江苏省高一下期末真题必刷易错60题（26个考点专练）-2023-2024学年高一数学下学期考试满分全攻略高频考点+重难点讲练与测试（苏教版2019必修二）

江苏省高一下期末真题必刷易错60题（26个考点专练） 一．两角和与差的三角函数（共2小题） 1．（2022春•衢州期末）已知，则的值为　　 A． B． C． D． 2．（2023春•清远期末）已知，则　 　． 二．三角函数的恒等变换及化简求值（共2小题） 3．（2022春•镇江期末）　　． 4．（2023春•抚顺期末）若函数在，内有且仅有一个最大值点，则的取值范围是 　　． 三．向量数乘和线性运算（共2小题） 5．（2022春•平江县期末）如图，在矩形中，，，分别为，的中点，为中点， 则　　 A． B． C． D． 6．（2021春•广陵区校级期末）设，分别是梯形的对角线与的中点 （1）试用向量证明：； （2）若，求的值． 四．平面向量数量积的性质及其运算（共11小题） 7．（2023春•高邮市期末）已知非零向量，满足，，若的取值范围为，则向量，的夹角的取值范围为　　 A． B． C． D． 8．（2022春•镇江期末）正的边长为1，则　　 A． B． C． D． 9．（2021春•建邺区校级期末）如图，在任意四边形中，其中，，，分别是，的中点，，分别是，的中点，求　　 A． B． C． D． 10．（2021春•江苏期末）设，为单位向量，满足，，，设的夹角为，则的可能取值为　　 A． B． C． D． 11．（2021春•南通期末）如图，正方形的中心与圆的圆心重合，是圆上的动点，则下列叙述不正确的是　　 A．是定值 B．是定值 C．是定值 D．是定值 12．（2021春•鼓楼区校级期末）已知是边长为2的正三角形，则的值为　　 A．2 B． C． D． 13．（2022春•江宁区期末）已知点为所在平面内一点，且，则下列选项正确的有　　 A． B．直线过边的中点 C． D．若，则 14．（2023春•高邮市期末）在平行四边形中，，，，动点、分别在线段和上，且，，，． （1）若，且，求的值； （2）若，求的取值范围． 15．（2022春•宿迁期末）已知向量，，． （1）求函数的最小正周期； （2）已知，均为锐角，，求的值． 16．（2022春•宿迁期末）在中，角，，的对边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）若，， ①的角平分线交于，求线段的长； ②若是线段上的点，是线段上的点，满足，，求的取值范围． 17．（2022春•溧阳市期末）已知向量，． （1）当时，求的值； （2）设函数，当，时，求的值域． 五．平面向量的基本定理（共2小题） 18．（2021春•南京期末）共和国勋章，是中华人民共和国最高荣誉勋章，授予在中国特色社会主义建设和保卫国家中作出巨大贡献、建立卓越功勋的杰出人士年8月11日，国家主席习近平签署主席令，授予钟南山“共和国勋章”．某市为表彰在抗疫中表现突出的个人，制作的荣誉勋章的挂坠结构示意图如图，为图中两个同心圆的圆心，三角形中，，大圆半径，小圆半径，记为三角形与三角形的面积之和，其中，，，当取到最大值时，则下列说法正确的是　　 A．的最大值是 B．的最大值是 C． D． 19．（2021春•扬州期末）设，，，是两两不同的四个点，若，，且，则下列说法正确的有　　 A．点可能是线段的中点 B．点可能是线段的中点 C．点，不可能同时在线段上 D．点，可能同时在线段的延长线上 六．正弦定理（共3小题） 20．（2021春•扬中市校级期末）在中，内角，，所对的边分别为，，，角为锐角，若，则的最小值为　　 A． B． C． D． 21．（2021春•秦淮区校级期末）对于，下列说法中正确的是　　 A．若，则 B．若，则是直角三角形 C．若，则是等腰三角形 D．若，则是锐角三角形 22．（2021春•盐城期末）在中，角，，的对边分别是，，，若，则　　． 七．余弦定理（共2小题） 23．（2021春•鼓楼区校级期末）钝角三角形的面积是，，，则等于　　 A．1 B．2 C． D．5 24．（2023春•江汉区校级期末）已知锐角中，，则的取值范围 　　． 八．三角形中的几何计算（共4小题） 25．（2021春•清江浦区校级期末）如图，在坡度一定的山坡处测得山顶上一建筑物的顶端对于山坡的斜度为，向山顶前进到达处，在处测得对于山坡的斜度为．若，山坡对于地平面的坡度为，则等于　　 A． B． C． D． 26．（2022春•连云港期末）在平面四边形中，，，，则　　 A．当时，，，，四点共圆 B．当，，，四点共圆时， C．当时，四边形的面积为3 D．四边形面积的最大值为 27．（2022春•泰州期末）如图所示，该图由三个全等的、、构成，其中和都为等边三角形．若，，则　　． 28．（2021春•建邺区校级期末）如图所示，某市有一块正三角形状空地，其中测得千米．当地政府计划将这块空地改造成旅游景点，拟在中间挖一个人工湖，其中点在边上，点在边上，点在边上，，，剩余部分需做绿化，设． （1）若，求的长； （2）当变化时，的面积是否有最小值？若有则求出最小值，若无请说明理由． 九．解三角形（共4小题） 29．（2022春•泰州期末）在中，角、、所对的边分别为、、．若，，，则下列说法正确的有　　 A． B． C． D． 30．（2021春•无锡期末）立德中学数学兴趣小组设计了一个方案来测量学校操场旗杆顶端距离地面的高度，具体步骤如下： ①设旗杆与地面交于点， ②在点的正西方点测得旗杆顶端的仰角为， ③在点南偏东的点处测得点的仰角为， ④测得，两点处的距离为米． 则该旗杆顶端距离地面的高度为 　　米． 31．（2021春•润州区校级期末）如图所示，有一段河流，河的一侧是一段笔直的河岸，河岸边有一烟囱（不计离河岸的距离），河的另一侧是以为圆心，半径为12米的扇形区域，且的连线恰好与河岸垂直，设与圆弧的交点为．经测量，扇形区域和河岸处于同一水平面，在点，点和点处测得烟囱的仰角分别为，和． （1）求烟囱的高度； （2）如果要在间修一条直路，求的长． 32．（2021春•锡山区校级期末）夜晚，在侨中栋5楼观赏完美大厦的霓虹灯是一件很惬意的事．完美大厦主楼目前是我市中心城区最高的地标性建筑．某学习小组要完成两个实习作业：验证百度地图测距的正确性及测算完美大厦主楼的高度．图（1），博爱路沿线的水平路面上有两点，，其中指向正西方向．首先利用百度地图测距功能测出长度为，接着在南外环沿线选定水平路面上可直接测距的，两点，测得，，，，学习小组根据上述条件计算出长度，并将其与的实际长度进行比较，若误差介于米米之间，则认为百度地图测距是准确的． （1）通过计算说明百度地图测距是否准确？ （2）如图（2），小组在处测得完美大厦整栋主楼在西偏北方向上，在处测得楼顶在西偏北方向上，且仰角；通过计算得，，，若百度地图测出的是准确的，请根据以上数据测算完美大厦主楼的高度（精确到1米）． 一十．虚数单位i、复数（共2小题） 33．（2021春•清江浦区校级期末）若是纯虚数，则的值为 A． B． C． D． 34．（2023春•安化县期末）当复数为实数时，实数　 　． 一十一．复数的代数表示法及其几何意义（共2小题） 35．（2021春•无锡期末）若复数（其中为虚数单位）在复平面内对应的点位于第四象限，则实数的取值范围为 　　． 36．（2022春•丰台区期末）在复平面内，是坐标原点，向量，对应的复数分别为，． （Ⅰ）求的最小值； （Ⅱ）若，求实数的值； （Ⅲ）若复数对应的点在第一象限，求实数的取值范围． 一十二．复数的运算（共2小题） 37．