精品解析：江苏省南京外国语学校2021-2022学年高一下学期期末考试数学试卷

2021-2022学年第二学期南京外国语高一期末考试数学试卷 高一数学 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案涂在答题卡相应位置上. 1. 设，则在复平面内对应点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知中，， ， ，则的解的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 无法确定 3. 1，8，9，4，5，5，8，2，3，10这组数据的下四分位数（25百分位数）为（ ） A. B. 3 C. D. 8 4. 已知 ，则 （ ） A. B. C. D. 5. 如图，在四面体中，若 ， ，是的中点，则下列结论错误的是（ ） A. 平面⊥平面 B. C. 为二面角的平面角 D. 平面⊥平面 6. 已知平面向量满足， ，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为3的等边三角形，为球的直径，且 ，则到面的距离为（ ） A. 4 B. 2 C. 3 D. 8. 气象意义上从春季进入夏季标志为"连续5天的日平均温度全都不低于22℃".现有甲、乙、丙、丁四地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数，单位：℃):①甲地：5个数据的中位数为23，众数为22；②乙地：5个数据的中位数为26，平均数为25，众数为27；③丙地：5个数据中有1个数据是32，平均数为26，方差为11.2；④丁地：5个数据的20百分位数为23，平均数为27．其中肯定进入夏季的地区个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得4分，部分选对得2分，不选或有选错的得0分． 9. 下列说法错误的是（ ） A. 有三个公共点的两个平面重合 B. 垂直于同一直线的两平面平行 C. 垂直于同一直线的两直线平行 D. 垂直于同一平面的两平面平行 10. 为虚数单位，下列关于复数的说法正确的是（ ） A. B. C. 若复数满足，则 D. 若复数满足，则的最大值为1 11. 如图是某校九年级720名学生的1分钟仰卧起坐的成绩（次数）频率分布直方图，根据统计图的数据，同一组中数据以组中值代表，下列结论正确的是（ ） A. 该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数的极差为20 B. 该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数的众数为 C. 该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数的平均数为26 D. 该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数少于20的人数约为14 12. 如图所示，正方体的棱长为2，分别为的中点，点是正方形内的动点，下列说法正确的是（ ） A. B. 与平面所成角的正弦值为 C. 存在点使得⊥平面 D. 若平面，则点的轨迹长度为 三、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 13 已知向量，满足，且，则_______. 14. 假设从高一（1）班60名同学中随机抽出30人参加一项活动，利用随机数法抽取样本时，先将60名同学按01，02，03，…，59，60进行编号，如果从随机数表第7行第3列的数开始，按两位数连续向右读取，抽出的第5名同学的号码是（下面摘取了此随机数表第7行和第8行）_______. 630163 785916 595567 199810 507175 128673 580744 395238 844217 533157 245506 887704 744767 217633 502583 921206 15. 将半径为3，圆心角为的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的体积为________. 16. 在中，，是边上的一点，，若为锐角， 的面积为4，则___，____. 四、解答题：本大题共5小题，共48分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 某市为了解人们对冬奥会的认知程度，举办了一次冬奥会知识竞赛，满分为100分（90分及以上为认知程度高）.现从参赛者中抽取了人，按年龄分成5组，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有6人． （1）求； （2）求抽取人的年龄的中位数（结果四舍五入保留整数）； （3）从年龄在和的参赛者中各选取5名参加知识竞赛，分别代表相应年龄组的成绩，年龄组的成绩为93，96，97，94，90，年龄组的成绩为93，98，94，95，90. ①分别求两组成绩的平均数和方差； ②以上述数据为依据，评价两个年龄组对冬奥会的认知程度，并谈谈你的感想． 