精品解析：2024年山东省菏泽市牡丹区中考二模数学试题

九年级阶段性学业水平考试检测（二） 数学试题 2023.5．24 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，考试用时120分钟． 2．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的学校、姓名、准考证号填写在答题卡中规定的位置上． 3．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上． 4．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 在标准大气压下，钨、萘、冰、固态氢四种晶体的熔点如下表，其中熔点最低的晶体为（ ） 晶体 钨 萘 冰 固态氢 熔点/℃ 3410 80.5 0 A. 钨 B. 萘 C. 冰 D. 固态氢 2. 点M，N在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是m和n．对于以下结论： ①，②，③，④．其中正确的个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 如图，A，B，C，D是四位同学画出的一个空心圆柱的主视图和俯视图，其中正确的一组是（ ） A. B. C D. 4. 一个三角板(含30°、60°角)和一把直尺摆放位置如图所示，直尺与三角板的一角相 交于点，一边与三角板的两条直角边分别相交于点、点，且，点在直尺的另一边上，那么的大小为( ) A. 10° B. 15° C. 20° D. 30° 5. 剪纸是中国古老的汉族传统民间艺术之一.下面 是制作剪纸的简单流程，展开后的剪纸图案从对称性来判断（ ） A. 是轴对称图形但不是中心对称图形 B. 是中心对称图形但不是轴对称图形 C. 既轴对称图形也是中心对称图形 D. 既不是轴对称图形也不是中心对称图形 6. 如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚AC和BD交叉构成，利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使OA=3OC，OB=3OD），然后张开两脚，使A，B两个尖端分别在线段a的两个端点上，当CD=1.8cm时，则AB的长为（　　） A. 7.2 cm B. 5.4 cm C. 3.6 cm D. 0.6 cm 7. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 某口袋中有20个球，其中白球x个，绿球2x个，其余为黑球．甲从袋中任意摸出一个球，若为绿球获胜，甲摸出的球放回袋中，乙从袋中摸出一个球，若为黑球则乙获胜，要使游戏对甲、乙双方公平，则x应该是（ ） A. 6 B. 8 C. 2 D. 4 9. 某校在社会实践活动中，小明同学用一个直径为的定滑轮带动重物上升．如图，滑轮上一点A绕点O逆时针旋转，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点P是以O为圆心，为直径半圆的中点，，等腰直角三角板角的顶点与点P重合，当此三角板绕点P旋转时，它的斜边和直角边所在的直线与直径分别相交于C、D两点．设线段的长为x，线段的长为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，直接填写答案．） 11. 若的值为有理数，请你写出一个符合条件的实数a的值___________． 12. 分解因式：___________． 13. 代数式与代数式的值相等，则______． 14. 如图，在平行四边形中，以点为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边于点、，分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线，交边于点．若，则的周长是______． 15. 如图，在中，，，，将绕点C顺时针旋转后得到，点B经过的路径为，将线段绕点A顺时针旋转后，点B恰好落在上的点F处，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积是_______．（结果保留） 16. 如图， 正三角形、正四边形、正五边形中， 点E在的延长线上，点D在另一边反向延长线上，且 延长线交于点 F．图1中 的度数为______， 图2 中度数为______， 若将条件“正三角形、正四边形、正五边形”改为“正n边形”，其它条件不变，则度数为_________．（用含n的代数式表示） 三、解答题：（本大题共8个小题，共72分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. （1）计算∶ （2）解不等式组 并写出该不等式组的整数解． 18. 随着时代的发展，“直播带货”已经成为当前最为强劲的购物新潮流，因此“直播带货”将成为企业营销变革的新起点． 某企业为开启网络直播带货的新篇章，购买A，B两种型号直播设备．已知A型设备价格是B型设备价格的倍，用1800元购买A型设备的数量比用1000元购买B型设备的数量多5台． （1）求A、B型设备单价分别是多少元； （2）某平台计划购买两种设备共60台，要求A型设备数量不少于 B型设备数量的一半，设购买A型设备a台，求w与a的函数关系式，并求出最少购买费用． 19. 实验是培养学生的创新能力的重要途径之一．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管， ，试管倾斜角为．（参考数据：） （1）求酒精灯与铁架台的水平距离的长度（结果精确到）； （2）实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点F，且（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，求线段的长度（结果精确到）． 20. 小明发现用吸管吹气，能发出不同的音调．通过查阅资料，他得知：用吸管吹气时，吸管内部的空气振动导致声音产生，而吸管的长度影响了空气振动的频率，并最终决定了音调的不同，所以发出不同的音调． 小明和同学动手试验，并按以下步骤操作：①将若干根同规格的吸管剪成不同的长度；②用同样的力气通过吸管吹气，借助仪器记录下吸管中空气振动的频率；③将吸管的长度和相应吸管中空气振动的频率分别记为和，对收集到的数据检查、整理；④将整理所得的数据对应的点在平面直角坐标系中描出，绘制成如图所示的与对应关系的散点图． （1）表1记录了收集到的四组数据，同学们在仔细检查、整理数据时，发现这四组数据中的一组有错，请直接写出有出错的这组数据______（填写组别代号），不必说明理由； （表1） 数据组别 吸管的长度 60 80 100 100 空气振动的频率 1.43 1.08 0.86 0.42 （2）根据散点图，同学们猜想与的对应关系符合初中阶段已学过的一种函数关系，并将由每组数据计算所得的系数（精确到个位）作为与的对应关系中的系数．小明根据表2的数据剪出合适长度的吸管，成功地吹奏出的音． （表2） 音调 频率 0.26 0.29 0.33 0.35 0.39 0.44 0.49 你知道小明剪出的吸管长度是多少（精确到个位）？并说明你的理由． 21. 2023年9月23日至10月8日，第19届亚运会在杭州顺利举行，中国队以201枚金牌、111枚银牌、71 枚铜牌的优异成绩，位居奖牌榜首.为弘扬体育运动精神，某校对八、九年级学生进行了杭州亚运会知识竞赛(测试满分为100分，得分x均为不小于80的整数)，并从其中分别随机抽取了20名学生的测试成绩， 整理、描述和分析如下： （成绩得分用x表示，共分成四组：） a、八年级20名学生的成绩是： 80， 82， 83， 83， 85， 85， 86， 87， 89， 90， 90， 91， 94， 95， 95， 95， 95， 96， 99， 100. b、九年级20名学生的成绩在C组中的数据是: 90， 90， 91， 92， 92， 93， 93， 94. c、八、九年级抽取的学生竞赛成绩的平均数、中位数、众数如下： 年级 平均数 中位数 众数 八年级 90 90 m 九年级 90 n 100 d、九年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图如下： 根据以上信息，解答下列问题： （1）写出表中 m，n的值及九年级抽取的学生竞赛成绩在 D 组的人数； （2）若该校九年级共 400 人参加了此次知识竞赛活动，估计九年级竞赛成绩不低于 90 分的人数是 ； （3）为了进一步弘扬体育运动精神，学校决定组织学生开展亚运精神宣讲活动，准备从九年级抽取竞赛成绩在D组的学生中，随机选取一名学生担任宣讲员，另一名担任主持人，若甲、乙是抽取的成绩在D组的两名学生，用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人同时被选上的概率． 22. 如图，是的直径，点C在上，的平分线与相交于点D，与过点B的切线相交于点E． （1）判断的形状，并证明你的结论； （2）若，，求的长． 23 如图，直线yx＋4与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2x＋c经过B、C两点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当△BEC面积最大时，请求出点E的坐标； （3）在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 24. 已知∶ 等边三角形中， 点D、E、F分别为边的中点， 点M在直线上，以点 M为旋转中心，将线段顺时针旋转 至 连接 ． （1）如图1，当点M在点B左侧时，线段与的数量关系是 ； （2）如图2，当点M在边上时，（1）中的结论是否依然成立？如果成立，请利用图2证明，如果不成立，请说明理由； （3）当点M在点C右侧时，请你在图3中画出相应的图形，直接判断（1）中的结论是否依然成立？不必给出证明或说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级阶段性学业水平考试检测（二） 数学试题 2023.5．24 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，考试用时120分钟． 2．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的学校、姓名、准考证号填写在答题卡中规定的位置上． 3．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上． 4．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 在标准大气压下，钨、萘、冰、固态氢四种晶体的熔点如下表，其中熔点最低的晶体为（ ） 晶体 钨 萘 冰 固态氢 熔点/℃ 3410 80.5 0 A. 钨 B. 萘 C. 冰 D. 固态氢 【答案】D 【解析】 【分析】根据负数小于0，正数大于0即可得出比较结果．本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握有理数的大小比较方法是解题的关键． 【详解】解：， 熔点最低的晶体为固态氢， 故选：D． 2. 点M，N在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是m和n．对于以下结论： ①，②，③，④．其中正确的个数是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了绝对值的含义和求法，以及数轴的特征和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是判断出m和n的取值范围．根据点M，N在数轴上的位置得：进而逐个判断即可． 【详解】解：∵点M，N在数轴上的位置如上图所示，其对应的数分别是m和n， ∴， ∴则①正确； ∴则②错误； ∴则③正确； ∴则④正确； 综上所述，其中正确的有：①③④， 故答案为：C． 3. 如图，A，B，C，D是四位同学画出的一个空心圆柱的主视图和俯视图，其中正确的一组是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，根据主视图是从正面看到的图形，俯视图是从上面看到的图形进行求解即可． 【详解】解：该几何体的主视图是一个长方形靠近两侧各有一条竖直的虚线， 俯视图是两个可以看的见的同心圆， 故选；D． 4. 一个三角板(含30°、60°角)和一把直尺摆放位置如图所示，直尺与三角板的一角相 交于点，一边与三角板的两条直角边分别相交于点、点，且，点在直尺的另一边上，那么的大小为( ) A. 10° B. 15° C. 20° D. 30° 【答案】B 【解析】 【分析】先根据题意判断的形状，从而可得的度数，再根据，即可得到的度数，最后根据，即可得出的大小． 【详解】解：由图可得，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及等腰直角三角形的性质,属于基础题型．本题也可以根据是△的外角进行求解． 5. 剪纸是中国古老的汉族传统民间艺术之一.下面 是制作剪纸的简单流程，展开后的剪纸图案从对称性来判断（ ） A. 是轴对称图形但不是中心对称图形 B. 是中心对称图形但不是轴对称图形 C. 既是轴对称图形也是中心对称图形 D. 既不是轴对称图形也不是中心对称图形 【答案】C 【解析】 【详解】根据轴对称图形和中心对称图形的概念可知，展开后的剪纸图案既是轴对称图形也是中心对称图形，故选C. 6. 如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚AC和BD交叉构成，利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使OA=3OC，OB=3OD），然后张开两脚，使A，B两个尖端分别在线段a的两个端点上，当CD=1.8cm时，则AB的长为（　　） A. 7.2 cm B. 5.4 cm C. 3.6 cm D. 0.6 cm 【答案】B 【解析】 【详解】【分析】由已知可证△ABO∽CDO,故 ,即. 【详解】由已知可得，△ABO∽CDO, 所以， , 所以，， 所以，AB=5.4 故选B 【点睛】本题考核知识点：相似三角形. 解题关键点：熟记相似三角形的判定和性质. 7. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征． 所有反比例函数图象上的点的坐标都满足该函数的解析式． 将点分别代入反比例函数， 求得，的值后， 再来比较一下它们的大小． 【详解】∵点都在反比例函数的图象上， 故选：C． 8. 某口袋中有20个球，其中白球x个，绿球2x个，其余为黑球．甲从袋中任意摸出一个球，若为绿球获胜，甲摸出的球放回袋中，乙从袋中摸出一个球，若为黑球则乙获胜，要使游戏对甲、乙双方公平，则x应该是（ ） A. 6 B. 8 C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，分别确定甲、乙获胜的概率是解答本题的关键． 先分别求出甲、乙获胜的概率，然后根据游戏双方公平，即概率相等列出方程解答即可． 【详解】解：由题意得：甲获胜的概率为；乙获胜的概率为； 则：， 解得：， 故选：D． 9. 某校在社会实践活动中，小明同学用一个直径为的定滑轮带动重物上升．如图，滑轮上一点A绕点O逆时针旋转，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查弧长公式，解题的关键是掌握弧长公式．利用弧长公式算出重物上升的高度即可． 【详解】解：． 故选：B． 10. 如图，点P是以O为圆心，为直径的半圆的中点，，等腰直角三角板角的顶点与点P重合，当此三角板绕点P旋转时，它的斜边和直角边所在的直线与直径分别相交于C、D两点．设线段的长为x，线段的长为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，，，可求，可证，从而可得，可证，从而可得，可求，即可求解． 【详解】解：如图，连接，，， 点P是以O为圆心，为直径的半圆的中点， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ()， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数图象，等腰三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，掌握性质及判定方法是解题的关键． 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，直接填写答案．） 11. 若的值为有理数，请你写出一个符合条件的实数a的值___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据合并同类项和有理数的定义，即可得到答案． 【详解】解：∵的值为有理数， ∵， ∴，（答案不唯一）； 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了实数的加减运算，解题的关键是掌握两个无理数的和等于有理数的特征进行解题． 12 分解因式：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了运用平方差公式分解因式，注意运算的准确性即可. 【详解】解：， 故答案为： 13. 代数式与代数式的值相等，则______． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解法，去分母后，对整式方程进行求解，并对结果进行检验是解题的关键． 【详解】解：∵代数式与代数式的值相等， ∴， 去分母得：， 解得：， 经检验：是原方程的解， 故答案为：． 14. 如图，在平行四边形中，以点为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边于点、，分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线，交边于点．若，则的周长是______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查尺规作图作角平分线，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，综合运用各个知识是解题的关键． 首先根据平行线四边形的性质得到，然后由角平分线的作图得到，进而得到，然后求得，进而利用平行四边形的性质求解即可． 【详解】∵四边形是平行四边形 ∴ ∴ 由题意可得，平分 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴的周长． 故答案为：10． 15. 如图，在中，，，，将绕点C顺时针旋转后得到，点B经过的路径为，将线段绕点A顺时针旋转后，点B恰好落在上的点F处，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积是_______．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查扇形的面积公式，旋转变换等知识，含角的直角三角形特征，勾股定理，根据计算即可，解题的关键是学会用分割法求阴影部分的面积． 【详解】解：，，， ， ， ， 故答案为：． 16. 如图， 正三角形、正四边形、正五边形中， 点E在的延长线上，点D在另一边反向延长线上，且 延长线交于点 F．图1中 的度数为______， 图2 中度数为______， 若将条件“正三角形、正四边形、正五边形”改为“正n边形”，其它条件不变，则度数为_________．（用含n的代数式表示） 【答案】 ①. ②. ③. 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角． 通过证明，即可分别求出正三角形、正四边形、正五边形时的度数，找出规律即可解答． 【详解】解：图1：在中，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； 图2：∵四边形为正方形， ∴， 又， ∴， ∴， 又∵， ∴； 图3：∵五边形为正五边形， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， 又∵， ∴； ∴ “正n边形”，其它条件不变时，的度数等于该多边形的一个内角， 即度数为． 故填：，，． 三、解答题：（本大题共8个小题，共72分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. （1）计算∶ （2）解不等式组 并写出该不等式组的整数解． 【答案】（1）；（2），整数解是：，0，1 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的计算、实数的运算、以及不等式的解法，解题的关键是掌握基本的运算法则． （1）根据特殊角的三角函数值，绝对值的性质以及零指数幂和负指数幂的性质即可解答本题． （2）根据不等式的解法解出不等式组的解集，再写出整数解即可． 【详解】解∶（1）原式 ； （2） 由①，得； 由②，得， 不等式组的解集是：， 不等式组的整数解是∶ ，0，1 18. 随着时代的发展，“直播带货”已经成为当前最为强劲的购物新潮流，因此“直播带货”将成为企业营销变革的新起点． 某企业为开启网络直播带货的新篇章，购买A，B两种型号直播设备．已知A型设备价格是B型设备价格的倍，用1800元购买A型设备的数量比用1000元购买B型设备的数量多5台． （1）求A、B型设备单价分别是多少元； （2）某平台计划购买两种设备共60台，要求A型设备数量不少于 B型设备数量的一半，设购买A型设备a台，求w与a的函数关系式，并求出最少购买费用． 【答案】（1）A型设备的单价为120元，B型设备的单价为100元 （2）关系式为，至少购买的费用为6400元 【解析】 【分析】（1）设型设备的单价是元，则型设备的单价是元，利用数量总价单价，结合用1800元购买型设备的数量比用1000元购买型设备的数量多5台，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出型设备的单价，再将其代入中，即可求出型设备的单价； （2）利用总价单价数量，可找出关于的函数关系式，由购买型设备数量不少于型设备数量的一半，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【小问1详解】 解：设型设备的单价是元，则型设备的单价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， （元． 答：型设备的单价是120元，型设备的单价是100元； 【小问2详解】 根据题意得：， 即， 购进型设备数量不少于型设备数量的一半， ， 解得：， 与的函数关系式为． ， 随的增大而增大， 当时，取得最小值，最小值（元． 答：与的函数关系式为，最少购买费用是6400元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用、一次函数的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式． 19. 实验是培养学生的创新能力的重要途径之一．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管， ，试管倾斜角为．（参考数据：） （1）求酒精灯与铁架台的水平距离的长度（结果精确到）； （2）实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点F，且（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，求线段的长度（结果精确到）． 【答案】（1）． （2）的长度约为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，作垂线构造直角三角形是解题关键． （1）过点E作于点G．可得四边形为矩形，推出．根据题意得，．结合，即可求解； （2）过点B分别作于点H，于点P．可推出四边形是矩形，得∴．在中，根据，，即可求解； 【小问1详解】 解：如图，过点E作于点G． ∵， ∴四边形为矩形， ∴． ∵， ， ∴， ∴． 在中，， ∴． 【小问2详解】 解：如图，过点B分别作于点H，于点P． ∵， ∴四边形是矩形， ∴． 易知， 中， ， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴（）． 答：长度约为． 20. 小明发现用吸管吹气，能发出不同的音调．通过查阅资料，他得知：用吸管吹气时，吸管内部的空气振动导致声音产生，而吸管的长度影响了空气振动的频率，并最终决定了音调的不同，所以发出不同的音调． 小明和同学动手试验，并按以下步骤操作：①将若干根同规格的吸管剪成不同的长度；②用同样的力气通过吸管吹气，借助仪器记录下吸管中空气振动的频率；③将吸管的长度和相应吸管中空气振动的频率分别记为和，对收集到的数据检查、整理；④将整理所得的数据对应的点在平面直角坐标系中描出，绘制成如图所示的与对应关系的散点图． （1）表1记录了收集到的四组数据，同学们在仔细检查、整理数据时，发现这四组数据中的一组有错，请直接写出有出错的这组数据______（填写组别代号），不必说明理由； （表1） 数据组别 吸管的长度 60 80 100 100 空气振动的频率 1.43 1.08 0.86 0.42 （2）根据散点图，同学们猜想与的对应关系符合初中阶段已学过的一种函数关系，并将由每组数据计算所得的系数（精确到个位）作为与的对应关系中的系数．小明根据表2的数据剪出合适长度的吸管，成功地吹奏出的音． （表2） 音调 频率 0.26 0.29 0.33 0.35 0.39 0.44 0.49 你知道小明剪出的吸管长度是多少（精确到个位）？并说明你的理由． 【答案】（1）D （2），理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解答本题的关键是仔细观察表格，得出与的积为定值，从而得出函数关系式． （1）根据表中数据，可发现与的乘积为定值，从而可得答案； （2）根据与都是正数，可得这条曲线是反比例函数的一支，根据，可得与的函数解析式，即可得到结论． 【小问1详解】 解：根据表中数据，可发现与的乘积为定值， 所以D组数据是错误的， 故答案为：D． 【小问2详解】 根据散点图判断，可以用反比例函数来确定与的对应关系， 因此可设． 依据表1中三组数据求得： ， ， ． ， ， 当时，． 答：小明剪出的吸管长度是． 21. 2023年9月23日至10月8日，第19届亚运会在杭州顺利举行，中国队以201枚金牌、111枚银牌、71 枚铜牌的优异成绩，位居奖牌榜首.为弘扬体育运动精神，某校对八、九年级学生进行了杭州亚运会知识竞赛(测试满分为100分，得分x均为不小于80的整数)，并从其中分别随机抽取了20名学生的测试成绩， 整理、描述和分析如下： （成绩得分用x表示，共分成四组：） a、八年级20名学生的成绩是： 80， 82， 83， 83， 85， 85， 86， 87， 89， 90， 90， 91， 94， 95， 95， 95， 95， 96， 99， 100. b、九年级20名学生成绩在C组中的数据是: 90， 90， 91， 92， 92， 93， 93， 94. c、八、九年级抽取的学生竞赛成绩的平均数、中位数、众数如下： 年级 平均数 中位数 众数 八年级 90 90 m 九年级 90 n 100 d、九年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图如下： 根据以上信息，解答下列问题： （1）写出表中 m，n的值及九年级抽取的学生竞赛成绩在 D 组的人数； （2）若该校九年级共 400 人参加了此次知识竞赛活动，估计九年级竞赛成绩不低于 90 分的人数是 ； （3）为了进一步弘扬体育运动精神，学校决定组织学生开展亚运精神宣讲活动，准备从九年级抽取的竞赛成绩在D组的学生中，随机选取一名学生担任宣讲员，另一名担任主持人，若甲、乙是抽取的成绩在D组的两名学生，用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人同时被选上的概率． 【答案】（1），D组的人数为4人 （2）240 （3） 【解析】 【分析】（1）根据众数中位数的定义可得，的值．用20分别减去，，组的成绩，可得九年级抽取的学生竞赛成绩在组的人数． （2）根据用样本估计总体，用400乘以样本中组和组的百分比之和，即可得出答案． （3）画树状图得出所有等可能的结果数以及甲、乙两人同时被选上的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由八年级20名学生的成绩可知，众数为95， ． 九年级，两组的人数共有（人， 将九年级20名学生的成绩按从小到大的顺序排列，排在第10和11名的成绩为90，91， ． 九年级抽取的学生竞赛成绩在组的人数为（人）． 【小问2详解】 解：（人， 估计九年级竞赛成绩不低于90分的人数大约为240人． 故答案为：240人． 【小问3详解】 解：设组的另外两名同学为丙，丁， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中甲、乙两人同时被选上的结果有2种， 甲、乙两人同时被选上的概率为． 【点睛】本题考查列表法与树状图法、扇形统计图、中位数、众数、用样本估计总体，解题的关键是理解题意，熟练掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体． 22. 如图，是的直径，点C在上，的平分线与相交于点D，与过点B的切线相交于点E． （1）判断的形状，并证明你的结论； （2）若，，求的长． 【答案】（1）是等腰三角形，腰为与，证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）利用圆周角及切线的性质得到直角，再利用角平分线得到的等角进行计算和转化，得到中两个等角，根据等角对等边得到三角形为等腰三角形； （2）利用已知边求出角平分的两个等角的正切值，再设边长为未知数，利用列出勾股定理方程，求出，最后用勾股定理求出目标边． 【小问1详解】 是的直径， ， ， 是的切线， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 是等腰三角形，腰为与； 【小问2详解】 ，， ， 设，则， 中：， 得， 解得，（舍去）， 中：， ． 【点睛】本题考查圆中边长关系的证明和边长计算，通过条件中的边角关系计算角度证明等角等边及计算长度是常考题，计算复杂时可设未知数简化计算． 23. 如图，直线yx＋4与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2x＋c经过B、C两点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当△BEC面积最大时，请求出点E的坐标； （3）在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）yx2x+4 （2）E（3，8） （3）存在，点P的坐标是（，）或（，）或（，） 【解析】 【分析】（1）由一次函数的解析式可求出B点和C点坐标．再代入抛物线解析式中即可求出a和c的值，即得出抛物线解析式； （2）过E作EG∥y轴，交直线BC于G，设E（m，m2m+4），则G（m，m+4），则可用m表示出EG的长，最后利用三角形面积公式即可求出S△BEC的值，再利用二次函数的性质即得出答案； （3）根据二次函数解析式即得出其对称轴，由此可得出A点坐标．再由点Q是抛物线对称轴上的动点，得出Q的横坐标为．①当平行四边形以AM为边时，由题意可知点M的横坐标是3，再根据点M在直线yx+4上，即得出其纵坐标．再结合平行四边形的性质即得出平移规律，由此可得出P点坐标；②当平行四边形以AM为边时，同理可知点M的横坐标是3，Q的横坐标为，从而即得出P的坐标；③当平行四边形以AM为对角线时，由平行四边形的性质得出P到A的平移规律，即得出P点坐标． 【小问1详解】 当x＝0时，y＝4， ∴B（0，4）， 当y＝0时，x+4＝0， 解得：x＝6， ∴C（6，0）， 把B（0，4）和C（6，0）代入抛物线y＝ax2x+c中得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：yx2x+4； 小问2详解】 如图1，过E作EG∥y轴，交直线BC于G， 设E（m，m2m+4），则G（m，m+4）， ∴EG＝（m2m+4）﹣（m+4）4m， ∴S△BECEG•OC6（4m）＝﹣2（m﹣3）2+18， ∵﹣2＜0， ∴S有最大值，此时E（3，8）； 【小问3详解】 yx2x+4（x）2； ∴该抛物线对称轴是：x， ∴A（-1，0） ∵点Q是抛物线对称轴上的动点， ∴Q的横坐标为， 在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形； ①如图2，以AM为边时， 由（2），可得点M的横坐标是3， ∵点M在直线yx+4上， ∴点M的坐标是（3，2）， 又∵点A的坐标是（-1，0），点Q的横坐标为， 根据M到Q的平移规律：可知：P的横坐标为， ∴P（，）； ②如图3，以AM为边时， ∵由（2），可得点M的横坐标是3， ∵A（-1，0），且Q的横坐标为， ∴P的横坐标为， ∴P（，）； ③以AM为对角线时，如图4， ∵M到Q的平移规律可得P到A的平移规律， ∴点P的坐标是（，）， 综上所述，在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形， 点P的坐标是（，）或（，）或（，）． 【点睛】本题考查二次函数与几何的综合．掌握平行四边形的性质，两点的距离公式，利用待定系数法求函数解析式是解题的关键． 24. 已知∶ 等边三角形中， 点D、E、F分别为边的中点， 点M在直线上，以点 M为旋转中心，将线段顺时针旋转 至 连接 ． （1）如图1，当点M在点B左侧时，线段与的数量关系是 ； （2）如图2，当点M在边上时，（1）中的结论是否依然成立？如果成立，请利用图2证明，如果不成立，请说明理由； （3）当点M在点C右侧时，请你在图3中画出相应的图形，直接判断（1）中的结论是否依然成立？不必给出证明或说明理由． 【答案】（1） （2）成立，证明见解析 （3）成立，证明见解析 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，解题的关键是熟练掌握等边三角形的性质，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，以及正确画出辅助线，构造全等三角形． （1）连接，通过证明，即可得出结论； （2）连接，通过证明，即可得出结论； （3）先根据题意画出图形，连接，通过证明，即可得出结论． 【小问1详解】 解：连接， ∵是等边三角形， ∴， ∵点D、E、F分别为边的中点， ∴，， ∴，， 由旋转可得：，， ∴是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； 故答案为：． 【小问2详解】 解：成立，证明如下： 连接， ∵是等边三角形， ∴， ∵点D、E、F分别为边的中点， ∴，， ∴，， 由旋转可得：，， ∴是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：成立，证明如下： 连接， ∵是等边三角形， ∴， ∵点D、E、F分别为边的中点， ∴，， ∴，， 由旋转可得：，， ∴是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$