（2021春•泰州期末）下列说法正确的有　　 A．设，是两个虚数，若和均为实数，则，是共轭复数 B．若，则与互为共轭复数 C．设，是两个虚数，若与是共轭复数，则和均是实数 D．若，则与互为共轭复数 38．（2023春•辛集市期末）已知复数，，是虚数单位）． （1）若复数在复平面上对应点落在第一象限，求实数的取值范围； （Ⅱ）若虚数是实系数一元二次方程的根，求实数值． 一十三．共轭复数（共2小题） 39．（2021春•鼓楼区校级期末）已知复数为虚数单位），为的共轭复数，若复数，则下列结论正确的有　　 A．在复平面内对应的点位于第二象限 B． C．的实数部分为 D．的虚部为 40．（2023春•伊州区校级期末）已知复数满足． （1）求复数的共轭复数； （2）若，且复数对应向量的模不大于复数所对应向量的模，求实数的取值范围． 一十四．旋转体（圆柱、圆锥、圆台）（共2小题） 41． （2021春•连云港期末）已知圆台下底面的半径为，高为，母线长为，则圆台的体积为 　　． 42．（2021春•鼓楼区校级期末）一个组合体由上下两部分组成，上部是一个半球，下部是一个圆柱，半球的底面与圆柱的上底面重合．若该组合体的体积为定值，则当圆柱底面半径　　时，该组合体的表面积最小． 一十五．棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积（共2小题） 43．（2021春•秦淮区校级期末）将底面直径为8，高为的圆锥体石块打磨成一个圆柱，则该圆柱侧面积的最大值为　　． 44．（2023春•江油市校级期末）已知正四棱锥的底面边长是6，侧棱长为5，求该正四棱锥的表面积． 一十六．棱柱、棱锥、棱台的体积（共2小题） 45．（2021春•无锡期末）已知一个半径为的半球，其体积为，一个底面半径和高都等于的圆柱，挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥后，所得几何体的体积为，下列说法正确的是　　 A． B． C． D．不确定 46．（2021春•溧阳市期末）已知在正三棱柱中，，是棱的中点． （1）求证：平面平面； （2）设，求三棱锥的体积； （3）若把平面与平面所成的锐二面角为时的正三棱柱称为“黄金棱柱”，请判断此三棱柱是否为“黄金棱柱”，并说明理由． 一十七．平面的基本性质及推论（共2小题） 47．（2021春•沛县校级期末）设，为不重合的平面，，为不重合的直线，则下列命题正确的是　　 A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 48．（2023春•金安区校级期末）如图，在正方体，对角线与平面交于点．、交于点、为的中点，为的中点， 求证：（1）、、三点共线 （2）、、、四点共面 （3）、、三线共点． 一十八．直线与平面平行（共2小题） 49．（2023春•揭阳期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，分别为，，的中点，点在棱上，且平面，则　　． 50．（2023春•南京期末）如图，已知斜三棱柱中，平面平面，与平面所成角的正切值为，所有侧棱与底面边长均为2，是边中点． （1）求证：平面； （2）求异面直线与所成的角； （3）是边一点，且，若，求的值． 一十九．直线与平面垂直（共2小题） 51．（2023春•新吴区校级期末）如图，直三棱柱 中，为的中点，，平面平面． （1）求证：平面； （2）求证：平面． 52．（2023春•天宁区校级期末）如图，在四棱锥中，四边形为平行四边形，，，为上一点，且平面． （1）求证：； （2）如果点为线段的中点，求证：平面． 二十．平面与平面之间的位置关系（共1小题） 53．（2022春•苏州期末）设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，且，，　　 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 二十一．相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式（共1小题） 54．（2021春•秦淮区校级期末）如图，用、、三类不同的元件连接成一个系统．当正常工作且、至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知、、正常工作的概率依次是0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为　　 A．0.960 B．0.864 C．0.720 D．0.576 二十二．分层抽样方法（共1小题） 55．（2021春•徐州期末）某市教育局对全市高三年级的学生身高进行抽样调查，随机抽取了200名学生，他们的身高都处在，，，，五个层次内，根据抽样结果得到统计图表，则样本中　　 A．女生人数多于男生人数 B．层次男生人数多于女生人数 C．层次男生人数为24人 D．层次人数最少 二十三．频率分布直方图（共2小题） 56．（2021春•南京期末）某校从参加某次知识竞赛的同学中，选取50名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成六组：第1组，，第2组，，第3组，，第4组，，第5组，，第6组，，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题： （1）求分数在，内的频率，并补全这个频率分布直方图； （2）从频率分布直方图中，利用组中值估计本次考试成绩的平均数； （3）已知学生成绩评定等级有优秀、良好、一般三个等级，其中成绩不小于90分时为优秀等级，若从第5组和第6组两组学生中，随机抽取2人，求所抽取的2人中至少一人成绩优秀的概率． 57．（2021春•盐城期末）某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为，，，，，，，，． （1）求频率分布图中的值； （2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率； （3）从评分在，的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在，的概率． 二十四．众数、中位数、平均数（共1小题） 58．（2021春•海陵区校级期末）在一组样本数据中，1，3，5，7出现的频率分别为，，，，且，若这组数据的中位数为6，则　　 A．0.5 B．0.4 C．0.2 D．0.1 二十五．极差、方差与标准差（共1小题） 59．（2021春•南京期末）已知样本9，10，11，，的平均数是10，方差是2，则　　． 二十六．百分位数（共1小题） 60．（2022春•宿迁期末）某校从高一新生中随机抽取了一个容量为20的身高样本，数据从小到大排序如下（单位： 152，155，158，164，164，165，165，165，166，167，168，168，169，170，170，170，171，，174，175．若样本数据的第90百分位数是173，则的值为 　　． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 江苏省高一下期末真题必刷易错60题（26个考点专练） 一．两角和与差的三角函数（共2小题） 1．（2022春•衢州期末）已知，则的值为　　 A． B． C． D． 【分析】先根据已知求出，然后利用两角和的正切公式求解． 【解答】解：，所以， 所以． 故选：． 【点评】本题考查同角三角函数基本关系式和两角和的正切公式，属于基础题． 2．（2023春•清远期末）已知，则　　． 【分析】根据两角和差的正切公式，进行化简求解即可 【解答】解：由得， 则， 故答案为：． 【点评】本题主要考查三角函数函数值的化简和角的求解，根据两角和差的正切公式进行化简是解决本题的关键． 二．三角函数的恒等变换及化简求值（共2小题） 3．（2022春•镇江期末）　　． 【分析】利用二倍角公式对原式整理，利用的正弦值求得答案． 【解答】解： 故答案为： 【点评】本题主要考查了二倍角公式的化简求值．属基础题． 4．（2023春•抚顺期末）若函数在，内有且仅有一个最大值点，则的取值范围是 　，　． 【分析】利用二倍角公式化简，再结合正弦函数的图象构建的不等式． 【解答】解：． 函数在，内有且仅有一个最大值点， ，解得， 故的取值范围为，． 故答案为：，． 【点评】本题结合三角恒等变换和三角函数的图象及性质考查，考查数形结合思想，属于中档题． 三．向量数乘和线性运算（共2小题） 5．（2022春•平江县期末）如图，在矩形中，，，分别为，的中点，为中点， 则　　 A． B． C． D． 【分析】建立平面直角坐标系，利用平面向量的坐标表示，列出方程组，即可求出中的与的值． 【解答】解：建立平面直角坐标系，如图所示； 矩形中，，，分别为，的中点，为中点， 设，则，，， ，； ，，，， 设， 则，，， 即， 解得，； ． 故选：． 【点评】本题考查了平面向量的线性表示与运算问题，也考查了数形结合的解题思想，是基础题目． 6．（2021春•广陵区校级期末）设，分别是梯形的对角线与的中点 （1）试用向量证明：； （2）若，求的值． 【分析】（1）用向量表示，，得出向量与、的关系，再根据向量与共线，得出向量与共线即可； （2）根据向量与反向，且得出向量与的数量关系，即得的值． 【解答】解：（1）为中点，， 又为中点，； ， 又向量与共线， 设向量， 则， ①， 又梯形中，， ，即； （2）向量与反向，且； 所以，即代入①式， 得， ． 【点评】本题考查了平面向量的线性运算的应用问题，也考查了用向量法证明线线平行的应用问题，是综合性题目． 四．平面向量数量积的性质及其运算（共11小题） 7．（2023春•高邮市期末）已知非零向量，满足，，若的取值范围为，则向量，的夹角的取值范围为　　 A． B． C． D． 【分析】根据得出，再根据得出，利用的取值范围求出，从而求出的取值范围，即可得出的取值范围． 【解答】解：因为，所以，即，所以； 又因为，所以， 所以； 又因为的取值范围是， 所以，解得； 又因为，所以，即； 又因为的最小值为，最大值为， 所以； 又因为，，所以， 即向量，的夹角的取值范围是，． 故选：． 【点评】本题考查了平面向量的数量积应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题． 8．（2022春•镇江期末）正的边长为1，则　　 A． B． C． D． 【分析】根据数量积的定义，直接计算即可． 【解答】解：因为正的边长为1，故， 则． 故选：． 【点评】本题考查平面向量数量积的定义，属于基础题． 9．（2021春•建邺区校级期末）如图，在任意四边形中，其中，，，分别是，的中点，，分别是，的中点，求　　 A． B． C． D． 【分析】根据已知条件构造一个特殊的直角梯形，然后利用坐标法求解． 【解答】解：如图，具题意构造直角梯形，设，，令，，， ，分别是，的中点，，分别是，的中点，如图建立平面直角坐标系， 则，，，，所以，，，， 所以，，所以． 故选：． 【点评】本题考查平面向量的数量积的运算，同时考查坐标法在几何问题中的应用，属于中档题． 10．（2021春•江苏期末）设，为单位向量，满足，，，设的夹角为，则的可能取值为　　 A． B． C． D． 【分析】可设，然后根据已知条件平方，求出的范围，然后利用夹角公式，可将表示为的函数，求出值域即可求解． 【解答】解：设，由两边平方得， 整理得， 又，，故， 同理得，且， 故， 故，令，则， 因为，所以，所以， 所以，即的取值范围为． 故选：． 【点评】本题考查向量数量积的性质、运算以及夹角公式，对运算要求较高，属于中档题． 11．（2021春•南通期末）如图，正方形的中心与圆的圆心重合，是圆上的动点，则下列叙述不正确的是　　 A．是定值 B．是定值 C．是定值 D．是定值 【分析】如图：建立平面直角坐标系，并设正方形边长为，圆的半径为，且，然后设，正方形的四个顶点坐标易给，则将坐标分别代入四个选项判断即可． 【解答】解：如图建立平面直角坐标系，并设正方形边长为，圆的半径为，且， 然后设，，，，． ，，，， ，，，，，． ，，，． 对于，原式（定值），故结论成立； 对于，原式（定值），故结论成立； 对于，原式（定值），故结论成立． 对于，取时，原式，再取时，原式． 显然两式不相等．故结论不成立． 故选：． 【点评】本题考查平面向量的综合应用，建系设点可以使问题便于思考，本题计算量太大，要注意计算的准确性．属于中档题． 12．（2021春•鼓楼区校级期末）已知是边长为2的正三角形，则的值为　　 A．2 B． C． D． 【分析】运用向量的数量积的定义，结合正三角形的定义，注意向量的夹角为，计算即可得到所求值． 【解答】解：由于是边长为2的正三角形， 则 ． 故选：． 【点评】本题考查向量的数量积的定义，注意向量夹角的定义是解题的关键． 13．（2022春•江宁区期末）已知点为所在平面内一点，且，则下列选项正确的有　　 A． B．直线过边的中点 C． D．若，则 【分析】利用向量加法公式、向量数量积公式直接求解． 【解答】解：对于，，， ，故正确； 对于，若直线必过边的中点，则与矛盾，故错误； 对于，由奔驰定理得：， ，故正确； 对于，，， ，， ，故正确． 故选：． 【点评】本题考查命题真假的判断，考查向量加法公式、向量数量积公式等基础知识，考查运算求解能力等基础知识，是中档题，也是易错题． 14．（2023春•高邮市期末）在平行四边形中，，，，动点、分别在线段和上，且，，，． （1）若，且，求的值； （2）若，求的取值范围． 【分析】（1）以为坐标原点建立平面直角坐标系，写出涉及到的向量坐标，列出关于和的方程组，求解即可； （2）易得，，再结合平面向量数量积的坐标运算法则以及二次函数的图象与性质，即可得解． 【解答】解：以为坐标原点，所在直线为轴，过点且与垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系， 则，，，， （1）当时，，分别为和的中点， 所以，， 所以，，， 由，得，解得， 所以； （2）由，，可得，， 所以，， 因为， 所以，是开口向下，对称轴为的二次函数， 所以当时，取得最大值6；当时，取得最小值， 故的取值范围为，． 【点评】本题考查平面向量在几何中的应用，熟练掌握平面向量的坐标运算法则是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． 15．（2022春•宿迁期末）已知向量，，． （1）求函数的最小正周期； （2）已知，均为锐角，，求的值． 【分析】（1）利用数量积求出，并化简为的形式，利用求出最小正周期； （2）利用，，求出，的值，利用三角恒等变换求值． 【解答】解：（1） ， 故，故最小值正周期为． （2）由得：，即， 又，为锐角，所以， 故，， 所以 ． 【点评】本题考查三角恒等变换以及三角函数的化简求值问题，属于中档题． 16．（2022春•宿迁期末）在中，角，，的对边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）若，， ①的角平分线交于，求线段的长； ②若是线段上的点，是线段上的点，满足，，求的取值范围． 【分析】（1）根据三角形内角关系以及倍角公式，化简求角； （2）①利用面积公式，结合，即可列出关于的方程，解之即可； ②结合平面向量的线性运算法则，将，用基底向量，表示出来，最终将结果化为的函数求值域． 【解答】解：（1）由得： ， 即， 所以，解得，或（舍， 由，故； （2）①由的角平分线交于，故， 又因为，， 所以，，， 结合得：，解得； ②由，，所以，，， 又， 所以，． 故的取值范围为，． 【点评】本题考查平面向量数量积的计算和解三角形问题，属于中档题． 17．（2022春•溧阳市期末）已知向量，． （1）当时，求的值； （2）设函数，当，时，求的值域． 【分析】（1）运用向量的关系的坐标表示和同角的商数关系及两角差的正切公式，计算即可得到； （2）运用向量的数量积的坐标表示和二倍角公式及两角和的正弦公式，化简，再由正弦函数的图象和性质，即可得到的值域． 【解答】解：（1）即有，即， ； （2） ， 当，时，，， 即， 则， 则的值域为． 【点评】本题考查平面向量的共线和数量积的坐标表示，考查三角函数的化简和求值，考查正弦函数的图象和性质，考查运算能力，属于中档题． 五．平面向量的基本定理（共2小题） 18．（2021春•南京期末）共和国勋章，是中华人民共和国最高荣誉勋章，授予在中国特色社会主义建设和保卫国家中作出巨大贡献、建立卓越功勋的杰出人士年8月11日，国家主席习近平签署主席令，授予钟南山“共和国勋章”．某市为表彰在抗疫中表现突出的个人，制作的荣誉勋章的挂坠结构示意图如图，为图中两个同心圆的圆心，三角形中，，大圆半径，小圆半径，记为三角形与三角形的面积之和，其中，，，当取到最大值时，则下列说法正确的是　　 A．的最大值是 B．的最大值是 C． D． 【分析】根据已知条件可以得出，所以它们面积相等，所以要求，只需求一个三角形的面积，根据的范围，可以表示出或者的范围，即可求出或者的范围，从而求出的范围，得到最大值． 易得是的垂直平分线，延长与交于，可求出，的长度，从而得到与的比例关系，而，从而求出和的值． 【解答】解：延长，交线段于点； 设，则，，， 则 ， 故当时，有最大值为， 故错误，正确； 当时，， 则， 又，， ，，； 故错误，正确． 故选：． 【点评】本题考查了三角形的面积公式，向量的表示，以及平面几何的基础知识，属于中档题． 19．（2021春•扬州期末）设，，，是两两不同的四个点，若，，且，则下列说法正确的有　　 A．点可能是线段的中点 B．点可能是线段的中点 C．点，不可能同时在线段上 D．点，可能同时在线段的延长线上 【分析】每个选项结合进行分析，通过，是否有解，可解决此题． 【解答】解：若点可能是线段的中点，则，代入得，无解，错； 若点是线段的中点，，代入得，解得，有解，对． 当时满足，此时，都与重合，与已知矛盾，对； 若点，同时在线段延长线上，则，，则，这与矛盾，错． 故选：． 【点评】本题考查平面向量基本定理，考查数学抽象能力及推理能力，属于中档题． 六．正弦定理（共3小题） 20．（2021春•扬中市校级期末）在中，内角，，所对的边分别为，，，角为锐角，若，则的最小值为　　 A． B． C． D． 【分析】由正弦定理和三角恒等变换求出，再用表示，从而求得的值． 【解答】解：中，，由正弦定理得； 又， 所以， 整理得， 即，且； 又， 所以 ， 当且仅当时取“”； 所以的最小值为． 故选：． 【点评】本题考查了三角函数求值问题，也考查了三角恒等变换和正弦定理的应用问题，是中档题． 21．（2021春•秦淮区校级期末）对于，下列说法中正确的是　　 A．若，则 B．若，则是直角三角形 C．若，则是等腰三角形 D．若，则是锐角三角形 【分析】对于，由正弦定理和三角形的边角关系，可判断； 对于，根据三角函数的诱导公式进行化简判断正误． 对于，根据正弦定理、三角函数的倍角公式进行化简判断即可； 对于，根据正弦定理、和差公式、等腰三角形的定义判断即可； 【解答】解：对于，在中，， 即有，为的外接圆的半径），即，则， 故正确； 对于，若，则， ，．即或， 不一定为直角三角形， 故错误， 对于，，则，则， ， 或， 或， 是等腰三角形或是直角三角形， 故错误； 对于，， ， 又，，是的内角， 内角、、都是锐角， 故正确； 综上，所有正确命题为． 故选：． 【点评】本题考查了解三角形、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 22．（2021春•盐城期末）在中，角，，的对边分别是，，，若，则　9　． 【分析】将已知条件切化弦，然后结合两角和与差的正弦公式、正余弦定理，将等量关系转化为，，间的关系，则问题可解． 【解答】解：可化为： ， 故原式化为， 由正余弦定理得：，化简得． 故答案为：9． 【点评】本题考查两角和与差的正弦公式、切化弦公式，以及正余弦定理等，属于中档题． 七．余弦定理（共2小题） 23．（2021春•鼓楼区校级期末）钝角三角形的面积是，，，则等于　　 A．1 B．2 C． D．5 【分析】由三角形的面积公式求得角，再由余弦定理求得的值． 【解答】解：由题意，钝角的面积是 ， ， 或（不合题意，舍去）； ， 由余弦定理得：， 解得的值为． 故选：． 【点评】本题考查了三角形的面积公式和余弦定理的应用问题，是基础题． 24．（2023春•江汉区校级期末）已知锐角中，，则的取值范围 　　． 【分析】利用正弦定理化，再利用三角恒等变换与三角形内角和定理得出、和的关系，求出、的取值范围，再利用正弦定理和三角恒等变换即可求得的取值范围． 【解答】解：锐角中，， 由正弦定理得， 又因为 ， 所以， 当时，因为，所以， 因为是锐角三角形，所以，， 所以不成立； 当时，因为，所以， 因为是锐角三角形，所以，， 所以，所以，， 所以，， 由正弦定理得， ， 又因为，，所以，， 所以， 所以的取值范围是． 故答案为：． 【点评】本题考查了正弦定理以及三角恒等变换与三角形内角和的应用问题，也考查了运算求解能力与转化思想，是难题． 八．三角形中的几何计算（共4小题） 25．（2021春•清江浦区校级期末）如图，在坡度一定的山坡处测得山顶上一建筑物的顶端对于山坡的斜度为，向山顶前进到达处，在处测得对于山坡的斜度为．若，山坡对于地平面的坡度为，则等于　　 A． B． C． D． 【分析】先求出，在中由正弦定理求出，在中由正弦定理求出，再由求得的值． 【解答】解：因为，所以， 在中，由正弦定理得， 解得， 在中，由正弦定理得， 解得， 即， 解得． 故选：． 【点评】本题考查了正弦定理在实际问题中的应用问题，由实际问题恰当构建数学模型是解题的关键，是基础题． 26．（2022春•连云港期末）在平面四边形中，，，，则　　 A．当时，，，，四点共圆 B．当，，，四点共圆时， C．当时，四边形的面积为3 D．四边形面积的最大值为 【分析】由圆的内接四边形对角互补结合余弦定理判断，选项，设，结合已知，以及余弦定理，求出，，然后对，进行判断． 【解答】解：如图，平面四边形中，，，， 若，则在中，，故， 故在中，，结合，故，，故，，，四点共圆， 此时，， 所以，所以，即， 故正确，错误； 由，设，则，所以， 代入数据整理得，即①； 再令②； ①②得：，故，，故正确； 由题意③， 又，代入数据整理得④； ③④并整理得：，则当时，（取得最大值）， 解得，故正确． 故选：． 【点评】本题以四边形为载体，考查解三角形问题的解题思路，同时考查了学生的逻辑推理能力、运算能力等，属于难题． 27．（2022春•泰州期末）如图所示，该图由三个全等的、、构成，其中和都为等边三角形．若，，则　　． 【分析】由已知容易求出中三个角，然后结合，且，利用正弦定理表示出，，通过列方程解决问题． 【解答】解：由，且和都为等边三角形得： ，故，在中，，，， 由正弦定理得：，因为， 所以，可得，， 故， 故． 故答案为：． 【点评】本题考查三角形中的几何计算问题，突出考查了正弦定理、方程思想的应用，属于中档题． 28．（2021春•建邺区校级期末）如图所示，某市有一块正三角形状空地，其中测得千米．当地政府计划将这块空地改造成旅游景点，拟在中间挖一个人工湖，其中点在边上，点在边上，点在边上，，，剩余部分需做绿化，设． （1）若，求的长； （2）当变化时，的面积是否有最小值？若有则求出最小值，若无请说明理由． 【分析】（1）设千米，时为等边三角形，根据中勾股定理求出，判断是△，求出，再列方程求出的值； （2）中利用正弦定理求出，中利用正弦定理求出，利用列方程求出，根据三角形的面积公式求出取最小值时的面积取得最小值． 【解答】解：（1）设千米，当时，为等边三角形，所以， 由，，得， 中，，，所以，所以， 所以，解得， 所以千米； （2）中，，由正弦定理得， 解得； 中，，由正弦定理得， 解得； 由，得， 即， 解得； 由， 所以当取得最小值时， 的面积取得最小值为（平方千米）． 【点评】本题考查了解三角形的应用问题，也考查了运算求解能力与方程、函数思想，是中档题． 九．解三角形（共4小题） 29．（2022春•泰州期末）在中，角、、所对的边分别为、、．若，，，则下列说法正确的有　　 A． B． C． D． 【分析】中，利用辅助角公式与三角形的内角和公式，即可求出； 中，利用三角形内角和定理求出，再由正弦定理求出和的值； 中，由余弦定理求出的值，再确定的大小即可； 中，利用三角形面积公式计算即可． 【解答】解：对于，因为，所以， 因为、、为三角形的内角，所以，，所以， 所以，即，选项正确； 对于，当时，， 由正弦定理得，，即， 所以，即， 因为，所以，所以，选项错误； 对于，由余弦定理得，，即， 整理得，，解得或， 因为，所以 ， 因为，即，所以，所以，选项错误； 对于，的面积为，选项正确． 故选：． 【点评】本题主要考查了正弦、余弦定理，以及三角恒等变换在解三角形中的应用问题，也考查了转化思想，是中档题． 30．（2021春•无锡期末）立德中学数学兴趣小组设计了一个方案来测量学校操场旗杆顶端距离地面的高度，具体步骤如下： ①设旗杆与地面交于点， ②在点的正西方点测得旗杆顶端的仰角为， ③在点南偏东的点处测得点的仰角为， ④测得，两点处的距离为米． 则该旗杆顶端距离地面的高度为 　12　米． 【分析】由题意做出图形，然后设出旗杆的高度为，利用直角三角形结合三角函数的定义，表示出底面三角形的两边，最后利用余弦定理列出关于的方程求解． 【解答】解：由题意做出图形如图：平面，，， 故，为直角三角形， 设，则在中，，在中，，所以， 所以在中，由余弦定理得：， 即，解得． 故答案为：12米． 【点评】本题考查解三角形的知识方法在实际问题中的应用，属于中档题． 31．（2021春•润州区校级期末）如图所示，有一段河流，河的一侧是一段笔直的河岸，河岸边有一烟囱（不计离河岸的距离），河的另一侧是以为圆心，半径为12米的扇形区域，且的连线恰好与河岸垂直，设与圆弧的交点为．经测量，扇形区域和河岸处于同一水平面，在点，点和点处测得烟囱的仰角分别为，和． （1）求烟囱的高度； （2）如果要在间修一条直路，求的长． 【分析】（1）设的高度为，利用直角三角形的边角关系求出、、，列方程求出的值． （2）利用余弦定理即可求出和的值． 【解答】解：（1）设的高度为，在中， 因为，所以． 在中，因为，， 所以，． 由题意得，解得． 所以的高为米． （2）在中，， 所以在中，， 解得， 所以的长为米． 【点评】本题考查了解三角形的应用问题，也考查了运算求解能力与思维推理能力，是中档题． 32．（2021春•锡山区校级期末）夜晚，在侨中栋5楼观赏完美大厦的霓虹灯是一件很惬意的事．完美大厦主楼目前是我市中心城区最高的地标性建筑．某学习小组要完成两个实习作业：验证百度地图测距的正确性及测算完美大厦主楼的高度．图（1），博爱路沿线的水平路面上有两点，，其中指向正西方向．首先利用百度地图测距功能测出长度为，接着在南外环沿线选定水平路面上可直接测距的，两点，测得，，，，学习小组根据上述条件计算出长度，并将其与的实际长度进行比较，若误差介于米米之间，则认为百度地图测距是准确的． （1）通过计算说明百度地图测距是否准确？ （2）如图（2），小组在处测得完美大厦整栋主楼在西偏北方向上，在处测得楼顶在西偏北方向上，且仰角；通过计算得，，，若百度地图测出的是准确的，请根据以上数据测算完美大厦主楼的高度（精确到1米）． 【分析】（1）设，利用等腰求出，求出，再利用正弦定理求得，余弦定理求得，求出的值，即可判断百度地图测距是否准确． （2）由题意，利用余弦定理求出和，列方程求出、，再计算的值即可． 【解答】解：（1）设，所以等腰中，； 在中，，，，可得， 由正弦定理得，解得； 在中，由余弦定理得； 因为，所以， 又因为，所以百度地图测距是准确的． （2）由已知，在中，， 设，则，由余弦定理得， ， ， 且， 所以，所以，解得， 所以，； 在中，， 所以， 即测得完美大厦主楼的高度约为． 【点评】本题考查了解三角形的应用问题，也考查了逻辑思维能力和运算求解能力，是中档题． 一十．虚数单位i、复数（共2小题） 33．（2021春•清江浦区校级期末）若是纯虚数，则的值为 A． B． C． D． 【分析】复数是纯虚数，所以实部为0，虚部不为0，解不等式组，求出的值． 【解答】解：由题意，得， ，． 故选：． 【点评】本题考查复数的基本概念，二倍角的正弦，考查计算能力，是基础题． 34．（2023春•安化县期末）当复数为实数时，实数　3　． 【分析】利用复数的虚部为0，实部有意义，求解即可． 【解答】解：复数为实数时， 可得，解得或（舍去） 故答案为：3． 【点评】本题考查复数的基本概念，是基础题，注意实部有意义是易错点． 一十一．复数的代数表示法及其几何意义（共2小题） 35．（2021春•无锡期末）若复数（其中为虚数单位）在复平面内对应的点位于第四象限，则实数的取值范围为 　　． 【分析】依题意，复数的实部大于0，虚部小于0，求解即可． 【解答】解：复数（其中为虚数单位）在复平面内对应的点位于第四象限， 则 故答案为： 【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题． 36．（2022春•丰台区期末）在复平面内，是坐标原点，向量，对应的复数分别为，． （Ⅰ）求的最小值； （Ⅱ）若，求实数的值； （Ⅲ）若复数对应的点在第一象限，求实数的取值范围． 【分析】（Ⅰ）利用复数的模长公式计算，利用二次函数的性质求出最小值； （Ⅱ）写出、的坐标表示，利用时列方程求出的值； （Ⅲ）化简，根据对应的点在第一象限列不等式组求出的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）因为，，所以， 当时，取得最小值为4； （Ⅱ）因为，， 若，则， 解得， 所以实数的值为； （Ⅲ）因为， 因为对应的点在第一象限， 所以， 解得， 所以实数的取值范围是． 【点评】本题考查了复数的定义与运算问题，也考查了复数与向量的应用问题，是基础题． 一十二．复数的运算（共2小题） 37．（2021春•泰州期末）下列说法正确的有　　 A．设，是两个虚数，若和均为实数，则，是共轭复数 B．若，则与互为共轭复数 C．设，是两个虚数，若与是共轭复数，则和均是实数 D．若，则与互为共轭复数 【分析】对于选项：设，，，，，，由题意可得，，，，从而判断； 对于选项：易知，从而判断； 对于选项：设，则，，，，从而判断； 对于选项：取，，从而判断． 【解答】解：对于选项：设，，，，，， 则，，，，故，， 故，是共轭复数，故正确； 对于选项，，又与互为共轭复数，与互为共轭复数，故正确； 对于选项：设，则，，，， 则，，故正确； 对于选项：设，，则，但与不互为共轭复数，故错误； 故选：． 【点评】本题考查了复数的运算及复数的分类应用，同时考查了待定系数法的应用，属于基础题． 38．（2023春•辛集市期末）已知复数，，是虚数单位）． （1）若复数在复平面上对应点落在第一象限，求实数的取值范围； （Ⅱ）若虚数是实系数一元二次方程的根，求实数值． 【分析】（1）由复数对应的点在第一象限得到实部大于0，虚部大于0，解不等式组即可； （Ⅱ）利用是实系数一元二次方程的根，得到另一个根是复数的共轭复数，利用根与系数的关系得到和． 【解答】解：Ⅰ由已知得到，因为在复平面上对应点落在第一象限，所以，解得，所以； （Ⅱ）因为虚数是实系数一元二次方程的根，所以是方程的另一个根，所以，所以， 所以，， 所以，所以． 【点评】本题考查了复数的几何意义以及实系数的一元二次方程由虚数根时，根互为共轭复数的运用． 一十三．共轭复数（共2小题） 39．（2021春•鼓楼区校级期末）已知复数为虚数单位），为的共轭复数，若复数，则下列结论正确的有　　 A．在复平面内对应的点位于第二象限 B． C．的实数部分为 D．的虚部为 【分析】先根据条件求出；再结合其定义以及几何意义即可求得答案． 【解答】解：因为复数为虚数单位），为的共轭复数， 则复数； 故对应的点为，； ； 且的实部为：，虚部为：； 故选：． 【点评】本题考查了复数的实部与虚部的简单应用，复数的代数表示法及其几何意义，是中档题． 40．（2023春•伊州区校级期末）已知复数满足． （1）求复数的共轭复数； （2）若，且复数对应向量的模不大于复数所对应向量的模，求实数的取值范围． 【分析】（1）根据复数的代数形式的运算法则，求出复数，再求的共轭复数； （2）求出复数、对应的向量、，利用列出不等式求出的取值范围． 【解答】解：（1）复数， 复数的共轭复数为； （2）， 复数对应向量为； 此时， 又复数对应的向量， ； ， ， 即， 解得实数的取值范围是． 【点评】本题考查了复数的代数运算与平面向量以及不等式的应用问题，是综合题． 一十四．旋转体（圆柱、圆锥、圆台）（共2小题） 41．（2021春•连云港期末）已知圆台下底面的半径为，高为，母线长为，则圆台的体积为 　　． 【分析】由题意画出图形，利用勾股定理求圆台的上底面半径，再求圆台的体积． 【解答】解：如图所示， ，，， 过作，垂足为，则， ， 所以圆台的上底面半径为； 所以圆台的体积为． 故答案为：． 【点评】本题考查了圆台体积的计算问题，也考查了运算求解能力，是基础题． 42．（2021春•鼓楼区校级期末）一个组合体由上下两部分组成，上部是一个半球，下部是一个圆柱，半球的底面与圆柱的上底面重合．若该组合体的体积为定值，则当圆柱底面半径　　时，该组合体的表面积最小． 【分析】根据题意画出图形，结合图形求出组合体的体积与表面积，再判断底面圆半径为何值时组合体的表面积最小． 【解答】解：如图所示 该组合体的体积为，① 表面积为，② 由①可得， 代入②， 当且仅当，即时最小． 所以时组合体的表面积最小． 故答案为：． 【点评】本题考查基本不等式在最值问题中的应用问题，也考查了简单组合体的表面积与体积的计算问题，是中档题． 一十五．棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积（共2小题） 43．（2021春•秦淮区校级期末）将底面直径为8，高为的圆锥体石块打磨成一个圆柱，则该圆柱侧面积的最大值为　　． 【分析】设圆柱的高为，底面半径为，用表示，从而求出圆柱侧面积的最大值． 【解答】解：欲使圆柱侧面积最大，需使圆柱内接于圆锥； 设圆柱的高为，底面半径为， 则，解得； 所以； 当时，取得最大值为． 故答案为：． 【点评】本题考查了旋转体的侧面积最值问题，也考查了推理与计算能力，是基础题． 44．（2023春•江油市校级期末）已知正四棱锥的底面边长是6，侧棱长为5，求该正四棱锥的表面积． 【分析】底面中，过点作，交于点，连接，求出的值，再求正四棱锥的表面积． 【解答】解：在底面中，过点作，交于点，连接，则， 因为正四棱锥的底面边长是，侧棱长为，所以， 所以正四棱锥的表面积为． 【点评】本题考查了正四棱锥的结构特征与表面积计算问题，是基础题． 一十六．棱柱、棱锥、棱台的体积（共2小题） 45．（2021春•无锡期末）已知一个半径为的半球，其体积为，一个底面半径和高都等于的圆柱，挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥后，所得几何体的体积为，下列说法正确的是　　 A． B． C． D．不确定 【分析】根据题意求出半径为的半球的体积，底面半径和高都为的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，剩余几何体的体积，比较大小即可． 【解答】解：如图所示， 根据题意知，①半球的半径为，体积为， ②底面半径和高都为的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥， 所以剩余几何体的体积为， 由①②知，． 故选：． 【点评】本题考查了旋转体的结构特征与体积计算问题，是基础题． 46．（2021春•溧阳市期末）已知在正三棱柱中，，是棱的中点． （1）求证：平面平面； （2）设，求三棱锥的体积； （3）若把平面与平面所成的锐二面角为时的正三棱柱称为“黄金棱柱”，请判断此三棱柱是否为“黄金棱柱”，并说明理由． 【分析】（1）证法1：取为的中点，利用等腰三角形证明，，得出平面，证明平面平面． 证法2：取为的中点，利用菱形的性质证明，，得出平面，证明平面平面． （2）解法1：利用等体积法计算即可． 解法2：利用三棱锥体积公式计算． （3）延长交的延长线于点，连接，为平面与平面的交线，为平面与平面所成二面角的平面角，判断是否为即可． 【解答】解：（1）证明：连接与交于点，连接，如图1所示： 证法1：因为为正三棱柱，且是棱的中点， 所以，且为平行四边形， 所以为的中点，因此． 同理得，则， 又、平面，，所以平面； 而平面，所以平面平面． 证法2：因为为正三棱柱，得为正△为平行四边形， 又，所以为菱形， 所以， 由为菱形得为的中点， 又是棱的中点，得， 所以，平面，平面，， 所以平面， 又平面，所以平面平面． （2）解法1：由（1）法1得平面， 所以， 又在△中，，， 所以． 解法2：由（1）法2得平面， 所以， 又在△中，， 在△中，，， 所以； 所以． （3）延长交的延长线于点，连接，如图2所示： 则为平面与平面的交线， 因为，又为的中点，所以为的中点， 即，则， 因为正三棱柱， 所以平面，平面， 所以，，、平面， 所以平面，又平面， 所以，又， 所以为平面与平面所成二面角的平面角； 若此正三棱柱为“黄金棱柱”，则， 可得，即， 这与条件矛盾，所以此三棱柱不能成为“黄金棱柱”． 【点评】本题考查了空间中的垂直关系应用问题，也考查了棱锥的体积和二面角的计算问题，是中档题． 一十七．平面的基本性质及推论（共2小题） 47．（2021春•沛县校级期末）设，为不重合的平面，，为不重合的直线，则下列命题正确的是　　 A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【分析】本题考查的知识点是空间中直线与平面之间位置关系的判定，我们要根据空间中线面关系的判定及性质定理对四个结论逐一进行判断．若，，时，与可能垂直，也可能不垂直，不一定垂直；若，，时，与可能平行或相交；若，，时，与不一定垂直． 【解答】解：设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则： 若，，时，与可能垂直，也可能不垂直，不一定垂直，故不正确 若，，时，与可能平行或相交；，故不正确 若，，时，与不一定垂直，故错误 ，，时，则必有：，故一定成立， 故选：． 【点评】判断或证明线面平行的常用方法有：①利用线面平行的定义（无公共点）；②利用线面平行的判定定理，，；③利用面面平行的性质定理；④利用面面平行的性质，，，．线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据．垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来． 48．（2023春•金安区校级期末）如图，在正方体，对角线与平面交于点．、交于点、为的中点，为的中点， 求证：（1）、、三点共线 （2）、、、四点共面 （3）、、三线共点． 【分析】（1）利用、、三点在平面与平面的交线上，证明三点共线； （2）利用，证明、、、四点共面； （3）证明与的交点在平面与平面的交线上即可． 【解答】证明：（1）平面，，平面； 又平面，平面； 、交于点，，； 又平面，平面， 平面，平面； 又平面，平面； 、、三点在平面与平面的交线上， 、、三点共线； （2）为的中点，为的中点， ， 又，， 四边形是平行四边形， ； ， 、、、四点共面； （3）平面平面， 设与交于一点，则： ，平面， 平面； 同理，平面， 平面平面， 直线、、三线交于一点， 即三线共点． 【点评】本题考查了空间中的点共线，线共点以及线共面的证明问题，是基础题目． 一十八．直线与平面平行（共2小题） 49．（2023春•揭阳期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，分别为，，的中点，点在棱上，且平面，则　2　． 【分析】连接、，设、，连接，过点作交于点，连接、，即可证明平面平面，从而得到平面，再根据线段平行得到线段的关系，即可解答． 【解答】解：连接、，设、，连接， 过点作交于点，连接、， 因为、分别为、的中点，所以，平面，平面， 所以平面． 同理可得平面，，，平面， 所以平面平面，平面，所以平面， 因为、分别为、的中点，则为的中点， 又为的中点，所以，， 所以，又，所以， 所以，又为的中点， 所以， 则， 所以． 【点评】本题考查直线与平面平行，属于中档题． 50．（2023春•南京期末）如图，已知斜三棱柱中，平面平面，与平面所成角的正切值为，所有侧棱与底面边长均为2，是边中点． （1）求证：平面； （2）求异面直线与所成的角； （3）是边一点，且，若，求的值． 【分析】（1）由题意及线面平行的证法，可证得结论； （2）由异面直线的夹角的求法，平移直线可得相交直线所成的角，求出异面直线的夹角； （3）用向量的方法，可得的值． 【解答】解：（1）证明：如图，连接与交于点，连， 在斜三棱柱中， 四边形是菱形， 则是的中点，又是中点， 即为△的中位线， 所以， 又平面，平面， 可证得：平面； （2）取的中点，连，斜三棱柱底面△边长均为2， 则， 平面平面，平面平面，平面， 则平面，所以即为与平面所成角， △中，，，则，又，， 则在△中，，则， 由三棱柱中，，， 所以异面直线与所成的角等于，即为， 即异面直线与所成的角为； （3）由（2）知平面，又平面，则， 又，，而，平面， 所以平面， 又平面，则， 在菱形中，以为坐标原点，所在直线为轴建系， 由（2）知，所以，，， ， 又，所以，，，，，，，， 又，即，即， 整理可得：， 所以的值为． 【点评】本题考查立体几何中异面直线的夹角的求法及直线与平面的平行的证法，属于中档题． 一十九．直线与平面垂直（共2小题） 51．（2023春•新吴区校级期末）如图，直三棱柱 中，为的中点，，平面平面． （1）求证：平面； （2）求证：平面． 【分析】（1）设与相交于点，连接，证明，即可证明平面． （2）连接与，由平面得出，由得出，再证明，即可证明平面． 【解答】证明：（1）设与相交于点，连接，则为的中点， 因为为的中点， 所以， 又平面，平面， 所以平面． （2）连接与， 由直三棱柱的性质知，平面， 因为平面，所以， 因为，所以四边形是正方形， 所以， 又因为平面平面，平面平面， 过点作，垂足为，则平面， 所以，所以与重合， 所以平面，所以， 又因为，， 所以平面， 所以， 又， 所以平面． 【点评】本题考查了空间中的平行与垂直关系应用问题，也考查了推理与证明能力，是中档题． 52．（2023春•天宁区校级期末）如图，在四棱锥中，四边形为平行四边形，，，为上一点，且平面． （1）求证：； （2）如果点为线段的中点，求证：平面． 【分析】（1）根据平面，平面，根据线面垂直的性质可知，而，且，、平面，根据线面垂直的判定定理可知平面，根据平面，则． （2）取中点，连接、，根据平面，平面，可知，因为，则为的中点．根据中位线可知，且，因为四边形为平行四边形，所以，且，则，且，而为中点，则，且，从而四边形为平行四边形，则，因为平面，平面，根据线面平行的判定定理可知平面． 【解答】证明：（1）因为平面，平面， 所以．（2分） 因为，且，、平面， 所以平面．（4分） 因为平面， 所以．（6分） （2）取中点，连接、． 因为平面，平面， 所以． 因为， 所以为的中点．（8分） 所以为的中位线． 所以，且．（10分） 因为四边形为平行四边形，所以，且． 故，且． 因为为中点， 所以，且． 所以四边形为平行四边形， 所以．（12分） 因为平面，平面， 所以平面．（14分） 【点评】判断或证明线面平行的常用方法有： ①利用线面平行的定义（无公共点）； ②利用线面平行的判定定理，，； ③利用面面平行的性质定理； ④利用面面平行的性质，，，． 二十．平面与平面之间的位置关系（共1小题） 53．（2022春•苏州期末）设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，且，，　　 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【分析】根据线面垂直的判定定理得出正确； 根据面面垂直的性质判断错误； 根据面面平行的判断定理得出错误； 根据面面平行的性质判断错误． 【解答】解：对于，，且，根据线面垂直的判定定理，得，正确； 对于，当，，时，与可能平行，也可能垂直，错误； 对于，当，且时，与可能平行，也可能相交，错误； 对于，当，且，时，与可能平行，也可能异面，错误． 故选：． 