18. 已知函数. （1）若是三角形中一内角且，求的值； （2）若是锐角三角形中一内角且，求的值． 19. 如图，在四棱锥中，，为棱上的中点． （1）求证：平面； （2）若平面， ，求证：平面平面. 20. 在中，为对边， （1）求的值； （2）求的值． 21. 在直角三角形中，，是的中点，如图所示，沿将翻折至的位置，使得平面平面. （1）求三棱锥的体积； （2）是线段上一个动点，且. ①当时，求二面角的余弦值： ②当与平面所成角的正弦值为时，则的值为 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2021-2022学年第二学期南京外国语高一期末考试数学试卷 高一数学 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案涂在答题卡相应位置上. 1. 设，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的几何意义求出复数所对应的点的坐标即可. 【详解】复数在复平面内对应的点为，位于第二象限. 故选：B. 2. 已知中，， ， ，则的解的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦定理得到的值，因为为三角形中的角，即，利用正弦函数的性质得到满足条件的个数即可. 【详解】因为，根据正弦定理得，代入得到， 由大边对大角可知，，所以或. 故选：C 3. 1，8，9，4，5，5，8，2，3，10这组数据的下四分位数（25百分位数）为（ ） A. B. 3 C. D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件，将10个数按从小到大排序，再结合第25百分位数的定义，即可求解. 【详解】10个数从小到大排列，， 因为，所以这组数据的25百分位数是3. 故选： 4. 已知 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据诱导公式和二倍角的余弦公式把要求的式子化简，运算求得结果 【详解】因为， 所以 故选： 5. 如图，在四面体中，若 ， ，是的中点，则下列结论错误的是（ ） A. 平面⊥平面 B. C. 为二面角的平面角 D. 平面⊥平面 【答案】A 【解析】 【分析】利用线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理、线面垂直的性质定理以及二面角的定义逐一判断各个选项即可求解. 【详解】对于C，因为，是的中点，所以， 又，平面，平面，所以平面， 所以为二面角的平面角，故C正确； 对于B，因为平面，平面，所以，故B正确； 对于D，因为平面，平面，所以平面⊥平面，故D正确； 而由题目条件无法确定是否是直角，故A错误. 故选：A. 6. 已知平面向量满足， ，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律求出，再利用数量积的运算律计算即得. 【详解】依题意，，， 则， 所以. 故选：C 7. 已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为3的等边三角形，为球的直径，且 ，则到面的距离为（ ） A. 4 B. 2 C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用截面圆的性质即可求出点到平面的距离，进而求出点到平面的距离． 【详解】如图所示： 设球心为，过三点的小圆的圆心为，则平面， 作交的延长线于点H，则平面， 因为， 所以， 因为点O为的中点，所以， 故选： 8. 气象意义上从春季进入夏季的标志为"连续5天的日平均温度全都不低于22℃".现有甲、乙、丙、丁四地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数，单位：℃):①甲地：5个数据的中位数为23，众数为22；②乙地：5个数据的中位数为26，平均数为25，众数为27；③丙地：5个数据中有1个数据是32，平均数为26，方差为11.2；④丁地：5个数据的20百分位数为23，平均数为27．其中肯定进入夏季的地区个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据数据的特点估计出甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据，分析数据的可能性进行解答即可 【详解】对于①，甲地：5个数据的中位数为23，众数为22，则甲地连续5天的日平均温度的记录数据可能为：22，22，23，24，25，其连续5天的日平均温度不低于22℃； 对于②，乙地：5个数据的中位数为26，平均数为25，众数为27，当5个数据为20，25，26，27，27时，其连续5天的日平均温度有低于22℃，故不确定； 对于③，丙地：5个数据中有1个数据是32，平均数为26，方差为11.2，设剩余4个数分别为，所以，所以，若有一天温度低于22度，因为平均值为26，则必有一天高于30度，所以有，故可知其连续5天的日平均温度均不低于22℃； 对于④，丁地：符合条件，但未进入夏季 综上所述，肯定进入夏季的地区有甲、丙两地 故选：C 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得4分，部分选对得2分，不选或有选错的得0分． 9. 下列说法错误的是（ ） A. 有三个公共点的两个平面重合 B. 垂直于同一直线的两平面平行 C. 垂直于同一直线的两直线平行 D. 垂直于同一平面的两平面平行 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据直线的位置关系和平面的位置关系判定定理判断即可. 【详解】有三个公共点的两个平面可能只有一条交线，但此时两个平面不重合； 垂直于同一直线的两平面平行； 垂直于同一直线的两直线可能是异面直线； 垂直于同一平面的两平面可能相互垂直，所以A、C、D错误 故选：ACD. 10. 为虚数单位，下列关于复数的说法正确的是（ ） A. B. C. 若复数满足，则 D. 若复数满足，则的最大值为1 【答案】AB 【解析】 【分析】根据复数的四则运算和几何意义求解即可. 【详解】对于A，，选项A正确； 对于B，，选项B正确； 对于C，设，则，，所以或，时，，选项C错误； 复数时，则复数在复平面内对应点的轨迹为以为圆心，以1为半径的圆，故的最大值为2，选项D错误. 故选：AB. 11. 如图是某校九年级720名学生的1分钟仰卧起坐的成绩（次数）频率分布直方图，根据统计图的数据，同一组中数据以组中值代表，下列结论正确的是（ ） A. 该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数的极差为20 B. 该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数的众数为 C. 该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数的平均数为26 D. 该校九年级学生1分钟仰卧起坐的次数少于20的人数约为14 【答案】BC 【解析】 【分析】根据频率分布直方图的性质进行计算即可 【详解】1分钟仰卧起坐的次数的极差为，故A选项错误； 1分钟仰卧起坐的次数的众数就是频率最高的中间值为27.5，故B选项正确； 1分钟仰卧起坐的平均数，故C选项正确； 1分钟仰卧起坐的次数少于20次的频率为，所以1分钟仰卧起坐的次数少于20次的人数约有72人，故D选项错误 故选： 12. 如图所示，正方体的棱长为2，分别为的中点，点是正方形内的动点，下列说法正确的是（ ） A. B. 与平面所成角的正弦值为 C. 存在点使得⊥平面 D. 若平面，则点的轨迹长度为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据线面垂直判定定理判断A选项，应用等体积计算点到平面的距离再结合线面角定义求值判断B,反证法判断C选项，先得出面面平行再确定点的轨迹计算得出轨迹长度判断D选项. 【详解】对于A：连接， 则，平面平面,所以， 平面，所以平面，所以，故A选项正确； 对于B：延长交于，易得在延长线上，， 则， 则， 设到平面距离为d，则，则，则与平面所成角的正弦值为，故B选项正确； 对于C；若平面，则，则在平面内射影垂直于，在平面内的射影为,在正方形内任意点时都不可能射影垂直，故C选项错误； 对于D：如图所示，取的中点，的中点，连接， 可得四边形是平行四边形，所以平面，在平面外，所以平面, 同理可得，平面，因为平面，所以平面平面， 因为点是正方形内的动点，若平面，则点在线段上， 所以点的轨迹长度，故D选项正确 故选：ABD. 三、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 13. 已知向量，满足，且，则_______. 【答案】0 【解析】 【分析】利用向量垂直和平行的充要条件列方程即可求解. 【详解】因为，所以， 所以， 所以， 因为， 所以， 解得， 故. 故答案为：0. 14. 假设从高一（1）班60名同学中随机抽出30人参加一项活动，利用随机数法抽取样本时，先将60名同学按01，02，03，…，59，60进行编号，如果从随机数表第7行第3列的数开始，按两位数连续向右读取，抽出的第5名同学的号码是（下面摘取了此随机数表第7行和第8行）_______. 630163 785916 595567 199810 507175 128673 580744 395238 844217 533157 245506 887704 744767 217633 502583 921206 【答案】19 【解析】 【分析】由题目给出的随机数表，按照题目中给出的读取数表的方法读取即可. 【详解】从随机数表第7行第3列的数开始，按两位数连续向右读取， 抽出的前5名同学的号码是，所以第5名同学的号码是19. 故答案为：19. 15. 将半径为3，圆心角为的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的体积为________. 【答案】 【解析】 【分析】设圆锥的底面半径，由圆锥的底面周长等于扇形的弧长可求出圆锥的底面半径，再根据勾股定理求出圆锥的高，最后利用圆锥的体积公式求解即可. 【详解】设圆锥的底面半径为r，则，所以， 设圆锥的高为h，则， 所以该圆锥的体积为 故答案为：. 16. 在中，，是边上的一点，，若为锐角， 的面积为4，则___，____. 【答案】 ①. 4 ②. 4 【解析】 【分析】利用正弦定理和余弦定理求解即可 【详解】由题意得， 解得，又锐角， 所以， 在中，由余弦定理得 . 由正弦定理得，即. 在中，，即 故答案为：①；②4. 四、解答题：本大题共5小题，共48分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 某市为了解人们对冬奥会的认知程度，举办了一次冬奥会知识竞赛，满分为100分（90分及以上为认知程度高）.现从参赛者中抽取了人，按年龄分成5组，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有6人． （1）求； （2）求抽取的人的年龄的中位数（结果四舍五入保留整数）； （3）从年龄在和的参赛者中各选取5名参加知识竞赛，分别代表相应年龄组的成绩，年龄组的成绩为93，96，97，94，90，年龄组的成绩为93，98，94，95，90. ①分别求两组成绩的平均数和方差； ②以上述数据为依据，评价两个年龄组对冬奥会的认知程度，并谈谈你的感想． 【答案】（1）120 （2）32 （3）①组平均数94，方差6，组平均数94，方差6.8；②答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图求出第一组的频率，再结合第一组的频数可求出； （2）先判断中位数的位置，再列方程求解即可； （3）①利用平均数和方差的定义直接求解即可，②由于平均数相同，所以根据方差进行判断. 【小问1详解】 根据频率分布直方图得第1组的频率为， 所以； 【小问2详解】 因为前2组的频率和为，前3组的频率为， 所以中位数在第3 组，设中位数， 则， 所以，则中位数为32； 【小问3详解】 ①年龄在组的成绩的平均数为， 方差， 年龄在组的成绩的平均数为， 方差 ②从平均数来看两组的认知程度相同，从方差来看年龄组内差异较大， 故年龄在组的认知程度更好. 18. 已知函数. （1）若是三角形中一内角且，求的值； （2）若是锐角三角形中一内角且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 分析】（1）利用降幂公式，二倍角公式及辅助角公式化简，然后再进行求值； （2）通过角的变换即可求解. 【小问1详解】 由题可得， 因为，所以， 因为，所以， 所以， 则 【小问2详解】 由题可得，因，所以， 所以， 即 19. 如图，在四棱锥中，，为棱上的中点． （1）求证：平面； （2）若平面， ，求证：平面平面. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接.由已知条件推导出四边形是平行四边形，由此能证明平面 . （2）由线面垂直得，再由，得平面，由此可证明平面平面. 【小问1详解】 取的中点，连接. 因为为的中点，所以且. 又，所以， 所以四边形为平行四边形，所以. 因为平面，平面，所以平面. 【小问2详解】 因为平面， 平面，所以. 又，，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. 20. 在中，为的对边， （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理计算即可； （2）应用余弦定理和同角三角函数关系求函数值，再应用两角差公式计算. 【小问1详解】 由题意可得，所以， 所以，所以 【小问2详解】 ， 因为，所以， 因为，所以， 所以. 21. 在直角三角形中，，是的中点，如图所示，沿将翻折至的位置，使得平面平面. （1）求三棱锥的体积； （2）是线段上一个动点，且. ①当时，求二面角的余弦值： ②当与平面所成角的正弦值为时，则的值为 . 【答案】（1） （2）①0；② 【解析】 【分析】（1）由面面垂直的性质定理得出平面，再由体积公式计算可得答案； （2）①由面面垂直的判定定理可得二面角为直二面角，其余弦值为0；②由余弦定理求出可得，设到平面的距离为，则由得，由与平面所成角的正弦得，再由余弦定理得，求出可得答案. 【小问1详解】 由题可得， 取中点，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 所以； 【小问2详解】 ①三角形中，， 则，可得， 由，则， 则，则， 又因为平面平面，平面， 平面平面，可得平面， 又平面，可得平面平面， 则二面角为直二面角，其余弦值为0； ②，连接， 三角形中，，，， 则 ， 则，又，则， 设到平面的距离为，则， 则，与平面所成角的正弦为， 则，则， 三角形中，， 则， 三角形中，， 则，则， 解得或3，由可得. 【点睛】思路点睛：在第二问②中解题思路是设到平面的距离为，则由得，结合与平面所成角的正弦值、余弦定理求出结果. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$