， ∴， ∴． 25. 如图，为的直径，C，D是上不同于A，B的两点，，连接．过点C作，交的延长线于点E，延长，交的延长线于点F． （1）求证：是的切线； （2）当时，求的长． 【答案】（1）证明：如图，连接． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵是的半径， ∴是的切线． （2）． 【解析】 【分析】（1）连接，先根据等边对等角及三角形外角的性质得出，等量代换得到，则，再由，得到，根据切线的判定即可证明是的切线； （2）连接．先证明，得出，求出，由求出，再根据求出，然后由勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接． ∵是的直径， ， 解得 【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，解直角三角形，勾股定理等知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可． 26. 阅读感悟： 代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性，如下例题： 例：已知实数x、y满足，证明：． 证明：因为且x，y均为正， 所以______，______．（不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变） 所以．（不等式的传递性） 解决问题： （1）请将上面的证明过程填写完整． （2）尝试证明：若，则． 【答案】（1） 证明：因为且，均为正， 所以，．（不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变）， 所以（不等式的传递性）， （2） 证明：， ， ． 【解析】 【分析】本题考查不等式的性质，关键是掌握不等式的性质． （1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，由此即可证明问题； （2）不等式的两边同时加上同一个数b得，不等式的两边同时除以同一个正数2，由此即可证明问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 27. 问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张矩形纸片探究折叠的性质在矩形的边上取一点，将沿翻折，使点恰好落在边上点处． 实践探究： （1）如图1，若，则的值为______； （2）如图2，当，时，求的值； 问题解决： （3）如图3，延长，与的角平分线交于点，交于点，当时，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质可得，，从而可得，即可得结果； （2）利用“一线三等角”得出，则，，代入计算得，再利用勾股定理求出的长，从而得出答案； （3）过作于点，则易得，，，由对应边成比例可得，设，，则在中，由勾股定理可得，的关系，从而可求得结果． 【详解】解：（1）根据折叠的性质，得，， ， 四边形是矩形， ∴， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）将沿翻折，使点恰好落在边上点处． ，， 在矩形中，，， ，， ， ， ， ， ，，， ， 解得：或（不合题意，舍去）， ， ， ， ， ， ； （3）过作于点，如图， 平分，，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 设，，则，，， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 即， ， ． 【点睛】本题是相似形综合题，考查了矩形的性质，直角三角形的性质，折叠的性质，角平分线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质及矩形的性质是解题的关键． 28. 某公园要在小广场建造一个喷泉景观．在小广场中央处垂直于地面安装一个高为1.25米的花形柱子，安置在柱子顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过的任一平面上抛物线路径如图1所示，为使水流形状较为美观，设计成水流在距的水平距离为1米时达到最大高度，此时离地面2.25米． （1）以点为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，水流到水平距离为米，水流喷出的高度为米，求出在第一象限内的抛物线解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）张师傅正在喷泉景观内维修设备期间，喷水管意外喷水，但是身高1.76米的张师傅却没有被水淋到，此时他离花形柱子的距离为米，求的取值范围； （3）为了美观，在离花形柱子4米处的地面B、C处安装射灯，射灯射出的光线与地面成角，如图3所示，光线交汇点在花形柱子的正上方，且米，求光线与抛物线水流之间的最小垂直距离． 【答案】（1） （2） （3）米 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，直线的平移，直线和抛物线相切等知识，关键是求抛物线解析式． （1）根据题意得到第一象限内的抛物线的顶点坐标，将抛物线设成顶点式，再将点坐标代入即可求出第一象限内的抛物线解析式； （2）直接令，解方程求出的值，再根据函数的图象和性质，求出时的取值范围即可； （3）先作辅助线，作出直线的平行线，使它与抛物线相切于点，然后设出直线的解析式，联立直线与抛物线解析式，利用相切，方程只有一个解，解出直线的解析式，从而得到直线与轴交点，最后利用锐角三角函数求出直线与直线之间的距离． 【小问1详解】 解：根据题意第一象限内的抛物线的顶点坐标为，， 设第一象限内的抛物线解析式为， 将点代入物线解析式， ， 解得， 第一象限内的抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：根据题意，令， 即， 解得，， ，抛物线开口向下， 当时，， 的取值范围为； 【小问3详解】 解：作直线的平行线，使它与抛物线相切于点，分别交轴，轴于点，，过点，作，垂足为，如图所示， ∵， 设直线的解析式为， 联立直线与抛物线解析式， ， 整理得， 直线与抛物线相切， 方程只有一个根， ， 解得， 直线的解析式为， 令，则， ， ， 即， 射灯射出的光线与地面成角， ， ， ， ， 光线与抛物线水流之间的最小垂直距离为米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年江苏省扬州市广陵区九年级中考第二次模拟考试数学试题 说明： 1.本试卷共6页，包含选择题（第1题～第8题，共8题）、非选择题（第9题～第28题，共20题）两部分．本卷满分150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置上，同时务必在试卷的装订线内将本人的姓名、准考证号、毕业学校填写好，在试卷第一面的右下角写好座位号． 3.所有的试题都必须在专用的“答题卡”上作答，选择题用2B铅笔作答，非选择题在指定位置用0.5毫米的黑色笔作答．在试卷或草稿纸上答题无效． 4.如有作图需要，请用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．