【点评】本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，也考查了数学符号语言的应用问题，是基础题目． 二十一．相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式（共1小题） 54．（2021春•秦淮区校级期末）如图，用、、三类不同的元件连接成一个系统．当正常工作且、至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知、、正常工作的概率依次是0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为　　 A．0.960 B．0.864 C．0.720 D．0.576 【分析】首先记、、正常工作分别为事件、、，易得当正常工作与、至少有一个正常工作为相互独立事件，而“、至少有一个正常工作”与“、都不正常工作”为对立事件，易得、至少有一个正常工作的概率；由相互独立事件的概率公式，计算可得答案． 【解答】解：根据题意，记、、正常工作分别为事件、、； 则（A）； 、至少有一个正常工作的概率为； 则系统正常工作的概率为； 故选：． 【点评】本题考查相互独立事件的概率乘法公式，涉及互为对立事件的概率关系，解题时注意区分、分析事件之间的关系． 二十二．分层抽样方法（共1小题） 55．（2021春•徐州期末）某市教育局对全市高三年级的学生身高进行抽样调查，随机抽取了200名学生，他们的身高都处在，，，，五个层次内，根据抽样结果得到统计图表，则样本中　　 A．女生人数多于男生人数 B．层次男生人数多于女生人数 C．层次男生人数为24人 D．层次人数最少 【分析】根据条形图求出抽取女生人，得出抽取男生人，再对照图表判断选项中的命题是否正确即可． 【解答】解：由条形图知，抽取女生学生有（人， 所以抽取男生有（人，女生人数多于男生人数，选项正确； 层次的男生有（人，女生有18人，男生人数少于女生，选项错误； 层次的男生有（人，选项正确； 层次有（人，层次有（人，层次的人数最少，选项错误． 故选：． 【点评】本题考查了频率分布条形图与扇形图的应用问题，也考查了数据分析与判断能力，是基础题． 二十三．频率分布直方图（共2小题） 56．（2021春•南京期末）某校从参加某次知识竞赛的同学中，选取50名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成六组：第1组，，第2组，，第3组，，第4组，，第5组，，第6组，，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题： （1）求分数在，内的频率，并补全这个频率分布直方图； （2）从频率分布直方图中，利用组中值估计本次考试成绩的平均数； （3）已知学生成绩评定等级有优秀、良好、一般三个等级，其中成绩不小于90分时为优秀等级，若从第5组和第6组两组学生中，随机抽取2人，求所抽取的2人中至少一人成绩优秀的概率． 【分析】（1）由频率分布直方图求出分数在内的频率值，补全频率分布直方图即可； （2）利用组中值即可计算这组数据的平均数； （3）利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值． 【解答】解：（1）由频率分布直方图求出分数在内的频率为 ， 且， 补全这个频率分布直方图，如图所示 （2）利用组中值估计本次考试成绩的平均数为 ； （3）第5组人数为，记为、、、； 第6组两组人数为，记为、、； 从这7人中随机抽取2人，基本事件是： 、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、共21种， 求所抽取的2人中至少一人成绩优秀的基本事件是： 、、、、、、、、、、、、、、共15种， 故所求的概率为． 【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题． 57．（2021春•盐城期末）某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为，，，，，，，，． （1）求频率分布图中的值； （2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率； （3）从评分在，的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在，的概率． 【分析】（1）利用频率分布直方图中的信息，所有矩形的面积和为1，得到； （2）对该部门评分不低于80的即为90和100，的求出频率，估计概率； （3）求出评分在，的受访职工和评分都在，的人数，随机抽取2人，列举法求出所有可能，利用古典概型公式解答． 【解答】解：（1）因为，解得； （2）由已知的频率分布直方图可知，50名受访职工评分不低于80的频率为，所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4；（3）受访职工中评分在，的有：（人，记为，，； 受访职工评分在，的有：（人，记为，． 从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种， 分别是，，，，，，，，，，，，，，，，，，，， 又因为所抽取2人的评分都在，的结果有1种，即，， 故所求的概率为． 【点评】本题考查了频率分布直方图的认识以及利用图中信息求参数以及由频率估计概率，考查了利用列举法求满足条件的事件，并求概率． 二十四．众数、中位数、平均数（共1小题） 58．（2021春•海陵区校级期末）在一组样本数据中，1，3，5，7出现的频率分别为，，，，且，若这组数据的中位数为6，则　　 A．0.5 B．0.4 C．0.2 D．0.1 【分析】由样本数据中只有1，3，5，7，没有6知样本数据一共有偶数个数，且从小到大排序后中间两个数为5，7，从而求得． 【解答】解：样本数据中只有1，3，5，7，没有6， 样本数据一共有偶数个数，且从小到大排序后中间两个数为5，7， 样本数据中有一半是7，， 故选：． 【点评】本题考查了中位数的应用及频率与频数的关系，属于基础题． 二十五．极差、方差与标准差（共1小题） 59．（2021春•南京期末）已知样本9，10，11，，的平均数是10，方差是2，则　96　． 【分析】根据平均数与方差的定义，求出与的值，即可得出的值． 【解答】解：，10，11，，的平均数是10， ， 即①； 又方差是2， ， 即②； 由①②联立， 解得或； ． 故答案为：96． 【点评】本题考查了数据的平均数与方差的应用问题，解题时应根据平均数与方差的计算公式进行解答，是基础题． 二十六．百分位数（共1小题） 60．（2022春•宿迁期末）某校从高一新生中随机抽取了一个容量为20的身高样本，数据从小到大排序如下（单位： 152，155，158，164，164，165，165，165，166，167，168，168，169，170，170，170，171，，174，175．若样本数据的第90百分位数是173，则的值为 　172　． 【分析】了解百分位数的定义 【解答】解：百分位数的意义就在于，我们可以了解的某一个样本在整个样本集合中所处的位置，本题第90百分位数是173，即比173小的数据占， 故答案为：172． 【点评】本题考查样本数据的第多少百分位数的概念． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$