如果规定收入为正，那么支出负，收入3元记作元，支出5元记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 2. 下列计算正确的是（　　）． A. B. C. D. 3. 古代名著《孙子算经》中有一题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？设有车辆，则根据题意，可列出方程是（ ） A. B. C. D. 4. 杆秤是中国最古老也是现今人们仍然使用的衡量工具，由秤杆、秤砣、秤盘三个部分组成.秤砣、秤杆分别叫做“权”和“衡”，指的是做任何事都要权衡轻重.如图是常见的一种秤砣，则它的主视图是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线的反向延长线交于主光轴上一点P．若，则的度数是（　　） A. 20° B. 30° C. 50° D. 70° 6. 一个不透明的袋子中只有4个黑球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋子中一次摸出3个球，下列事件是必然事件的是( ) A. 3个球都是黑球 B. 3个球都是白球 C. 3个球中有黑球 D. 3个球中有白球 7. 已知点都在反比例函数的图象上．下列结论正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 8. 若从甲、乙、丙、丁、戊五位老师中任选两位一起帮图书馆整理书籍，所需的时间如下表：如果选一个人单独去整理，花时间最少的是 合作方式 甲、乙 乙、丙 丙、丁 丁、戊 戊、甲 所需时间（h） 13 9 10 12 8 A. 甲 B. 戊 C. 丁 D. 丙 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 代数式有意义的条件是______． 10. 2024年3月31日，我市重大城建项目——大运河“十里外滩”综合整治提升项目正式开工建设，预计总投资约82.88亿元，数据82.88亿用科学记数法表示为______． 11. 将甲、乙两组各5个数据绘制成折线统计图（如图），两组数据的平均数都是13，设甲、乙两组数据的方差分别为、，则________（填“”“”或“”）． 12. 化简的结果是______． 13. 若圆锥的底面圆半径是1，母线长是3，则它的侧面展开图的圆心角是__________． 14. 《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水岸，视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么为______米． 15. 如图，在中，，则的度数为___________． 16. 如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以为直径的圆经过点C，D，则的值为__________． 17. 如图，△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若AB＝12，BC＝9，则EF的长是_____． 18. 如图，在菱形中，，，点E为对角线上一动点，，于点F，连接．在点E运动的过程中，长的最小值为 _____． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算或化简： （1）； （2）． 20. 解不等式组：并在数轴上表示出不等式组的解集． 21. 甲，乙两个小区各有户居民，为了解两个小区月份用户使用燃气量情况，小明和小丽分别从中随机抽取户进行调查，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． ．甲小区用气量频数分布直方图如下（数据分成组：，，，，） ．甲小区用气量的数据在这一组的是：，，，，，，，，，，， ．甲，乙两小区用气量的平均数、中位数、众数如下： 小区 平均数 中位数 众数 甲 乙 根据以上信息，回答下列问题： （1）直接写出表中的值为________； （2）在甲小区抽取的用户中，记月份用气量高于他们的平均用气量的户数为．在乙小区抽取的用户中，记月份用气量高于他们的平均用气量的户数为．直接比较，的大小关系为_______； （3）计算估计甲小区中用气量超过立方米的户数． 22. 某市开展“弘扬家风家教，创建文明家庭”系列活动，某校团委积极响应，为宣传活动招募学生宣传员，八年级（1）、（2）班共有六名学生报名，其中八（1）班两名男生、一名女生，八（2）班一名男生、两名女生． （1）现从这六名学生中随机抽取一名学生作为宣传员，抽取的学生是女生的概率是______． （2）现从八年级（1）、（2）班各随机抽取一名学生作为宣传员，请用列表法或画树状图法求抽取的两名学生是一男一女的概率． 23. 某中学为了丰富学生的课外体育活动，购买了篮球和足球．已知篮球的单价是足球的单价的3倍，购买足球共花费750元，购买篮球共花费900元，购买足球的数量比购买篮球的数量多15个．求足球的单价． 24. 如图，已知，点C在射线上，点D，E在射线上，其中，四边形是平行四边形． （1）请只用无刻度的直尺画出菱形，并说明理由． （2）作出（1）中菱形后，若，，求的长． 25. 如图，为的直径，C，D是上不同于A，B的两点，，连接．过点C作，交的延长线于点E，延长，交的延长线于点F． （1）求证：是的切线； （2）当时，求的长． 26. 阅读感悟： 代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性，如下例题： 例：已知实数x、y满足，证明：． 证明：因为且x，y均为正， 所以______，______．（不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变） 所以．（不等式的传递性） 解决问题： （1）请将上面的证明过程填写完整． （2）尝试证明：若，则． 27. 问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张矩形纸片探究折叠的性质在矩形的边上取一点，将沿翻折，使点恰好落在边上点处． 实践探究： （1）如图1，若，则的值为______； （2）如图2，当，时，求的值； 问题解决： （3）如图3，延长，与的角平分线交于点，交于点，当时，求的值． 28. 某公园要在小广场建造一个喷泉景观．在小广场中央处垂直于地面安装一个高为1.25米的花形柱子，安置在柱子顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过的任一平面上抛物线路径如图1所示，为使水流形状较为美观，设计成水流在距的水平距离为1米时达到最大高度，此时离地面2.25米． （1）以点为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，水流到水平距离为米，水流喷出的高度为米，求出在第一象限内的抛物线解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）张师傅正在喷泉景观内维修设备期间，喷水管意外喷水，但是身高1.76米的张师傅却没有被水淋到，此时他离花形柱子的距离为米，求的取值范围； （3）为了美观，在离花形柱子4米处的地面B、C处安装射灯，射灯射出的光线与地面成角，如图3所示，光线交汇点在花形柱子的正上方，且米，求光线与抛物线水流之间的最小垂直距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $